7th Conference on Informatics in Education Η Πληροφορική στην Εκπαίδευση

1. κβαντικοί υπολογιστές
7th
Conference on Informatics in Education
Η Πληροφορική στην Εκπαίδευση
Θεόδωρος Ανδρόνικος
9/10/2015
Τμήμα Πληροφορικής
Ιόνιο Πανεπιστήμιο
0

2. εισαγωγή

3. ένα κβαντικό παιχνίδι - captain picard vs. q
∙ Το παιχνίδι ”PQ Penny Flip” το επινόησε ο φυσικός David A. Meyer
το 1999.
∙ Το διαστημόπλοιο Enterprise βρίσκεται σε κίνδυνο. Ο Q
προσφέρεται να βοηθήσει με την προϋπόθεση ο Captain Picard
καταφέρει να τον κερδίσει στο ακόλουθο παιχνίδι:
∙ Ο Picard τοποθετεί ένα νόμισμα σε ένα κουτί στη θέση ”κεφάλι”.
∙ Ο Q επιλέγει είτε να επιδράσει στο νόμισμα είτε όχι.
∙ Μετά ο Picard επιλέγει αν θα αναποδογυρίσει το νόμισμα είτε όχι.
∙ Στο τέλος πάλι ο Q επιλέγει είτε να επιδράσει στο νόμισμα είτε όχι.
∙ Αν ανοίγοντας το κουτί το νόμισμα είναι στη θέση ”κεφάλι”, κερδίζει
ο Q. Διαφορετικά κερδίζει ο Captain Picard.
2

4. το αποτέλεσµα
∙ Ο Picard, πιστεύοντας ότι έχει πιθανότητα 0,5 να κερδίσει,
δέχεται να παίξει.
∙ Παίζουν και ο Q κερδίζει το παιχνίδι.
∙ Ο Picard, επικαλούμενος ότι ο Q κάνει δύο κινήσεις, ενώ ο ίδιος
μία, πείθει τον Q να παίξουν το ίδιο παιχνίδι άλλες 9 φορές.
∙ Ο Q δέχεται.
∙ Ο Q κερδίζει όλες τις φορές.
∙ Ο Captain Picard αναρωτιέται αν ο Q κλέβει. Τι ακριβώς
συμβαίνει;
3

5. βασικές αρχές

6. ο νόµος του moore
∙ Το 1965 ο Gordon Earle Moore, συνιδρυτής της Intel,
παρατήρησε ότι οι πυκνότητες τρανζίστορ στα ολοκληρωμένα
κυκλώματα διπλασιάζονται περίπου κάθε 24 μήνες. Προέβλεψε
ότι η τάση αυτή θα συνεχιστεί και στο μέλλον: ”The number of
transistors incorporated in a chip will approximately double
every 24 months.”
∙ Ο 8086 (1978) ήταν 16-bit, είχε 29.000 τρανζίστορ και για την
κατασκευή χρησιμοποιήθηκε τεχνολογία ολοκλήρωσης 3.2 μm.
∙ Σήμερα ένας σύγχρονος μικροεπεξεργαστής έχει περισσότερα
από ένα δισεκατομμύριο τρανζίστορ. Η προηγούμενη γενιά της
Intel (Haswell-E) κατασκευάστηκε με τεχνολογία ολοκλήρωσης
22nm και περιείχε 2,6 δισεκατομμύρια τρανζίστορ. Η τελευταία
γενιά (Skylake) κατασκευάζεται με τεχνολογία ολοκλήρωσης
14nm.
5

7. συνέπειες του νόµου του moore
∙ Ο Νόμος του Moore είναι μια εμπειρική παρατήρηση της
αύξησης του αριθμού των τρανζίστορ. Είναι εκπληκτικό ότι για
50 χρόνια διαδοχικές γενιές ολοκληρωμένων τον έχουν τηρήσει,
ανεξαρτήτως των μεταβολών που έχουν συμβεί στην τεχνολογία
κατασκευής τρανζίστορ!
∙ Λόγω της ολοένα και περισσότερο σμίκρυνσης της τεχνολογίας
ολοκλήρωσης, φαίνεται πως βρισκόμαστε στο προοίμιο μιας
νέας εποχής, όπου τα τρανζίστορ θα τείνουν να φτάσουν το
μέγεθος των ατόμων. Τότε οι σημερινές τεχνικές σχεδίασης δεν
θα είναι εφαρμόσιμες.
6

8. κβαντικοί υπολογιστές
∙ Ερώτηση: Πως και πότε θα κατασκευάσουμε πραγματικούς
κβαντικούς υπολογιστές;
∙ Απάντηση: Σήμερα (2015) δεν μπορούμε με βεβαιότητα να
απαντήσουμε. Υπάρχουν ιδέες, αλλά είναι ακόμη σε ερευνητικό &
πειραματικό στάδιο.
∙ Ερώτηση: Τότε τι μπορούμε να κάνουμε σήμερα;
∙ Απάντηση: Μπορούμε να μελετήσουμε τι θα είναι σε θέση να
κάνουν οι κβαντικοί υπολογιστές όταν κατασκευαστούν,
αγνοώντας τις κατασκευαστικές λεπτομέρειες.
∙ Το ίδιο ισχύει και για τους κλασικούς υπολογιστές - ο μέσος
χρήστης δεν γνωρίζει τη φυσική που διέπει τη λειτουργία των
τρανζίστορ.
7

9. κβαντικοί υπολογιστές
∙ Ερώτηση: Τελικά τι είναι ένας κβαντικός υπολογιστής;
∙ Απάντηση: Κβαντικός είναι ένας υπολογιστής που εκτελεί
υπολογισμούς βασισμένους σε συγκεκριμένους και πολύ ειδικούς
μετασχηματισμούς, όμοιους με αυτούς που διέπουν την εξέλιξη
των κβαντικών συστημάτων. Οι μετασχηματισμοί αυτοί θα
πρέπει να πραγματοποιούνται σε ελεγχόμενες συνθήκες και
σύμφωνα με τους νόμους της κβαντικής μηχανικής.
∙ Ερώτηση: Αρκεί να πούμε ότι ένας κβαντικός υπολογιστής
βασίζεται στους νόμους της κβαντικής μηχανικής;
∙ Απάντηση: Όχι, γιατί το τρανζίστορ και άρα όλοι οι κλασικοί
υπολογιστές βασίζονται στους νόμους της κβαντικής μηχανικής.
∙ Η αρχική ιδέα ήταν του διάσημου φυσικού Richard Feynman
στις αρχές της δεκαετίας του ’80 (1982).
8

10. κβαντικά bits και κβαντικές πύλες
∙ Στους κλασικούς υπολογιστές τα δεδομένα κωδικοποιούνται σε
bits. Επεξεργαζόμαστε τα bits με τη χρήση κυκλωμάτων που
αποτελούνται από λογικές πύλες. Με αυτή τη διαδικασία
μετασχηματίζονται τα δεδομένα και πραγματοποιείται ο
επιθυμητός υπολογισμός.
∙ Για τους κβαντικούς υπολογιστές και τον κβαντικό υπολογισμό το
αντίστοιχο του κλασικού bit είναι το κβαντικό bit, ή πιο απλά
qubit, που είναι η στοιχειώδης μονάδα κβαντικής πληροφορίας.
∙ Ένας κβαντικός υπολογιστής επενεργεί στα qubits μέσω των
κβαντικών πυλών που υλοποιούν κβαντικούς μετασχηματισμούς.
Με κατάλληλη χρήση κβαντικών πυλών μπορούν να επιτευχθούν
περίπλοκοι μετασχηματισμοί, ώστε να βρεθούν τα qubits σε μια
επιθυμητή τελική κατάσταση. Στο τέλος του υπολογισμού μέσω
της μέτρησης θα προκύψει το τελικό αποτέλεσμα.
9

11. qubits
∙ Η θεμελιώδης διαφορά του qubit από το κλασσικό bit είναι ότι
ενώ ένα bit μπορεί να βρίσκεται σε μόνο μια από δύο δυνατές
καταστάσεις (0 ή 1), ένα qubit βρίσκεται σε επαλληλία (ή
υπέρθεση - ο αγγλικός όρος είναι superposition) και των δύο
καταστάσεων ταυτόχρονα.
∙ Αν μετρήσουμε ένα qubit, τότε αυτό περιέρχεται σε μία από τις
δύο καταστάσεις με συγκεκριμένη πιθανότητα για κάθε μία. Το
άθροισμα των πιθανοτήτων είναι ίσο με 1.
∙ ΠΡΟΣΟΧΗ! Ένα qubit δεν είναι ισοδύναμο με ένα κλασικό bit
ακόμη και αν η πιθανότητα το bit να είναι στην κατάσταση 0 ή 1
είναι ίση με την πιθανότητα το qubit να βρεθεί στην ίδια
κατάσταση όταν μετρηθεί. Στην κβαντική υπέρθεση του qubit
υφίσταται και μια σχετική φάση μεταξύ των δύο καταστάσεων.
Αυτό ενδέχεται να οδηγήσει στην εμφάνιση φαινομένων
συμβολής των δύο καταστάσεων.
10

12. ο συµβολισµός του dirac
∙ Για να περιγράψουμε κβαντικούς υπολογισμούς και αλγόριθμους
χρησιμοποιούμε το συμβολισμό που εισήγαγε ο διάσημος
φυσικός Paul Dirac.
∙ Η κατάσταση 0 συμβολίζεται με το ket |0⟩ και η κατάσταση 1
συμβολίζεται με το ket |1⟩. Κάθε ket αντιστοιχεί σε ένα διάνυσμα
ενός (κατάλληλου) χώρου Hilbert. Στη συγκεκριμένη περίπτωση
τα kets |0⟩ και |1⟩ μπορούν να αντιστοιχηθούν σε διανύσματα
στήλες, όπως φαίνεται παρακάτω:
|0⟩ =
[
1
0
]
, |1⟩ =
[
0
1
]
. (1)
11

13. kets και bras
∙ Στη γενική περίπτωση ένα qubit βρίσκεται στην κατάσταση |ψ⟩
που περιγράφεται από την παρακάτω σχέση:
|ψ⟩ = c0 |0⟩ + c1 |1⟩ (2)
όπου c0 και c1 ονομάζονται πλάτη πιθανότητας (probability
amplitudes) και είναι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει
|c0|2
+ |c1|2
= 1.
∙ Σε κάθε ket |ψ⟩ αντιστοιχεί ένα bra ⟨ψ| ώστε να ισχύει:
⟨ψ| = c∗
0 ⟨0| + c∗
1 ⟨1| (3)
όπου c∗
0 και c∗
1 είναι οι μιγαδικοί συζυγείς των c0 και c1.
12

14. ορολογία και συµβολισµοί
∙ Για την περιγραφή των κβαντικών χρησιμοποιούμε στοιχεία της
θεωρίας των μιγαδικών χώρων Hilbert.
∙ Ερώτηση: Τι είναι ένας χώρος Hilbert;
∙ Απάντηση: Χώρος Hilbert είναι ένας διανυσματικός χώρος στον
οποίο έχει οριστεί ένα εσωτερικό γινόμενο και ο οποίος είναι
πλήρης ως προς τη μετρική που ορίζεται από το εσωτερικό
γινόμενο.
∙ Ερώτηση: Τι πραγματικά σημαίνει ο παραπάνω ορισμός;
∙ Απάντηση: Πρόκειται για ένα τεχνικό ορισμό κατάλληλο για
μαθηματικούς και φυσικούς. Ευτυχώς, για τη θεωρία του
κβαντικού υπολογισμού μπορούμε να περιοριστούμε σε
μιγαδικούς χώρους Hilbert πεπερασμένης διάστασης, δηλαδή
απλά στους απλούς μιγαδικούς διανυσματικούς χώρους που
ξέρουμε.
13

15. ορολογία και συµβολισµοί
∙ Ερώτηση: Αυτό διευκολύνει την κατάσταση;
∙ Απάντηση: Πάρα πολύ, γιατί οι καταστάσεις που περιγράφουν το
σύστημα θα είναι απλά διανύσματα και οι τελεστές (operators)
που δρουν πάνω στο σύστημα θα είναι απλοί πίνακες.
∙ Με Hn συμβολίζουμε ένα χώρο Hilbert διάστασης n.
∙ Cn×n
είναι το σύνολο των πινάκων n × n με στοιχεία μιγαδικούς
αριθμούς.
∙ Αν U είναι ένας τετραγωνικός πίνακας n × n, τότε ¯U είναι ο
συζυγής του και U†
ο ανάστροφος συζυγής του (adjoint).
∙ Η χρονική εξέλιξη των κβαντικών συστημάτων περιγράφεται από
μοναδιαίους τελεστές (unitary operators). Για εμάς ένας
μοναδιαίος τελεστής είναι απλά ένας μοναδιαίος πίνακας U με
μιγαδικά στοιχεία.
14

16. ορολογία και συµβολισµοί
∙ Οι μοναδιαίοι πίνακες έχουν πολλές χρήσιμες ιδιότητες:
∙ Διατηρούν το μέγεθος (norm) των διανυσμάτων στα οποία
επενεργούν.
∙ Έχουν αντίστροφο πίνακα για τον οποίο ισχύει U−1
= U†
, ή αλλιώς,
U†
U = UU†
= I.
∙ Κάθε παρατηρήσιμο (observable) φυσικό μέγεθος αντιστοιχεί σε
έναν ερμιτιανό, αλλιώς αυτοσυζυγή (self-adjoint), τελεστή. Για
εμάς ένας ερμιτιανός τελεστής είναι απλά ένας U, δηλαδή ένας
πίνακας που έχει την ιδιότητα U = U†
.
∙ Το αποτέλεσμα μιας μέτρησης είναι πάντα μία από τις ιδιοτιμές
(eigenvalues) του ερμιτιανού πίνακα.
15

17. κβαντικός υπολογισµός
∙ Μια βασική κατάσταση συνήθως αναπαρίσταται από το ket
|i⟩ = (0, . . . , 1, . . . , 0)T
. πρόκειται για το ket που έχει 0 σε κάθε
θέση εκτός από τη θέση i όπου υπάρχει η τιμή 1.
∙ Γενικότερα, κάθε κατάσταση |ψ⟩ του συστήματος μπορεί να
περιγραφεί ως μια επαλληλία από kets της μορφής:
|ψ⟩ =
n∑
i=1
ci |i⟩ , (4)
όπου:
∙ n ο αριθμός των βασικών καταστάσεων,
∙ |i⟩ είναι η βασική κατάσταση i και
∙ ci ∈ C είναι τα πλάτη πιθανότητας που ικανοποιούν τη σχέση
|c1|2
+ |c2|2
+ · · · + |cn|2
= 1.
16

18. κβαντικός υπολογισµός
∙ Μετά τη μέτρηση το σύστημα θα βρίσκεται σε μία από τις
βασικές καταστάσεις |i⟩ (κατάρρευση της υπέρθεσης).
∙ Η πιθανότητα το σύστημα να βρεθεί στην κατάσταση |i⟩ είναι
|ci|2
.
∙ Πολλές φορές χρησιμοποιούμε το τανυστικό γινόμενο (tensor
product) μεταξύ διανυσμάτων και μεταξύ πινάκων. Το τανυστικό
γινόμενο των kets |0⟩ και |1⟩ συμβολίζεται με |0⟩ ⊗ |1⟩ και δίνει ως
αποτέλεσμα το ket |01⟩.
17

19. ο αλγόριθµος του deutsch
∙ Ο πρώτος κβαντικός αλγόριθμος αναπτύχθηκε από τον Deutsch
(1985, 1989). Ο αλγόριθμος αυτός, αν και λύνει ένα τετριμμένο
πρόβλημα, δείχνει ξεκάθαρα τη διαφορά ανάμεσα σε κλασικό και
κβαντικό υπολογισμό.
∙ Δίνεται μία συνάρτηση f(x) : {0, 1} −→ {0, 1}. Για κάθε τέτοια
συνάρτηση υπάρχουν δύο περιπτώσεις: (1) f(0) = f(1), οπότε η
συνάρτηση ονομάζεται σταθερή και (2) f(0) ̸= f(1), οπότε η
συνάρτηση ονομάζεται ισορροπημένη.
∙ Ζητούμενο: Δεν γνωρίζουμε τη συνάρτηση f(x) και θέλουμε να
μάθουμε αν είναι σταθερή ή ισορροπημένη υπολογίζοντας την
τιμή της μόνο μία φορά.
18

20. ο αλγόριθµος του deutsch
∙ Με έναν κλασικό υπολογιστή πρέπει να υπολογίσουμε και τις δύο
τιμές f(0) και f(1) και να συγκρίνουμε τα αποτελέσματα. Αν όμως
χρησιμοποιήσουμε το κβαντικό κύκλωμα που φαίνεται
παρακάτω μπορούμε, κάνοντας έναν μόνο υπολογισμό της f(x),
να μάθουμε αν είναι σταθερή ή ισορροπημένη.
Figure: Ο αλγόριθμος του Deutsch.
19

21. ο αλγόριθµος του deutsch
∙ Αν εκτελέσουμε τις πράξεις που φαίνονται στο προηγούμενο
διάγραμμα θα διαπιστώσουμε ότι η κατάσταση του κβαντικού
κυκλώματος ακριβώς πριν τη μέτρηση είναι:
∙ (±1) |0⟩ (|0⟩−|1⟩
√
2
), f(x), αν η f(x) είναι σταθερή.
∙ (±1) |1⟩ (|0⟩−|1⟩
√
2
), f(x), αν η f(x) είναι ισορροπημένη.
∙ Για να συμπεράνουμε αν η f(x) είναι σταθερή ή ισορροπημένη,
μετράμε το άνω qubit.
20

22. ο αλγόριθµος του shor
∙ Σήμερα οι δημοφιλέστεροι αλγόριθμοι κρυπτογράφησης
δημόσιων κλειδιών (όπως ο RSA) βασίζονται στην δυσκολία της
παραγοντοποίησης μεγάλων αριθμών. Πιστεύεται ότι σήμερα
είναι υπολογιστικά ανέφικτη η ανάλυση μεγάλων αριθμών σε
παράγοντες πρώτων αριθμών.
∙ Με τον αλγόριθμο του Peter Shor (1994) ένας κβαντικός
υπολογιστής θα μπορούσε να λύσει αυτό το πρόβλημα
αποτελεσματικά (δηλαδή πολυωνυμικά), με ότι αυτό συνεπάγεται
για το ηλεκτρονικό απόρρητο και στην ασφάλεια.
21

23. ο αλγόριθµος του grover
∙ Ας υποθέσουμε ότι έχουμε έναν αταξινόμητο πίνακα n στοιχείων
και ότι θέλουμε να βρούμε ένα συγκεκριμένο στοιχείο.
∙ Για να εντοπίσουν το συγκεκριμένο στοιχείο, οι γνωστοί κλασικοί
αλγόριθμοι χρειάζονται στη χειρότερη περίπτωση n βήματα και
n/2 βήματα κατά μέσο όρο.
∙ Ο Grover το 1997 παρουσίασε έναν κβαντικό αλγόριθμο
(”Quantum mechanics helps in searching for a needle in a
haystack”) που λύνει το πρόβλημα σε
√
n βήματα.
22

24. κβαντική κρυπτογραϕία
∙ Η Alice επιθυμεί να επικοινωνήσει με ασφάλεια με τον Bob, ενώ η
Eve προσπαθεί να κρυφακούσει.
∙ Ας υποθέσουμε ότι η Alice χρησιμοποιεί qubits αντί για bits.
∙ Ακόμη και αν η Eve καταφέρει να υποκλέψει το μήνυμα, δεν
μπορεί να αποθηκεύσει αντίγραφα. Αυτό οφείλεται στο
εκπληκτικό θεώρημα της μη κλωνοποίησης (no-cloning
theorem).
∙ Για να διαβάσει τα qubits η Eve, έχει επέμβει με την πράξη της
μέτρησης δραστικά στο μήνυμα. Αυτή η επέμβαση μπορεί να
γίνει αντιληπτή από την Alice και τον Bob, οι οποίοι
καταλαβαίνουν την παρουσία της Eve.
23

25. θεώρηµα µη κλωνοποίησης (no-cloning theorem)
∙ Έστω ότι υπάρχει τρόπος να κλωνοποιήσουμε μια κβαντική
κατάσταση μέσω ενός τελεστή C.
∙ Αν εφαρμόσουμε τον C στην κατάσταση |x⟩+|y⟩
√
2
⊗ |0⟩, θα
προκύψει η κατάσταση |x⟩+|y⟩
√
2
⊗ |x⟩+|y⟩
√
2
.
∙ Οι τελεστές που δρουν στα κβαντικά συστήματα είναι γραμμικοί.
Αυτό σημαίνει αν γράψουμε την αρχική κατάσταση ως
(|x⟩⊗|0⟩)+(|y⟩⊗|0⟩)
√
2
και μετά δράσουμε με τον C, η νέα κατάσταση
που θα είναι η (|x⟩⊗|x⟩)+(|y⟩⊗|y⟩)
√
2
.
∙ Προφανώς |x⟩+|y⟩
√
2
⊗ |x⟩+|y⟩
√
2
̸= (|x⟩⊗|x⟩)+(|y⟩⊗|y⟩)
√
2
και άρα δεν μπορεί
να υπάρξει ένας τελεστής κλωνοποίησης.
∙ Αυτό που επιτρέπεται είναι η (τηλε)μεταφορά.
24

26. d-wave
∙ Η D-Wave Systems είναι η πρώτη εταιρεία που κατασκεύασε
εμπορικούς κβαντικούς υπολογιστές.
∙ Ο D-Wave One (Μάιος 2011) ήταν ο πρώτος εμπορικά διαθέσιμος
κβαντικός υπολογιστής και βασιζόταν σε έναν επεξεργαστή
128-qubit.
∙ Ο D-Wave Two (Vesuvius) παρουσιάστηκε το 2013, ήταν ο
δεύτερος εμπορικά διαθέσιμος κβαντικός υπολογιστής και
βασιζόταν σε έναν επεξεργαστή 512-qubit.
∙ Ο D-Wave 2X παρουσιάστηκε τον Αύγουστο του 2015 και
χρησιμοποιεί έναν κβαντικό επεξεργαστή 1000+ qubits.
∙ Πρόκειται για υπολογιστή ειδικού σκοπού που σύμφωνα με τις
μετρήσεις της εταιρείας για συγκεκριμένες κατηγορίες
προβλημάτων υπερέχει των κλασικών υπολογιστών.
∙ Ο D-Wave μέχρι σήμερα είναι αμφιλεγόμενος, καθώς αρκετοί
ερευνητές από τον ακαδημαϊκό χώρο αμφισβητούν τους
ισχυρισμούς της εταιρείας.
25

27. επίλογος

28. γιατί κέρδισε ο q το παιχνίδι
∙ Η κατάσταση του νομίσματος μπορεί να παρασταθεί με ένα ket
από το δισδιάστατο χώρο Hilbert H2.
∙ Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι η κατάσταση που αντιστοιχεί στη
θέση ”κεφάλι” είναι αυτή που φαίνεται παρακάτω:
|H⟩ = |0⟩ =
[
1
0
]
. (5)
∙ Οι επιλογές του Captain Picard αντανακλούν το κλασικό πεδίο
και είναι μόνο δύο: είτε θα αφήσει το νόμισμα ως έχει (επιλογή
I2) είτε θα το αναποδογυρίσει (επιλογή F). Οι επιλογές αυτές
μπορούν να παρασταθούν από τους ακόλουθους δύο πίνακες:
I2 =
[
1 0
0 1
]
, F =
[
0 1
1 0
]
. (6)
27

29. γιατί κέρδισε ο q το παιχνίδι
∙ O Q, σε αντιδιαστολή με τον Picard, έχει την ευχέρεια να παίξει σε
κβαντικό επίπεδο και, άρα, έχει περισσότερες επιλογές. Η επιλογή
του είναι να δράσει και τις δύο φορές πάνω στο νόμισμα μέσω
του μοναδιαίου (unitary) τελεστή Hadamard που περιγράφεται
από τον πίνακα Hadamard U:
U =
1
√
2
[
1 1
1 −1
]
. (7)
∙ Αν ο Captain Picard επιλέξει να αφήσει το νόμισμα ως έχει
(επιλογή I2), τότε η τελική κατάσταση του νομίσματος θα είναι:
UI2U |H⟩ = U(I2(U |H⟩)) = |H⟩ . (8)
28

30. γιατί κέρδισε ο q το παιχνίδι
∙ Αν ο Captain Picard επιλέξει να αναποδογυρίσει το νόμισμα
(επιλογή F), τότε η τελική κατάσταση του νομίσματος θα είναι:
UFU |H⟩ = U(F(U |H⟩)) = |H⟩ . (9)
∙ Η επαλήθευση γίνεται εύκολα, κάνοντας τους αντίστοιχους
πολλαπλασιασμούς πινάκων.
∙ Το συμπέρασμα είναι ότι ο Picard με κλασική στρατηγική δεν θα
νικήσει ποτέ τον Q που χρησιμοποιεί κβαντική στρατηγική.
29

31. Ερωτήσεις;
30