1. 円と円の外接線
@shora_kujira16

2. • ICPCの幾何ライブラリ解説シリーズその2です
• 円と円の交点に引き続いて、円と円の外接線の
求め方もよく分からなかったので、
自分の理解のためにまとめておきます
• 参考にしたライブラリ
• k_operafanさん
（現在どこでダウンロードできるのか不明）
• ++w++さん

3. 外接線

4. 内接線

5. 約束事
p1
p2
r1
r2
C1
C2

6. 外接線の求め方
• r1=r2の場合の方針
• C1とC2の接線は直線p1p2と平行になるので、
rot90などを使ってがんばる
（難しくないので解説は省略）
• r1 r2の場合の方針
• 2本の外接線の交点qを求めてからtangentCPで
C1およびC2との接点を求める

7. r1 r2の場合
q

8. r1 r2の場合
q
r1
r2
t
dθ

9. (接線, t, r1)からなる直角三角形と
(接線, t+d, r2)からなる直角三角形において
角θを共有しているのでsinθが等しくなる
r1
t
=
r2
t + d
t =
r1d
r2 r1

10. 点qの位置を得るには
点p1を始点として、p2→p1の単位ベクトルを
長さtだけ伸ばせば良い
q = p1 + t ·
p1 p2
d
= p1 +
r1d
r2 r1
·
p1 p2
d
=
p1(r2 r1)
r2 r1
+
r1(p1 p2)
r2 r1
=
p1r2 p2r1
r2 r1

11. Q. 点qがC1側ではなくC2側にある場合は？
A. 別の式を導出し直さなければならないような
気がするかもしれないが、実際に計算してみると
同じ式が導出されることが分かるので、
心配しなくて良い

12. 内接線の求め方
• 面倒なので省略するが、概要は以下のとおり
• 内接線と直線p1p2の交点をqとし、p1とqの距離をtとする
• 内接線と直線p1p2が交わっている部分において、対頂角θ
が等しい＝sinθが等しいことからr1/t = r2/(d-t)
• tを計算してからp1→p2の単位ベクトルを
長さtだけ伸ばしてqの座標を得る
• qとC1、qとC2についてtangentCPを計算する