Este documento introduce conceptos básicos sobre vectores en n dimensiones como definición, igualdad, operaciones, magnitud, vectores unitarios, vectores ortogonales, vectores ortonormales y combinación lineal. Explica cómo definir y operar con vectores en IRn, calcular su norma, determinar si son ortogonales o ortonormales, y expresar un vector como combinación lineal de otros.

1. Moisés Villena Muñoz Vectores en n
IRIRIR ,,, 32

309
12
12.1 DEFINICIÓN
12.2 IGUALDAD
12.3 OPERACIONES
12.4 MAGNITUD
12.5 VECTORES UNITARIOS
12.6 VECTORES ORTOGONALES
12.7 VECTORES ORTONORMALES
12.8 COMBINACIÓN LINEAL
Los pares ordenados, que ya se han tratado, son los que llamaremos vectores de
2
IR . Pero el interés ahora es ser más generales.

2. Moisés Villena Muñoz Vectores en n
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OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Defina vectores en IR², IR³, ... IRn.
 Opere (sume, reste, multiplique por escalarares) Vectores en IR², IR³, ... IRn
 Defina norma de un vector, vectores unitarios.
 Obtenga un vector unitario a partir de un vector dado.
 Exprese un vector en combinación lineal de otros vectores dados.
 Defina vectores ortogonales.
 Determine si dos vectores son ortogonales o no.
12.1 DEFINICIÓN
Los vectores en 2
IR , 3
IR ,…, n
IR , son conjuntos ordenados de
números reales de:
• 2 componentes: →),( yx Par ordenado. Vector en
2
IR .
• 3 componentes: →),,( zyx Vector en
3
IR .
• 4 componentes: →),,,( 4321 xxxx Vector en
4
IR .
Y así,
• " n" componentes: →),,,,( 321 nxxxx  Vector en
n
IR .
12.2 IGUALDAD
Sean ( )nxxxxV ,,,, 3211 = y ( )nyyyyV ,,,, 3212 =
vectores de n
IR . Entonces 21 VV = , si y sólo si:
( ) ( ) ( ) ( )nn yxyxyxyx =∧∧=∧=∧= 332211
12.3 OPERACIONES
12.3.1. SUMA Y RESTA
Sean ( )nxxxxV ,,,, 3211 = y ( )nyyyyV ,,,, 3212 =
vectores de n
IR . Entonces:
=+ 21 VV ( )nn yxyxyxyx ++++ ,,,, 332211 
=− 21 VV ( )nn yxyxyxyx −−−− ,,,, 332211 
Ejemplo
Sean ( )1,2,51 −=V y ( )2,0,32 −=V , dos vectores de 3
IR , hallar 21 VV + y
21 VV −
SOLUCIÓN:

3. Moisés Villena Muñoz Vectores en n
IRIRIR ,,, 32

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Sumando algebraicamente las respectivas componentes tenemos:
( ))2(1,02,3521 −+++−=+VV )1,2,2( −−=
( ) ( )3,2,8)2(1,02,3521 −=−−−−−=−VV
12.3.1.1. Propiedades
Sean 321 ,, VVV vectores de n
IR , entonces:
1. =+ 21 VV 12 VV +
2. ( ) ( ) 321321 VVVVVV ++=++
3. 11 0 VV =+ , donde ( ),0,0,00 = .
4. ( ) 011 =−+ VV
12.3.2. MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR
Sea IR∈α y sea ( )nxxxxV ,,,, 321 = un vector de
n
IR . Entonces:
( )nxxxxV ,,,, 321 α=α
( )nxxxxV αααα=α ,,,, 321 
Ejemplo
Sea ( )1,2,5−=V un vector de 3
IR , hallar V3
RESOLUCIÓN:
( )
( )3,6,153
1,2,533
−=
−=
V
V
12.3.2.1. Propiedades
Sean 21,VV vectores de n
IR y IR∈βα, , entonces:
1. ( ) 2121 VVVV α+α=+α
2. ( )( ) ( ) ( )111 VVV αβ=βα=αβ
Ejemplo
Sean 1V y 2V dos vectores de 3
IR tales que: ( )2,0,31 −=V y )1,2,5(2 −=V , Hallar
el vector 21 32 VVV −=
SOLUCIÓN:
( ) ( )
( )7,6,21
3,6,154,0,6
32 21
−−=
−−−=
−=
V
V
VVV

4. Moisés Villena Muñoz Vectores en n
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Ejercicio Propuesto 12.1
Sean ( ) ( ) ( )1,4,2,5,2,3,3,2,1 −=−=−= wvu . Calcular:
a) vu − c) vwwu −−−
b) wv 53 + d) wvu 742 +−
12.3.3. PRODUCTO PUNTO (PRODUCTO ESCALAR)
Sean ( )nxxxxV ,,,, 3211 = y ( )nyyyyV ,,,, 3212 =
vectores de n
IR . Entonces el producto punto
de 1V y 2V , denotado como 21 VV • , se define
como:
( ) ( )
IRyxyxyxyxVV
yyyyxxxxVV
nn
nn
∈++++=•
•⋅=•


33121121
32132121 ,,,,,,,,
Note que el resultado del producto punto es un número real.
Ejemplo 1
Hallar 21 VV • para ( )2,0,31 −=V y )1,2,5(2 −=V .
SOLUCIÓN:
17
2015
)1)(2()2)(0()5)(3(
)1,2,5()2,0,3(
21
21
21
21
−=•
−+−=•
−++−=•
−•−=•
VV
VV
VV
VV
Ejemplo 2
Sean 1V y 2V dos vectores de 4
IR tales que: ( )1,3,1,21 −−=V y ( )2,1,0,32 −=V .
Hallar 21 VV •
SOLUCIÖN:
11
)2)(1()1)(3()0)(1()3)(2(
21
21
−=•
−+−++−=•
VV
VV
12.3.3.1. Propiedades
Sean 321 ,, VVV vectores de n
IR , entonces:
1. 1221 VVVV •=•

5. Moisés Villena Muñoz Vectores en n
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313
2. ( ) 3121321 VVVVVVV •+•=+•
3. )()()( 212121 VVVVVV ααα •=•=⋅• , donde IR∈α
Ejercicio Propuesto 12.2
1. Dados los vectores: V1=(1, 2, -1) y V2=(2, 0, 1 ), el resultado de la operación:
(3V1-2V2).(V2-2V1) es:
a) 13 b) -39 c) -68 d) 39 e) -13
12.4 MAGNITUD (NORMA) DE UN VECTOR
Si ( ) n
n IRxxxxV ∈= ,,,, 321  , entonces la NORMA del
vector V , denotada V , es:
22
3
2
2
2
1 nxxxxV ++++= 
Ejemplo
La norma del vector )3,2,1(=V sería:
14
321 222
=
++=
V
V
Veamos que sucede si realizamos el producto punto de un vector
V consigo mismo
( ) ( )nn xxxxxxxxVV ,,,,,,,, 321321  •=•
22
3
2
2
2
1 nxxxxVV ++++=• 
2
VVV =•
12.5 VECTORES UNITARIOS
Un vector u es UNITARIO si y sólo sí su
norma es igual a 1, es decir: 1=u
Un vector cualquiera V puede ser expresado de la siguiente
forma uVV = por tanto
V
V
u =
Ejemplo
Hallar un vector unitario u para el vector )3,2,1(=V

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SOLUCIÓN:
Aplicando la fórmula
V
V
u = tenemos:






=
=
=
14
3
,
14
2
,
14
1
)3,2,1(
14
1
14
)3,2,1(
u
u
u
comprobando
1
14
14
14
9
14
4
14
1
=
=
++=
u
u
u
12.6 VECTORES ORTOGONALES
Sean 21,VV dos vectores de n
IR . Entonces 1V
y 2V son ortogonales si y sólo si: 021 =•VV
Ejemplo
Los vectores )1,2,1(1 −=V y )1,2,3(2 −=V son ortogonales, porque
0)1)(1()2)(2()3)(1(21 =−++−=•VV
Este concepto puede se utilizado en problemas de diseño, como el
siguiente:
Ejercicio resuelto
Dados los vectores ( )3,2,12
1 −= aV y ( )24
5,,22 aV −−= , encontrar los valores
de "a" para que sean ortogonales.
SOLUCIÓN:
Para que 21 VV ∧ sean ortogonales se debe cumplir que 021 =•VV , entonces
( ) 8
52
24
52
21 222),,2(3,2,1 +−+−=−−•−=• aaaaVV por lo tanto
4
3
4
7
0211616
022
2
8
212
=∨−=
=−+
=+−−
aa
aa
aa
Ejercicios Propuestos 12.3
1. Sean los vectores ( ) ( )2,1,4,3,2,1 −=−= BA y ( )3,0,2 −=C encontrar el valor de t , tal que tBA +
sea ortogonal a C.

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2. Si se tienen los vectores ( )0,2,11 −=V y ( )3,2,12 −−= abV , si 1V y 2V son ortogonales y






−−−=
2
3
,1,221 aaVV , entonces los valores de a y b , respectivamente son:.
a) 2 y
2
3
b)
2
1 y -2 c) -1 y
2
1
d) -
2
1
y -1 e) -
2
1
y 1
12.7 VECTORES ORTONORMALES
Sean nVVV ,...,, 21 vectores de n
IR . Entonces 1V ,
2V ,…, nV son ORTONORMALES si y sólo si:



≠=•
==•
jicuandoVV
jicuandoVV
ii
ii
0
1
Es decir, un conjunto de vectores es ortonormal si y sólo si está
constituido por vectores que son unitarios y ortogonales a la vez.
Ejemplo
Los vectores )1,0,0(ˆ,)0,1,0(ˆ,)0,0,1(ˆ === kji son ortonormales, porque
0=•=•=• kjkiji y además 1=== kji
12.8 COMBINACIÓN LINEAL
Algo interesante ocurre cuando descomponemos al vector
( )zyxV ,,= de la siguiente manera:
)1,0,0()0,1,0()0,0,1( zyxV ++=
kzjyixV ++=
Es decir que el vector ( )3,5,2 −=V también se lo puede denotar de la forma kjiV 352 +−=
Sean nVVVV ,,,, 321  vectores de n
IR , entonces
una combinación lineal de estos vectores es
una expresión de la forma:
nnVaVaVaVa ++++ 332211
donde IRaaaa n ∈,...,,, 321

8. Moisés Villena Muñoz Vectores en n
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Ejercicios propuestos 12.4
1. Sean los vectores ( ) ( ) ( )7,1,4,1,3,2,0,3,1 321 −−=== VVV , entonces los valores de a y b para que
la combinación 213 bVaVV += sea verdadera:
a) 7.
3
20 == ba d)
3
13.
3
14 =−= ba
b) 7.18 −== ba e) Elija esta opción si a y b no existe
c) 7.
3
20 −== ba
2. Dados los vectores ( ) ( ) ( ) ( )3,5,2;7,1,0;0,2,2;2,2,1 321 −==−=−= VVVV , entonces
para que se cumpla que VVkVkVk =++ 332211 ; el valor de 321 kkk ++ debe ser:
a) -2 b) -5 c) -1 d) 5 e) 2
Misceláneos
1. Sean los vectores de 3
R , ( )1,2,11 −=v , ( )1,2,12 −−=v y ( )0,1,03 −=v . Entonces el valor de
( ) ( )[ ]321
2
221 22 vvvvvv •+−•
a) ( )0,24,0 − b)-24 c) ( )0,0,24 d)12 e)24
2. Sean 1V , 2V vectores de 2
R , tales que: ( )2,51 =V y ( )2,72 −=V . Entonces un vector 3V tal que:
3831 =•VV y 3423 =•VV es:
a) ( )6,43 =V b) ( )9,63 =V c) ( )4,63 =V
d) ( )0,63 =V e) ( )9,43 =V
3. Sean 21,VV y 3V vectores de 3
R tales que: ( )2,1,31 =V , ( )1,1,22 −=V y 213 2VbVV += .
Entonces el VALOR de “ b ” para que 3V sea ortogonal a 2V es:
a)
7
5− b)
7
2− c)
5
12 d)
12
5− e)
5
12−
4. Sea los vectores de: ( )1,3,1 −= kkV y ( )kV ,1,32 −= . Determine los valores de k tales que 1V y
2V sean ORTOGONALES.
a)3 y 1 b)3 y -1 c)-3 y -1 d)-3 y 1 e)0 y -3
5. Dados los vectores 5,1,46,4,32,4,3 321 −=−=−−= VVV . Halle un vector 4V tal que
4321 VVVV +++ = 5,4,1−
a) 8,3,5 −−− b) 8,3,5 −− c) 8,3,5 −−
d) 8,3,5 −− e) 6,3,5 −−−
6. Sean 1V , 2V y 3V vectores de 3
IR tales que: ( )1,2,31 −=V , ( )0,1,52 −=V y ( )0,4.03 =V .
Entonces al efectuar la operación ( ) ( ) 2
33221
2
1 2643 VVVVVV −•−•− se obtiene como
resultado:
a)54 b)110 c)84 d)184 e)52
7. Sean los vectores de 3
R , ( )4,3,21 −=V , ( )1,3,22 −=V , ( )2,8,43 =V , ( )0,0,14 =V . Entonces un
vector V tal que 4321 2 VVVVV =+−− , es:
a) ( )4,17,7 −=V b) ( )9,8,6=V c) ( )9,8,6=V
d) ( )4,17,7−=V e) ( )4,17,7 −−=V
8. Sean 1V y 2V vectores en 3
IR , tales que 1,1,21 =V y 1,1,12 =V . Una de las siguientes
proposiciones es VERDADERA identifíquela:
a) 1V y 2V son ortogonales.
b) 1V y 2V son paralelos.

9. Moisés Villena Muñoz Vectores en n
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c) 2332 12 =− VV .
d) 1,0,132 12 −=− VV
e) 332 12 =− VV .
9. La SUMA DE LOS VALORES de " a " que hacen que los vectores 1,3,11 aaV −= y 3,1,2 −= aV
SEAN ORTOGONALES, es:
a)-3 b)-1 c)-2 d) 0 e) 3