Documento - Plan de estudios del área de matemáticas del colegio de la salle en Pereira

1. ÁREA DE MATEMÁTICAS 2009 INTEGRANTES – PRIMARIA MARTHA CECILIA RESTREPO BEDOYA – (TRANSICIÓN B) GLORIA PATRICIA PÉREZ SALAZAR – (1°B) LIGIA CUARTAS ECHEVERRI – (2°) ADRIANA MARÍA JURADO GALLEGO – (3°A) DIANA MARÍA LÓPEZ GARCÍA – (4°A, B, C; 5°A, B) INTEGRANTES – BACHILLERATO JANETH MILENA AGUDELO MARÍN – (5°, 6°A, B, C) DIEGO ALEJANDRO GÓMEZ VALDEZ – (6°D; 7°A, B, C( ERIKA SANCHES CIFUENTES – (7°D; 8°A, B, C, D) MARÍA OFFIR MARULANDA HOYOS – (9°A, B, C, D) JUAN PABLO ACOSTA ARANGO – (10°A, B, C, D; 11°D) LEONARDO FLÓREZ FLÓREZ – (11°A,B, C) JEFE DE ÁREA LEONARDO FLÓREZ COORDINADORA DE INVESTIGACIÓN JANETH MILENA AGUDELO INTRODUCCIÓN La formación de estudiantes en Matemáticas obedece a la necesidad de mejorar el potencial de egresados con un desarrollo formal y conceptual, que pueda utilizarse para la comprensión del mundo y su desarrollo social. La determinación de fenómenos mediante lenguaje matemático es una de las tareas primordiales del mundo científico en la actualidad. Las nuevas tecnologías son el producto de teorías matemáticas aplicadas a problemas específicos de la física, química, biología, etc., y representa un indicador de desarrollo de cualquier comunidad. El estudiante debe tomar conciencia del papel que juega la matemática en el continuo desarrollo de la ciencia, la tecnología y por ende en el desarrollo social y la calidad de vida del hombre actual. El desarrollo de las competencias matemáticas impulsa al individuo a identificar y entender el rol que juegan las matemáticas en el mundo, emitir juicios bien fundamentados y utilizar las matemáticas para satisfacer sus necesidades como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo. El nivel de competencia en matemáticas se refiere a la medida en la que los estudiantes pueden ser considerados como ciudadanos reflexivos y bien informados además de consumidores inteligentes. En todo el mundo, las personas se enfrentan a una diversidad cada vez mayor de tareas que involucran conceptos cuantitativos, espaciales, probabilísticos, etc. Por ejemplo, los medios de comunicación contienen gran cantidad de información presentada en tablas, cuadros y gráficos sobre temas como el clima, la economía, la medicina, y el deporte, para solo nombrar unos pocos. Los ciudadanos están sometidos a un bombardeo continuo de información sobre asuntos tales como “el efecto invernadero y el calentamiento global”, ”el crecimiento poblacional”, “los derrames petroleros en el mar”, “la desaparición de los bosques nativos”. Por último e igualmente importante, las personas enfrentan la necesidad de leer formularios, interpretar horarios de buses, realizar transacciones financieras, etc. Las competencias matemáticas de se enfocan en la capacidad de los estudiantes de utilizar su conocimiento matemático para enriquecer su comprensión de temas que son importantes para ellos y promover así su capacidad de acción. LINEAMIENTOS LEGALES Según la ley 115 de 1994 se tienen los siguientes artículos que justifican la existencia del área de matemáticas en la institución: Artículo 13 literal C; Artículo 16 literal B; Artículo 16 literal C; Artículo 16 literal D; Artículo 20 literal C; Artículo 20 literal E; Artículo 21 literal E; Artículo 21 literal Ñ; Artículo 30 literal D; Resolución 2343 de indicadores de logro 1996, los Lineamientos Curriculares para el área de matemáticas 1998 en la transformación de las propuestas de evaluación a nivel nacional año 2000 y los Estándares Básicos de Calidad 2003. Los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas planteados por el ministerio de educación nacional, seleccionan algunos de los niveles de avance en el desarrollo de las competencias asociadas con los cinco tipos de Pensamiento matemático: numérico, espacial, métrico, aleatorio y variacional. Por ello aparecen en cinco columnas (ver documento de estándares curriculares), que corresponden a cada uno de dichos tipos de pensamiento y a los sistemas conceptuales y simbólicos asociados a él, aunque muchos de esos estándares se refieran también a otros tipos de pensamiento y a otros sistemas. En forma semejante, cada estándar de cada columna pone el énfasis en uno o dos de los cinco procesos generales de la actividad matemática que integran dichos tipos de pensamiento (formular y resolver problemas; modelar procesos y fenómenos de la realidad; comunicar; razonar, y formular, comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos), pero suele referirse también a otros procesos generales que pueden practicarse en distintos contextos para contribuir a superar el nivel seleccionado como estándar. OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Estimular el desarrollo de competencias que permitan a los educandos plantear, comprender y razonar a través de la comunicación matemática, fomentando el estudio progresivo de los conceptos matemáticos básicos, de acuerdo con los estándares y pensamientos propuestos por el MEN. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Aplicar diferentes estrategias y metodologías actualizadas, acordes con las nuevas propuestas educativas del M.E.N. Contribuir al desarrollo integral del estudiante haciendo énfasis en su valor como persona, en la humanización del proceso educativo y en las posibilidades que ofrece el colegio para satisfacer las necesidades o intereses de los estudiantes. Fortalecer el análisis, la comprensión, la comparación, como procesos de desarrollo del pensamiento a partir de estrategias adecuadas en cada una de las asignaturas del área. Crear conciencia de que las matemáticas son una herramienta esencial para los avances tecnológicos y científicos de la sociedad. Fomentar un sentido de autocrítica en los educandos, que analíticamente desarrollen sus ideas y que las defiendan con fundamentos y si es el caso de la misma manera demostrarle que es un error o felicitarle por su acierto. Buscar que los conocimientos que se vayan adquiriendo los interprete y los ponga en práctica en su vida, que le ayuden en la solución de sus problemas. OBJETIVOS – EDUCACIÓN BÁSICA PRIMARIA OBJETIVOS DEL GRADO PRIMERO Reconocer y descomponer números naturales de acuerdo al valor posicional ( pensamiento numérico) Realizar operaciones y resolver problemas matemáticos Reconocer e identificar figuras geométricas y sistemas de medidas (pensamiento Espacial). Recolectar información y representar gráficamente (pensamiento aleatorio). Agrupar, clasificar y representar conjuntos de diferentes formas (pensamiento Variacional. Comparar y ordenar objetos de acuerdo a la longitud, área, volumen, peso y temperatura pensamiento métrico). OBJETIVOS DEL GRADO SEGUNDO Reconocer y descomponer números naturales de tres a cinco cifras. Plantear y resolver situaciones problémicas a partir de las operaciones básicas. Utilizar el lenguaje simbólico para expresar ideas de manera clara, coherente y precisa. Ejecutar procedimientos rutinarios teniendo en cuenta las propiedades, operaciones y relaciones. Contar, agrupar y usar el valor posicional en situaciones matemáticas. Reconocer y clasificar figuras geométricas de acuerdo a sus características y aplicar procesos básicos de medición OBJETIVOS MATEMÁTICAS GRADO TERCERO Reconocer las operaciones básicas entre números naturales y aplicarlas en la resolución de problemas (pensamiento numérico) Comprender el concepto de medida y aplicarlo en la medición de algunos cuerpos (pensamiento métrico). Reconocer y clasificar figuras geométricas de acuerdo a sus características (pensamiento geométrico). Recolectar e interpretar datos por medio de tablas y diagramas (pensamiento aleatorio). Reconocer y resolver ecuaciones sencillas como una relación de igualdad entre dos cantidades (pensamiento variacional). OBJETIVOS GRADO CUARTO Establecer y comprender relaciones, operaciones y propiedades entre sistemas numéricos para aplicarlos en la solución de problemas. Reconocer e interpretar conceptos geométricos para aplicarlos en la solución de ejercicios y problemas reales. Reconocer el sistema métrico decimal y realizar conversiones en las unidades de longitud y superficie. Recolectar, graficar e interpretar datos por medio de tablas y diagramas. OBJETIVOS GRADO QUINTO Establecer y comprender relaciones dentro de los sistemas numéricos y aplicar dichos conocimientos en la solución de problemas de la vida cotidiana. Identificar y construir polígonos según sus propiedades. Manejar y organizar un conjunto de datos de una determinada situación aplicando conceptos estadísticos. Comprender los conceptos del sistema métrico decimal y utilizarlo en diferentes contextos. Comprender y utilizar las razones y proporciones para representar relaciones cuantitativas. OBJETIVOS – EDUCACIÓN BÁSICA SECUNDARIA OBJETIVOS GRADO SEXTO Realizar operaciones de manera eficiente y eficaz con los diferentes conjuntos numéricos (naturales, fraccionarios, decimales), relacionando y seleccionando conceptos para la formulación y solución de situaciones en diferentes contextos. Manejar y ordenar correctamente un conjunto de datos provenientes de una situación determinada usando conceptos básicos de estadística para predecir y justificar razonamientos y conclusiones de dicha situación. Identificar, comprender y relacionar elementos y conceptos de medida que permitan resolver problemas que involucren construcción, cuantificación y comparación de magnitudes en figuras planas y cuerpos sólidos. Identificar, describir y clasificar figuras geométricas para formular y resolver problemas usando modelos geométricos. Reconocer, describir y representar valores de una variable en situaciones concretas de cambio, usando diversas herramientas (diagramas, tablas, ecuaciones, etc.) para determinar patrones de conducta y explicar relaciones causa-efecto. OBJETIVOS GRADO SEPTIMO Utilizar las diferentes formas de expresar y representar un número entero y un número racional. Comprender la estructura del sistema de numeración decimal para expresar cualquier cantidad y para aplicar los algoritmos de las operaciones entre números enteros y racionales. Formular y resolver problemas asociados a las operaciones entre números enteros y racionales. Identificar las características de los diferentes elementos de los polígonos, el círculo y la circunferencia. Identificar, representar las relaciones entre las diversas formas geométricas. Comprender y usar las herramientas como: Tablas, gráficos, diagramas de barras, diagramas circulares, entre otros, para recolectar organizar y analizar información. Usar propiedades métricas para caracterizar los polígonos. Formular y resolver problemas asociados a la medición de longitud., amplitud de ángulos, peso, capacidad, perímetro, área y volumen. Comprender y aplicar el teorema de Pitágoras para realizar medidas indirectas Explicar y describir relaciones directas e inversas entre cantidades o magnitudes, mediante tablas, gráficas y ecuaciones. Aplicar la proporcionalidad en la solución de problemas que relacionen magnitudes en forma directa o inversa. Promover hábitos de trabajo propios de la actividad matemática, como la precisión en el uso del lenguaje matemático, la búsqueda sistemática de alternativas, el rigor en la recolección y manejo de datos y la perseverancia en la búsqueda de soluciones. GRADO OCTAVO Reconocer y aplicar las relaciones y las operaciones que existen entre los conjuntos numéricos. Identificar las características que debe tener un número para pertenecer a un determinado conjunto numérico. Formular y resolver problemas asociados a las operaciones entre los diferentes conjuntos numéricos. Reconocer las propiedades geométricas de los triángulos. Reconocer y aplicar criterios que determinan la congruencia entre dos figuras. Clasificar triángulos a partir de condiciones específicas. Generalizar estrategias para hallar mediciones indirectas de los ángulos y los lados de un triángulo. Usar propiedades métricas para caracterizar triángulos. Formular y resolver problemas asociados a la medición y determinación de la congruencia entre dos triángulos. Analizar información sobre variables que se presentan dentro de una población, a partir de tablas y gráficas. Representar gráficamente las conclusiones obtenidas a partir del análisis de algunas variables de una población. Reconocer expresiones en las cuales se presentan variables. Plantear expresiones que muestren la variabilidad en una situación dada. Resolver operaciones y plantear relaciones entre expresiones en las cuales se involucren variables. Mostrar una actitud participativa, de interés y de responsabilidad frente a la actividad matemática. GRADO NOVENO Identificar y operar números complejos. Reconocer los elementos y aplicar las propiedades del círculo y triángulo. Aplicar las ecuaciones para calcular los volúmenes y áreas superficiales del cono, cilindro y esfera. Reconocer poliedros regulares. Elaborar y resolver modelos de interpretación de situaciones problémicas mediante un sistema de ecuaciones lineales. Identificar la estructura de una ecuación cuadrática y aplicar métodos de solución en la interpretación de situaciones cotidianas. Identificar y calcular incógnitas de una progresión dada. OBJETIVOS – EDUCACIÓN MEDIA GRADO DÉCIMO Identificar y aplicar las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Aplicar el teorema del seno y coseno a triángulos oblicuángulos. Analizar las gráficas de las funciones trigonométricas a partir de sus elementos. Demostrar identidades trigonométricas con base en las identidades fundamentales y algunas reglas algebraicas. Hallar las soluciones de una ecuación trigonométrica. Deducir y aplicar las ecuaciones de la línea recta y las secciones cónicas. OBJETIVOS DE GRADO UNDÉCIMO Aplicar las propiedades de las desigualdades y el valor absoluto para resolver inecuaciones y dar solución a problemas de aplicación Representar gráficamente diferentes clases de funciones reales y determina su dominio y rango Aplicar el concepto de función en la solución de problemas de aplicación y resuelve operaciones entre funciones Determinar el límite de una sucesión y aplica este concepto en la solución de problemas Aplicar diferentes teoremas sobre límites y determina la continuidad de una función en un punto. Aplicar diferentes teoremas para determinar la derivada de una función Aplicar el concepto de derivada para realizar gráficas de funciones polinómicas y para resolver problemas de optimización Utilizar técnicas básicas de integración y las aplica en la solución de problemas Aplicar los conceptos básicos de estadística en la recolección, tabulación, representación e interpretación de información. ENFOQUE LAS HEURISTICAS Y LA CONCEPTUALIZACIÓN DE LAS MATEMATICAS En el trabajo matemático se pueden generar estrategias o tácticas que permiten llegar a la generalización de conceptos y propiedades, algunas de estas estrategias o heurísticas son: Búsqueda de un modelo Trazar una figura Formular un problema equivalente Modificar el problema Escoger notación efectiva Explotar la simetría Dividir en casos Trabajar hacia atrás Argumentar por contradicción Perseguir la paridad Considerar casos extremos Generalizar Estas estrategias se implementan como parte del enfoque Heurístico conceptual que se maneja en el área de matemáticas, para ello se ha introducido en las actividades del aula situaciones problematizantes, donde el estudiante tendrá la posibilidad de contar con este tipo de herramientas para darle solución a dichas situaciones. Por lo general, un sólo problema admite varias soluciones aún empleando heurísticas muy diferentes Por lo tanto es mejor aproximarse a cada problema con una mente abierta en lugar que con una noción preconcebida sobre el cómo puede aplicarse una heurística particular. Es la experiencia de todas las ideas trabajando juntas lo que le permitirá al estudiante tener unas buenas estrategias para enfrentarse a un problema de manera más motivante. Un solo problema puede ser trabajado en varias formas. Es necesario mantenerse flexible en las etapas iniciales de la exploración con el fin de mirar las posibles alternativas de solución. Lo importante del enfoque es que a través de este tipo de actividades el estudiante adquiere el conocimiento desde la misma aplicación, a través de las conclusiones, permitiendo generar hipótesis y enunciar propiedades y demás conceptos propios de los sistemas matemáticos. Para que el trabajo matemático en el contexto escolar tenga significado es importante hacer algunas aclaraciones frente a las heurísticas enunciadas al inicio del presente texto: Búsqueda de un Modelo Virtualmente todos los solucionadores de problemas comienzan su análisis mediante una familiarización con el problema, convenciéndose ellos mismos de plausibilidad del resultado. Esto se logra mejor mediante la consideración de los casos especiales más inmediatos. Cuando esta exploración se realiza en forma sistemática, lo que se busca es analizar casos particulares del problema que muestren una ley de comportamiento, pueden aparecer modelos que sugieren ideas para proceder a solucionar el problema. Trazar una Figura El uso de una figura sirve para entender el problema, para dar una idea de solución, para intuir si la situación es o no posible. Siempre que lo sea es útil describir un problema en forma pictórica, por medio de una figura, un diagrama o un grafo. Usualmente, una tal representación facilita el asimilar los datos relevantes y notar las relaciones y dependencias. Muchos problemas son casi imposibles de resolver si no se tiene un dibujo a la mano, aunque éste no constituye una demostración. Formular un Problema Equivalente Como hemos mencionado, el primer paso en la solución de un problema es obtener datos, explorar, entender, relacionar, conjeturar, analizar. ¿Pero qué ocurre cuando no es posible hacer esto en forma significativa, o debido a que las computaciones son complicadas o porque el problema simplemente no admite casos especiales que den alguna luz? En tales casos se recomienda tratar de reformular el problema en una forma equivalente pero más simple. Se recurre a nuestra imaginación y creatividad. Algunas técnicas de reformulación involucran manipulación algebraica o trigonométrica, substitución o cambio de variable, uso de correspondencias uno a uno, y reinterpretación en el lenguaje de otro tema (álgebra, geometría, análisis, combinatoria, etc.) Modificar el Problema Durante el trabajo sobre un problema A se puede considerar un problema B. Este cambio de problemas es anunciado característicamente por frases tales como “es suficiente demostrar que...” o “podemos asumir que...” o “sin perder generalidad...”. Los problemas A y B son equivalentes si la solución de cualquiera de ellos implica la solución del otro. Es posible que la solución del problema modificado (auxiliar), problema B, implique la solución del problema A, pero no necesariamente en sentido recíproco. Un problema modificado (auxiliar) puede aparecer en muchas formas. Puede provenir de un cambio en la notación o debido a la simetría. Casi siempre es el resultado de “trabajar hacia atrás” o de argumentar por contradicción. No es raro considerar algún problema más general que el planteado. Así, vemos que la modificación del problema es una heurística muy general. Escoger una Notación Efectiva Uno de los primeros pasos al trabajar un problema matemático es trasladar el problema en términos matemáticos. En tal caso, todos los conceptos claves deben ser identificados y rotulados; aspectos redundantes en la notación pueden ser eliminados a medida que se descubren relaciones. El simple hecho de escribir el problema de una manera conveniente con una notación adecuada, ayuda a sacar mayor partido de las relaciones existentes entre los datos y la incógnita. Dividir en Casos Con frecuencia ocurre que un problema puede ser dividido en un número pequeño de subproblemas, cada uno de los cuales puede ser trabajado separadamente de una forma caso a caso. Esto es específicamente verdadero cuando el problema contiene un cuantificador universal (“para todo x...”). Por ejemplo, la prueba de una proposición de la forma “para todos los enteros...” puede enfrentarse argumentando mediante los casos par e impar separadamente. Similarmente, un teorema sobre triángulos puede ser probado dividiéndolo en tres casos dependiendo de si el triángulo es agudo, recto u obtuso. Ocasionalmente, los subproblemas pueden organizarse en submetas, para que los primeros casos, una vez establecidos, puedan ser utilizados para verificar las etapas siguientes. En las etapas iniciales del análisis, es bueno pensar sobre cómo puede subdivirse un problema en un número pequeño de subproblemas (poderosamente) más simples. Esta heurística es referida como “Si usted no puede resolver el problema, encuentre un problema más simple relacionado y resuélvalo”. Trabajar hacia atrás Trabajar hacia atrás significa asumir la conclusión y luego hacer deducciones desde la conclusión hasta arribar a alguna cosa conocida o algo que pueda ser probado fácilmente. Argumentar por Contradicción Argumentar por contradicción significa asumir que la conclusión no es verdadera y luego obtener deducciones hasta arribar a algo que es contradictorio o con lo que es dado (método indirecto) o con algo que es conocido como verdadero (reducción al absurdo). Así, por ejemplo, para probar que es irracional, se asumir que es racional y proceder hasta arribar a una contradicción. Este método es apropiado cuando la conclusión es fácil de negar, cuando la hipótesis ofrece muy poca sustancia para la manipulación, o cuando hay pocas ideas sobre cómo proceder. Perseguir Paridad La simple idea de paridad (par o impar) es un concepto poderoso en solución de problemas con una variedad amplia de aplicaciones. Además, esta idea puede ser generalizada. Es similar a la heurística consistente en considerar casos especiales y luego generalizar. Dado un problema sobre todos los números enteros, es conveniente considerar que pasa si solo consideramos enteros pares y luego enteros impares. Es posible que ante casos especiales de los problemas obtengamos mejores ideas que nos permitan enfrentarnos a situaciones más generales. Explotar la Simetría. Explotar la simetría consiste en dividir el problema en partes o subproblemas que tengan una solución idéntica, lo cual disminuye de manera considerable el trabajo. Esta heurística es sugerida por afirmaciones tales como: “Para demostrar el teorema es suficiente probarlo para x positivo”, “es suficiente considerar que el ángulo x está en el intervalo “ 0, ”, etc. Considerar Casos Extremos En las etapas iniciales sobre la exploración de un problema, es siempre muy útil considerar consecuencias de que los parámetros del problema varíen de un valor extremo a otro. En efecto, la existencia de algunas posiciones extremas es siempre la clave para entender resultados de existencia (problemas de la clase “probar que existe un x tal que P(x)”). Generalizar Puede parecer paradójico, pero casi siempre es el caso que un problema puede simplificarse, y hacerse más tratable y entendible, cuando es generalizado. Este hecho real es bien apreciado por los matemáticos; de hecho, abstracción y generalización son características básicas de la matemática moderna. Un establecimiento más general provee una perspectiva amplia, suprime hechos no esenciales, y ofrece un arsenal completamente nuevo de técnicas. El enfoque Heurístico conceptual permite entonces determinar un diseño metodológico inductivo-deductivo que favorece el desarrollo de las competencias cognitivas a un nivel matemático y de aplicación en las diferentes áreas del conocimiento; el cual se evidencia a través de acciones de interpretación, argumentación y proposición en los cinco sistemas matemáticos (numérico, aleatorio, variacional, métrico y geométrico). DIDÁCTICA Se describen algunas prácticas para enseñar matemáticas, que en cierto grado son aplicadas dentro del contexto escolar por parte de los docentes del área y que mejoran día a día en su experiencia pedagógica. El objetivo al enseñar matemáticas es ayudar a que todos los estudiantes desarrollen capacidad matemática. Los estudiantes deben desarrollar la comprensión de los conceptos y procedimientos matemáticos. Deben estar en capacidad de ver y creer que las matemáticas hacen sentido y que son útiles para ellos. Maestros y estudiantes deben reconocer que la habilidad matemática es parte normal de la habilidad mental de todas las personas, no solamente de unos pocos dotados. Enseñar capacidad matemática requiere ofrecer experiencias que estimulen la curiosidad de los estudiantes y construyan confianza en la investigación, la solución de problemas y la comunicación. Se debe alentar a los estudiantes a formular y resolver problemas relacionados con su entorno para que puedan ver estructuras matemáticas en cada aspecto de sus vidas. Experiencias y materiales concretos ofrecen las bases para entender conceptos y construir significados. Los estudiantes deben tratar de crear su propia forma de interpretar una idea, relacionarla con su propia experiencia de vida, ver cómo encaja con lo que ellos ya saben y qué piensan de otras ideas relacionadas. Qué tan bien lleguen a entender los estudiantes las ideas matemáticas es mucho más importante que el número de habilidades que puedan adquirir. Los maestros que ayudan a los niños a desarrollar su capacidad matemática dedican menos tiempo a hablar sobre matemáticas, a asignarles trabajos de práctica de cómputo, y a pedirles que memoricen mecánicamente. En cambio realizan actividades que promueven la participación activa de sus estudiantes en aplicar matemáticas en situaciones reales. Esos maestros regularmente utilizan la manipulación de materiales concretos para construir comprensión. Hacen a los estudiantes preguntas que promuevan la exploración, la discusión, el cuestionamiento y las explicaciones. Los niños aprenden, además, los mejores métodos para determinar cuándo y cómo utilizar una gama amplia de técnicas computacionales tales como aritmética mental, estimaciones y calculadoras, o procedimientos con lápiz y papel. Las matemáticas no son un conjunto de tópicos aislados, sino más bien un todo integrado. Matemáticas es la ciencia de patrones y relaciones. Entender y utilizar esos patrones constituye una gran parte de la habilidad o competencia matemática. Los estudiantes necesitan ver las conexiones entre conceptos y aplicaciones de principios generales en varias áreas. A medida que relacionan ideas matemáticas con experiencias cotidianas y situaciones del mundo real, se van dando cuenta que esas ideas son útiles y poderosas. El conocimiento matemático de los estudiantes aumenta a medida que entienden que varias representaciones (ej.: física, verbal, numérica, pictórica y gráfica) se interrelacionan. Para lograrlo necesitan experimentar con cada una y entender cómo están conectadas. La solución de problemas es el núcleo de un currículo que fomenta el desarrollo de la capacidad matemática. Ampliamente definida, la solución de problemas es parte integral de toda actividad matemática. En lugar de considerarse cómo un tópico separado, la solución de problemas debería ser un proceso que permea el currículo y proporciona contextos en los que se aprenden conceptos y habilidades. La solución de problemas requiere que los estudiantes investiguen preguntas, tareas y situaciones que tanto ellos como el docente podrían sugerir. Los estudiantes generan y aplican estrategias para trabajarlos y resolverlos.Los estudiantes necesitan muchas oportunidades de usar el lenguaje para comunicar ideas matemáticas. Discutir, escribir, leer y escuchar ideas matemáticas profundiza el entendimiento en esta área. Los estudiantes aprenden a comunicarse de diferentes maneras relacionando activamente materiales físicos, imágenes y diagramas con ideas matemáticas; reflexionando sobre ellas y clarificando su propio pensamiento; estableciendo relaciones entre el lenguaje cotidiano con ideas y símbolos matemáticos; y discutiendo ideas matemáticas con sus compañeros. Uno de los mayores cambios en la enseñanza matemática se ha dado ayudando a los estudiantes a trabajar en grupos pequeños en proyectos de recolección de datos, construcción de gráficas y cuadros con sus hallazgos y resolución de problemas. Dar a los estudiantes oportunidades para realizar trabajo reflexivo y colaborativo con otros, constituye parte crítica de la enseñanza de matemáticas. Las ideas matemáticas las construyen las personas; los estudiantes necesitan experimentar la interacción social y la construcción de representaciones matemáticas que tengan significado, con sus compañeros y sus profesores. En un enfoque democrático, el profesor no es el único que conoce y transmite conocimiento, ni debe ser el que siempre tiene “la respuesta”. Los estudiantes deben tomar la iniciativa en el planteamiento de preguntas e investigaciones que les interesen y llevar a cabo investigaciones en forma conjunta con el maestro. Razonar es fundamental para saber y hacer matemáticas. El estudiante debe entender que las matemáticas hacen sentido, que no son simplemente un conjunto de reglas y procedimientos que se deben memorizar. Por ese motivo necesitan experiencias en las que puedan explicar, justificar y refinar su propio pensamiento, no limitarse a repetir lo que dice un libro de texto. Necesitan plantear y justificar sus propias conjeturas aplicando varios procesos de razonamiento y extrayendo conclusiones lógicas.Ayudar a que los estudiantes se muevan por etapas entre varias ideas y sus representaciones, es tarea muy importante del maestro; cómo también lo es, promover en los estudiantes de manera creciente, la abstracción y la generalización, mediante la reflexión y la experimentación, en lugar de ser él el único que explique y que exponga. Parte vital de hacer matemáticas conlleva, que los estudiantes discutan, hagan conjeturas, saquen conclusiones, defiendan sus ideas y escriban sus conceptualizaciones, todo lo anterior, con retroalimentación del maestro. Los conceptos de números, operaciones, y cálculos deben ser definidos, concebidos, y aplicados, ampliamente. Los problemas del mundo real requieren una diversidad de herramientas para poder manejar la información cuantitativa. Los estudiantes deben tener una buena cantidad de experiencias para poder desarrollar un sentido intuitivo de números y operaciones; una forma de “sentir” lo que está ocurriendo en las distintas situaciones en las que se podrían utilizar varias operaciones. Para dar un ejemplo de lo anterior, dos concepciones diferentes de la resta están involucradas si se pregunta (1) Si tengo tres canicas y entrego dos, ¿cuántas conservo? Versus (2) Si tengo tres canicas y otra persona tiene siete, ¿cuántas canicas de más tiene la otra persona? El maestro no debe eludir la diferencia entre las dos situaciones, invocando simplemente el procedimiento de la resta, con el fin de encontrar la “respuesta correcta”. Los conceptos de geometría y medición se aprenden mejor mediante experiencias que involucren la experimentación y el descubrimiento de relaciones con materiales concretos. Cuando los estudiantes construyen su propio conocimiento de geometría y medición, están mejor capacitados para usar su comprensión inicial en ambientes del mundo real. Desarrollan su sentido espacial en dos o tres dimensiones por medio de exploración con objetos reales. Los conceptos de medición se entienden mejor con experiencias verdaderas realizando mediciones y estimación de medidas. Lo que es más importante es que esas experiencias son especialmente valiosas para construir sentido numérico y operativo. La comprensión de estadísticas, datos, azar y probabilidad se deriva de aplicaciones del mundo real. La necesidad de tomar decisiones en base a información numérica permea la sociedad y motiva trabajar con datos reales. La probabilidad se desprende de la consideración realista de riesgo, azar e incertidumbre. Los estudiantes pueden desarrollar competencia matemática por medio de la formulación de problemas y soluciones que involucren decisiones basadas en recolección de datos, organización, representación (gráficas, tablas) y análisis. Uno de los mayores propósitos de la evaluación es ayudar a los maestros a entender mejor qué saben los estudiantes y a tomar decisiones significativas sobre actividades de enseñanza y aprendizaje. Debe usarse una diversidad de métodos de evaluación para valorar a los estudiantes individualmente, incluyendo pruebas escritas, orales y demostraciones, las cuáles deben todas concordar con el currículo. Todos los aspectos del conocimiento matemático y sus relaciones deben ser valorados y utilizados para ayudar al profesor a planear actividades de enseñanza y aprendizaje. Las pruebas estandarizadas cumplen una mejor función en la evaluación de programas que en la evaluación de estudiantes individuales. Sugerencias para la práctica pedagógica en el aula de clase AUMENTARDISMINUIRPrácticas de EnseñanzaUso de materiales manipulables Trabajo de grupo cooperativo Discusiones sobre matemáticas Cuestionar y realizar conjeturas Justificación del pensamiento Escribir acerca de las matemáticas Solución de problemas como enfoque de enseñanza Integración de contenidos Uso de calculadoras y computadores Ser un facilitador del aprendizaje Evaluar el aprendizaje como parte integral de la enseñanza Uso de recursos virtuales que faciliten la conceptualizaciónPráctica mecánica Memorización mecánica de reglas y fórmulas Respuestas únicas y métodos únicos para encontrar respuestas Uso de hojas de ejercicios rutinarios· Prácticas escritas repetitivas Práctica de la escritura repetitiva Enseñar diciendo Enseñar a calcular fuera de contexto Enfatizar la memorización Examinar únicamente para las calificaciones Ser el dispensador del conocimiento Matemáticas como Solución de ProblemasPlanteamiento verbal de problemas con variedad de estructuras y de formas de solución Problemas y aplicaciones de la vida diaria Estrategias de solución de problemas Problemas abiertos y proyectos de solución de problemas ampliados Investigación y formulación de preguntas provenientes de problemas o situaciones problemáticas Uso de palabras claves para determinar las operaciones a utilizar Práctica rutinaria, problemas de un solo paso o nivel Práctica de problemas categorizados por tipos Matemáticas como ComunicaciónDiscusiones matemáticas· Lecturas sobre matemáticas Escritura sobre matemáticas Escuchar la exposición de ideas matemáticas Llenar los espacios de hojas de trabajo Responder preguntas que solo necesitan como respuesta sí o no Responder preguntas que requieren únicamente respuestas numéricas Matemáticas como RazonamientoDeducir conclusiones lógicas Justificar respuestas y procesos de solución Razonar inductiva y deductivamente Confiar en la autoridad (maestro, hoja de respuestas) Conexiones MatemáticasConectar las matemáticas a otras materias y al mundo real Conectar tópicos dentro del mismo campo matemático Aplicar las matemáticas Aprender tópicos aislados· Desarrollar habilidades fuera de contexto Números/Operaciones/CálculosDesarrollar sentido numérico y de operaciones Entender el significado de conceptos claves como posición numérica, fracciones, decimales, razones, proporciones y porcentajes Varias estrategias para estimar Pensar estrategias para hechos básicos Uso de calculadoras para operaciones de cálculo complejas Uso temprano de notaciones simbólicas Cálculos complejos y tediosos con lápiz y papel Memorización de reglas y procedimientos sin entenderlos Geometría / MedicionesDesarrollo de sentido espacial Mediciones reales y los conceptos relacionados con unidades de medida Uso de geometría en solución de problemas Memorizar hechos y relaciones Memorizar equivalencias entre unidades de medida Memorizar fórmulas geométricas Estadísticas / ProbabilidadRecolección y organización de datos Usar métodos estadísticos para describir, analizar, evaluar y tomar decisiones Memorizar fórmulas Patrones / Funciones / ÁlgebraReconocimiento y descripción de patrones Identificación y uso de relaciones funcionales Desarrollo y utilización de tablas, gráficas y reglas para describir situaciones Utilización de variables para expresar relaciones Manipulación de símbolos Memorización de procedimientos y ejercicios repetitivos EvaluaciónLa evaluación/valoración como parte integral de la enseñanza Enfocarse en una amplia gama de tareas matemáticas y optar por una visión integral de las matemáticas Desarrollar situaciones de problemas que para su solución requieran la aplicación de un número de ideas matemáticas Hacer uso de técnicas múltiples de evaluación que incluyan pruebas escritas, orales y demostraciones Evaluar o valorar, contando simplemente las respuestas correctas de pruebas o exámenes realizados con el único propósito de otorgar calificaciones Enfocarse en un amplio número de habilidades específicas y aisladas· Hacer uso de ejercicios o planteamientos de problemas que requieran para su solución solamente de una o dos habilidades Utilizar únicamente exámenes o pruebas escritas FUNDAMENTOS FUNDAMENTOS CULTURALES El ser humano es un hacedor de cultura, un transformador de realidades. Desde los tiempos primitivos cuando se le ocurrió emplear por primera vez las herramientas, no sólo utilizándolas sino además construyéndolas , la relación entre el hombre y la naturaleza ha sido una continua inter-relación en la que el mundo mediatiza, desafía, obstaculiza y provee y el ser humano soluciona, crea, y se abastece para convertirse así en el “homosapiens” o en el hombre racional, es decir, aquel que no sólo está en el mundo, sino que lo piensa, lo trasciende, lo interpreta y lo simboliza. Ahora bien, simbolizar es un metalenguaje, es un lenguaje creado sobre lo ya creado, es decir, es un lenguaje que reemplaza realidades ya existentes, y es aquí donde las matemáticas surgen como solución al gran problema de la cuantificación e interpretación conceptual de la realidad, es en este papel de simbolizadoras donde se convierten en herramienta para el ser humano y en concepto simbólico de lo existente. El número en la práctica educativa ya no es meramente símbolo ni meramente objeto, es las dos cosas, símbolo en cuanto representa y simboliza otra realidad, generalmente una cantidad y objeto porque es el resultado de abstraer del mundo real unos referentes. Por ejemplo, al enunciar el número 4 como símbolo posiblemente no se tenga una función cultural o de interacción entre lo matemático y lo humano, pero cuando 4 adquiere significado en lo referencial; 4 pesos, 4 árboles, 4 elementos; necesariamente el ser humano estaría interactuando como mediador cultural para que el mundo matemático sea también el mundo de lo cultural. No se puede olvidar que en las culturas aborígenes precolombinas existían sistemas numéricos y matemáticos bien estructurados y bien utilizados en su función social, tampoco es desconocido que paralelamente al lado de la evolución histórica de la humanidad ha existido la evolución histórica de las matemáticas y que siendo el hombre un ser en relación, mucha parte de esa relación se ha efectuado con base en los presupuestos y las hipótesis de las ciencias matemáticas, que gracias a ellas la realidad se ha hecho medible y calculable, y que en definitiva es desde esas hipótesis desde donde ha podido proyectar el progreso de la ciencia y la tecnología tan características de nuestro tiempo. En el camino de la pedagogía y la educación, las matemáticas no son un elemento aislado de todo el proceso cultural de la sociedad, ni algo ajeno a la vida misma de dicha sociedad; las matemáticas como ciencia son cultura y son sociedad en cuanto son herramientas de “aprehensión” de la realidad y del universo, y que en mucha parte han sido ellas, las que desde la física y el cálculo han descifrado muchos de los grandes misterios de la vida. FUNDAMENTOS ANTROPOLÓGICOS Si el presupuesto y objeto de la antropología es responder al interrogante ¿Qué es el hombre? Consecuentemente la fundamentación antropológica de las matemáticas debe orientarse hacia la solución de dicho interrogante desde el campo concreto del que hacer de las propias matemáticas como ciencia. El ser humano ha sido definido desde múltiples perspectivas especialmente atendiendo a su proceso de desarrollo y transformación de la realidad y a su evolución como ser histórico biológico; una de esas definiciones lo particulariza como “Hombre racional, es decir el homosapiens” aquel ser que no solo transforma mecánica y tecnológicamente su mundo sino que además lo piensa lo abstrae y lo codifica a través de símbolos; desde esta última dimensión el universo matemático se convierte en trabajo de corte antropológico por cuanto la actividad racional que caracteriza en un 99% el trabajo y finalidad de la ciencias matemáticas, es exclusivamente actividad humana. El proceso de abstracción y elaboración simbólica de aquellas necesariamente obedecen que procesos de adecuación que las matemáticas elaboran del mundo de lo concreto y sus procesos de solución y construcción levantadas sobre lo simbólico tiene como razón de ser y objetivo el perfeccionar el mundo de lo concreto, los conceptos matemáticos y sus operaciones, solo se hacen transformación y cultura en el campo de lo pragmático, en las obras que el ser humano emplea para el desarrollo y es precisamente en este desarrollo en donde las ciencias matemáticas son actividades humanas. Las miles de operaciones mentales y simbólicas que realiza el ejercicio matemático se hacen realidad y vida humana en los edificios, en las carreteras, en los computadores, en las comunicaciones y el progreso cada vez más elevado del pensamiento humano aplicando a la agricultura, la medicina, la ingeniería de alimentos y todas las demás ramas del saber de la humanidad. El propio pensamiento como actividad cerebral que constituye la materia prima del trabajo matemático es un proceso fundamentado desde lo antropológico, desde el desafío que el ser humano se plantea para adecuar la realidad cada vez más a sus necesidades y expectativas, para que en definitiva la vida y el mundo en que se desarrollan sean las mejores, para ello actividades tan sencillas de lo cotidiano como contar, medir, comparar, repartir y ubicarse espacio – temporalmente dejan de ser actos aislados y se convierten en eslabones de una cadena absolutamente necesarios para que el ser humano y la sociedad sean lo que teleológicamente deben ser, aquello a lo que están llamados a ser como sujeto y espacio de realización y perfección de la creación. FUNDAMENTOS EPISTEMOLOGICOS La epistemología es una reflexión crítica sobre la ciencia, sobre el conocimiento científico, es decir, la epistemología hace un análisis detenido y consciente de las estructuras lógicas que elaboran el conocimiento científico. El conocimiento del mundo se fundamenta en la experiencia sensible, mediante la práctica transformadora de la realidad. El primer nivel del conocimiento lo constituye la sensación. La integración de las sensaciones a nivel de la conciencia y la configuración de una imagen sensible de un objeto es la percepción que realiza a nivel cerebral. En la sensación el hombre obtiene una información muy limitada del mundo, del cosmos y del universo. En la percepción el ser humano conoce las cosas, los objetos y sus propiedades con más detalle; analiza, conoce, abstrae, sustancializa o racionaliza en detalle el universo y su entorno. Estas percepciones y sensaciones no dan a nivel cerebral la formación de ideas o conceptos. Los conceptos son verdaderas imágenes mentales (según Platón), de las cosas o procesos reales. Los juicios no permiten afirmar o negar determinadas propiedades de ciertos objetos. La razón o encadenamiento lógico de los juicios de un discurso, constituye la forma propia del conocimiento intelectual mismo Todo problema del conocimiento nos lleva a formularnos preguntas acerca del mundo, de nuestra realidad y de nuestra conciencia; y todo problema epistemológico nos lleva a preguntarnos acerca de las cosas mediante las cuales se orienta correctamente al conocimiento en una forma determinada. El conocimiento es el resultado de la relación entre dos elementos: un sujeto cognoscente y un objeto inteligible (lo que es apto para conocer), este puede ser real o ideal. Las matemáticas pueden ser caracterizadas como una ciencia abstracta, formal, exacta y deductiva. Se le puede definir como la ciencia de la cantidad o de las relaciones cuantitativas. Las matemáticas se ocupan de objetos ideales, es decir de objetos independientes de la experiencia, ya que solamente tienen existencia en el pensamiento. Estos elementos matemáticos de forma abstracta son la cantidad o la magnitud, o sea, todo aquello que sea susceptible de aumento o disminución. Con respecto a las matemáticas, algunos profesores las asumen como un cuerpo estático y unificado de conocimientos, otros las conciben como un conjunto de estructuras interconectadas, otros simplemente como un conjunto de reglas, hechos y herramientas; hay quienes las describen como la ciencia de los números y las demostraciones. El conocimiento matemático escolar es considerado por algunos como el conocimiento cotidiano que tiene que ver con los números y las operaciones, y por otros como el conocimiento matemático elemental que resulta de abordar superficialmente algunos elementos mínimos de la matemática disciplinar. En general consideran que las matemáticas en la escuela tienen un papel esencialmente instrumental, que por una parte se refleja en el desarrollo de habilidades y destrezas para resolver problemas de la vida práctica., para usar ágilmente el lenguaje simbólico, los procedimientos y algoritmos y, por otra, en el desarrollo del pensamiento lógico – fundamental. La historia da cuenta de siglos y siglos de diversas posiciones y discusiones sobre el origen y la naturaleza de las matemáticas; es decir, sobre si las matemáticas existen fuera de la mente humana o si son una creación suya; si son exactas e infalibles o si son falibles, corregibles, evolutivas y provistas de significado como las demás ciencias. Las concepciones acerca del conocimiento matemático escolar, provienen de: EL PLATONISMO Este considera las matemáticas como un sistema de verdades que han existido desde siempre e independientemente del hombre. La tarea del matemático es descubrir esas verdades matemáticas, ya que en cierto sentido está sometido a ellas y las tiene que obedecer. Por ejemplo, si construimos un triángulo de catetos c y d y de hipotenusa h, entonces irremediablemente encontraremos que: h2 = c2 + d2. El Platonismo reconoce que las figuras geométricas, las operaciones y las relaciones aritméticas nos resultan en alguna forma misteriosas; que tienen propiedades que descubrimos solo a costa de un gran esfuerzo; que tienen otras cosas que nos esforzamos por descubrir pero no lo conseguimos, y que existen otras que ni siquiera sospechamos, ya que las matemáticas trascienden la mente humana, y existen fuera de ella como una realidad ideal independiente de nuestra actividad creadora y de nuestros conocimientos previos. EL LOGICISMO Esta corriente de pensamiento considera que las matemáticas son una rama de la lógica, con vida propia, pero con el mismo origen y método, y que son parte de una disciplina universal que regiría todas las formas de argumentación. Propone definir los conceptos matemáticos mediante términos lógicos, y reducir los teoremas matemáticos, los teoremas de la lógica, mediante el empleo de deducciones lógicas. Prueba de lo anterior es la afirmación de que la lógica matemática es una ciencia que es anterior a las demás, y que contiene las ideas y los principios en que se basan todas las ciencias. Claro que hay que tener en cuenta que para los antiguos, la lógica era más un arte que una ciencia: un arte que cultiva la manera de operar válidamente con conceptos y proposiciones; un juego de preguntas y respuestas; un pasatiempo intelectual que se realizaba en la academia de Platón y en el liceo de Aristóteles, en el que los contendientes se enfrentaban entre sí mientras el público aplaudía los ataques y las respuestas. Esta corriente reconoce la existencia de dos lógicas que se excluyen mutuamente: la deductiva y la inductiva. La deduc5iva busca la coherencia de las ideas entre sí; parte de premisas generales para llegar a conclusiones específicas. La inductiva procura la coherencia de las ideas con el mundo real; parte de observaciones específicas para legar a conclusiones generales, siempre provisorias, que va refinando a través de experiencias y contrastaciones empíricas. EL FORMALISMO Esta corriente reconoce que las matemáticas son una creación de la mente humana y considera que consisten solamente en axiomas, definiciones y teoremas como expresiones formales que se ensamblan a partir de símbolos, que son manipulados o combinados de acuerdo con ciertas reglas o convenios preestablecidos. Para el formalista las matemáticas comienzan con la inscripción de símbolos en el papel; la verdad de la matemática formalista radica en la mente humana pero no en las construcciones que ella realiza internamente, sino en la coherencia con las reglas del juego simbólico respectivo. En la actividad matemática, una vez fijados los términos iniciales y sus relaciones básicas, ya no se admite nada impreciso u oscuro; todo tiene que ser perfecto y bien definido. Las demostraciones tienen que ser rigurosas, basadas únicamente en las reglas del juego deductivo respectivo e independiente de las imágenes que asociemos con los términos y con las relaciones. EL INTUICIONISMO Considera que las matemáticas como el fruto de la elaboración que hace la mente a partir de lo que se percibe a través de los sentidos y también como el estudio de esas construcciones mentales cuyo origen o comienzo puede identificarse con la construcción de los números naturales. Puede decirse que toda la matemática griega y en particular la aritmética, es espontáneamente intuicionista, y que la manera como Kant concebía la aritmética y la geometría es fundamentalmente intuicionista, por más que el intuicionismo como escuela de filosofía de las matemáticas se haya conformado solo a comienzos del siglo XX. El principio básico del intuicionismo es que las matemáticas se pueden construir; que han de partir de lo intuitivamente dado, de lo finito, y que solo existe lo que en ellas haya sido construido mentalmente con ayuda de la intuición. El fundador del intuicionismo moderno es Luitzen Brouwer (1.881 – 1968), quien considera que en matemáticas la idea de existencia es sinónimo de constructibilidad y que la idea de verdad es sinónimo de demostrabilidad. EL CONSTRUCTIVISMO Está muy relacionado con el intuicionismo pues también considera que las matemáticas son una creación de la mente humana, y que únicamente tienen existencia real aquellos objetos matemáticos que pueden ser construidos por procedimientos finitos a partir de objetos primitivos. Con las ideas constructivistas van muy bien algunos planteamientos de George Cantor (1.845 – 1.918): “la esencia de las matemáticas es su libertad. Libertad para construir, libertad para hacer hipótesis. El constructivismo matemático es muy coherente con la pedagogía activa y se apoya en la psicología genética; se interesa por las condiciones en las cuales la mente realza la construcción de los conceptos matemáticos, por la forma como los organiza en estructuras y por la aplicación que les da; todo ello tiene consecuencias inmediatas en el papel que juega el estudiante en la generación y desarrollo de sus conocimientos. No basta con que el maestro haya hecho las construcciones mentales; cada estudiante necesita a su vez realizarlas; en eso nada ni nadie lo puede reemplazar. FUNDAMENTOS SOCIOLÓGICOS A medida que el hombre iniciaba su proceso de evolución, se comenzó a dar cuenta que frente a sus ojos había todo un mundo, un sistema natural del que de una u otra forma debía apropiarse y manejarlo a su antojo. Tenía que hallar la manera de entender completamente su realidad, y lo que su buen juicio no pudiera interpretar, por lo menos debía hallarle su representación. Conforme corría el tiempo y el cerebro humano se extendía al ritmo de las sociedades nacientes, se comenzó a marcar la condición social humana y su necesidad de coaccionar con sus semejantes, dando como resultado el total aprovechamiento del habla, la invención de la escritura, y todos aquellos simbolismos que permitieron explotar las habilidades comerciales, como el intercambio y el bien llamado “trueque”, que no tuvo otra base que el conocimiento matemático al relacionar el tipo y la cantidad de las mercancías ofrecidas en los mercados. Cuando se inventaron los números, se vio la necesidad de cuantificar todo cuanto se tenía alrededor, dando una idea exacta de cómo estaba distribuida la naturaleza. Si partimos de la necesidad de subsistir, el hombre, más que ningún otro ser vivo, requiere de la presencia de los demás de su especie para mantenerse en el ciclo de la vida. Alimentarse, vestirse y alojarse, requieren cada vez más de un esfuerzo conjunto. Este esfuerzo se materializa históricamente en el trabajo humano, el cual guarda una estrecha relación con la manera como el hombre se ha ido organizando socialmente, para alcanzar mayores niveles de satisfacción material y espiritual. Junto con la preocupación por el trabajo, surge la preocupación por la educación, la cual, desde los primeros tiempos gira en torno al aprendizaje de técnicas y a la fabricación de instrumentos para trabajar, a fin de producir los bienes y los servicios que demandan las personas y los grupos que componen el sistema social. La relación educación-sociedad es tan estrecha que bien se podría analizar una sociedad a partir de su sistema educativo. La educación es un producto de la sociedad, entre otras cosas, porque esta tiende a estructurar a aquella como el proceso mediante el cual la sociedad busca moldear, a su imagen las nuevas generaciones recreando en éstas sus modos de pensar, de sentir y de actuar. Las ideas, valores, sentimientos y tradiciones que caracterizan a una sociedad, definen simultáneamente el ideal humano y en la medida en que este se realice mediante la educación, la sociedad tiene garantizada su unión y continuidad, es decir, su identidad y autenticidad en el espacio y en el tiempo. Si bien las limitaciones del hombre le impide la perfección mental y el total acercamiento a un mundo completamente conocido, se vio la necesidad de crear la idea del mito como un intento de racionalizar los enigmas de una naturaleza cuyo funcionamiento aún no alcanza a comprender; echar las bases de la ciencia, la filosofía y la religión y crear un sistema que no solo garantiza la permanencia de cierto tipo de organización, sino que contribuya al desarrollo de la conciencia social y a la organización del pensamiento y del conocimiento. Y quizás una de las ramas de la ciencia que más satisfacciones le ha brindado al ser humano son las matemáticas, porque a partir de los primeros cálculos con sumas algebraicas, hasta las complejas soluciones de las ecuaciones relacionadas con los factores naturales como la temperatura, la presión, y la misma energía, hemos visto como todos los adelantos tecnológicos y científicos de los que gozamos a diario tienen su fundamento en los números y en la forma como se operan. El aprovechamiento de los recursos naturales, la canalización de la energía eléctrica, del agua potable, la invención de los motores y hasta los viajes espaciales tiene como principio y fundamento primordial la explotación de los conocimientos matemáticos, claro está, unidos con interpretaciones de otras ciencias como la física, la química y sus diferentes ramas, que si nos ponemos a detallar, son en un principio otra forma del beneficio de los números y las operaciones matemáticas. La forma de concebir sus ideas de manera sistémica, su necesidad de seguir con riguroso orden los procedimientos para llegar a un resultado, han permitido un mejor aprovechamiento del cerebro humano y quizás se ha logrado una condición metódica a la hora de evaluar teorías y postulados que a diario se plantean al tratar de darle una significación tangible a los fenómenos naturales. La realidad cuantificada en sus inicios no solo tuvo un carácter numérico, sino que fue evolucionando hasta convertirse en una realidad simbólica que a través de las matemáticas representa el mundo y la sociedad. Con el correr de los siglos la experiencia ha mostrado como los descubrimientos y posteriores conocimientos matemáticos le han abierto al hombre las puertas por nuevos horizontes que le facilitan día a día desenvolverse cabalmente en la sociedad y ante todo manejar conceptos que conllevan a un entendimiento muy acercado de su realidad. COMPETENCIAS Sin utilizar todavía la conceptualización y la terminología actual de las competencias, la visión sobre las matemáticas escolares propuesta en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas1 preparaba ya la transición hacia el dominio de las competencias al incorporar una consideración pragmática e instrumental del conocimiento matemático, en la cual se utilizaban los conceptos, proposiciones, sistemas y estructuras matemáticas como herramientas eficaces mediante las cuales se llevaban a la práctica determinados tipos de pensamiento lógico y matemático dentro y fuera de la institución educativa. También pueden reinterpretarse como potentes precursores del discurso actual sobre las competencias la teoría del aprendizaje significativo de Ausubel, Novak y Gowin, y la de la enseñanza para la comprensión de Perkins, Gardner, Wiske y otros. En la primera, la significatividad del aprendizaje no se reduce a un sentido personal de lo aprendido, sino que se extiende a su inserción en prácticas sociales con sentido, utilidad y eficacia. En la segunda, la comprensión se entiende explícitamente como relacionada con los desempeños de comprensión, que son actuaciones, actividades, tareas y proyectos en los cuales se muestra la comprensión adquirida y se consolida y profundiza la misma. En las dimensiones de la comprensión se incluye no sólo la más usual de los contenidos y sus redes conceptuales, sino que se proponen los aspectos relacionados con los métodos y técnicas, con las formas de expresar y comunicar lo comprendido y con la praxis cotidiana, profesional o científico-técnica en que se despliegue dicha comprensión. Todas estas dimensiones se articulan claramente con una noción amplia de competencia como conjunto de conocimientos, habilidades, actitudes, comprensiones y disposiciones cognitivas, socioafectivas y psicomotoras apropiadamente relacionadas entre sí para facilitar el desempeño flexible, eficaz y con sentido de una actividad en contextos relativamente nuevos y retadores. Esta noción supera la más usual y restringida que describe la competencia como saber hacer en contexto en tareas y situaciones distintas de aquellas a las cuales se aprendió a responder en el aula de clase. Por lo dicho anteriormente, se puede hablar del aprendizaje por competencias como un aprendizaje significativo y comprensivo. En la enseñanza enfocada a lograr este tipo de aprendizaje no se puede valorar apropiadamente el progreso en los niveles de una competencia si se piensa en ella en un sentido dicotómico (se tiene o no se tiene), sino que tal valoración debe entenderse como la posibilidad de determinar el nivel de desarrollo de cada Competencia, en progresivo crecimiento y en forma relativa a los contextos institucionales en donde se desarrolla. Las competencias matemáticas no se alcanzan por generación espontánea, sino que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones problema significativo y comprensivo, que posibiliten avanzar a niveles de competencia más y más complejos. La noción general de competencia ha venido siendo objeto de interés en muchas de las investigaciones y reflexiones que adelanta la comunidad de investigadores en educación matemática. Una síntesis apretada de los resultados de éstas permite precisar que –además de los aspectos que se acaban de mencionar– el sentido de la expresión ser matemáticamente competente está íntimamente relacionado con los fines de la educación matemática de todos los niveles educativos (lo cual ha sido tratado en el apartado anterior) y con la adopción de un modelo epistemológico sobre las propias matemáticas. La adopción de un modelo epistemológico coherente para dar sentido a la expresión ser matemáticamente competente requiere que los docentes, con base en las nuevas tendencias de la filosofía de las matemáticas, reflexionen, exploren y se apropien de supuestos sobre las matemáticas tales como: Las matemáticas son una actividad humana inserta en y condicionada por la cultura y por su historia, en la cual se utilizan distintos recursos lingüísticos y expresivos para plantear y solucionar problemas tanto internos como externos a las matemáticas mismas. En la búsqueda de soluciones y respuestas a estos problemas surgen progresivamente técnicas, reglas y sus respectivas justificaciones, las cuales son socialmente decantadas y compartidas. Las matemáticas son también el resultado acumulado y sucesivamente reorganizado de la actividad de comunidades profesionales, resultado que se configura como un cuerpo de conocimientos (definiciones, axiomas, teoremas) que están lógicamente estructurados y justificados. Con base en estos supuestos se pueden distinguir dos facetas básicas del conocimiento matemático: La práctica, que expresa condiciones sociales de relación de la persona con su entorno, y contribuye a mejorar su calidad de vida y su desempeño como ciudadano. La formal, constituida por los sistemas matemáticos y sus justificaciones, la cual se expresa a través del lenguaje propio de las matemáticas en sus diversos registros de representación. En el conocimiento matemático también se han distinguido dos tipos básicos: el conocimiento conceptual y el conocimiento procedimental. El primero está más cercano a la reflexión y se caracteriza por ser un conocimiento teórico, producido por la actividad cognitiva, muy rico en relaciones entre sus componentes y con otros conocimientos; tiene un carácter declarativo y se asocia con el saber qué y el saber por qué. Por su parte, el procedimental está más cercano a la acción y se relaciona con las técnicas y las estrategias para representar conceptos y para transformar dichas representaciones; con las habilidades y destrezas para elaborar, comparar y ejercitar algoritmos y para argumentar convincentemente. El conocimiento procedimental ayuda a la construcción y refinamiento del conocimiento conceptual y permite el uso eficaz, flexible y en contexto de los conceptos, proposiciones, teorías y modelos matemáticos; por tanto, está asociado con el saber cómo. Estas dos facetas (práctica y formal) y estos dos tipos de conocimiento (conceptual y procedimental) señalan nuevos derroteros para aproximarse a una interpretación enriquecida de la expresión ser matemáticamente competente. Esta noción ampliada de competencia está relacionada con el saber qué, el saber qué hacer y el saber cómo, cuándo y por qué hacerlo. Por tanto, la precisión del sentido de estas expresiones implica una noción de competencia estrechamente ligada tanto al hacer como al comprender. Si bien es cierto que la sociedad reclama y valora el saber en acción o saber procedimental, también es cierto que la posibilidad de la acción reflexiva con carácter flexible, adaptable y generalizable exige estar acompañada de comprender qué se hace y por qué se hace y de las disposiciones y actitudes necesarias para querer hacerlo, sentirse bien haciéndolo y percibir las ocasiones de hacerlo. Estas argumentaciones permiten precisar algunos procesos generales presentes en toda la actividad matemática que explicitan lo que significa ser matemáticamente competente: Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas. Ello requiere analizar la situación; identificar lo relevante en ella; establecer relaciones entre sus componentes y con situaciones semejantes; formarse modelos mentales de ella y representarlos externamente en distintos registros; formular distintos problemas, posibles preguntas y posibles respuestas que surjan a partir de ella. Este proceso general requiere del uso flexible de conceptos, procedimientos y diversos lenguajes para expresar las ideas matemáticas pertinentes y para formular, reformular, tratar y resolver los problemas asociados a dicha situación. Estas actividades también integran el razonamiento, en tanto exigen formular argumentos que justifiquen los análisis y procedimientos realizados y la validez de las soluciones propuestas. • Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista. Es decir dominar con fluidez distintos recursos y registros del lenguaje cotidiano y de los distintos lenguajes matemáticos. • Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración. • Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y por qué usarlos de manera flexible y eficaz. Así se vincula la habilidad procedimental con la comprensión conceptual que fundamenta esos procedimientos. LOS CINCO PROCESOS GENERALES DE LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA (Competencias matemáticas) La formulación, tratamiento y resolución de problemas Este es un proceso presente a lo largo de todas las actividades curriculares de matemáticas y no una actividad aislada y esporádica; más aún, podría convertirse en el principal eje organizador del currículo de matemáticas, porque las situaciones problema proporcionan el contexto inmediato en donde el quehacer matemático cobra sentido, en la medida en que las situaciones que se aborden estén ligadas a experiencias cotidianas y, por ende, sean más significativas para los alumnos. Estos problemas pueden surgir del mundo cotidiano cercano o lejano, pero también de otras ciencias y de las mismas matemáticas, convirtiéndose en ricas redes de interconexión e interdisciplinariedad. La formulación, el tratamiento y la resolución de los problemas suscitados por una situación problema permiten desarrollar una actitud mental perseverante e inquisitiva, desplegar una serie de estrategias para resolverlos, encontrar resultados, verificar e interpretar lo razonable de ellos, modificar condiciones y originar otros problemas. Es importante abordar problemas abiertos donde sea posible encontrar múltiples soluciones o tal vez ninguna. También es muy productivo experimentar con problemas a los cuales les sobre o les falte información, o con enunciados narrativos o incompletos, para los que los estudiantes mismos tengan que formular las preguntas. Más bien que la resolución de multitud de problemas tomados de los textos escolares, que suelen ser sólo ejercicios de rutina, el estudio y análisis de situaciones problema suficientemente complejas y atractivas, en las que los estudiantes mismos inventen, formulen y resuelvan problemas matemáticos, es clave para el desarrollo del pensamiento matemático en sus diversas formas. La modelación Un modelo puede entenderse como un sistema figurativo mental, gráfico o tridimensional que reproduce o representa la realidad en forma esquemática para hacerla más comprensible. Es una construcción o artefacto material o mental, un sistema –a veces se dice también “una estructura”– que puede usarse como referencia para lo que se trata de comprender; una imagen analógica que permite volver cercana y concreta una idea o un concepto para su apropiación y manejo. Un modelo se produce para poder operar transformaciones o procedimientos experimentales sobre un conjunto de situaciones o un cierto número de objetos reales o imaginados, sin necesidad de manipularlos o dañarlos, para apoyar la formulación de conjeturas y razonamientos y dar pistas para avanzar hacia las demostraciones. En ese sentido, todo modelo es una representación, pero no toda representación es necesariamente un modelo, como sucede con las representaciones verbales y algebraicas que no son propiamente modelos, aunque pueden estarse interpretando en un modelo. Análogamente, todo modelo es un sistema, pero no todo sistema es un modelo, aunque cualquier sistema podría utilizarse como modelo, pues esa es la manera de producir nuevas metáforas, analogías, símiles o alegorías. La modelación puede hacerse de formas diferentes, que simplifican la situación y seleccionan una manera de representarla mentalmente, gestualmente, gráficamente o por medio de símbolos aritméticos o algebraicos, para poder formular y resolver los problemas relacionados con ella. Un buen modelo mental o gráfico permite al estudiante buscar distintos caminos de solución, estimar una solución aproximada o darse cuenta de si una aparente solución encontrada a través de cálculos numéricos o algebraicos sí es plausible y significativa, o si es imposible o no tiene sentido. En una situación problema, la modelación permite decidir qué variables y relaciones entre variables son importantes, lo que posibilita establecer modelos matemáticos de distintos niveles de complejidad, a partir de los cuales se pueden hacer predicciones, utilizar procedimientos numéricos, obtener resultados y verificar qué tan razonable son éstos respecto a las condiciones iniciales. Con respecto a la modelación, en la didáctica de las matemáticas se ha hablado también con frecuencia desde 1977 de “la matematización” de una situación problema, con un término introducido por Hans Freudenthal5. Esta expresión se suele tomar como sinónimo de “la modelación” y ambas pueden entenderse en formas más y más complejas, que van desde una forma muy elemental, como simplificación y restricción de la complejidad de una situación real para reducirla a una situación ya conocida, de tal manera que se pueda detectar fácilmente qué esquema se le puede aplicar, cómo se relaciona con otras y qué operaciones matemáticas pueden ser pertinentes para responder a las preguntas que suscita dicha situación, hasta una forma muy avanzada, como creación de nuevos modelos y teorías matemáticas que permitan simular la evolución de una situación real en el tiempo. La segunda forma de entender la matematización y la modelación es más propia de los cursos avanzados de física, ingeniería, economía, demografía y similares, pero la primera puede comenzarse desde el preescolar e irse complejizando en los sucesivos grados escolares; esta primera manera de entender la matematización y la modelación es la que se utiliza en los Lineamientos Curriculares y en el presente documento de Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas. Este primer sentido de la matematización o modelación puede pues entenderse como la detección de esquemas que se repiten en las situaciones cotidianas, científicas y matemáticas para reconstruirlas mentalmente. Al respecto, Lynn Arthur Steen propuso en 19886 una definición de las matemáticas que va más allá de la descripción usual de ellas como la ciencia del espacio y el número: considera que las matemáticas parten de una base empírica, pero para detectar en ella esquemas que se repiten, que podemos llamar “modelos” o “patrones” (“patterns”), y en la multitud de esos modelos o patrones detectar de nuevo otros más y teorizar sobre sus relaciones para producir nuevas estructuras matemáticas, sin poner límites a la producción de nuevos modelos mentales, nuevas teorías y nuevas estructuras. Por lo tanto, las matemáticas serían la ciencia de los modelos o patrones (“Mathematics is the science of patterns”). Steen continúa así: “El matemático busca modelos o patrones en el número, en el espacio, en la ciencia, en los ordenadores y en la imaginación. Las teorías matemáticas explican las relaciones entre modelos o patrones; las funciones y los mapas, los operadores y los morfismos conectan un tipo de modelos o patrones con otros para producir estructuras matemáticas perdurables” La comunicación A pesar de que suele repetirse lo contrario, las matemáticas no son un lenguaje, pero ellas pueden construirse, refinarse y comunicarse a través de diferentes lenguajes con los que se expresan y representan, se leen y se escriben, se hablan y se escuchan. La adquisición y dominio de los lenguajes propios de las matemáticas ha de ser un proceso deliberado y cuidadoso que posibilite y fomente la discusión frecuente y explícita sobre situaciones, sentidos, conceptos y simbolizaciones, para tomar conciencia de las conexiones entre ellos y para propiciar el trabajo colectivo, en el que los estudiantes compartan el significado de las palabras, frases, gráficos y símbolos, aprecien la necesidad de tener acuerdos colectivos y aun universales y valoren la eficiencia, eficacia y economía de los lenguajes matemáticos. Las distintas formas de expresar y comunicar las preguntas, problemas, conjeturas y resultados matemáticos no son algo extrínseco y adicionado a una actividad matemática puramente mental, sino que la configuran intrínseca y radicalmente, de tal manera que la dimensión de las formas de expresión y comunicación es constitutiva de la comprensión de las matemáticas. Podría decirse con Raymond Duval que si no se dispone al menos de dos formas distintas de expresar y representar un contenido matemático, formas que él llama “registros de representación” o “registros semióticos”, no parece posible aprender y comprender dicho contenido9. El razonamiento El desarrollo del razonamiento lógico empieza en los primeros grados apoyado en los contextos y materiales físicos que permiten percibir regularidades y relaciones; hacer predicciones y conjeturas; justificar o refutar esas conjeturas; dar explicaciones coherentes; proponer interpretaciones y respuestas posibles y adoptarlas o rechazarlas con argumentos y razones. Los modelos y materiales físicos y manipulativos ayudan a comprender que las matemáticas no son simplemente una memorización de reglas y algoritmos, sino que tienen sentido, son lógicas, potencian la capacidad de pensar y son divertidas. En los grados superiores, el razonamiento se va independizando de estos modelos y materiales, y puede trabajar directamente con proposiciones y teorías, cadenas argumentativas e intentos de validar o invalidar conclusiones, pero suele apoyarse también intermitentemente en comprobaciones e interpretaciones en esos modelos, materiales, dibujos y otros artefactos. Es conveniente que las situaciones de aprendizaje propicien el razonamiento en los aspectos espaciales, métricos y geométricos, el razonamiento numérico y, en particular, el razonamiento proporcional apoyado en el uso de gráficas. En esas situaciones pueden aprovecharse diversas ocasiones de reconocer y aplicar tanto el razonamiento lógico inductivo y abductivo, al formular hipótesis o conjeturas, como el deductivo, al intentar comprobar la coherencia de una proposición con otras aceptadas previamente como teoremas, axiomas, postulados o principios, o al intentar refutarla por su contradicción con otras o por la construcción de contraejemplos. La formulación, comparación y ejercitación de procedimientos Este proceso implica comprometer a los estudiantes en la construcción y ejecución segura y rápida de procedimientos mecánicos o de rutina, también llamados “algoritmos”, procurando que la práctica necesaria para aumentar la velocidad y precisión de su ejecución no oscurezca la comprensión de su carácter de herramientas eficaces y útiles en unas situaciones y no en otras y que, por lo tanto, pueden modificarse, ampliarse y adecuarse a situaciones nuevas, o aun hacerse obsoletas y ser sustituidas por otras. Para analizar la contribución de la ejecución de procedimientos rutinarios en el desarrollo significativo y comprensivo del conocimiento matemático es conveniente considerar los mecanismos cognitivos involucrados en dichos algoritmos. Uno de estos mecanismos es la alternación de momentos en los que prima el conocimiento conceptual y otros en los que prima el procedimental, lo cual requiere atención, control, planeación, ejecución, verificación e interpretación intermitente de resultados parciales. Otro mecanismo cognitivo clave es la automatización, que requiere de la práctica repetida para lograr una rápida, segura y efectiva ejecución de los procedimientos; esta automatización no contribuye directamente al desarrollo significativo y comprensivo del conocimiento, pero sí contribuye a adquirir destrezas en la ejecución fácil y rápida de cierto tipo de tareas. Estas destrezas dan seguridad al alumno y pueden afianzar y profundizar el dominio de dichos conocimientos, pero también pueden perder utilidad en la medida en que se disponga de ayudas tecnológicas que ejecuten dichas tareas más rápida y confiablemente. Otro mecanismo cognitivo involucrado es la reflexión sobre qué procedimientos y algoritmos conducen al reconocimiento de patrones y regularidades en el interior de determinado sistema simbólico y en qué contribuyen a su conceptualización. Esta reflexión exige al estudiante poder explicar y entender los conceptos sobre los cuales un procedimiento o algoritmo se apoya, seguir la lógica que lo sustenta y saber cuándo aplicarlo de manera fiable y eficaz y cuándo basta utilizar una técnica particular para obtener más rápidamente el resultado. Por ello, así el docente decida practicar y automatizar un solo algoritmo para cada una de las operaciones aritméticas usuales, es conveniente describir y ensayar otros algoritmos para cada una de ellas, compararlos con el que se practica en clase y apreciar sus ventajas y desventajas. Esta comparación permite distinguir claramente la operación conceptual de las distintas formas algorítmicas de ejecutarla y el resultado de dicha operación conceptual del símbolo producido al final de la ejecución de uno u otro algoritmo. Todo ello estimula a los estudiantes a inventar otros procedimientos para obtener resultados en casos particulares. Esto los prepara también para el manejo de calculadoras, el uso de hojas de cálculo, la elaboración de macroinstrucciones y aun para la programación de computadores. LOS CINCO TIPOS DE PENSAMIENTO MATEMÁTICO Los aspectos referidos anteriormente con respecto a la expresión ser matemáticamente competente muestran la variedad y riqueza de este concepto para la organización de currículos centrados en el desarrollo de las competencias matemáticas de manera que éstas involucren los distintos procesos generales descritos en la sección anterior. Estos procesos están muy relacionados con las competencias en su sentido más amplio explicado arriba, y aun en el sentido restringido de “saber hacer en contexto”, pues ser matemáticamente competente requiere ser diestro, eficaz y eficiente en el desarrollo de cada uno de esos procesos generales, en los cuales cada estudiante va pasando por distintos niveles de competencia. Además de relacionarse con esos cinco procesos, ser matemáticamente competente se concreta de manera específica en el pensamiento lógico y el pensamiento matemático, el cual se subdivide en los cinco tipos de pensamiento propuestos en los Lineamientos Curriculares: el numérico, el espacial, el métrico o de medida, el aleatorio o probabilístico y el variacional. El pensamiento lógico y el pensamiento matemático A mediados del Siglo XX, Jean Piaget estudió la transición de la manera de razonar de los adolescentes de lo que él llamó “el pensamiento operatorio concreto” al “operatorio formal” y propuso un conjunto de operaciones lógico-matemáticas que podrían explicar ese paso En sus estudios previos sobre la lógica y la epistemología había propuesto que el pensamiento lógico actúa por medio de operaciones sobre las proposiciones y que el pensamiento matemático se distingue del lógico porque versa sobre el número y sobre el espacio, dando lugar a la aritmética y a la geometría. Tanto el pensamiento lógico como el matemático se distinguirían del pensamiento físico, que utiliza los dos anteriores pero tiene una relación diferente con la realidad y la experiencia. En la primera sección se enunciaron algunos argumentos clásicos y actuales con respecto a la contribución de la educación matemática a la formación integral de los estudiantes: el desarrollo del pensamiento lógico, de la racionalidad y de la argumentación. Igualmente, en la sección siguiente, al analizar el proceso general de razonamiento, se mencionó el desarrollo de las competencias argumentativas que implican saber dar y pedir razones, probar y refutar, y ojalá avanzar hacia a demostración formal. No hay duda pues de que hay una estrecha relación entre el pensamiento lógico y el pensamiento matemático. Pero no puede pretenderse que las matemáticas son las únicas que desarrollan el pensamiento lógico en los estudiantes. En el aprendizaje del castellano y de las lenguas extranjeras, en la lectura de textos literarios extensos y profundos, en la filosofía, en las ciencias naturales y sociales, en fin, en cualquiera de las áreas curriculares o de los ejes transversales del trabajo escolar se puede y se debe desarrollar el pensamiento lógico. Tal vez en los deportes, cuando hay dificultades en la interpretación y la aplicación de los reglamentos de cada uno de ellos, es en donde muchos de los niños y las niñas empiezan a desarrollar competencias argumentativas y deductivas más complejas con el fin de defender a su equipo o a su jugador favorito contra las acusaciones de fuera de lugar, falta, mano voluntaria u otra violación del reglamento. Es pues necesario dejar claro que el pensamiento lógico no es parte del pensamiento matemático, sino que el pensamiento lógico apoya y perfecciona el pensamiento matemático, y con éste –en cualquiera de sus tipos– se puede y se debe desarrollar también el pensamiento lógico. Eso no quiere decir que las matemáticas no sean el lugar privilegiado para desarrollar algunos aspectos del pensamiento lógico, sobre todo en lo que concierna a las argumentaciones y deducciones informales que preparan la demostración rigurosa de teoremas matemáticos a partir de axiomas, definiciones y teoremas previos. La práctica de la definición cuidadosa de términos técnicos, la de la argumentación a partir de premisas de las que no se sabe si son verdaderas o no y la de la deducción formal basada en axiomas más o menos arbitrarios y aun contrarios a la intuición espacial o numérica se desarrollan más naturalmente con el aprendizaje de la geometría euclidiana y de las no euclidianas, del álgebra abstracta y de otras ramas ya axiomatizadas de las matemáticas. En especial, la geometría euclidiana es un campo muy fértil para el cultivo de la abstracción, la generalización, la definición, la axiomatización y, ante todo, de la deducción formal a partir de axiomas, por tener una articulación óptima entre lo intuitivo y lo formal, lo concreto y lo abstracto y lo cotidiano y lo académico. El pensamiento numérico y los sistemas numéricos Los Lineamientos Curriculares de Matemáticas plantean el desarrollo de los procesos curriculares y la organización de actividades centradas en la comprensión del uso y de los significados de los números y de la numeración; la comprensión del sentido y significado de las operaciones y de las relaciones entre números, y el desarrollo de diferentes técnicas de cálculo y estimación. Dichos planteamientos se enriquecen si, además, se propone trabajar con las magnitudes, las cantidades y sus medidas como base para dar significado y comprender mejor los procesos generales relativos al pensamiento numérico y para ligarlo con el pensamiento métrico. Por ejemplo, para el estudio de los números naturales, se trabaja con el conteo de cantidades discretas y, para el de los números racionales y reales, de la medida de magnitudes y cantidades continuas. En el caso de los números naturales, las experiencias con las distintas formas de conteo y con las operaciones usuales (adición, sustracción, multiplicación y división) generan una comprensión del concepto de número asociado a la acción de contar con unidades de conteo simples o complejas y con la reunión, la separación, la repetición y la repartición de cantidades discretas. En cierto sentido, la numerosidad o cardinalidad de estas cantidades se está midiendo con un conjunto unitario como unidad simple, o con la pareja, la decena o la docena como unidades complejas, y las operaciones usuales se asocian con ciertas combinaciones, separaciones, agrupaciones o reparticiones de estas cantidades, aunque de hecho se refieren más bien a los números que resultan de esas mediciones. Históricamente, las operaciones usuales de la aritmética eran muy difíciles de ejecutar con los sistemas de numeración griegos o con el romano, y sólo en el Siglo XIII se empezó a adoptar en Europa el sistema de numeración indo-arábigo. Entre los Siglos XIV y XIX, la enseñanza de la aritmética escolar se redujo en la práctica al manejo de este sistema de numeración para los naturales y de su extensión para los racionales positivos (o “fraccionarios”). Pero durante el Siglo XX hubo una proliferación muy grande de otros contenidos matemáticos en la Educación Básica y Media; en particular, además de los naturales, se empezaron a estudiar los sistemas numéricos de los enteros, los racionales, los reales y los complejos, y otros sistemas de numeración antiguos y nuevos (como el binario, el octal, el hexadecimal, el vigesimal y el sexagesimal para los naturales y sus extensiones a los racionales), así como las notaciones algebraicas para los números irracionales, los reales y los complejos. Estas extensiones sucesivas de los sistemas numéricos y de sus sistemas de numeración representan una fuerte carga cognitiva para estudiantes y docentes y una serie de dificultades didácticas para estos últimos. Es conveniente recordar, por ejemplo, que durante la Edad Antigua y Media ni siquiera las razones entre dos números de contar se consideraban como verdaderos números. Hoy día se aceptan como una nueva clase de números, llamados precisamente “racionales” (por la palabra latina “ratio”, que significa “razón”). El paso del concepto de número natural al concepto de número racional necesita una reconceptualización de la unidad y del proceso mismo de medir, así como una extensión del concepto de número. El paso del número natural al número racional implica la comprensión de las medidas en situaciones en donde la unidad de medida no está contenida un número exacto de veces en la cantidad que se desea medir o en las que es necesario expresar una magnitud en relación con otras magnitudes. Las primeras situaciones llevan al número racional como medidor o como operador ampliador o reductor (algunos de estos últimos considerados a veces también como “partidores” o “fraccionadores” de la unidad en partes iguales), representado usualmente por una fracción como “¾”, o por un decimal como “0,75”, o por un porcentaje como “el 75%”. Las otras situaciones llevan al número racional como razón, expresado a veces por frases como “3 de 4”, o “3 por cada 4”, o “la relación de 3 a 4”, o por la abreviatura “3:4”. Algo parecido sucede con el paso del concepto de número natural al de número entero más general, que puede ser positivo, cero o negativo, y del concepto de número racional positivo (también llamado “número fraccionario”) al de número racional más general, que también puede ser positivo, cero, o negativo. Aunque los chinos e hindúes empezaron a explorar números negativos hace más de mil años, en los países europeos éstos no se aceptaron como números hasta bien entrado el Siglo XVII. El concepto de número negativo es el resultado de la cuantificación de ciertos cambios en las medidas de una magnitud, o de la medida relativa de una magnitud con respecto a un punto de referencia, identificado con el cero. Este paso de los números naturales a los números enteros positivos y negativos (con el cero como entero) y a los números racionales positivos y negativos (con el cero como racional) no sólo amplía el concepto de número, sino que también obliga a cambios conceptuales en las operaciones y las relaciones entre ellos, configurando así sistemas numéricos diferentes. El fracaso en la medición de ciertas longitudes cuando se tomaba otra como unidad llevó al concepto de número irracional, que complementó el de número racional y llevó a pensar en un sistema unificado de números racionales e irracionales llamados “reales”, con sus operaciones y relaciones apropiadamente extendidas a los nuevos números. Las conceptualizaciones relativas a los números reales implican la aritmetización de procesos infinitos, y por ende, la construcción de las nociones de inconmensurabilidad, irracionalidad, completitud y continuidad. Igualmente, este paso de los números racionales a los números reales requiere del uso y comprensión de diferentes tipos de representaciones numéricas, sobre todo, las relativas a los números irracionales, tanto por medio de decimales infinitos como de símbolos algebraicos. El fracaso en la solución de ciertas ecuaciones algebraicas llevó a la conceptualización de un nuevo tipo de número, llamado “imaginario”, que complementó el de número real y llevó a pensar en un sistema unificado de números llamados “complejos”. Éstos, a su vez, requieren de diferentes tipos de representaciones y una extensión de las operaciones y las relaciones entre estos nuevos números complejos. Se fueron configurando así sistemas numéricos llamados “naturales”, “racionales positivos” (o “fraccionarios”), “enteros”, “racionales”, “reales” y “complejos”, cada uno de ellos con operaciones y relaciones extendidas a los nuevos sistemas numéricos a partir de su significado en los naturales y con sus sistemas de numeración o sistemas notacionales cada vez más ingeniosos. El pensamiento aritmético opera mentalmente sobre sistemas numéricos en interacción con los sistemas de numeración, y sin estos últimos no se hubieran podido perfeccionar ni siquiera los sistemas numéricos naturales, mucho menos los demás. Así pues, el desarrollo del pensamiento numérico exige dominar progresivamente un conjunto de procesos, conceptos, proposiciones, modelos y teorías en diversos contextos, los cuales permiten configurar las estructuras conceptuales de los diferentes sistemas numéricos necesarios para la Educación Básica y Media y su uso eficaz por medio de los distintos sistemas de numeración con los que se representan. El complejo y lento desarrollo histórico de estos sistemas numéricos y simbólicos esbozado arriba sugiere que la construcción de cada uno de estos sistemas conceptuales y el manejo competente de uno o más de sus sistemas simbólicos no puede restringirse a grados específicos del ciclo escolar, sino que todos ellos se van construyendo y utilizando paciente y progresivamente a lo largo de la Educación Básica y Media. Un acompañamiento pedagógico paciente y progresivo de los estudiantes puede lograr que la gran mayoría de ellos logre la proeza de recorrer doce milenios de historia del pensamiento numérico en sólo doce años de escolaridad. El pensamiento espacial y los sistemas geométricos El pensamiento espacial, entendido como “… el conjunto de los procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones, y sus diversas traducciones o representaciones materiales” contempla las actuaciones del sujeto en todas sus dimensiones y relaciones espaciales para interactuar de diversas maneras con los objetos situados en el espacio, desarrollar variadas representaciones y, a través de la coordinación entre ellas, hacer acercamientos conceptuales que favorezcan la creación y manipulación de nuevas representaciones mentales. Esto requiere del estudio de conceptos y propiedades de los objetos en el espacio físico y de los conceptos y propiedades del espacio geométrico en relación con los movimientos del propio cuerpo y las coordinaciones entre ellos y con los distintos órganos de los sentidos. Desde esta perspectiva se rescatan, de un lado, las relaciones topológicas, en tanto reflexión sistemática de las propiedades de los cuerpos en virtud de su posición y su relación con los demás y, de otro lado, el reconocimiento y ubicación del estudiante en el espacio que lo rodea, en lo que Grecia Gálvez ha llamado el meso-espacio y el macro-espacio, refiriéndose no sólo al tamaño de los espacios en los que se desarrolla la vida del individuo, sino también a su relación con esos espacios. En este primer momento del pensamiento espacial no son importantes las mediciones ni los resultados numéricos de las medidas, sino las relaciones entre los objetos involucrados en el espacio, y la ubicación y relaciones del individuo con respecto a estos objetos y a este espacio. Posteriormente, y a medida que se complejizan los sistemas de representación del espacio, en un segundo momento se hace necesaria la metrización, pues ya no es suficiente con decir que algo está cerca o lejos de algo, sino que es necesario determinar qué tan cerca o qué tan lejos está. Esto significa un salto de lo cualitativo a lo cuantitativo, lo cual hace aparecer nuevas propiedades y relaciones entre los objetos. De esta manera, la percepción geométrica se complejiza y ahora las propiedades de los objetos se deben no sólo a sus relaciones con los demás, sino también a sus medidas y a las relaciones entre ellas. El estudio de estas propiedades espaciales que involucran la métrica son las que, en un tercer momento, se convertirán en conocimientos formales de la geometría, en particular, en teoremas de la geometría euclidiana. Lo anterior implica relacionar el estudio de la geometría con el arte y la decoración; con el diseño y construcción de objetos artesanales y tecnológicos; con la educación física, los deportes y la danza; con la observación y reproducción de patrones (por ejemplo en las plantas, animales u otros fenómenos de la naturaleza) y con otras formas de lectura y comprensión del espacio (elaboración e interpretación de mapas, representaciones a escala de sitios o regiones en dibujos y maquetas, etc.), entre otras muchas situaciones posibles muy enriquecedoras y motivadoras para el desarrollo del pensamiento espacial. Así pues, la apropiación por parte de los estudiantes del espacio físico y geométrico requiere del estudio de distintas relaciones espaciales de los cuerpos sólidos y huecos entre sí y con respecto a los mismos estudiantes; de cada cuerpo sólido o hueco con sus formas y con sus caras, bordes y vértices; de las superficies, regiones y figuras planas con sus fronteras, lados y vértices, en donde se destacan los procesos de localización en relación con sistemas de referencia, y del estudio de lo que cambia o se mantiene en las formas geométricas bajo distintas transformaciones. El trabajo con objetos bidimensionales y tridimensionales y sus movimientos y transformaciones permite integrar nociones sobre volumen, área y perímetro, lo cual a su vez posibilita conexiones con los sistemas métricos o de medida y con las nociones de simetría, semejanza y congruencia, entre otras. Así, la geometría activa se presenta como una alternativa para refinar el pensamiento espacial, en tanto se constituye en herramienta privilegiada de exploración y de representación del espacio. El trabajo con la geometría activa puede complementarse con distintos programas de computación que permiten representaciones y manipulaciones que eran imposibles con el dibujo tradicional Los puntos, líneas rectas y curvas, regiones planas o curvas limitadas o ilimitadas y los cuerpos sólidos o huecos limitados o ilimitados pueden considerarse como los elementos de complicados sistemas de fi guras, transformaciones y relaciones espaciales: los sistemas geométricos. Como todos los sistemas, los geométricos tienen tres aspectos: los elementos de que constan, las operaciones y transformaciones con las que se combinan, y las relaciones o nexos entre ellos. Estos sistemas se expresan por dibujos, gestos, letras y palabras que se utilizan como registros de representación diferentes que se articulan en sistemas notacionales o sistemas simbólicos para expresar y comunicar los sistemas geométricos y posibilitar su tratamiento, para razonar sobre ellos y con ellos y, a su vez, para producir nuevos refinamientos en los sistemas geométricos. El pensamiento espacial opera mentalmente sobre modelos internos del espacio en interacción con los movimientos corporales y los desplazamientos de los objetos y con los distintos registros de representación y sus sistemas notacionales o simbólicos. Sin estos últimos, tampoco se hubiera podido perfeccionar el trabajo con los sistemas geométricos y, en consecuencia, refinar el pensamiento espacial que los construye, maneja, transforma y utiliza. Los sistemas geométricos pueden modelarse mentalmente o con trazos sobre el papel o el tablero y describirse cada vez más finamente por medio del lenguaje ordinario y los lenguajes técnicos y matemáticos, con los cuales se pueden precisar los distintos modelos del espacio y formular teorías más y más rigurosas. Estos modelos con sus teorías se suelen llamar “geometrías”. La geometría euclidiana fue la primera rama de las matemáticas en ser organizada de manera lógica. Por ello, entre los propósitos principales de su estudio está definir, justificar, deducir y comprender algunas demostraciones. La geometría euclidiana puede considerarse como un punto de encuentro entre las matemáticas como una práctica social y como una teoría formal y entre el pensamiento espacial y el pensamiento métrico. Como se dijo al tratar sobre el pensamiento lógico, el pensamiento espacial y el métrico encuentran en la geometría euclidiana un lugar privilegiado – aunque no exclusivo– para el desarrollo del pensamiento lógico y éste, a su vez, potencia y refina los dos primeros. El pensamiento métrico y los sistemas métricos o de medidas Los conceptos y procedimientos propios de este pensamiento hacen referencia a la comprensión general que tiene una persona sobre las magnit