3. ESTABILIDAD DISCOS DE ROTACIÓN
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FATIGA - RESISTENCIA DE LOS MATERIALES A ESFUERZOS CICLICOS
La mayoría de los elementos de máquinas, como así también las estructuras civiles solici-
tadas por cargas de intensidad variable, están expuestas durante su vida útil a esfuerzos va-
riables que se repiten un gran número de veces (ciclos).
Ejemplo 1: las barras, cables y vigas, como así también las
uniones por bulones o remaches y soldaduras que confor-
man la estructura de un puente vial, soportan cargas va-
riables que generan a su vez tensiones que varían de un
modo particular relacionado con esas variaciones aleato-
rias.
Ejemplo 2: un eje, fig. 1, que soporta las ruedas de un
vagón de ferrocarril. El tramo central está sometido a la
acción de un momento flector constante de intensidad
M=P.c, por lo que en una determinada fibra, se generan
tensiones normales que cambiarán continuamente a me-
dida que el eje gira, dependiendo del valor de la coorde-
nada “y”, de la fibra, la que varía de modo senoidal con el
ángulo (.t) de giro del conjunto eje y ruedas. Según la
fórmula de Navier resulta entonces:
x x
M P c d
y sen( t)
I I 2
Siendo Ix el momento de inercia de la sección transversal, como P, c, Ix, d/2=r: son cons-
tantes, entonces variará de modo sinusoidal.
Consecuencia de las cargas variables
Cualquiera componente estructural se puede romper luego de cierto período de servicio,
sin que las tensiones alcancen el valor de la tensión de rotura, e inclusive, ni siquiera el límite
de elasticidad de ese mismo material ensayado con carga estática.
Se comprueba experimentalmente, en los componentes sometidos a esfuerzos variables,
que el valor de la tensión necesaria para producir la rotura es tanto menor cuanto mayor sea
el número de ciclos de tensión al que se los somete.
Concepto de fatiga
Al fenómeno de decrecimiento de la resistencia del material con
los esfuerzos variables con el tiempo, se lo denomina “fatiga”.
A los ensayos de materiales con este tipo de carga se los denomi-
na “ensayos de fatiga”.
Características fundamentales de un ciclo
La ley de variación de la tensión y de la deformación en función del
tiempo puede tener diversas formas, como por ejemplo la que mues-
tra la fig. 2, sin embargo, para el estudio se puede utilizar una sinu-
soide cuyo máximo y mínimo coincidan con los del ciclo en estudio,
fig. 3.
máx
mín
t
máx
a
mín
fig. 2
fig. 3
m
t
c L c
A B
d
C D
P P
P Pdurmiente
y y
.t
.t
d
fig. 1
r
vagón
4. ESTABILIDAD DISCOS DE ROTACIÓN
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Denominaciones (ver Bibliografía # 6)
En la fig. 3 es:
máx: tensión superior (máxima en valor absoluto)
mín: tensión inferior (mínima en valor absoluto)
2
minmax
a [1 a] amplitud del ciclo.
2
minmax
m [1 b] tensión media.
max
min
r [2] asimetría del ciclo. ( mín y máx con signo)
ur: resistencia a esfuerzo intermitente o repetido (ver tipos de ciclos).
w: resistencia a esfuerzo alternativo puro (ver tipos de ciclos).
B: tensión de rotura con carga estática.
Es entonces: mmáx a [3 a] mmín a [3 b]
Un ciclo queda definido si se conoce por ejemplo:
a) máx y a
b) máx y el coeficiente “r”
c) m y la amplitud a
Superposición de dos tipos de carga:
Siendo: mmáx a mmín a
Entonces, todo esfuerzo variable periódicamente en función del tiempo puede ser conside-
rado como la superposición de un esfuerzo constante (carga estática) m con uno alternativo
puro de amplitud a, como muestra la fig. 4
fig. 4
+ =
t t t
Diversos tipos de ciclos.
Según el modo de actuar las cargas se generan infinidad de posibilidades, de las cuales,
en la fig. 5 se muestran algunas a modo de ejemplos, indicando las características principa-
les para cada ciclo.
5. ESTABILIDAD DISCOS DE ROTACIÓN
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fig. 5
mín = - máx
m=0 r = -1
máx
a
mín
máx
máx
máx
máx
máx
máxmínm
m
m
m
m
m
a
a
a
a
a
mín
mín
mín
mín
mín
máxmínm
a=0 r = 1
r < 0
r < 0
r > 0
mín= 0 r =0
máxmínm
a= 0 r = 1
máxmínm
r > 0
Denominación DenominaciónEsquema Esquema
ALTERNATIVO
PURO
ALTERNATIVO
ASIMETRICO
INTERMITENTE
ó REPETIDO
PULSATORIO
PULSATORIO
ESTATICO
de tracción
ESTATICO
de compresión
ALTERNATIVO
ASIMETRICO
t
t
t
t
tt
t
t
Límite de resistencia a fatiga ó “Endurance Límit” (límite de duración)
Experiencia de Wöhler
Ensayando probetas de iguales
dimensiones, con tensiones que
varían de a-cuerdo a un ciclo alter-
nativo puro y con diferente intensi-
dad para cada probeta, se obtie-
nen resultados que se pueden re-
presentar en un diagrama (, t) o
en uno (,N), siendo t el tiempo ó
N el número de ciclos que pro-
duce la falla.
Por cada probeta que se en-
saya, se consigna en el eje de or-
denadas el valor de la tensión
máxima del ciclo que se aplicó y
en el eje de abscisas se indica el
tiempo t o el número de ciclos N
para el que se produce la falla y
con esas dos coordenadas se marca cada punto en el diagrama, fig. 6a.
Ese proceso se repite para cada nueva probeta disminuyendo para cada una la intensidad
de la tensión máxima aplicada.
Los ensayos se llevan a cabo con probetas normalizadas tanto en sus dimensiones como
también respecto al estado de la superficie (pulidas).
N1 N N3 N4 N 52 N (número de ciclos)
N (número de ciclos con escala logarítmica)
w
w
fig. 6a
fig. 6b
6. ESTABILIDAD DISCOS DE ROTACIÓN
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Como el número de ciclos que produce la rotura aumenta demasiado rápido al disminuir la
tensión, entonces puede ser conveniente utilizar una escala logarítmica con lo que se logra
un diagrama mas compacto que se reduce aproximadamente a dos rectas, fig. 6b.
Estos ensayos fueron realizados originalmente por Wöhler para solicitación alternativa pu-
ra y a las curvas obtenidas se los conoce con el nombre de curvas de Wöhler.
Límite para metales ferrosos
Para un número de ciclos relativamente pequeño, la pendiente del diagrama no logarítmi-
co es pronunciada, pero a medida que la tensión decrece y a partir de un determinado núme-
ro de ciclos, la curva tiende a hacerse horizontal y finalmente la tensión correspondiente
puede ser resistida indefinidamente. A la tensión alternativa que ya no produce la destrucción
de la probeta se la denomina “resistencia a la fatiga”, “resistencia a esfuerzos alternativos” o
en inglés “Endurance Límit”. Para metales ferrosos corrientes ello ocurre aproximadamente
para 106
a 107
ciclos.
Límite Convencional para metales no ferrosos y aceros templados de gran dureza
El diagrama de Wöhler para dichos metales no se hace totalmente horizontal manteniendo
una pendiente muy pequeña. Se introduce entonces el concepto de Límite convencional de
fatiga que corresponde a la tensión para la cual la probeta aguanta 108
(100.000.000) ciclos
sin destruirse.
Dispersión de los resultados: debido a falta de uniformidad inevitable en el proceso de pro-
ducción del material y en la confección de las probetas, los resultados de los ensayos de fati-
ga presentan una dispersión considerable que gráficamente se traduce en una banda de dis-
persión en lugar de una línea como antes se explicó. Se ha comprobado que dicha disper-
sión es una característica inherente al material, no dependiendo de la máquina ni a defectos
en la técnica de ensayo. No se debe entonces considerar al límite de fatiga como un valor fijo
exactamente determinado, sino considerar a la curva de Wöhler como una familia de curvas
(banda de dispersión) donde cada una representa una probabilidad de rotura. La fig. 7 fue
obtenida de la Bibliografía # 3).
0,6
0,5
0,4
0,8
0,7
0,9
1,0
103 104 105 106 107
2 3 4 5 6789 2 3 4 5 6789 2 3 4 5 6789 2 3 4 5 6789
N° de ciclos
Limitedefatiga/tensiónderotura
probetas que no fallaron
fig. 7
7. ESTABILIDAD DISCOS DE ROTACIÓN
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Por lo tanto para definir la curva de Wöhler de
modo adecuado, es recomendable ensayar
unos pocos juegos de probetas (cada juego con-
formado por muchas probetas) con un de-
terminado nivel de tensión cada juego, calcu-
lando para cada nivel de tensión y por medios
estadísticos, valores representativos que per-
mitan trazar la curva de fatiga. La fig. 8 se ob-
tuvo de la Bibliografía # 4.
Fórmulas empíricas
Para evitar la realización de ensayos de fatiga, se ha intentado relacionar al límite de fatiga
con otras características mecánicas del material más fáciles de determinar, como la tensión
de rotura con carga estática B.
Por ejemplo, las tensiones B , ur y w están aproximadamente en la relación:
2 : 1,2 : 1
Algunos datos se consignan en tablas como la siguiente:
Material Esfuerzo alternativo puro de:
Flexión (w) Torsión (w)
Acero común ( 0,4 a 0,5 ) B 0,56 w
Acero de alta resistencia 4000 + B/6 kgf/cm2
Material frágil 0,8 w
Metales no ferrosos ( 0,25 a 0,5 ) B ( 0,2 a 0,3 ) B
La gráfica de la fig. 9, con datos obtenidos de la bibliografía #3, muestra la relación entre
los límites de rotura y los límites de fatiga para metales ferrosos, de acuerdo a grupos de di-
chos metales, con y sin concentradores de tensión.
20 40 60 80 100 120 140 160
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 kgf/mm2
Aceros forjados (sin concentr. de tensión)
Fundiciones de hierro y acero (sin concentr. de tensión)
Aceros forjados y aceros fund. (c/conc. de tensión)
LÍMITES DE FATIGA PARA HIERROS Y ACEROS DE DIVERSAS RESISTENCIAS
Resistencia última
Límitedefatiga
kgf/mm2
fig. 9
B
w
103 104 105 106 107 108
90
80
70
60
50
40
30
Miles de lb/plg
N° de ciclos
2
fig. 8
8. ESTABILIDAD DISCOS DE ROTACIÓN
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Influencia del tipo de solicitación (axial, flexión, torsión):
El tipo de solicitación modifica el valor del límite de fatiga o resistencia a fatiga. La fig. 10
sintetiza dichas influencias.
Flexión: el límite de fatiga se suele determinar sobre probetas sometidas a flexión alternativa
pura.
Axial: se ha comprobado que las mismas probetas sometidas a esfuerzo axial alternativo
puro, arroja valores un 15% por debajo de los correspondientes a flexión.
Torsión: en el caso de torsión alternativa pura se obtienen tensiones de corte w un 42% por
debajo de la tensión w correspondiente a flexión alternativa pura.
En la gráfica se muestran las curvas de
Wöhler para ensayos de probetas de acero.
Se observa que para un número reducido
de ciclos (N=1000) las fallas para ciclo al-
ternativo puro en solicitación axial y flexión,
se producen para tensiones del orden del
90% de B correspondiente a rotura con
carga estática, mientras que para torsión
alternativa w es del orden del 90% de B.
Todas las gráficas decrecen siguiendo una
recta que va desde la resistencia para
1.000 ciclos hasta la resistencia para
1.000.000 ciclos.
Construcción de curvas para aceros
En forma práctica se puede construir el
diagrama (;N) en escala logarítmica,
uniendo con una recta los puntos corres-
pondientes a las resistencias para 1000 y 1.000.000 de ciclos. De la observación de dichos
resultados se puede aceptar con suficiente aproximación que la resistencia a esfuerzos alter-
nativos para flexión, es del orden del 50% de la tensión de rotura para carga estática:
0,5w B
Entonces, para los aceros puede trazarse el diagrama de resistencia a fatiga contando so-
lamente con la resistencia a rotura B del material en el ensayo con carga estática.
Además, las cargas aplicadas con menos de 1000 ciclos pueden considerarse como car-
gas estáticas.
Metales no ferrosos, “límite convencional de fatiga”
Se explicó que para los metales y aleaciones no ferrosas el diagrama ( ; N) no se hace
horizontal y consecuentemente no presenta en principio un límite de fatiga definido; en con-
secuencia debe adoptarse un límite convencional de fatiga. Para el aluminio y el magnesio se
fija en 100.000.000 (108
) ciclos y es del orden de 0,3 a 0,4 del límite de rotura a tracción B.
Factores que modifican el Límite de Fatiga, consideraciones generales
Se advierte que los valores dados deben tomarse sólo como orientativos, pues el límite de
fatiga no depende solamente de las propiedades del material y del tipo de solicitación, sino
también de otros factores como por ejemplo:
1,0
0,9
0,8
0.7
0.6
0,5
0,4
0,3
0,2
N (número de ciclos)10 10 10 1010
3 4 5 6 7
1,0
0,85
0,58
ACEROS0,74
0,43
0,29
(escala logarítmica)
B(axial)
w ; w
w(flexión)
w(flexión)
w(axial)
w(torsión)
fig. 10
w ; w
9. ESTABILIDAD DISCOS DE ROTACIÓN
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1. Entalladuras, forma del componente estructural, etc.
2. Estado y naturaleza de la superficie.
3. Dimensiones absolutas de la probeta.
4. Procedimiento de ensayo.
5. Frecuencia de las cargas.
6. Temperatura a que está sometido.
7. Ataques químicos (corrosión, oxidación, etc).
En un primer ordenamiento se puede decir que el límite de fatiga varía con la naturaleza
de los esfuerzos (axial, flexión, torsión) y con el tipo de solicitación periódica (alternativo puro,
intermitente, pulsatorio, etc.), existiendo para un determinado material, tantos límites como
combinaciones de ellos sea posible.
Rotura por fatiga
Origen y proceso de la rotura: el comienzo de una rotura
por fatiga tiene un carácter puramente local. En un punto
donde las tensiones son elevadas como consecuencia
de un concentrador de tensión originado ya sea por im-
perfecciones estructurales (se refiere a la estructura cris-
talina del metal) o motivos constructivos (entallas mal
logradas, o concentradores de tensión en general), apa-
rece una fisura generalmente imperceptible. Una vez
formada, la fisura se extiende progresivamente a causa
de la concentración de tensiones existente en sus ex-
tremos, hasta que cuando la sección resistente se ha
reducido considerablemente, el componente no puede
soportar el esfuerzo aplicado y sobreviene la rotura por
falta de resistencia.
Aspecto: La fractura que se presenta en componentes
estructurales sometidos a cargas variables, difiere con-
siderablemente de las producidas por esfuerzos estáti-
cos, para los cuales la superficie de la fractura presenta
un aspecto fibroso si el material es dúctil, ó cristalino si
el material es frágil.
La superficie de la fractura de una rotura por fatiga
presenta generalmente dos zonas bien diferenciadas
(fig. 11). Una zona es de textura lisa, mate y suave al
tacto, debido a que el desarrollo progresivo de la fisura
origina en la superficie de contacto (en la grieta) interac-
ciones de roce que “suavizan” a ambas superficies en
contacto, y otra zona con textura de granos cristalinos y
puntiagudos, limpia y brillante, debido a la rotura brusca
final, con un aspecto similar al que presenta la fractura
de un material frágil, como la fundición de hierro, al rom-
per por carga estática.
Líneas de detención: en la zona lisa y mate de la fractu-
ra se suelen presentar líneas más o menos paralelas que evidencian que el proceso de la
grieta se desarrolló en varios períodos de marcha y detención, que es el caso de la mayoría
de los componentes de máquinas. Esas líneas denominadas “de detención” o “de descanso”
corresponden a la capacidad del material de desarrollar deformaciones plásticas en el fondo
defecto
líneas de detención
granulado
liso y mate
fig. 11
inicial
10. ESTABILIDAD DISCOS DE ROTACIÓN
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de la grieta (donde está el pico de tensión) en los períodos en que la máquina está detenida.
Dichas deformaciones no alcanzan a desarrollarse cuando la tensión varía rápidamente en
los períodos en que la máquina está en funcionamiento. Estas líneas son particularmente
claras en los materiales dúctiles y no aparecen normalmente en las probetas ensayadas en
laboratorio, ya que en esos ensayos se hace trabajar a la probeta sin detenciones hasta que
se produce la rotura.
Ejemplos
La primera fotografía de la fig 11 corresponde a un riel ferroviario que trabaja a flexión va-
riable, producida por las ruedas del tren que le aplican una fuerza concentrada que se des-
plaza y se repite en cada lugar (se trata de una viga continua apoyada sobre durmientes co-
locados a cierta distancia uno del otro). Se observa una zona interior donde las imperfeccio-
nes estructurales dieron origen a la falla que luego se propagó hasta que la sección se debi-
litó de tal manera que ya no resistió el esfuerzo y sobrevino la rotura.
La segunda fotografía de la fig 11 corresponde al eje de una máquina sometido a flexión
alternativa, para el cual la falla se originó en la periferia probablemente por una marca de
mecanizado (falla constructiva).
Aspecto de las fracturas según el tipo de solicitación
Fractura por flexión:
Como antes se explicó, la fractura por fatiga presenta dos zonas bien diferenciadas. La
forma, tamaño y localización de esas zonas depende de la magnitud y dirección de las car-
gas impuestas y de la eventual presencia de concentrador de tensión.
Fractura por torsión:
Son muy distintas a las producidas por flexión teniendo dos maneras de producirse: a) en
los planos con máxima tensión de
corte, b) en los planos con máxima
tensión de tracción.
Se sabe que las máximas ten-
siones de corte en torsión se pro-
ducen en dirección paralela y nor-
mal al eje del componente (árbol
de transmisión) y que la máxima
tensión normal ocurre según héli-
ces a 45° respecto a los de máxi-
ma tensión de corte. Por tal motivo
los dos modos básicos de fractura
son a) longitudinal o transversal
debido a corte. b) en planos dis-
puestos a 45° respecto al eje del
componente, donde ocurre la
máxima tensión de tracción.
Sin concentrador de tensiones:
La máximas tensiones de corte y
normal son de igual valor. Sin em-
bargo si se trata de acero de bajo
contenido de carbono la resistencia a las tensiones de corte es menor y consecuentemente
fallará por corte. Suelen prevalecer la falla en planos perpendiculares al eje de la barra cuan-
do las líneas del maquinado producen cierta concentración de tensiones.
FLEXION
45°
Por tracción
Por corte
Por corte
TORSION
TORSION
TORSION
ALGUNOS MODOS DE FRACTURA SEGUN EL TIPO DE SOLICITACION
fig. 12
a 45°
transversal
longitudinal
11. ESTABILIDAD DISCOS DE ROTACIÓN
FATIGA_2011_d.doc - 14/11/2011 06:35:00 - 9 -
Con concentrador de tensiones:
Cuando existen concentradores de tensión como por ejemplo un agujero de pequeño diá-
metro practicado perpendicularmente al eje de la barra, la fractura generalmente se produce
en hélices a 45° por tensiones normales de tracción. Esto es debido a que la máxima tensión
de tracción en el borde del agujero
es del orden de 4 veces la tensión
nominal (ver concentración de ten-
siones para esfuerzo biaxial de trac-
ción y compresión provocados a 45°
en torsión de una barra con agujero),
mientras que las tensiones de corte
se mantienen prácticamente iguales.
Como la resistencia a tracción en el
acero es aproximadamente el doble
que la de corte (ya que las tensiones
de corte a 45°, en el ensayo a trac-
ción de una probeta, son la mitad de
las tensiones de tracción), la rotura
por tensiones normales en este caso
prevalece con respecto a las de corte
aunque se trate de material dúctil.
RESISTENCIA A FATIGA PARA TODOS LOS CICLOS.
REPRESENTACIONES GRAFICAS
Diagrama de HAIGH
En la práctica es posible realizar los en-
sayos de fatiga para cualquier tipo de ciclo.
Ello se consigue con las denominadas
máquinas “pulsadoras” que trabajan con
solicitación axial variable.
Fijando un valor constante para la tensión
media m, después de consecutivos ensa-
yos variando a se obtiene el valor de a
(amplitud), que el material es capaz de re-
sistir un número ilimitado de ciclos.
Si se representan los resultados en un
sistema de ejes coordenados, consignando m en abscisas y el correspondiente a en orde-
nadas, se obtienen una serie de puntos como se aprecia en la fig. 14.
De estos resultados Joseph Marín obtuvo ocho interpretaciones, de las cuales se conside-
rarán especialmente tres: la parábola de Gerber que une los puntos B y A, la recta de Go-
odman entre esos mismos puntos y la recta de Sodeberg que une los puntos B y D.
Diagramas simplificado: La recta AB determina una mayor seguridad eliminando gran parte
de la banda de dispersión de los resultados de los ensayos. Para construir este diagrama
simplificado sólo es necesario conocer el límite de resistencia a fatiga w para esfuerzo alter-
nativo puro y el límite de rotura B.
fig. 13
(a) Maxima tensión de tración
(b) Máxima tensión de corte
A
A Maxima tensión
de tración
Maxima tensión
de corte
A
A
Maxima tensión
de tración
Maxima tensión
de corte
SIN CONCENTRADOR CON CONCENTRADOR
(b)
(b)
(a)
(a) (a)
(a)
(b)
(b)
fig. 14
a
w
f B
m
SO
DERBERG
GERBER
GOODMAN
PT
D
B
O
A
DIAGRAMA DE HAIGH
Tracción
estática
Alternativo
puro
12. ESTABILIDAD DISCOS DE ROTACIÓN
FATIGA_2011_d.doc - 14/11/2011 06:35:00 - 10 -
No obstante, existen resultados de ensayos que quedan por debajo de la recta de Good-
man. En las aplicaciones prácticas y para el caso de cargas estáticas, resulta más lógico de-
finir la falla por el límite de fluencia f y no por el límite de rotura B.
Por tal motivo se han propuesto dos expresiones, una parabólica (que no está representa-
da) y otra recta, que vinculan al punto B representativo de w con el punto D representativo
de f.
La propuesta de ley lineal que está representada, se debe a Soderberg, siendo la más uti-
lizada y aconsejable en las aplicaciones prácticas.
El punto de trabajo P.T. del ciclo correspondiente a la pieza que se calcula, deberá situar-
se por debajo de la línea que se considere como límite de fatiga.
Expresiones de las distintas gráficas.
Parábola de Gerber:
2
1
a m
w B
Recta de Goodman: 1
a m
w B
Recta de Soderberg: 1
a m
w f
Diagrama de SMITH.
Distintos investigadores han propuesto diversos
diagramas para resumir los valores de las resisten-
cias a fatiga obtenidas mediante las curvas de
Wöhler, para coeficientes de asimetría de ciclo “r”
comprendidos entre los vales (-1) y (+1).
El más difundido es el “Diagrama de Smith”, el
que se muestra en la fig. 15.
Para construirlo se utilizan dos ejes coordenados ortogonales, consignando en abscisas el
valor de la tensión media m (punto M) y en ordenadas los valores de las tensiones superior
máx (punto P) e inferior mín (punto Q) que corresponden al límite de fatiga obtenido para esa
tensión m (probetas que soportaron un número ilimitado de ciclos). El punto R representa en
ordenadas al valor de m ya que corresponde a la semisuma de las otras dos ordenadas. La
recta que contiene a O y R está entonces inclinada a 45° y representa a las tensiones medias
m, mientras que RP y RQ corresponden a las amplitudes a. El ciclo correspondiente se
muestra con la sinusoide dibujada a la derecha.
Los puntos C y E representan los límites de rotura B “estática” para tracción y compre-
sión, para los cuales r=+1. Los puntos B, B´, D y D´ corresponden a los límites de fatiga para
los ciclos “intermitentes” de tracción y de compresión (ur) para los cuales r=0. Los puntos A
y A´ sobre el eje de ordenadas representan al ciclo “alternativo puro” con r= -1.
Para el rango intermedio entre D y O están representados los ciclos “alternativos asimétri-
cos” en los que predomina la compresión y para el rango comprendido entre O y B se repre-
sentan los ciclos “alternativos asimétricos” en los que predomina la tracción, en ambos casos
es -1< r <0. Para el rango entre E´ y D se representan los ciclos “pulsatorio de compresión”,
mientras que entre B y C´ están representados los ciclos “pulsatorio de tracción”, siendo en
ambos casos 0< r <1.
( DIAGRAMA DE SMITH )
A
B´
B C´
C
E
D
E´
D´
A´
O
P
R
Q
45°
INTERMITENTE
Intermitente
fig. 15
máx mín
m
Pulsatorio Alternativo Pulsatorio
asimetrico
MESTÁTICA
ESTÁTICA
ALTERN.PURO
13. ESTABILIDAD DISCOS DE ROTACIÓN
FATIGA_2011_d.doc - 14/11/2011 06:35:00 - 11 -
La zona más desfavorable de trabajo del material es la comprendida entre D y B donde
existe cambio de signo de las tensiones.
El diagrama de Smith representado corresponde a un acero común de construcción del ti-
po St 37, con 3700 kgf/cm2
de rotura, 2600 kgf/cm2
de fluencia y 1200 kgf/cm2
de resistencia
a la fatiga con ciclo alternativo puro. Para un acero de estas características, el diagrama re-
sulta aproximadamente simétrico con respecto al origen coordenado, no ocurriendo lo propio
con otros aceros.
Materiales con diagramas no simétricos
Algunos metales como la fundición de hierro presentan diagramas como el que se muestra
en la fig. 19, en el que la resistencia a fatiga es marcadamente mayor cuando la tensión me-
dia es de compresión.
En general los aceros presentan diagramas asimétricos, con menor diferencia (no más del
15%) entre las ramas con tensiones medias de tracción y de compresión.
Limitación por fluencia
Para el dimensionado por fatiga tanto de componentes es-
tructurales de obras civiles, como de elementos de máquinas
y mecanismos, la experiencia indica que no conviene que la
tensión superior sobrepase al límite de fluencia del material.
Por tal motivo en la práctica el diagrama de Smith resulta
modificado teniendo en cuenta esta última condición, ade-
cuándolo para que la amplitud de ciclo sea igual hacia arriba y
hacia abajo de la tensión media, líneas FN y NJ, como mues-
tra la fig. 16.
Trazando una línea horizontal por la ordenada correspon-
diente a f, esta cortará a la curva límite superior en el punto F y a la recta a 45° en el punto
N. Trazando por F una vertical, su intersección con la curva límite inferior define el punto J
que unido con el N completa la zona útil encerrada por el perímetro OAFNJA’O.
Diagrama simplificado
El diagrama de Smith está constituido por dos curvas, cuyo trazado exige la realización de
toda una serie de ensayos.
Sin embargo la reducida curvatura de ellas, hace que puedan ser reemplazadas por seg-
mentos de recta sin mayor error. Esto simplifica el trazado del diagrama como se verá a con-
tinuación, por cuanto sólo es necesario conocer ciertos puntos que corresponden a determi-
nadas formas de solicitación.
Como lo establecen numerosos investigadores, admitiendo que la tensión variable a co-
rrespondiente a la resistencia a fatiga para “ciclo intermitente” (ver fig. 15) es del orden del
80% de la resistencia del “ciclo simétrico” w, basta conocer los valores de f y w para poder
trazar el diagrama aproximado.
En la fig. 17 se traza por O una recta a 45° y se indican sobre el eje de ordenadas los valo-
res de w en tracción y compresión, puntos A y A´, como así también el límite de fluencia f,
que es el punto S de la figura. Luego se traza sobre el eje de abscisas el segmento identifi-
cado como OB1= 0,8 OA = 0,8 w
Por Bl se traza una perpendicular sobre la que se mide un segmento B1B1’ tal que sea
B1B1’= 2OB1= 1,6 w , quedando definido el punto B1’.
A
C
A´
O
F
J
fig. 16
máx mín
m
N
45°
f
14. ESTABILIDAD DISCOS DE ROTACIÓN
FATIGA_2011_d.doc - 14/11/2011 06:35:00 - 12 -
La recta AB1´, en su intersección con la horizontal que pasa por S, determina el punto F’,
como así también el punto N al intersectar la recta a 45°. Se debe establecer también el pun-
to J’, simétrico con F’ respecto de la recta a 45°. Queda así definido perímetro OAF’NJ’A’O
que completa el diagrama aproximado.
A
A´
O
F'
J'
fig. 17
máx mín
m
N
S
0,8.OA
B1
B'1
45°
0,8.OA
fig. 18
máx
míx
m
5 10 15 20 25 30
Resistencia a la fatiga por torsión
para aceros al carbono no aleados.
Según DIN 1611
kgf/mm2
0
10
15
20
25
30
5
kgf/mm2
-5
-10
-15
-20
St. 70.11
St. 60.11
St. 50.11
St. 42.11
St. 37.11
A
A´
O
N
S
fig. 19
máx mín
f
m45°
Entonces, el trazado aproximado del diagrama de Smith, sólo requiere conocer el límite de
fluencia f y la resistencia a fatiga w determinada
mediante un ensayo con ciclo alternativo puro que
puede ser de flexión.
La gráfica de la fig. 18 corresponde al diagrama
simplificado de Smith para fatiga por torsión co-
rrespondiente a diversos aceros al carbono y en
los manuales especializados se pueden consultar
diagramas del mismo tipo para otros metales.
Propuesta de Soderberg
Este investigador propuso, para simplificar aún
más la construcción, reemplazar el diagrama
AF´NJA´ antes visto por el diagrama ANA´ de la
fig. 19, lo que conceptualmente consiste en acep-
tar que la amplitud a del los ciclos varía de modo
lineal desde w hasta “cero” cuando la tensón me-
dia m aumenta desde “cero” hasta f.
Otros materiales (fundición gris)
Para metales cuyas características mecánicas en tracción y compresión son diferentes,
como es el caso de la fundición de hierro, el diagrama de Smith resulta asimétrico.
En la fig. 20 con línea llena se muestra el diagrama para una fundición gris.
Se observa la gran diferencia entre las ramas en la zona donde la tensión media es positi-
va, en relación con aquella donde la tensión media es negativa.
-100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
-100
30
20
10
10 20 30
FUNDICION GRIS: Resistencia a tracción
compresión con probeta mecanizada
de 21,5 mm de diámetro.
kgf/mm2
kgf/mm2
kgf/mm
2
kgf/mm2
fig. 20
15. ESTABILIDAD DISCOS DE ROTACIÓN
FATIGA_2011_d.doc - 14/11/2011 06:35:00 - 13 -
RESISTENCIA A FATIGA DE COMPONENTES CON CONCENTRACIÓN DE TENSIONES
Es sabido que en los lugares donde los componentes estructurales varían su forma de
manera brusca, como así también en la zona de contacto entre ellos, se producen tensiones
de valores importantes. La magnitud de esas tensiones locales puede determinarse analíti-
camente por medio de la teoría de la elasticidad o por medios experimentales mediante en-
sayos, y se la puede expresar del siguiente modo:
max t ok ya que:
max
o
tk
[4] siendo:
kt : coeficiente teórico de concentración de tensiones o coeficiente de forma.
máx : máxima tensión local.
o : tensión nominal media calculada suponiendo que no existe concentración.
Para un material ideal y para un determinado tipo de solicitación, el coeficiente teórico de
concentración de tensiones kt depende exclusivamente de las dimensiones geométricas de la
pieza y por tal motivo también se lo llama coeficiente de forma.
Sin embargo, la concentración de tensiones influye de manera diferente sobre la resisten-
cia de la pieza según sean: a) las propiedades del material, b) el carácter estático o cíclico de
la solicitación, c) el estado de la superficie y d) el tamaño de la pieza, existiendo además
otros factores de menor influencia.
Teniendo en cuenta lo anterior se introduce el concepto de coeficiente efectivo de concen-
tración ke y se diferencian los casos de tensiones constantes y de tensiones que varían cícli-
camente.
El coeficiente efectivo ke se determina mediante el ensayo de dos juegos de probetas del
mismo material: uno se prepara sin la discontinuidad (de manera que en este caso la tensión
efectiva será también la nominal), y el otro juego con la discontinuidad. Se someten ambos
juegos al mismo ensayo y se calcula para cada uno la tensión de rotura por la fórmula ele-
mental de la resistencia de materiales.
El coeficiente efectivo de concentración de tensiones ke para cualquier discontinuidad o
causal de concentración, puede definirse entonces como la relación entre la tensión e calcu-
lada en el instante en que la falla estructural comienza en la probeta sin discontinuidad (lisa),
y la tensión o calculada con la misma fórmula, cuando se verifica la falla de la probeta que
posee concentrador de tensión. Tener en cuenta que la sección transversal neta de las pro-
betas con concentrador de tensión, poseen igual magnitud que la sección transversal de las
probetas lisas.
Carga estática: en este caso el coeficiente de asimetría es r=+1, entonces se utiliza en la no-
tación, a “+1” como subíndice, resultando:
( 1)
e
e
o
k
[5 a]
Cargas con variación cíclica: en este caso el coeficiente es r=-1 entonces resulta:
( 1)
( 1)
( 1)
e
e
o
k
[5 b]
16. ESTABILIDAD DISCOS DE ROTACIÓN
FATIGA_2011_d.doc - 14/11/2011 06:35:00 - 14 -
Siendo e , e(-1): resist. de probetas lisas sin concentración de tensiones.
o , o(-1): resist. de probetas con concentración de tensiones.
El valor numérico del coeficiente efectivo se puede determinar solamente mediante ensa-
yos. No obstante, de los resultados obtenidos puede establecerse una relación entre los co-
eficientes teóricos y efectivo que se encuentran consignados en los manuales especializados
y que es la siguiente:
e(-1) tk q k -1=1 [6]
En la que “q” se denomina “coeficiente de sensibilidad a la entalla”.
La magnitud de “q” depende exclusivamente de las propiedades del material y en cierta
medida de las características geométricas de la pieza y del tipo del foco concentrador de ten-
siones.
En los cálculos prácticos se utiliza el coeficiente de sensibilidad cuando se cuenta con el
valor de kt pero no se dispone de los resultados de ensayos directos para la determinación
de ke.
Modificación del punto de trabajo PT por la existencia de concentradores de tensión
En los cálculos de resistencia a fatiga, la concen-
tración de tensiones se tiene en cuenta introducien-
do las correspondientes correcciones en los valores
numéricos de las coordenadas m y a del punto de
trabajo PT en el diagrama de resistencia a la fatiga.
Considerando que un ciclo cualquiera puede ob-
tenerse por superposición de una tensión estática
m y una tensión alternativa pura de amplitud a,
entonces a m se lo afecta con ke(+1) y a a con
ke(1) lo que hace que el punto de trabajo se des-
place acercándose a la recta de Soderberg, dis-
minuyendo la seguridad del componente en estu-
dio.
OTROS FACTORES QUE AFECTAN LA RESISTENCIA A LA FATIGA
a) Dimensiones de la pieza
Factor de escala e
Los ensayos demuestran que al aumentar el
tamaño de la probeta, disminuye el límite de resis-
tencia a fatiga
A fin de evaluar este efecto se utiliza el de-
nominado “factor de escala” e que se define así:
1
1
( )
( )
e
D
d
[7]
resultando 1s para D > 7,6 mm
recta
de
Soderberg
P.T.
O
alterntivo puro
fig. 21
w
f
m
ke(+1).m
.ake(-1)
a
tracciónestática
1,1
1,0
0.9
0,8
0,7
Factor de escala: para aceros en flexión y torsión,
para dureza Brinell 100 y 300. Relacionados a una
probeta con d=7,6 mm (s/Bibligrafía #3)
0 10 20 30 40 50
D (mm)
7,6
300
100
fig. 22
e
17. ESTABILIDAD DISCOS DE ROTACIÓN
FATIGA_2011_d.doc - 14/11/2011 06:35:00 - 15 -
siendo:
(-1)D : es el imite de resistencia a la fatiga del componente de diámetro D
(-1)d : límite de resistencia a la fatiga de probetas normalizadas de diámetro “d”.
Al determinar el factor de escala los estados superficiales de las muestras ensayadas son
todos iguales para que sean comparables.
b) Estado superficial
Factor de superficie s
Como las fallas por fatiga se inician por grie-
tas locales, es importante el estado de la super-
ficie de la pieza. El límite de resistencia a fatiga
es mayor en piezas de superficie limpia y lisa,
en relación con las de superficie rugosa.
En el caso de materiales muy sensibles a las
tensiones locales, el estado superficial influye
considerablemente.
La influencia del estado de la superficie sobre
el límite de resistencia a fatiga se tiene en cuen-
ta mediante el factor de calidad de superficie s
1
1
( )
( )
s
s
[8]
Resultando 1s y siendo:
(-1) : límite de fatiga de componentes con un determinado acabado superficial.
(-1)s: límite de fatiga de probetas de igual tamaño y material, pero con superficie de acabado
normalizado: esmerilado ó pulido.
Los coeficientes de calidad de superficie s y de escala e, se consideran al determinar la
ordenada del punto de trabajo (P.T.) en el diagrama de resistencia a la fatiga. En lugar del
valor nominal de la amplitud del ciclo a, se considerará:
a
s e
.
Si además existiese concentración de tensiones, entonces se debe tener en cuenta el fac-
tor correspondiente quedando:
( 1)e
a
s e
k
La abscisa del punto de trabajo m no se modifica, puesto que cuando las tensiones son
constantes, la calidad de la superficie ó el tamaño de la pieza casi no influyen sobre su resis-
tencia.
Los tratamientos superficiales como la nitruración, rodillado de superficie, bombardeo con
perdigones, batido, cementado, pulido, etc., elevan la resistencia a fatiga pues evitan la apa-
rición de grietas locales. La gráfica de la fig. 23 brinda valores del factor de superficie para
distintas terminaciones superficiales y de acuerdo a la resistencia de rotura.
c) Frecuencia de las cargas.
La frecuencia a la que la pieza está sometida no influye apreciablemente sobre el límite de
fatiga mientras se mantenga inferior a 5.000 ciclos por minuto.
90
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
100100807060504030 120 140 160 180
Mecanizado o estirado en frio
Grond (colado)
Pulido
Laminado en caliente
En bruto de forjaCorroido en agua dulce
Corroido en agua salada
resistencia última en kgf/mm2
fig. 23
Para diversos acabados de superficie en
función de la resistencia última
s
R
18. ESTABILIDAD DISCOS DE ROTACIÓN
FATIGA_2011_d.doc - 14/11/2011 06:35:00 - 16 -
Para frecuencias superiores, el límite de fatiga aumenta en una cantidad que depende del
material ensayado.
No ocurre lo mismo con respecto a la vida límite (número de ciclos que produce la rotura).
En este caso la influencia de la frecuencia es más acentuada; cuando más grandes son las
tensiones aplicadas y cuanto más grande es la frecuencia, menor es el número de ciclos ne-
cesarios para producir la rotura (menor vida límite).
Esto se debe a que aumenta el calentamiento por frotamiento interno y el calor desarro-
llado a consecuencia del fenómeno de histéresis mecánica es cada vez mayor por no tener
tiempo de evacuarse por radiación y convección.
d) Temperatura.
Para los aceros corrientes usados en construcciones mecánicas, la experiencia demuestra
que el límite de fatiga crece ligeramente cuando la temperatura disminuye de 20 ºC a –40 ºC.
Entre 20 ºC a 200 ºC se mantiene prácticamente constante, aumenta hasta un 35% pa-
sando por un máximo a 300 ºC y luego disminuye. Esta última circunstancia es particular-
mente notable si se tiene en cuenta la caída continua de las características de resistencia
estática con la temperatura.
e) Corrosión.
Cuando la probeta ensayada a la fatiga es sometida simultáneamente a la acción de agen-
tes corrosivos como agua salada, amoníaco, ácido clorhídrico, vapor húmedo, etc., acontece
un pronunciado descenso del valor del límite de la fatiga.
Por ensayos se ha comprobado que una fuerte corrosión producida antes del ensayo es
mucho menos perjudicial que una corrosión que obre simultáneamente con la solicitación
alternativa. La causa parecería ser la protección que representa la película formada por los
productos de la corrosión.
En cambio si la película es sometida a esfuerzos repetidos en presencia del agente corro-
sivo, ella se agrieta y permite que el agente corrosivo continúe atacando al metal por debajo
de la capa protectora.
En la práctica muchas piezas están sometidas a la acción simultánea de corrosión y fatiga,
como por ejemplo las partes metálicas de los puentes viales especialmente en zonas de
agua salada, los ejes propulsores de los barcos, álabes de turbinas, resortes de locomotoras,
varillas de las bombas de extracción en pozos, tubos de recalentadores de caldera, etc.
Modo de contrarrestar: se trata de evitar el efecto de la corrosión utilizando aceros resisten-
tes a ella, bronces fosforados, barnices protectores, etc. (se puede consultar también pág
427 de Bibliografía #7)
COMPONENTES SOMETIDOS A ESFUERZOS SIMPLES.
Coeficiente de seguridad a fatiga (determinación).
Con las características mecánicas del material f (ó B) y w, se construye el diagrama de
resistencia a fatiga. Luego con los valores de las tensiones del ciclo: m y a, y teniendo en
cuenta las correcciones por concentración de tensiones como también los factores de escala
y superficie, se determina el punto de trabajo (PT).
El coeficiente se seguridad a fatiga se determina con una relación geométrica que en el
diagrama de fatiga pone en evidencia la mayor o menor proximidad del punto de trabajo (PT)
con la línea límite que se considere, siendo generalmente la recta de Soderberg, pero podría
ser también la recta de Goodman.
19. ESTABILIDAD DISCOS DE ROTACIÓN
FATIGA_2011_d.doc - 14/11/2011 06:35:00 - 17 -
Comparando los lados de los triángulos semejantes OBD y OAK resulta lo siguiente:
OB OD
OA OK
[9] siendo:
OK OL KL
( 1)
.
e
s e
a
k
OL
Además, en el triángulo KLA, es:
KL LA tg pero:
w
f
tg
por lo tanto:
w
m
f
( 1)eKL k .
y como: OK OL KL resulta:
( 1)
( 1)
w
e w
a e m
s e f
OD
kOK k
y si se considera: ( 1)e 1k resulta: ( 1)
w
e w
a m
s e f
k
[10]
Se puede simplificar la escritura haciendo:
( 1)e
s e
k
[11]
Con lo que la [10] se puede expresar del siguiente modo:
w w w
w w w
a m a m a m
f f f
y haciendo:
* w
w
[12]
donde dicho cociente representa el “límite de fatiga esperado para la pieza” (no para la pro-
beta), la expresión finalmente queda así:
*
w
*
w
a m
f
[13 a]
Para el caso de tensiones de corte la expresión es:
*
w
*
w
a m
f
[13 b]
Interpretación: si en lugar de modificar las coor-
denadas del punto de trabajo PT, se modifica la
recta
de
Soderberg
P.T.
O
A
B
D
L
C
K
fig. 24
w
f mke(+1).m
.ke(+1).mw
f
.ake(-1)
es
a
fig. 25
P.T.
O
w
f
m
m
.m
w
f
a
a
*
*
20. ESTABILIDAD DISCOS DE ROTACIÓN
FATIGA_2011_d.doc - 14/11/2011 06:35:00 - 18 -
recta de Soderberg, consignando el “límite de fatiga esperado para la pieza” *
w en lugar del
“límite de fatiga del material” w, la deducción estaría basada en el diagrama modificado que
se muestra en la fig. 25, del cual se puede también obtener esa expresión.
DIMENSIONADO DE COMPONENTES SOMETIDOS A SOLICITACIONES CÍCLICAS.
Se planteará el dimensionado en función de las cargas máximas y medias que aplicadas
al componente, generan las tensiones max y m, ya sea en solicitación axial y en flexión ó
bien máx y m en las solicitaciones de corte y torsión.
El coeficiente de seguridad [13 a] para tensión normal es:
*
w
*
w
a m
f
y haciendo:
f
w
*
y siendo:
adm
f
se obtiene:
*
f w
adm a m
operando:
*
w adm
a m
f
Por lo tanto: a m adm de donde despejando a queda:
a adm m
Pero: max m a m adm m adm m (1 )
de donde se obtiene finalmente:
max m
adm
(1 )
1
[14]
FORMULAS DE DIMENSIONADO
Solicitación AXIAL. Es:
F
Pmax
max
F
Pm
m
entonces de :
max m
adm
(1 )
1
se obtiene:
max m
adm
P P
(1 )
F F 1
quedando finalmente:
max m
adm
P P (1 )
F
[15]
FLEXIÓN. Es:
xW
Mmax
max
x
m
m
W
M
Entonces de:
max m
adm
(1 )
1
se obtiene:
max m
x x
adm
M M
(1 )
W W 1
quedando finalmente:
max (1 )m
x
adm
M M
W
[16]
21. ESTABILIDAD DISCOS DE ROTACIÓN
FATIGA_2011_d.doc - 14/11/2011 06:35:00 - 19 -
TORSIÓN. Es:
oW
Mtmax
max
m
m
o
Mt
W
entonces de:
max m
adm
(1 )
1
se obtiene:
max m
o o
adm
Mt Mt
(1 )
W W 1
quedando finalmente:
max (1 )m
o
adm
Mt Mt
W
[17]
DIMENSIONADO EN FUNCIÓN DELCOEFIC. “r” DE ASIMETRÍA DEL CICLO.
Se utilizará la recta se Soderberg que une al límite de
fatiga esperado *
w (que contempla el estado de superfi-
cie, tamaño y concentradores de tensiones), con la ten-
sión de fluencia f.
El punto B corresponde a un estado límite, por lo que
se deberá aplicar luego un coeficiente de seguridad.
La asimetría del ciclo [2] era:
max
min
r
y de la fig. 26 se obtiene:
r
r
tg
m
a
1
1
1
1
2
2
max
min
max
min
minmax
minmax
minmax
minmax
Además am max entonces:
max m m m m m
1 r 1 r 1 r
tg (1 tg ) 1
1 r 1 r
re-
sultando:
m
max
2
1 r
Ahora se debe expresar m en función de:
*
, ,w f r
Por comparación de triángulos en la fig. 26:
*
w a m
f f m f m
tg
multiplicando en diagonal el primero y último miembro se obtiene:
* *
w f w m m f tg
Entonces
* *
w f w m m f tg
de donde:
f f f
f m m m m
* * *
w w w
1 r
tg 1 tg 1
1 r
fig. 26
B
O
w
f
m
a
*
m
a
22. ESTABILIDAD DISCOS DE ROTACIÓN
FATIGA_2011_d.doc - 14/11/2011 06:35:00 - 20 -
resultando:
*
f w f
m
*
f w f
*
w
(1 r)
1 r (1 r) (1 r)1
1 r
pero:
m
max
2
1 r
entonces:
*
w f
max
*
w f
2
(1 r) (1 r)
[18]
Esta es una tensión límite que ocurre para el punto B de la recta de Soderberg, como
muestra la fig. 26.
Para obtener un valor admisible se la debe afectar con un coeficiente de seguridad , re-
sultando entonces:
* *
max f w w adm
max
* *adm
w f w f
2 2
(1 r) (1 r) (1 r) (1 r)
si se divide además, numerador y denominador por , resulta lo siguiente:
*
w adm
adm
max
*adm
w adm
adm
2
(1 r) (1 r)
[19] en la que
*
* w
w
adm
[20]
Del mismo modo en el caso de torsión se obtiene:
*
w adm
adm
max
*adm
w adm
adm
2
(1 r) (1 r)
[21] en la que
*
* w
w
adm
[22]
FORMULAS DE DIMENSIONADO.
Solicitación AXIAL.
siendo: adm
F
P
max
max
se obtiene:
adm
P
F
max
max
[23]
FLEXION.
de: adm
xW
M
max
max
resulta:
adm
x
M
W
max
max
[24]
TORSION.
de: adm
oW
Mt
max
max
por último:
adm
o
Mt
W
max
max
[25]
23. ESTABILIDAD DISCOS DE ROTACIÓN
FATIGA_2011_d.doc - 14/11/2011 06:35:00 - 21 -
BIBLIOGRAFÍA
Orden Título Autor Editorial Año
# 1 La fatiga de los metales R. Cazaud Aguilar 1957
# 2 Resistance des matériaux, Tomo II Massonnet Dunoud 1965
# 3 Handbook of stress and strength Lipson-Juvinal Collier-Macmillan 1963
# 4 Mehanical Behaivor of Eng. Material J. Marin Prentice Hall 1969
# 5 El proyecto en ingeniería mecánica J.E.Shigley Mac Graw Hill 1965
# 6 Estabilidad II E. Fliess Kapeluz 1974
# 7 Resistencia de materiales Feodosiev Mir 1980
# 8 Manual de resistencia de materiales Pisarenko Mir 1979
# 9 Problemas de resistencia de materiales Miroliuvob Mir 1975
#10 Mecánica de materiales Shanley Mac Graw Hill 1971
#11 Resistencia de materiales, Tomo II Timoshenko Espasa-Calpe 1955
Este material de apoyo didáctico, cuya versión original fuera preparada
por el ex-profesor de la Cátedra Estabilidad II, Ing. Guillermo Pons, fue
ampliado, modificado y adaptado, y está destinado exclusivamente para
el uso interno de “Estabilidad II” de la carrera Ingeniería Mecánica y de
“Resistencia de Materiales” de Ingeniería Civil, ambas asignaturas de la
Facultad Regional Santa Fe, U.T.N.
Profesor Titular: Ing. Hugo A. Tosone
Ayudantes de TP:
Dr. Federico Cavalieri - Ing. Alejandro Carrere
Octubre de 2011.
