обусловленность матриц

1. Обусловленность матриц
Введем в линейном пространстве Rn
n-мерных векторов x=(x1, x2, …xn) двумя
способами
1 1
1/2
2
max
( , )
j
j n
x x
x
x x x
 
 
 

Для которых норма матрицы А определяется как
1 1
1
1/2
2
2
, 1
max
n
ij
i n
j
n
ij
i j
A a
A a
 



 
  
 


Рассмотрим СЛАУ Ax = b
где 0; 0.dctA b 
погрешность вычислений можно интегрировать как погрешность первой части
А(x+r)=b+η η≠0
Ar=η→r=A-1
η
1
1/
( )
/
Ar x b r Ax
A A A
b x x


  


      
это отношение относительной погрешности решения относительной погрешности правой
части.
Величина
1
( )A A A 
 
называется мерой обусловленности матрицы А. Она равна максимально
возможному коэффициенту усиления относительной погрешности.
Если v(A) большая, то матрица (система) называется плохо обусловленной и
хорошо обусловленной в противном случае.
Рассмотрим систему где b=(-1,…-1,1)
1 1 1... 1
0 1 1... 1
det 1
....................
0 0 0... 1
A A
   
 
   
 
 
 
Решение (0,…0, 1)

2. Допустим, была допущена погрешность 4 1x  
Тогда
1 2 3 4
2 3 4
4 1 4
4
... 0
... 0
0
.
r r r r
r r r
r r
r 

   
  
 

Откуда
4
4 1
4 2
4 2
1
2
..............
2
r
r
r
r











2
, 2 , 1; ; 1n
r x b  
   
Тогда
1 2
100 30 1 27
/
( ) , , 2
/
102 ( ) 2 10 , 102 , 10
nr x
A A A
b
n A A A



 

  
    