日曜数学会 OFDMの基本原理とその商用化

1. 1
スマホと正規直交関数
日曜数学者
Kuma
日曜数学会 vol.N
2016年X月Y日
[1] @mkmk_4614; 金色モザイクより九条カレン
[1]

2. Agenda
2
1. 自己紹介
2. スマホと数学？
3. 正規直交関数
4. OFDMの基本原理
5. あらゆるものを繋げるOFDM

3. 3
自己紹介
HN：Kuma
経歴：工学修士卒→エンジニア→研究者
【免責事項】数学と本業の接点はなし。独学です！
好きな分野：理論物理学、解析学、工学理論
生主やってます。 講座/演習、理系ニュース紹介
Co1644269
[数学・物理学の話をしようず]

4. スマホと数学？
4
今日はこれの話をします！！

5. スマホと数学？
5
スマホ？

6. スマホと数学？
6
惜しい！よく見て！

7. スマホと数学？
7
じー・・・・・

8. スマホと数学？
8
じー・・・・・

9. スマホと数学？
9
こっち！

10. スマホと数学？
10
スマホを繋げてくれる
電磁波の話をします
（ガラケーでもOKです）

11. 電磁波ってなに？
11
周波数f [Hz]
強度A [dB]
電磁波とは電気と磁気の波
★空間を飛ばしやすい周波数の波を利用
モバイルデータ通信のスペクトル[1]
[1] http://www.geocities.jp/specat_2/
・・・・・・・・

12. 電磁波ってなに？
12
周波数f [Hz]
強度A [dB]
電磁波とは電気と磁気の波
★空間を飛ばしやすい周波数の波を利用
モバイルデータ通信のスペクトル[1]
[1] http://www.geocities.jp/specat_2/
・・・・・・・・
正規直交関数

13. Agenda
13
1. 自己紹介
2. スマホと数学？
3. 正規直交関数とsinc関数
4. OFDMの基本原理
5. あらゆるものを繋げるOFDM

14. 正規直交関数
14
正規直交関数系{𝝓 1, 𝝓 2}
1 ( )
( ) ( )
0 ( )
i j
i j
x x dx
i j
 

 


𝑥, 𝑦方向の単位ベクトル{e 1, e 2}
𝑷
𝒆1
𝒆2
𝒇(𝒙)a 2
𝝓 1
(𝑥)
𝝓 2
(𝑥)
a 1
1 ( )
0 ( )
i j
i j
i j

 

e e・
1 1 2 2( ) ( ) ( )f x a x a x   1 1 2 2a a P e e
a 1
a 2
定義：正規直交性 定義：正規直交性

15. 正規直交関数
15
正規直交関数系{𝝓 1, 𝝓 2} 𝑥, 𝑦方向の単位ベクトル{e 1, e 2}
𝑷
𝒆1
𝒆2
𝒇(𝒙)a 2
𝝓 1
(𝑥)
𝝓 2
(𝑥)
a 1
1
2
1 1 2 1 2
1
( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
f x x dx
a x dx a x x
a

   
 

 
1
1 1 1 2 1 2
1 0
a a
a
 
 
P e
e e e e
・
・ ・
a 1
a 2
成分抽出 成分抽出
正規直交性を満たす⇒各方向の成分が独立に抽出できる

16. 正規直交関数の例
16
2
0
2
0
1
0
sin( )sin( )
cos( )cos( )
( ) ( )
sin( )
sinc( )sinc( ) ;sinc(x)=
mn
mn
n m mn
mn
nx mx dx
nx mx dx
J x J x xdx
x
x n x m dx
x




  








  




・・・・・・・・
正規直交関数

17. OFDMの原理
17
sin( )
sinc( )sinc( ) ;sinc(x)=mn
x
x n x m dx
x





  
・・・・・・・・
正規直交関数
a 1 a 𝟑a 2
①a 1, a 2, a 3に0/1を割り当てる
②sincで合成する
③伝送する
④sincを直交分離する
⑤ a 1, a 2, a 3を得る 周波数f [Hz]
強度A [dB]
Orthogonal Frequency Division Multiplexing
異なるsincは値0を取る
(直交性の現れ)[1]
[1]Yahoo知恵袋 『無線のOFDMについて-周波数領域でのZero-crossing性の理由』

18. Agenda
18
1. 自己紹介
2. スマホと数学？
3. 正規直交関数とsinc関数
4. OFDMの基本原理
5. あらゆるものを繋げるOFDM

19. OFDMの商用化
19
OFDMの活用例①：モバイルデータ通信(LTEほか)
[1] NTTdocomo 公式HPより
OFDMの活用例②：Wi-Fi (802.11b以外全て)
[2] http://80211notes.blogspot.jp/2013/08/wi-fi-80211-phy-data-rates.html

20. OFDMの商用化
20[1] http://www.rf-world.jp/bn/RFW01/samples/p016-017a.pdf
OFDMの活用例③：地上デジタル放送(ISDB-T),CATV
※ちなみに フルセグ/ワンセグとは
OFDMのサブキャリア(sinc関数)を
何個ぶん使って通信するかという違い
OFDMの活用例④：光通信（研究レベル）

21. まとめ
21
スマホを取り巻くOFDM技術について話した。
・直交関数の概念とベクトルとの類似性を解説した
・sinc関数の直交性からOFDM技術を導出した
・OFDMがあらゆるものを繋げていることを紹介した
次なるOFDMの進化は・・・

22. 22
Q&A用資料

23. 電磁波ってなに？
23
スマホ通信
(700 MHz ~ 5 GHz)
電磁波とは電気と磁気の波
★空間を飛ばしやすい周波数の波を利用
http://www.shokabo.co.jp/sp_radio/spectrum/radiow/window.htm

24. よくある質問
24
Q. Sinc関数以外の直交関数を使うアイデアは？
A. Sincのメリットが大きいのであまりない。
(1)多重密度が極めて高い
(2)FFT/IFFT演算で生成/分離が可能で計算速度とコストが良い
(3)伝搬特性の変動、遅延に強い
欠点は消費電力が高いこと。（FFT,PAPR問題） そのためLTE上りはOFDMではない。
ただし、Non-OMAやSuper Nyquistなど、擬似直交関数を使う手法が近年でてきた。
Q.OFDMのデメリットは？
①位相の推定が精度よくないといけない（直交性を乱す要因)
②消費電力が高い
-FFT回路
-電気増幅回路（PAPR問題)
今回は他の直交関数の応用についてもリサーチしてみた

25. -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
-20
-10
0
10
20
30
40
50
J(λ
1
x)
J(λ2
x)
J(λ3
x)
J(λ4
x)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-0.5
0
0.5
1
J(λ1
x)
J(λ2
x)
J(λ3
x)
J(λ4
x)
Bessel-based OTDM
25
時刻t
強度A
周波数f
強度A
0 Hz
2
00
( ) ( / 2)
[ ( )] ,
1
( ) ( )
n
n n
N
n nn
T rect
FT J t T
BOTDM t a J t
 



 
∝ はchebyshev多項式
BOTDM(t)
（N=4)
Trade-offの関係が分かった。
時間領域で高次ベッセル関数を使用⇔周波数領域では帯域が広がる
時間多重数が増⇔周波数効率が低

26. Hermite-based OTDM
26“Ultra-wideband wireless communications and networks”, Xuemin Shen, et al.
n m mnf f dt 
Weight関数ρ
Hermite多項式
n n n m nmg f g g dt  と おく と
修正Hermite多項式
Hermite多項式を用いた伝送方式について
先行研究あり。（UWB用途）
定義を変更して
Weight関数を消しただけ

27. Hermite-based OTDM
27
Pulse Position Modulation採用時には
矩形パルスよりも性能が良い
（課題は時間同期精度）
雑音：少
誤り率：高
MHP

28. Wavelet-based TDM-FDM
28
ある種のWavelet関数は時間直交性と周波数直交性を同時に有する
→周波数多重(FDM)しながら、同一周波数上では時間多重(TDM)ができるのでは？
(N^2倍の多重)
残念ながらすでに商用化されている。（PLC通信。移動体でも（！）論文あり）

29. 直交関数による通信方式まとめ
29
直交関数 方式名 メリット デメリット 先行研究
Sinc OFDM FFTで作れる
無線に好適
電力, 位相同
期
あり（LTE等)
Bessel - 同時刻で多
重可能
多重数∝帯域 なし？
Hermite MHP PPMでは矩
形パルスよ
り良い
時間同期
(TDMなので)
あり(UWB)
Wavelet
(時空間直交)
? 時間同期
(TDMなので)
あり(PLC等)
Legendre - 時間同期
(TDMなので)
なし？
直交関数を用いた多重通信技術(xDM)の一般論がUnknown!!

30. 主要なモバイル通信方式比較
30
世代 方式 周波数帯 主要技術 キャリア
3G W-CDMA 1.5~2GHz CDMA DC/SBM
3G CDMA 2000 1.5~2GHz CDMA KDDI
3.9G LTE 0.7~2GHz OFDMA ALL
3.9 G WiMAX 2.5 GHz OFDMA UQ(KDDI)
4G LTE Adv. 0.7~3.5 GHz OFDMA ALL
4G WiMAX2 2.5 GHz OFDMA UQ(KDDI)
4G AXGP 2.5 GHz OFDMA WCP(SBM)
5G LTE-X >10 GHz OFDMA? ALL?
MIMO,CAなどの多重技術で速度をN倍にしてきた

31. FFTでOFDM信号を生成する
31
・・・・・・・・
Bit列 S/P変換 IFFT時間窓 OFDM信号
計算時間Nlog(N)

32. シミュレーターの作成
32
原理確認の為シミュレーターを作成し、文献値通りの特性を得た

33. 直交性の証明
33
sinc sinc ( ) sinc( );sinc( ) sin( ) /x x x x x  
【事実】
0
sinc( ) sin( ) /
sinc sinc ( ) sinc( )
sinc sinc ( ) sinc( )sinc( )
=sinc( ) m
x x x
x x
x x x m dx
m
 


 
  


今は よ り
と なる 。

34. ( ) ( )f x g x
【事実1】
( )× ( )F G 
Fourier変換対
2
( ) ( ) j fx
F f x e dx




 
sinc(x)
【事実2】
rect( ) 
Fourier変換対
( ) ( ) : ( ) ( )f x g x f g x d  


  
rect(x)sinc(x) Fourier変換対
2
( ) ( ) j fx
f x F f e df


 

35. ( ) ( ) : ( ) ( )f x g x f g x d  


  
sincf g  と する 。
sinc sinc
Fourier変換対 2 2
rect
2
rect rect だから
sinc sinc
Fourier変換対
2
rect
sinc
( ) ( )f x g x
【事実1】
( ) ( )F G 
Fourier変換対

36. 伝送網構成
36
ルータ
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ONU
光スプリッタ[1]
ルータ
[1]http://z.apps.atjp.jp/mypc/
固定回線の流れ
モバイル回線の流れ
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
トップルータ
サーバー
Ethernet
802.11 x
LTE
WiMax
etc
Ethernet
GE-PON
特殊規格

37. -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1