Materi ini berisi Bentuk Pangkat, akar dan Logaritma

1. MODUL
MATEMATIKA
BENTUK PANGKAT, AKAR
DAN LOGARITMA
KUSNADI, S.Pd
www.mate-math.blogspot.com

2. BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN
LOGARITMA
Standar Kompetensi :
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan
logaritma.
Kompetensi Dasar :
• Menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma
• Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan
pangkat, akar, dan logaritma.

4. BAB I. PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Dalam modul ini Anda akan mempelajari bilangan pangkat bulat positif,
negatif, rasional, bentuk akar, merasionalkan penyebut, menentukan
persamaan pangkat, dan menentukan nilai logaritma.
B. Prasyarat
Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah menguasai dasar-
dasar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan real.
C. Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah sebagai
berikut:
1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang
mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.
2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal
latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan,
kembalilah mempelajari materi yang terkait.
3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui kesulitan
dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang
terkait.
4. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan,
catatlah,

5. kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau
bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini.
Dengan
membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan pengetahuan
tambahan.
D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
1. Menghitung bilangan pangkat bulat posit dan negatif,
2. Menghitung bilangan pangkat rasional
3. Menentukan bentuk akar
4. Merasionalkan penyebut,
5. Menentukan persamaan pangkat,
6. Menentukan nilai logaritma
BAB II PEMBELAJARAN
A. PANGKAT BULAT POSITIF
Jika a ∈ R dan n > 1, n ∈ A maka
a
n
= a.a.a.a.a.a.a.....a
sebanyak n kali
a disebut bilangan pokok
n disebut pangkat / eksponen

6. Sifat-sifat eksponen bulat positif
Jika a dan b bilangan real, m dan n bilangan bulat positif
1. a
m
. a
n
= a
m + n
2. a
m
: a
n
= a
m - n
3. (a
m
)
n
= a
mn
4. (a.b)
m
= a
m
.b
m
5. m
m
m
b
a
b
a
=)(
Contoh :
Sederhanakan :
1. a
3
.a
5
= a
3 + 5
= a
8
2. a
7
: a
2
= a
7 – 2
= a
5
3. (a
3
b
6
c
4
)
2
= a
3.2
b
6.2
c
4.2
= a
6
b
12
c
8
4. (a
8
: a
6
)
3
= (a
8 – 6
)
3
= a
2.3
= a
6
5.
12843242513
4
2
53
)().( bababa
ab
ba
===




 −−
B. PANGKAT BULAT NEGATIF DAN RASIONAL
mm
mm
aa
a
a
a
−−
=== 0
0
1
Jadi m
m
a
a
1
=−
Bilangan rasional yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dengan b
a
dan
Bba ∈, dan 0≠b .

7. m
n
a merupakan bilangan dengan pangkat tak sebenarnya.
Contoh :
1. Nyatakan dengan eksponen positif :
a. 5
5 1
a
a =−
b. 2
5
5
2
4
3
12
a
b
b
a
=−
−
2. Sederhanakan :
a. 2
4
42
25
63
a
b
ba
ba
ba
== −
b. b
bbbb
11
2
5
5
22
5
5
6
5
4
==







=






 −
−−
c.
3
14
3
4
6
3
4
2
12
3
4
2
3
2
9
xx
x
x
x
xx
===
−
3. Sederhanakan :
a. ( ) 162228 43
4
.3
3
4
33
4
====
b. ( ) ( ) ( ) ( ) 123.23227.32 23
1
35
2
5
3
1
5
2
===
Tugas I
1. Sederhanakan :
a. ( )( )223643
..... cbacba
b.
53
23
65














yx
yx

8. c. 46
35
9
27
−
−
qp
qp
d.
2
3
13
2
3
1
2
−
−
−
−










ba
ba
2. Tentukan nilai dari :
a. ( ) ( ) 2
1
3
1
2564
−
b. 23
2
2
3
3
1
9.64
9.64
−
3. Sederhanakan dan nyatakan dalam pangkat positif
a. 12
21
−−
−−
−
+
yx
yx
b. 234
012
−−−
−−
++
++
aaa
aaa
4. Hitunglah :
327.627
516.816
3
1
3
2
2
1
4
3
+−
−+
−
−
C. BENTUK AKAR
Bentuk akar adalah bilangan-bilangan dibawah akar yang hasilnya
merupakan bilangan irasional.
Contoh : dsb,8,5,3
Sifat-sifat bentuk akar :
1. baab .=

9. 2. b
a
b
a
=
3. acabcba ±=± )(
4. anmanam )( ±=±
5. )( bambmam ±=±
6. aaa =.
7. n
m
n m
aa =
8. 2
1
aa =
Contoh :
Sederhanakanlah :
1. 343.1648 ==
2. 21829.22.8121622 ===
3. 373235 =+
4. 31034363.163.3648108 =+=+=+
5. 565853.252.45.925.44452204 −=−=−=−
6. 3402123.4202.941220184)253(64 +=+=+=+
7.
22
)6(123123)23()623)(623( −−+=−+
= 12618 =−
Sederhanakan dan tulis dalam bentuk akar :
1.
323
1
23
7
3
42
2
1
3
2
.... aaaaaaaaa ====








10. 2. xyyxyyxxyxyx 22
1
22
1
2
5
2
32
4
5
4
3
...... ===







Nyatakan ke bentuk pangkat rasional :
1. 6
53
1
2
5
3
2
5
3
2
1
23 2
. aaaaaaa =







===
2. 4
32
1
2
3
2
3
2
1
3
2
3
3
2
1
3
.. aaaaaaaaaaaaa =







=====
Tugas II
1. Sederhanakan :
a. 200
b. 288
c. 216
d. 325075 −+
e. 98123182 −+
2. Sederhanakan :
a. )15103(65 +
b. )237)(237( −+
3. Diketahui 235 −+=a dan 352 −+=b
Tentukan ba.
4. Sederhanakan dan tulis dalam bentuk akar :
a.
2
3
1
22
1
.
.
ba
ba
−
−

11. b. 32
2
1
3
2
.
.
yx
yx
−
−
5. Diketahui segitiga ABC sama kaki dengan AB = AC = 28 dan BC = 8.
Tentukan :
a. tinggi segitiga dari titik sudut A
b. Luas segitiga tersebut
D. MERASIONALKAN PENYEBUT
Contoh : Rasionalkan penyebutnya
1. 23
2
26
2
2
.
2
6
2
6
===
2. )25.(2
3
)25.(6
25
)25.(6
25
25
.
25
6
25
6
−=
−
=
−
−
=
−
−
+
=
+
E. PERSAMAAN EKSPONEN
1. Jika
pxf
aa =)(
maka berlaku f(x) = p ; 0≠a
2. Jika
)()( xgxf
aa = maka berlaku f(x) = g(x) ; 0≠a
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut :
a.
4
5
54
324
33
33
279
324
3)12.(2
12
=
=
=−
=
=
=
−
−
−
x
x
x
x
x
x

12. Jadi HP = { 4
5
}
b.
( )
2
2211
52026
2
5
1013
22
22
22
22
32
1
2
2
5
10
13
)520(
2
1
13
52013
4513
4
13
=
=
−=−
−=−
=
=
=
=






=
−
−
−
−
−−
−−−
−
−
x
x
xx
xx
x
x
x
x
xx
xx
x
x
Tugas III
1. Rasionalkan penyebutnya :
a. 532
12
−
b. 233
323
+
−
c. 23
1
22
1
+
2. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut :
a.
23
255 −+
= xx
b. 644 12
=+x

13. c.
3342
)25,0(16 −−+
= xx
d.
3 13
1
2
4
1 +
−
=




 x
x
F. LOGARITMA
Logaritma adalah kebalikan dari perpangkatan. Jadi apabila diketahui a
x
=b
maka x dapat ditentukan dengan logaritma yang berbentuk x =
a
log b
a : bilangan pokok logaritma dengan a > 0, a ≠ 1
b : Numerus , b > 0
Contoh :
* 2
5
= 32
2
log 32 = 5
* 3
-4
= 81
1 3
log 81
1
= - 4
Sifat-sifat logaritma
Bila a, b, c dan p bilangan real yang memiliki sifat a > 0, b > 0, p > 0 dan p
≠ 1 ,maka berlaku :
1.
p
log b = x ,maka p
x
= b
2.
p
log ab =
p
log a +
p
log b
3.
p
log b
a
=
p
log a -
p
log b
4.
p
log a
n
= n.
p
log a
5.
p
log a.
a
log b.
b
log c =
p
log c ; a ≠ 1, b ≠ 1
6.
a
log b = a
b
p
p
log
log

14. 7.
p
log x = px
log
1
; x ≠ 1
8. xa xa
=log
9. b
m
n
b anam
log.log =
10.
p
log 1 = 0
11.
p
log p = 1
12.
p
log p
n
= n
Contoh :
1. Sederhanakan :
a.
2
log 4 –
2
log 6 +
2
log 12 =
2
log 6
12.4
=
2
log 8 = 3
b.
3
log 4.
2
log 125.
5
log 81 =
3
log 2
2
.
2
log 5
3
.
5
log 3
4
= 2.
3
log 2. 3.
2
log 5. 4.
5
log 3
= 2.3.4.
3
log 2.
2
log 5.
5
log 3
= 24.
3
log 3
= 24
c. =3log6
36 936 9log36
=
d. 25log4log5log
100log
1
10log
1
5log 10010
254
++=++
= log 5 + log 4 + log 5
= log 100
= 10

15. 2. Diketahui
2
log 3 = a dan
3
log 5 = b
Nyatakan dengan a dan b bentuk-bentuk berikut :
a.
16
log 3 = a
4
1
3log.
4
1
3log 224
==
b.
9
log 32 = a2
5
3log
1
.
2
5
2log.
2
5
2log 2
3532
===
Tugas IV
1. Tentukan nilai dari :
a.
3
log1/27
b. 3
1
log9
2. Sederhanakan :
a. 2
1
log7log84log 666
+−
b. 64log
4
1
log8log 4162
++
c. 6log.27log.25log 5363
3. Sederhanakan :
a. 6log
18log3log22log ++
b. )332log()232log( −++
4. Diketahui
2
log 3 = x dan
5
log 2= y
Nyatakan dengan xdan y bentuk-bentuk berikut :
a.
5
log 15

16. b.
2
log 45
c.
18
log 20
BAB III PENUTUP
Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes untuk
menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan
memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda
berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.

17. DAFTAR PUSTAKA
Tim Matematika SMA, 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X,
Jakarta :
PT. Galaxy Puspa Mega.
Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X, Jakarta :
Penerbit Erlangga.
MGMP Matematika Kota Semarang, 2007. LKS Matematika SMA / MA,
Semarang : CV. Jabbaar Setia.