Definición de vector. Resultante de vectores. Producto escalar. Producto vectorial.

1. Sistemas de coordenadas. Vectores. Álgebra vectorial.
Producto escalar. Producto vectorial.
S01. VECTORES

2. PUNTO EN EL ESPACIO CARTESIANO
2Mg. Yuri Milachay

3. PUNTO SOBRE LA SUPERFICIE TERRESTRE
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/32/Earth_Centered_Inertial_Coordinate_System.png
3Mg. Yuri Milachay

4. ¿CUÁL ES LA POSICIÓN DE B RESPECTO DE A?
A
B

5. PREGUNTAS
• ¿Qué sistema de coordenadas has utilizado con más frecuencia?
• ¿Cómo se determina la posición en ese sistema?
5Mg. Yuri Milachay

6. LOGROS
1. Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas del
álgebra vectorial, utilizando las respectivas reglas; sin error,
con orden y mostrando buena presentación.

7. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES
• Existen magnitudes físicas
como la velocidad y la fuerza
que para quedar definidas
requieren conocer la dirección,
mientras que otras como la
temperatura o la masa, no.
• A las magnitudes que poseen
dirección se les denomina
vectoriales. Las otras
magnitudes se denominan
escalares.
• Un ejemplo de magnitud
vectorial: el desplazamiento.
• Un ejemplo de magnitud
escalar: la distancia recorrida.
Distancia recorrida
7Mg. Yuri Milachay

8. VECTOR
• Las magnitudes vectoriales se
operan con ayuda de entes
matemáticos llamados
vectores, los cuales se
representan geométricamente
como líneas orientadas
(flechas).
• La longitud de la flecha indica
el valor de la magnitud física
(módulo), y el ángulo que
forma con el origen de arcos
indica su dirección.
60
origen
F
dirección
F 30N
8Mg. Yuri Milachay

9. NOTACIÓN VECTORIAL
• Los vectores se denotan con
letras mayúsculas con una
flecha arriba.
• También se denotan mediante
letras mayúsculas en negrita.
• El valor numérico o módulo del
vector se denota con una letra
mayúscula normal o con
ayuda del símbolo de valor
absoluto.
A
A
A

A
9Mg. Yuri Milachay

10. VECTORES IGUALES Y VECTORES OPUESTOS
• Dos vectores son iguales si
tienen el mismo módulo y la
misma dirección.
• Dos vectores son opuestos si
tienen el mismo módulo pero
direcciones opuestas.
A B
180
A B
A BA B
10Mg. Yuri Milachay

11. SUMA VECTORIAL. MÉTODO DEL POLÍGONO
• Para sumar vectores con el
método gráfico se unen de
manera consecutiva la punta
de un vector con la cola del
siguiente. La resultante se
obtiene uniendo la cola del
primer vector con la punta del
último.
• Esta operación es
conmutativa; es decir, puede
cambiarse el orden de los
vectores que se están
sumando y la resultante será
la misma.
R
A
B
A B R
R
B A R
11Mg. Yuri Milachay

12. MÉTODO GRÁFICO. PARALELOGRAMO
• Dados dos vectores, A y B, se pide calcular su resultante.
B
A sen
1 A sen
tn
B Acos
A
A cos
2 2
R A B 2ABcos
12Mg. Yuri Milachay

13. MÉTODO DE COMPONENTES VECTORIALES
• El vector A puede
representarse como la suma
de dos vectores que se
encuentran sobre los ejes x y y
respectivamente. Estos
vectores reciben el nombre de
componentes del vector A.
• Ax y Ay se denominan
componentes del vector A y se
pueden calcular mediante la
siguiente relación:
A
xA
yA
x yA A A
xA Acos
yA Asen
2 2
x yA A A
y1
x
A
tan ( )
A
13Mg. Yuri Milachay

14. VECTORES UNITARIOS
• Un vector unitario es un vector
con magnitud 1, no tiene
unidades y su fin es
especificar una dirección. El
vector unitario i tiene la
dirección del eje +x y el vector
j la dirección +y.
• Escriba en función de los
vectores unitarios cada uno de
los desplazamientos
realizados por un cartero en el
recorrido de la ruta mostrada
en la figura.
j
i
x yA A i A j
A
xA
yA
j
14Mg. Yuri Milachay

15. SUMA DE VECTORES. MÉTODO DE LAS COMPONENTES
• Para sumar dos o más
vectores por el método de las
componentes, debe escribir
cada uno de los vectores a
través de sus componentes y
luego sumar
independientemente las
componentes x y y de dichos
vectores.
• Calcule el desplazamiento
total de cartero del ejercicio
anterior utilizando el método
de las componentes.
x yA A i A j
x yB B i B j
x yC C i C j
x x x y y yR (A B C )i (A B C ) j
15Mg. Yuri Milachay

16. EJERCICIO
• Calcule la resultante de los
vectores A y B mostrados en
la figura.
• Calcule la resultante de los
vectores A y B mostrados en
la figura.
16Mg. Yuri Milachay

17. EJERCICIO
• El vector A tiene
componentes Ax = 1,30 cm,
Ay = 2,55 cm; el vector B
tiene componentes Bx = 4,10
cm, By =-3,75 cm. Calcule: a)
las componentes de la
resultante A+B, y b) la
magnitud y dirección de B-A
ˆ ˆA (1,30cm)i (2,55cm)j

ˆ ˆB (4,10cm)i (3,75cm)j

ˆ ˆA B (5,40cm)i (1,20cm)j
 
2 2
A B (5,40cm) ( 1,20cm)
 
A B 5,53cm
 
ˆ ˆB A (2,80cm)i ( 6,30cm)j
 
2 2
B A (2,80cm) ( 6,30cm)
 
1 1,20cm
tan 12,5º
5,40cm
B A 6,89cm
 
17Mg. Yuri Milachay

18. EL PRODUCTO PUNTO
• Dados dos vectores A y B, el Producto Punto o Producto
Escalar, se define:
• El producto escalar obedece a la ley conmutativa, esto es:
• La expresión se lee : A punto B.
• Ej. de producto punto:
A B
ABA B A.B.Cos=
A B B A
Trabajo W F r
18Mg. Yuri Milachay

19. EL PRODUCTO PUNTO (CONT.)
• El producto punto de dos vectores expresados en componentes
cartesianas sigue la ley distributiva, como se muestra a
continuación:
• Sean los vectores A y B:
• produce la suma de 4 términos escalares, y en los
cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios.
Como el ángulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90° en
coordenadas cartesianas, entonces se cumple que:
• Resultando que:
i i 1; j j 1; i j 0
x y
x y
A A i A j
B B i B j
x x y yA B A B A B
A B
19Mg. Yuri Milachay

20. • Una aplicación del producto punto consiste en encontrar la
componente de un vector en una dirección dada. Por ejemplo, la
componente escalar del vector B en la dirección del vector unitario
u, se expresa:
• La componente tiene signo positivo si se cumple que:
• y negativo cuando:
EL PRODUCTO PUNTO (CONT.)
BuB u B u cos
Bu0 90
Bu90 180 
u
B
B u
Bu
20Mg. Yuri Milachay

21. EJERCICIO
• Se tienen los siguientes tres puntos del espacio. P(-2,3,-2) , Q(1,-
1,4) y R(0.-3,0) los cuales forman un triángulo. Encontrar:
• a) La longitud de cada lado del triángulo.
• b) Los ángulos internos del triángulo.
21Mg. Yuri Milachay

22. EJERCICIO
• En la figura se muestra un
paralelepípedo, de base ABCD
y altura 5,00 m. Si los vértices
de la base ABCD son A(0,0,0);
B= (1,80 m; 0 ;2,40 m) y C =
(0 ; 0,600 m; 0), determine un
vector perpendicular al plano
ABCD.
22Mg. Yuri Milachay

23. EJERCICIO
• Si el producto escalar de dos
vectores es 6, el módulo de
uno de los vectores es 3 y el
del otro, 4, halle el módulo de
la suma de estos dos vectores.
• Dados los vectores
Halle:
a) y
b) El ángulo formado por
y
Mg. Yuri Milachay 23
A B (11, 1,5)
A B ( 5,11,9)
A B
A
A B

24. EL PRODUCTO PUNTO (CONT.)
• Los tres vértices de un triángulo se encuentran en A(6,0;-1,0), B(-
2,0;3,0) y C(-3,0;1,0), encontrar:
• El ángulo θBAC en el vértice A
• La proyección vectorial de RAB en RAC
Mg. Yuri Milachay 24

25. EL PRODUCTO CRUZ
• Dados dos vectores A y B, el
Producto Cruz o Producto
Vectorial, se define:
• En este caso el subíndice N
hace referencia a la normal.
• La expresión se lee :
A cruz B.
• La dirección de está en la
dirección del tornillo de rosca
derecha cuando A se gira
hacia B.
N ABA B a A B Sen
A B
25Mg. Yuri Milachay

26. EL PRODUCTO CRUZ (CONT.)
• El producto cruz no es
conmutativo, puesto que :
• De lo anterior se verifica que:
• A continuación, se muestra el
desarrollo del producto cruz en
coordenadas cartesianas:
i j k; j k i
k i j; j i k
k j i; i k j
i i 0; j j 0
k k 0;
y z z y z x x z
x y y x
A B A B A B i A B A B j
A B A B k
x y z
x y z
i j k
A B A A A
B B B
A B B A
26Mg. Yuri Milachay

27. EL PRODUCTO CRUZ (CONT.)
• Un triángulo se define por tres puntos: A(6,-1,2), B(-2,3,-4) y C(-
3,1,5), encontrar:
a) RAB x RAC
b) El área del triángulo
c) Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el
triángulo.
• Nota. Las medidas se escriben con un decimal.
27Mg. Yuri Milachay

28. EJERCICIO
• La ecuación de un plano en el sistema de coordenadas
cartesianas está representada por 3x+4y+5z = 2. Utilice sus
conocimientos de vectores, productos escalar y vectorial; para
determinar:
a) Tres puntos que pertenezcan al plano.
b) Dos vectores que los unan.
c) Un vector perpendicular al plano
28Mg. Yuri Milachay

29. CONCLUSIONES

30. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. SEARS ZEMANSKY . FISICA UNIVERSITARIA. VOL 1. Ed.12.
2009
2. WILSON BUFFA. FISICA. 2007
3. RESNICK HALLIDAY. FUNDAMENTOS DE FISICA TOMO 1 . 2008
4. REYMOND SERWAY. FISICA. 2004