Contenu connexe Similaire à กราฟ ม.3 (20) 1. ผลการเรียนรู้ ที่คาดหวัง
เขียนกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง
ปริ มาณสองชุดที่มีความสัมพันธ์เชิงเส้นได้
จุดประสงค์ การเรียนรู้
หลังจากเรียนเนือหานีแล้ว นักเรียนสามารถ
้ ้
1. เขียนกราฟของคู่อนดับที่กาหนดให้ได้
ั
2. เขียนกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างปริ มาณสองชุดได้
3. เขียนกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างปริ มาณสองชุดที่มีความ
สัมพันธ์เชิงเส้นได้
4. แปลความหมายของกราฟที่กาหนดให้ได้
5. ร่ วมมือกับสมาชิกในกลุ่มทากิจกรรมของกลุ่ม
2. ใบความรู้ ที่ 1.1
เรื่อง กราฟของคู่อนดับั
1. ระบบแกนพิกดฉาก
ั
y
4
จตุภาคที่ 2 3 จตุภาคที่ 1
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
-1
-2
-3
จตุภาคที่ 3 จตุภาคที่ 4
-4
เส้นจานวนในแนวนอน เรี ยกว่า แกนนอน หรื อแกน x
บนแกน x จุดที่อยูทางขวาของจุดที่แทนศูนย์(0) จะแทนจานวนที่มีค่าเป็ นบวก และมีค่าเพิ่มขึ้น
่
จุดที่อยูทางซ้ายของจุดที่แทนศูนย์(0) จะแทนจานวนที่มีค่าเป็ นลบ และมีค่าลดลง
่
เส้นจานวนในแนวตั้ง เรี ยกว่า แกนตั้ง หรื อแกน y
บนแกน y จากจุดที่แทนศูนย์(0) จานวนที่แทนด้วยจุดที่อยูดานบน จะมีค่ามากกว่าจานวนที่
่ ้
่ ้
แทนด้วยจุดที่อยูดานล่าง
จากรู ป แกน x ตัดกับแกน y ทาให้ แบ่ งระนาบออกเป็ น 4 ส่ วน แต่ ละส่ วนเรียกว่า จตุภาค
จตุภาคที่1 x มีคาเป็ นจานวนที่มีค่าเป็ นบวก y มีคาเป็ นจานวนที่มีคาเป็ นบวก
่ ่ ่
จตุภาคที่2 x มีคาเป็ นจานวนที่มีค่าเป็ นลบ y มีค่าเป็ นจานวนที่มีค่าเป็ นบวก
่
จตุภาคที่3 x มีคาเป็ นจานวนที่มีค่าเป็ นลบ y มีค่าเป็ นจานวนที่มีค่าเป็ นลบ
่
จตุภาคที่4 x มีคาเป็ นจานวนที่มีค่าเป็ นบวก y มีค่าเป็ นจานวนที่มีค่าเป็ นลบ
่
โดยที่จานวนที่แทนด้วยจุดบนแกนทั้งสองมีไม่จากัด จึงเขียนปลายเส้นเป็ นลูกศร
3. 2. การเขียนกราฟของคู่อนดับ
ั
คู่อนดับแต่ละคู่แทนได้ดวยจุดบนระนาบ เรี ยกจุดนี้วา กราฟของคู่อนดับ
ั ้ ่ ั
เช่นกราฟของคู่อนดับ (4, 3) เป็ นจุดที่ได้จากการลากเส้นตรงให้ต้ งฉากกับแกน x ที่ x = 4
ั ั
และลากตั้งฉากกับแกน y ที่ y = 3 ดังรู ป
y
4
(4,3)
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
-1
-2
-3
-4
คู่อนดับหนึ่งคู่จะมีกราฟเป็ นจุดเพียงจุดเดียวเท่านั้นบนระนาบ และเช่นเดียวกันจุดแต่ล ะจุดที่อยู่
ั
บนระนาบก็จะแทนคู่อนดับเพียงคู่เดียวเท่านั้น สมาชิกตัวที่หนึ่งของคู่อนดับแทนจานวนที่อยูบนแกน
ั ั ่
x และสมาชิกตัวที่สองของคู่อนดับแทนจานวนที่อยูบนแกน y
ั ่
11111111111111111111111111111111111111111111111
4. ใบกิจกรรมที่ 1.1
เรื่อง กราฟของคู่อนดับ
ั
คาชี้แจง
1. ให้นกเรี ยนเติมชื่อเรี ยกจตุภาคบนระนาบให้ถูกต้อง
ั
2. ให้นกเรี ยนเขียนจุดต่อไปนี้บนระนาบให้ถูกต้อง
ั
A(3, 2) B(-4, 3) C(-5, -1) D(-3, 0) E(2, -2) F(1, 4) G(5, -2) H(-2 ,-2)
5. 3. ให้นกเรี ยนเติมคู่อนดับ ลงในช่องว่างให้ถูกต้อง
ั ั
ั
พิกดของ A คือ………….....……… ั
พิกดของ E คือ…………....…………...
ั
พิกดของ B คือ………….....……… ั
พิกดของ F คือ…………….....………...
ั
พิกดของ C คือ………….....……… ั
พิกดของ G คือ…………....…………...
ั
พิกดของ D คือ………..…...……… ั
พิกดของ H คือ……………....………...
11111111111111111111111111111111111111111111111
6. ใบเฉลยกิจกรรมที่ 1.1
เรื่อง กราฟของคู่อนดับ
ั
1.
ั
2. พิกดของ A คือ (5, 8) ั
พิกดของ E คือ (5,-3)
ั
พิกดของ B คือ (3, 5) ั
พิกดของ F คือ (7, 3)
ั
พิกดของ C คือ (-2, 4) ั
พิกดของ G คือ (12, 4)
ั
พิกดของ D คือ (3, 3) ั
พิกดของ H คือ (7, 5)
11111111111111111111111111111111111111111111111
7. ใบความรู้ ท่ี 1.2
เรื่อง กราฟแสดงความสั มพันธ์
ระหว่ างปริมาณสองชุดทีมความสั มพันธ์ เชิงเส้ น
่ ี
ในชีวตประจาวัน เรามักจะพบสถานการณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ ระหว่างปริ มาณสองชุดอยู่
ิ
เสมอ เช่น จานวนสมุดกับราคาสมุด จานวนผูโดยสารรถประจาทางกับค่าโดยสาร เราสามารถเขียน
้
แสดงความสัมพันธ์ระหว่างปริ มาณสองชุดเหล่านั้นในรู ปตาราง แผนภาพ คู่อนดับ และกราฟได้ และ
ั
ั ่
เมื่อมีกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างปริ มาณสองชุด เราสามารถหาพิกดของจุดที่อยูบนกราฟนั้นได้
เช่น
ตัวอย่างที่ 1
ให้พิจารณาสถานการณ์ต่อไปนี้ กราฟแสดงจานวนราคาไข่ของร้านค้าแห่งหนึ่งดังนี้
จานวนไข่ (ฟอง) 1 2 3 4 5 6
ราคาไข่ (บาท) 3.50 7 10 13.50 17 20
จากตาราง จะได้คู่อนดับแสดงความสัมพันธ์ระหว่างจานวนไข่และราคาไข่ดงนี้
ั ั
(1, 3.50 ), (2 , 7), (3, 10), (4, 13.5), (5, 17), (6, 20)
เมื่อกาหนดให้แกน x แสดงจานวนไข่เป็ นฟอง
และแกน y แสดงราคาไข่เป็ นบาท
นันคือกราฟแสดงความสัมพันธ์ของจานวนไข่เป็ นฟองและราคาไข่เป็ นบาทคือ
่
จุด A(1, 3.50 ), B(2 , 7), C(3, 10), D(4, 13.5), E(5, 17) และF(6, 20)
8. กราฟแสดงความสั มพันธ์ ระหว่ างจานวนไข่ และราคาไข่
ราคาไข่(บาท)
20
F F: (6, 20)
E E: (5, 17)
15
D
D: (4, 14)
10
C
C: (3, 10)
B
B: (2, 7)
5
A A: (1, 3)
จานวนไข่ (บาท)
2 4 6
-5
พิจารณาจากกราฟจะเห็นว่า
่
กราฟของความสัมพันธ์ระหว่างจานวนไข่และราคาไข่ อยูในจตุภาคที่ 1 เนื่องจากจานวนไข่และราคา
ไข่ เป็ นจานวนบวก และกราฟมีลกษณะเป็ นจุดๆ เพราะจานวนไข่เป็ นจานวนนับ จึงไม่สามารถหาได้
ั
ในทุกค่าที่ไม่ใช่จานวนนับ
9. ตัวอย่างที่ 2 ร้านขายดีเครื่ องเขียน ติดราคาขายแฟ้ มไว้ดงนี้
ั
จานวน(โหล) 1 2 3 4 5 6 7 8
ราคาขาย(บาท) 36 72 108 144 180 216 252 288
สามารถเขียนคู่อนดับซึ่ งสมาชิกตัวที่หนึ่งแสดงจานวนแฟ้ มเป็ นโหล และสมาชิกตัวที่สองแสดง
ั
ราคาขายเป็ นบาท ได้ดงนี้ (1, 36), (2, 72), (3, 108), (4, 144 ), (5, 180), (6, 216), (7, 252), (8, 288)
ั
เมื่อนาคู่อนดับไปเขียนกราฟ โดยให้
ั
แกน x แทน จานวนแฟ้ ม(โหล)
แกน y แทน ราคาขาย (บาท) จะได้กราฟดังนี้
กราฟแสดงความสั มพันธ์ ระหว่ างจานวนแฟมกับราคาขาย
้
พิจารณารู ปแล้วตอบคาถามต่อไปนี้
คาถาม จากกราฟ (2, 72) มีหมายความว่าอย่างไร
คาตอบ แฟ้ มจานวน 2 โหลราคา 72 บาท
คาถาม ถ้าต้องการซื้ อแฟ้ ม 7 โหล ต้องจ่ายเงินเท่าไร
คาตอบ 252 บาท
10. คาถาม สุ รียมีเงิน 200 บาท จะสามารถซื้ อแฟ้ มได้จานวนเท่าไร
์
คาตอบ 5 โหล
คาถาม ให้อธิบายลักษณะกราฟ
คาตอบ ่
เป็ นจุดเรี ยงอยูในแนวเส้นตรงเดียวกัน เพราะจานวนแฟ้ มเป็ นจานวนนับ ค่าที่ได้
ไม่ต่อเนื่อง
22222222222222222222222222222222222222222222222
11. ใบกิจกรรมที่ 1.2
เรื่อง กราฟแสดงความสั มพันธ์
ระหว่ างปริมาณสองชุดทีมความสั มพันธ์ เชิงเส้ น
่ ี
คาชี้แจง ให้นกเรี ยนเขียนกราฟต่อไปนี้
ั
1. เขียนกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างจานวนสมุดกับราคาสมุด ที่จาหน่ายในโรงเรี ยน
จานวนสมุด(เล่ม) 1 2 4 5 7 9 10 12
ราคาสมุด (บาท)
12. 2. เอและโอ๋ ขายสับปะรดนางแลบรรจุใส่ ถุง ถุงละ 5 กิโลกรัม ราคา 40 บาท เขานับเงินรวมกันได้
ทั้งสิ้ น 320 บาท ให้นกเรี ยนช่วยกันเขียนกราฟแสดงความสัมพันธ์ของจานวนสับปะรดนางแลที่เอ
ั
และโอ๋ ขายได้ในเหตุการณ์ ครั้งนี้
วิธีทา ถ้าให้ x แทนจานวนสับปะรดนางแลเป็ นถุงที่ โอ๋ ขายได้
y แทน แทนจานวนสับปะรดนางแลเป็ นถุงที่ เอขายได้
x 1 2 3 4 5 6 7
y
222222222222222222222222222222222222222222
13. ใบเฉลยกิจกรรมที่ 1.2
เรื่อง กราฟแสดงความสั มพันธ์
ระหว่ างปริมาณสองชุดทีมความสั มพันธ์ เชิงเส้ น
่ ี
1.
จานวนสมุด(เล่ม) 1 2 3 4 5 6 7 8
ราคาสมุด (บาท) 12 24 36 48 60 72 84 96
จากตารางคู่อนดับของความสัมพันธ์ระหว่างจานวนสมุดนักเรี ยนและราคาสมุด
ั
(1 ,12) , ( 2 , 24) , (3 , 36 ) , (4 , 48 ) , ( 5 , 60) , (6 , 72) , (7 , 84 ) , ( 8 , 96 )
ราคาสมุด(บาท)
100
( 8 , 96 )
90
( 7 , 84 )
80
70 ( 6 , 72 )
60 ( 5 , 60 )
50 ( 4 , 48 )
40
( 3 , 36 )
30
( 2 , 24 )
20
10 ( 1,12 )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 จานวนสมุด(เล่ ม)
14. 2. วิธีทา ถ้าให้ x แทนจานวนสับปะรดนางแลเป็ นถุงที่ โอ๋ ขายได้
y แทน แทนจานวนสับปะรดนางแลเป็ นถุงที่ เอขายได้
x 1 2 3 4 5 6 7
y 7 6 5 4 3 2 1
จากตารางคู่อนดับของความสัมพันธ์ระหว่างจานวนสับปะรดนางแลเป็ นถุงที่เป็ นไปได้ท่ีเอและ
ั
โอ๋ ขายได้ (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (7, 1)
กราฟแสดงความสั มพันธ์ ระหว่างจานวนสั บปะรดนางแลเป็ นถุงทีเ่ ป็ นไปได้ ทเี่ อและโอ๋ ขายได้
จานวนสับปะรดนางแลทีเ่ อขายได้(ถุง)
8
7 (1,7) ,
6 (2,6) ,
5 (3,5) ,
4
(4,4) ,
(5,3) ,
3
2
(6,2) ,
(7,1)
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
จานวนสับปะรดนางแลทีโอ๋ ขายได้(ถุง)
่
2222222222222222222222222222222222222222
15. ใบความรู้ ที่ 1.3
เรื่อง การอ่านและแปลความหมายจากราฟ
ตัวอย่างที่ 1
เมื่อเวลา 6.00 น. บีขี่รถจักรยานยนต์ดวยอัตราเร็ ว 40 กิโลเมตรต่อชัวโมง จากจังหวัดสกลนคร
้ ่
ไปยังจังหวัดอุดรธานี ซึ่ งอยูห่างกัน 150 กิโลเมตร พร้อมๆกับเอฟ ปั่ นจักรยานจากจังหวัด
่
อุดรธานี ไปยังจังหวัดสกลนคร ด้วยอัตราเร็ ว 25 กิโลเมตรต่อชัวโมง พอเวลา 7.00 น. เจขับรถยนต์
่
จากจังหวัดสกลนครไปยังจังหวัดอุดรธานี ด้วยอัตราเร็ ว 100 กิโลเมตรต่อชัวโมง ถ้าบีหยุดพัก
่
ระหว่าง 7.00 น. ถึง 8.00 น. แล้วออกเดินทางต่อด้วยอัตราเร็ วเท่าเดิม
กราฟแสดงเวลากับระยะทางทีใช้ ในการขับรถของ บี เอฟและเจ
่
ระยะทาง (กิโลเมตร)
จ.อุด รธานี
150
เจ บี
100
50
เอฟ
จ.สกลนคร
6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 เวลา(นาฬิ กา)
16. ให้นกเรี ยนพิจารณาคาถามต่อไปนี้
ั
1. ให้อธิ บายลักษณะการเดินทางของทั้งสามคน
2. เจขับรถยนต์ไปทันบีที่ใด
3. บีและเอฟสวนทางกันเวลาเท่าไร
4. เจและเอฟสวนทางกันเวลาเท่าไร
คาตอบของคาถามข้างต้นเป็ นดังนี้
1) จากกราฟแสดงการเดินทางของ บี เอฟและเจ จากเมือง ก ไปยังเมือง ข
การเดินทางของบี
เริ่ มเวลา 6.00 น. ออกจากจุดเริ่ มต้นที่ จ.สกลนคร
เวลา 7.00 น. เดินทางได้ระยะทาง 40 กิโลเมตร
จึงหยุดพักจนถึงเวลา 8.00 น.
เวลา 8.00 น. เดินทางต่อ
การเดินทางของเอฟ
เริ่ มเวลา 6.00 น. ออกจากจุดเริ่ มต้นที่ จ.อุดรธานี
เวลา 7.00 น. เดินทางได้ระยะทาง 25 กิโลเมตร
เดินทางต่อไม่หยุดพัก
การเดินทางของเจ
เริ่ มเวลา 7.00 น. ออกจากจุดเริ่ มต้นที่ จ.สกลนคร
เวลา 8.00 น. เดินทางได้ระยะทาง 100 กิโลเมตร
เดินทางต่อไม่หยุดพัก
2) เจขับรถยนต์ไปทันบีที่ใด
ตอบ ห่างจากจ.สกลนคร 40 กิโลเมตร
3) บีและเอฟสวนทางกันเวลาเท่าไร
ตอบ เวลา 8.45 น.
4) เจและเอฟสวนทางกันเวลาเท่าไร
ตอบ 8.00 น.
17. ตัวอย่างที่ 2
แสงเดินทางในอากาศได้เร็ วกว่าเสี ยง เราจึงเห็นฟ้ าแลบก่อนเสี ยงฟ้ าผ่าเสมอ หากสถานเกิดเหตุ
ฟ้ าผ่าอยูห่างจากตัวเราทุกๆ 1 กิโลเมตรจะได้ยนเสี ยงฟ้ าผ่าหลังฟ้ าแลบไปแล้ว 3 วินาที
่ ิ
ให้ x แทนเวลาเป็ นวินาทีที่ได้ยนเสี ยงฟ้ าผ่าหลังจากเห็นฟ้ าแลบ
ิ
y แทนระยะทางเป็ นกิโลเมตรที่สถานที่เกิดฟ้ าผ่าอยูห่างจากผูสังเกต
่ ้
x 3 6 9 12 15 18
y 1 2 3 4 5 6
กราฟแสดงระยะทางทีสถานทีเ่ กิดเหตุอยู่ห่างจากผู้สังเกต เมื่อได้ ยนเสี ยงฟาผ่ า
่ ิ ้
หลังจากเห็นฟาแลบในเวลาต่ างๆ กัน
้
ระยะทาง/กม.
เวลา/วินาที
ในการเขียนกราฟของความสัมพันธ์เชิงเส้น กรณี ที่กราฟมีลกษณะเป็ นจุด เพื่อดูแนวโน้มของ
ั
ความสัมพันธ์ เรานิยมต่อจุดนั้นให้เป็ นส่ วนหนึ่งของเส้นตรง
333333333333333333333333333333333
18. ใบกิจกรรมที่ 1.3
เรื่อง การอ่านและแปลความหมายจากราฟ
1. กานดาทดสอบหาความยาวของลวดสปริ งอันหนึ่งที่แขวนกับเพดานโดยใช้ตุมน้ าหนักถ่วงเพิมขึ้ น
้ ่
ครั้งละ 10 กรัม จนถึง 50 กรัม แล้วบันทึกผลการทดลองดังตาราง ให้นกเรี ยนเติมจานวนลงในช่องว่าง
ั
ที่เว้นไว้ในตารางต่อไปนี้
ความยาวของลวดสปริง
นาหนักของตุ้มนาหนัก (กรัม)
้ ้
(เซนติเมตร)
0 3.5
10 4
20 ………….
30 5
40 ………….
50 6
ให้แกน x แสดงน้ าหนักของตุมน้ าหนักเป็ นกรัม
้
แกน y แสดงความยาวของลวดสปริ งเป็ นเซนติเมตร
ให้นกเรี ยนเขียนกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างน้ าหนักของตุมน้ าหนักและความยาวของลวด
ั ้
สปริ ง แล้ว ตอบคาถาม
19. 1. เมื่อถ่วงด้วยตุมน้ าหนัก 10 กรัม ลวดสปริ งจะยาว..................................ซม.
้
2. เมื่อลวดสปริ งยาว 4.75 เซนติเมตร ตุมน้ าหนักจะหนัก ..................................กรัม
้
3. จากความสัมพันธ์ดงกล่าวหากตุมน้ าหนักเพิ่มขึ้นความยาวของลวดสปริ งจะเป็ นอย่างไร
ั ้
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
20. 2. ถังน้ าขนาดใหญ่สาหรับเก็บน้ าจานวนมาก เรี ยกว่าแท็งก์ อาคารแห่งหนึ่งมีแท็งก์สาหรับ เก็บน้ า
ไว้ใช้ 2 แท็งก์ ในขณะที่ปล่อยน้ าออกจากแท็งก์ใบที่หนึ่ง ก็จะเปิ ดน้ าเข้าแท็งก์ใบที่สอง โดยเริ่ ม
่
พร้อมกันเมื่อเวลา 7.00 น. กราฟต่อไปนี้แสดงความสัมพันธ์ระหว่างเวลาที่ผานไปจาก 7.00 น. และ
ปริ มาณน้ าในแต่ละแท็งก์
ปริมาณนา (ลิตร)
้
9,000
8,000
7,000
แท็งก์ใบที่หนึ่ง
6,000
5,000
แท็งก์ใบที่ส อง
4,000
3,000
เวลาที่ผ่านไป(ชั่วโมง)
2 4 6 8 10 12 14
จากกราฟข้ างต้ น จงตอบคาถามต่ อไปนี้
1. ก่อนปล่อยน้ าออกและเปิ ดน้ าเข้าเมื่อเวลา 7.00 น. แท็งก์ใบที่หนึ่ง และแท็งก์ใบที่สอง มีน้ าอยู่
แท็งก์ละกี่ลิตร
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
2. แท็งก์ใบที่สอง บรรจุน้ าอยู่ 3,500 ลิตร เมื่อเวลาผ่านไปกี่ชวโมง ั่
.................................................................................................................................................................
21. 3. น้ าในแท็งก์ใบที่หนึ่ง ลดลงไป 2,000 ลิตรเมื่อเวลาใด
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
4. แท็งก์ใบที่สอง มีน้ าบรรจุอยู่ 7,000 ลิตร เมื่อเวลาใด
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
5. นานเท่าไรน้ าในแท็งก์ท้ งสองมีปริ มาณน้ าเท่ากัน และปริ มาณน้ าในแต่ละแท็งก์เท่ากับกี่ลิตร
ั
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
6. เมื่อเวลา 12.00 น. แท็งก์ใบที่หนึ่ง และแท็งก์ใบที่สอง มีน้ าอยูแท็งก์ละกี่ลิตร ่
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
7. ถ้าปิ ดน้ าแท็งก์ใบที่หนึ่ง เมื่อเวลา 17.00 น. แล้วยังต้องเปิ ดน้ าเข้าแท็งก์ใบที่สอง จนถึงเวลาใด
จึงจะได้น้ าทั้งสองแท็งก์รวมกันเท่ากับ 10,000 ลิตร
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
22222222222222222222222222222222
22. ใบเฉลยกิจกรรมที่ 1.3
เรื่อง การอ่านและแปลความหมาย
1)
ความยาวของลวดสปริง
นาหนักของตุ้มนาหนัก (กรัม)
้ ้
(เซนติเมตร)
0 3.5
10 4
20 4.5
30 5
40 5.5
50 6
กราฟแสดงความสั มพันธ์ ระหว่ างนาหนักของตุ้มนาหนักและความยาวของลวดสปริง
้ ้
ความยาวลวดสปริง
9
(เซนติเมตร)
8
7
6
5
4
3
2
1
10 20 30 40 50
-1
นาหนักของตุ้มนาหนัก(กรัม)
้ ้
23. 1) 4 เซนติเมตร
2) 25 กรัม
3) ถ้าตุมน้ าหนักเพิ่มน้ าหนักขึ้น ความยาวของลวดสปริ งก็จะเพิ่มขึ้น
้
2)
1. แท็งก์ใบที่หนึ่ง มีน้ าอยู่ 9,000 ลิตร และแท็งก์ใบที่สอง มีน้ าอยู่ 3,000 ลิตร
2. 2 ชัวโมง
่
3. 11.00 น.
4. 23.00 น.
5. เมื่อเวลาผ่านไป 8 ชัวโมง และปริ มาณน้ าแต่ละแท็งก์เท่ากับ 5,000 ลิตร
่
6. แท็งก์ใบที่หนึ่งมีอยู่ 6,500 ลิตร และแท็งก์ใบที่สอง มีน้ าอยู่ 4,250 ลิตร
7. 19.00 น.
3333333333333333333333333333333333333333
26. บรรณานุกรม
สถาบันส่ งเสริ มการสอนวิทยาศาสตร์ และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ. หนังสื อเรี ยนสาระการ
เรี ยนรู้ พื้นฐานคณิ ตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 3. กรุ งเทพฯ : โรงพิมพ์คุรุสภา,
2548.
สถาบันส่ งเสริ มการสอนวิทยาศาสตร์ และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิ การ. คู่มือครู สาระการเรี ยนรู ้
พื้นฐานคณิ ตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 3. กรุ งเทพฯ : โรงพิมพ์คุรุสภา, 2548.
สถาบันส่ งเสริ มการสอนวิทยาศาสตร์ และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิ การ. เอกสารสาหรับผูรับการ ้
อบรมโครงการอบรมครู ระบบทางไกลกลุ่มสาระการเรี ยนรู ้คณิ ตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษา
ตอนต้นหลักสู ตรมาตรฐานการอบรมครู ปี ที่ 2. กรุ งเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค. , 2552.
สถาบันส่ งเสริ มการสอนวิทยาศาสตร์ และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิ การ. คู่มือครู สาระการเรี ยนรู ้
พื้นฐานคณิ ตศาสตร์ เล่ม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 1. กรุ งเทพฯ : โรงพิมพ์คุรุสภา, 2548.
กรมวิชาการ. การจัดสาระการเรี ยนรู ้กลุ่มสาระการเรี ยนรู ้คณิ ตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปี ที 1-6.
กรุ งเทพฯ : โรงพิมพ์องค์การรับส่ งสิ นค้าและพัสดุภณฑ์, พิมพ์ครั้งที่ 1 . 2546.
ั
โชคชัย สิ ริหาญอุดม. ข้อสอบแข่งขันคณิ ตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษาตอนต้น(ม.1-2-3) เล่ม 2.
กรุ งเทพฯ : เดอะบุคส์ . 2550.
http://www.krn-pbn3.com/subject/math/MATHEMATICS.htm
