1. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
1
ครู เสวตร
www.krusawed.wordpress.com
สรุปเนือหา ฟังก์ ชัน
้
1. คู่อนดับและผลคูณคาร์ ทเี ชียน
ั
คู่อนดับ หมายถึง การจับคู่สิ่งสองสิ่ งโดยถือลาดับเป็ นสาคัญ ถ้า
ั
a,b
เขียนแทนด้วย
( a,b)
เรี ยก
a
เป็ นสิ่งสองสิ่ง คู่อนดับ
ั
ว่า สมาชิกตัวหน้ า เรี ยก b ว่า สมาชิกตัวหลัง
a,b
การเท่ ากันของคู่อนดับ
ั
ถ้า
เป็ นจานวนจริ งใดๆ
( a , b) ( c , d ) ก็ต่อเมื่อ a c และ
( a , b) ( c , d ) ก็ต่อเมื่อ a c หรื อ
a , b , c ,d
ผลคูณคาร์ ทเี ชียน ของเซต
bd
bd
่ ั
และ B คือ เซตของคูอนดับ ( a , b) ทั้งหมด โดยที่ a
และ b เป็ นสมาชิกของเซต B ผลคูณของเซต A และเซต B
A
เป็ นสมาชิกของเซต A
เขียนแทนด้วย A B
ซึ่งเขียนในรู ปของเซตแบบบอกเงื่อนไขได้
A B { a, b | a A และ b B }
ตัวอย่ างที่ 1 จงหาผลคูณคาร์ทีเชียนในข้อต่อไปนี้เมื่อกาหนดให้
A 1, 3 , 4 และ B 2 , 3
1.
A B
2.
B A
3.
A A
4.
B B
2. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
2
ครู เสวตร
www.krusawed.wordpress.com
สมบัติของผลคูณคาร์ ทเี ชียน
ให้ A , B , C เป็ นเซตใดๆ
1. A B B A ก็ต่อเมื่อ A B หรื อ A หรื อ B
2. A A
3. ถ้า A และ B เป็ นเซตจากัดแล้ว n( A B) n( A) n(B)
4. A (B C) ( A B) ( A C)
5. A (B C) ( A B) ( A C)
6. A (B C) ( A B) ( A C)
ตัวอย่ างที่ 2 ถ้า n( A) 25 , n(B) 18 , n(C) 13 และ
1.
n( A B)
3.
n( A C )
4.
n( A ( B C ))
5.
n(( A B) ( A C ))
6.
n( A ( B C ))
7.
n(( A B) ( A C ))
8.
n( A ( B C ))
9.
n(( A B) ( A C ))
n( B C ) 6
2. n( B C )
จงหาผลลัพธ์ในข้อต่อไปนี้
3. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
3
ครู เสวตร
www.krusawed.wordpress.com
2. ความสั มพันธ์
ความสั มพันธ์ หมายถึง เซตของคู่อันดับ หรื อ เซตว่ าง
บทนิยาม กาหนดให้
และ B เป็ นเซตใดๆ
1. r เป็ นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r A B
นันคือสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อนดับใน r เป็ นสมาชิกของเซต
ั
่
เป็ นสมาชิกของเซต B
2.
A
A
และสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อนดับใน r
ั
่
เป็ นความสัมพันธ์ใน A ก็ตอเมื่อ r A A
นันคือสมาชิกตัวหน้าและตัวหลังของทุกคู่อนดับใน r เป็ นสมาชิกของเซต
ั
่
r
A
ตัวอย่ างที่ 3 กาหนดให้ A 2 , 3 และ B 3 , 4
ความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็ นความสัมพันธ์จากเซตใดไปเซตใด
1. r1 (2 , 3) , (3, 4 )
2.
r2 (2 , 2) , (3 , 3 )
3.
r3 (3 , 2) , (4 , 3 )
4.
r4 (3 , 4) , (4 , 3 )
ตัวอย่ างที่ 4 กาหนดให้ A 2 , 4 , 5 , 6 และ B 5 , 6 , 7 จงหาความสัมพันธ์ในข้อต่อไปนี้
1. r1 เป็ นความสัมพันธ์ “ น้อยกว่า” จาก A ไป B
2.
r2
เป็ นความสัมพันธ์ “มากกว่า ” จาก
ไป
3.
r3
เป็ นความสัมพันธ์ “เป็ นรากที่สอง” ใน
A
4.
r4
เป็ นความสัมพันธ์ “หารลงตัว” จาก
ไป B
B
A
A
4. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
4
ครู เสวตร
ตัวอย่ างที่ 5 กาหนดให้ A 0 ,1, 2 , 3 และ B 0 , 2 , 4 , 6, 8
จงเขียนความสัมพันธ์ในข้อต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก
1.
r1 ( x, y) A B | x y
2.
r2 ( x, y) B A | y x
3.
r3 ( x, y) A A | y 2 x
4.
r4 ( x, y) B B | y x 2
5.
r5 ( x, y) A B | y x 2
6.
r6 ( x, y) B A | y x 1
www.krusawed.wordpress.com
5. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
5
ครู เสวตร
www.krusawed.wordpress.com
3. โดเมนและเรนจ์ ของความสั มพันธ์
ให้ r เป็ นความสัมพันธ์จาก A ไป B
1. โดเมนของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าทุกคู่อนดับที่เป็ นสมาชิกของ r
ั
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Dr
นันคือ Dr x | ( x , y )r
่
2. เรนจ์ของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหลังทุกคู่อนดับที่เป็ นสมาชิกของ r
ั
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Rr
นันคือ Rr y | ( x , y )r
่
หลักเกณฑ์ ทั่วไปในการหาโดเมนและเรนจ์ ของความสัมพันธ์
1. ความสั มพันธ์ ที่เขียนในรูปแบบแจกแจงสมาชิก
- หา Dr โดยการนาสมาชิกตัวหน้ าของคู่อันดับทุกคู่อันดับที่เป็ นสมาชิกของ r มาเขียนในรู ปเซตแบบแจกแจง
สมาชิก
- หา Rr โดยการนาสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับทุกคู่อันดับที่เป็ นสมาชิกของ r มาเขียนในรู ปเซตแบบแจกแจง
สมาชิก
ตัวอย่ างที่ 1 จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ในข้อต่อไปนี้
1. r = { (1 , 1) , (2 , 4) , ( 3 , 9) }
Dr =
Rr =
2. r = { (-1 , 1) , (-2 , 4) , ( -3 , 1) , (-4 , 7 ) }
Dr =
Rr =
3. r = { (1 , 0) , (2 , 5) , ( -1 , 0) , (-2 , 5 ) }
Dr =
Rr =
6. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
6
ครู เสวตร
www.krusawed.wordpress.com
2. ความสั มพันธ์ ทเี่ ขียนในรูปแบบบอกเงือนไข
่
2.1 ) ถ้าสามารถแจกแจงสมาชิกให้แจกแจงสมาชิก แล้วหาเหมือนกับข้อ 1.
ตัวอย่ างที่ 2 จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้
1.
r { x, y N N | y
x
2
และ
x 8}
Rr
Dr
2.
r { x, y N N | x y 3
และ
Rr
Dr
3.
r x, y N N | x 2 y 2 25
Rr
Dr
4.
x 6}
r x, y I I | x 2 y 2 25
Rr
Dr
2.2 ) ถ้าไม่สามารถแจกแจงสมาชิกได้
- หา Dr โดยการจัด y ในรู ปของ
- หา R r โดยการจัด x ในรู ปของ
x
y
แล้วพิจารณาค่าของ x ที่ทาให้หาค่า
แล้วพิจารณาค่าของ y ที่ทาให้หาค่า
y
x
ได้
ได้
7. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
7
ครู เสวตร
สามารถแยกโจทย์ ได้ คร่ าวๆดังนี้
1. ความสั มพันธ์ ที่มเี งื่อนไขเป็ นสมการเชิงเส้ น
ตัวอย่ างที่ 1 จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ในข้อต่อไปนี้
1. r ( x , y)R R | y 2x 3
2. r ( x , y)R R |
2x y 3 0
2. ความสั มพันธ์ ที่มเี งื่อนไขในรูปของเศษส่ วนของพหุนาม
ถ้า
aR
และ
bR
แล้ว
a
R
b
เมื่อ
b0
ตัวอย่ างที่ 2 จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ในข้อต่อไปนี้
1.
2x 3
r ( x , y ) R R | y
x5
2.
3x 2
r ( x , y ) R R | y
x 1
www.krusawed.wordpress.com
8. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
3.
8
ครู เสวตร
3 4x
r ( x , y ) R R | y
1
2x 1
3. ความสั มพันธ์ ที่มเี งื่อนไขในรูปของเครื่องหมายกรณฑ์
ถ้า x R แล้ว x 0 เมื่อ x 0
ตัวอย่ างที่ 3 จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ในข้อต่อไปนี้
1. r = { ( x , y ) y x }
2. r = { ( x , y )
y x
}
www.krusawed.wordpress.com
9. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
3. r = { ( x , y )
y 2x 3 5 }
4. r = { ( x , y )
y x
5. r = { ( x , y )
y 9 x2
}
}
9
ครู เสวตร
www.krusawed.wordpress.com
10. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
10
ครู เสวตร
4. ความสั มพันธ์ ที่มเี งื่อนไขในรูปของตัวแปรกาลังสอง
่
กาหนดให้ a R และ b R จะได้วา
1)
2)
a 2 2ab b 2 a b
และ a b 2 0 เสมอ
2
2
a 2 2ab b 2 a b และ a b 0 เสมอ
2
ตัวอย่ างที่ 4 จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ในข้อต่อไปนี้
1. r ( x , y)R R | y x 2 6x 2
2.
r ( x , y ) R R | y x 2 2 x 2
3.
r ( x , y ) R R | x y 2 4 y 9
www.krusawed.wordpress.com
11. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
4. r ( x , y)R R | y 2 4 x 2
11
5. r ( x , y)R R | 2x 2 3 y 2 12
5. ความสั มพันธ์ ทมเี งือนไขในรูปของค่ าสั มบูรณ์
ี่ ่
ถ้า a R และ x R
1) x 0
2) x a ก็ต่อเมื่อ
3)
x a
ก็ต่อเมื่อ
a x a
xa
หรื อ
x a
ตัวอย่ างที่ 5 จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ในข้อต่อไปนี้
1. r ( x , y)R R | y | x 3 |
ครู เสวตร
www.krusawed.wordpress.com
12. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
12
ครู เสวตร
2. r ( x , y)R R | x | 2 y 5 |
3. r ( x , y)R R | y 2 | 4 x | 1
นอกจากนี้ยงมีความสัมพันธ์ที่มีเงื่อนไขในรู ปอื่นๆอีกมากมายดังต่อไปนี้
ั
ตัวอย่ างที่ 6 จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ในข้อต่อไปนี้
1. r ( x , y) R R | y
x2 1
2
www.krusawed.wordpress.com
13. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
2.
13
ครู เสวตร
www.krusawed.wordpress.com
5
r ( x , y ) R R | y
x 2 2x 3
3. r ( x , y) R R | y
2
| x 1 | 1
4. อินเวอร์ สของความสั มพันธ์
บทนิยาม อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r คือ ความสัมพันธ์ซ่ ึงเกิดจากการสลับที่ของสมาชิกตัว
หน้าและสมาชิกตัวหลัง ในแต่ละคู่อนดับที่เป็ นสมาชิกของ r เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ r 1
ั
ดังนั้น r 1 ( y , x) | ( x , y) r
หมายเหตุ D r R r และ R r D r
1
การหาอินเวอร์ สของความสั มพันธ์
1
r
ทาได้ ดงนี้
ั
1. ถ้ าความสั มพันธ์ เป็ นแบบแจกแจงสมาชิก ทาได้โดยการสลับที่ระหว่างสมาชิกตัวหน้าและ
สมาชิกตัวหลังทุกคู่อนดับที่เป็ นสมาชิกของ r
ั
14. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
14
ครู เสวตร
www.krusawed.wordpress.com
ตัวอย่ างที่ 1 จงหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ในข้อต่อไปนี้
1. r (, ) , ( , ) , ( , )
2. r ( , ) , ( , ) , ( , )
2. ถ้ าความสั มพันธ์ เป็ นแบบบอกเงื่อนไขทาได้ 2 วิธี ดังนี้
2.1 สลับที่ระหว่าง x และ y ที่คู่อนดับ แต่เงื่อนไขเหมือนเดิม
ั
2.2 สลับที่ระหว่าง x และ y ที่เงื่อนไข โดยแทนที่ x ด้วย y และแทนที่
ของ x ถ้าสามารถทาได้ แต่ที่คู่อนดับยังคงเขียนเป็ น ( x , y ) รู ปเดิม
ั
ตัวอย่ างที่ 2 จงหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้
1. r ( x , y) | y 2x 3
2.
2x 1
r ( x , y) | y
x5
y
ด้วย
x
แล้ว จัด
y
ในรู ป
15. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
ตัวอย่ างที่ 3 จงหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ในข้อต่อไปนี้
1. r ( x , y) | y x 5
2.
r ( x , y ) | y 3x 1 1
3.
r ( x , y) | y x 2 3
4.
r ( x , y) | y x3 1
15
ครู เสวตร
www.krusawed.wordpress.com
16. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
16
ครู เสวตร
www.krusawed.wordpress.com
5. ฟังก์ชัน
1. ความหมายของฟังก์ชัน
บทนิยาม ฟังก์ชน คือ ความสัมพันธ์ ซึ่งจะไม่ มีคู่อนดับสองคู่ใดๆในความสัมพันธ์น้ ีที่มีสมาชิก
ั
ั
ตัวหน้ าเหมือนกัน แต่สมาชิกตัวหลังต่ างกัน
นันคือ f จะเป็ นฟังก์ชนก็ต่อเมื่อ ( x, y1 ) f และ ( x, y 2 )f แล้ว y1 y 2
ั
่
กรณี ความสั มพันธ์ เขียนแบบแจกแจงสมาชิก
่
ตัวอย่ างที่ 1 จงพิจารณาดูวา ความสัมพันธ์ r ต่อไปนี้เป็ นฟังก์ชนหรื อไม่
ั
1. r = { (2,2 ),(-2, 2),(3,3),(-3,3),(4,4),(-4,4) }
2. r = {(-3,2),(-2,1),(2,2),(3,2),(2,-2) }
กรณี ความสั มพันธ์ เขียนบอกเงือนไข (ที่นิยมใช้ มี 3 วิธี)
่
1. จากเงื่อนไข เขียน y ในรู ปของ x ถ้าแต่ ละค่าของ x หาค่า y ได้เพียงค่าเดียวเท่านั้น
สรุ ปว่า r เป็ นฟังก์ ชัน
่
2. กาหนดความสัมพันธ์ ( x , y ) r และ ( x , z) r ถ้าสามารถแสดงได้วา y = z
แล้ว r เป็ นฟังก์ ชัน
3. เขียนกราฟของความสัมพันธ์ แล้วลากเส้นตรงขนานแกน y ถ้า ตัดกราฟเพียงจุดเดียว
แล้ว r เป็ นฟังก์ ชัน ถ้าตัดกราฟมากกว่าหนึ่งจุด r ไม่ เป็ นฟังก์ ชัน
ตัวอย่ างที่ 2 กาหนดความสัมพันธ์ r = { (x,y) RxR | 2x +3 y = 6 } r เป็ นฟังก์ชนหรื อไม่
ั
ตัวอย่ างที่ 3 กาหนดความสัมพันธ์ r = {(x,y) R R |
x y 2 4 }
r เป็ นฟังก์ชนหรื อไม่
ั
17. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
ตัวอย่ างที่ 4 กาหนดความสัมพันธ์ r1 และ
1) r1 x, y R R y x 2 1
r2
17
ครู เสวตร
www.krusawed.wordpress.com
จงพิจารณาว่า r1 และ r2 เป็ นฟังก์ชนหรื อไม่
ั
2) r2 x, y R R x y 2 1
ข้ อตกลงเกี่ยวกับสั ญลักษณ์
ถ้า ความสัมพันธ์ f เป็ นฟังก์ชน แล้ว เราจะเขียน y f (x) แทน ( x , y) f และเรี ยก
ั
f (x) ว่าเป็ น ค่ าของฟั งก์ ชัน f ที่ x อ่านว่า เอฟของเอกซ์ หรื อ เอฟที่เอกซ์ หรื อ เอฟเอกซ์
ตัวอย่ างที่ 5 กาหนดให้
2x 3
f ( x) x 2 2 x 1
x3
; x 2
; 2 x 3
; x 3
จงหาค่าในแต่ละข้อต่อไปนี้
1.
f (1)
2.
f (3)
3.
f (5)
4.
f (2) f (4)
ตัวอย่ างที่ 6 กาหนดให้ f ( x 2) 2x 3 และ
จงหาค่าในแต่ละข้อต่อไปนี้
1. f (2)
3.
f (x)
g (2 x 1) x 2 2 x 5
2.
g (1)
4. g x
18. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
18
ครู เสวตร
www.krusawed.wordpress.com
2. ฟังก์ ชันจากเซตหนึ่งไปเซตหนึ่ง
2.1) ฟังก์ ชันจากเซต A ไป เซต B
บทนิยาม กาหนด A และ B เป็ นเซต f เป็ นฟังก์ชนจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ
ั
1. f เป็ นฟังก์ชน
ั
2. D f A
3. R f B
สั ญลักษณ์ f เป็ นฟังก์ชนจากเซต A ไป B เขียนแทนด้วย f : A B
ั
ตัวอย่ างที่ 1 กาหนดให้ A 1, 2,3, 4 และ B 1, 2,3, 4,5,6,7,8
ฟังก์ชนใดต่อไปนี้เป็ นฟังก์ชนจากเซต A ไปเซต B
ั
ั
1.
2.
f x, y A B y 2 x 1
g x, y A B y x 2 1
3. h x, y A B y x 2
2.2) ฟังก์ ชันจากเซต A ไปทั่วถึง B
บทนิยาม กาหนด A และ B เป็ นเซต f เป็ นฟังก์ชนจาก A ไปทัวถึง B ก็ต่อเมื่อ
ั
่
1. f เป็ นฟังก์ชน (สมาชิกตัวหน้ าห้ ามซ้า)
ั
2. D f A
3. R f B
สั ญลักษณ์ f เป็ นฟังก์ชนจาก เซต A ไปทัวถึง B
ั
่
เขียนแทนด้วย f : A ง B หรื อ f : A onto B
ทัวถึ
่
19. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
19
ครู เสวตร
www.krusawed.wordpress.com
2.3) ฟังก์ ชันหนึ่งต่ อหนึ่งจาก A ไป B
บทนิยาม กาหนดให้ f : A B
ั
ั
f เป็ นฟั งก์ชนหนึ่ งต่อหนึ่ งจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ ไม่ มีคู่อนดับสองคู่ใดๆใน f ที่สมาชิกตัวหลังเหมือนกัน
แต่สมาชิกตัวหน้ าต่ างกัน
11
สั ญลักษณ์ f เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B เขียนแทนด้วย f : A B
ั
ตัวอย่ างที่ 2 กาหนดให้
ไปได้ท้งหมด
ั
A 1 , 3 , 4
ตัวอย่างที่ 3 จงพิจารณาว่าฟั งก์ชน
ั
และ
f
B 2,5
และ
g
จงเขียนฟังก์ชนจาก
ั
A
ไป
B
ที่เป็ น
เป็นฟังก์ชนหนึ่ งต่อหนึ่ งหรื อไม่
ั
1.
f 0, 1 , 1,0 , 2, 2 , 3,1 , 4, 3
2.
g 1, 2 , 2, 4 , 3,3 , 4,6 , 5,3
กรณี ฟังก์ ชันเขียนแบบบอกเงื่อนไข ที่นิยมใช้ มี 3 วิธี คือ
1. จากเงื่อนไข เขียน x ในรู ปของ y ถ้าแต่ ละค่าของ y หาค่า x ได้เพียงค่าเดียวเท่านั้น
สรุ ปว่า r เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง
ั
่
2. กาหนดความสัมพันธ์ ( x 1 , y ) r และ ( x 2 , y) r ถ้าสามารถแสดงได้วา x 1 = x 2 แล้ว
r เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง
ั
3. เขียนกราฟของความสัมพันธ์ แล้วลากเส้นตรงขนานแกน x ถ้าตัดกราฟเพียงจุดเดียว
r เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่ง
ั
20. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
20
ครู เสวตร
www.krusawed.wordpress.com
ตัวอย่ างที่ 3 กาหนดฟังก์ชน f = {(x,y)RxR | y x }
ั
จงตรวจสอบว่า f เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่
ั
ตัวอย่ างที่ 6 กาหนดฟังก์ชน f = {(x,y) )RxR | y x 2 1 }
ั
่
จงตรวจสอบดูวา f เป็ นฟังก์ชนหนึ่งต่อหนึ่งหรื อไม่
ั
3. ชนิดของฟังก์ชัน
่
1. ฟังก์ ชันเชิงเส้ น คือ ฟังก์ชนที่อยูในรู ป
ั
เป็ นเส้นตรง เช่น
1.1) y x 1
y mx b
เมื่อ
m ,b
1.2)
เป็ นจานวนจริ ง และ m 0 ซึ่งกราฟของฟังก์ชนจะ
ั
y 2 x 3