1. ‫" קטעים מיוחדים במשולש " - השימוש‬
‫בקיפולי נייר ל הבנת מושגים בקרב תלמידות‬
‫חטיבת ביניים‬
‫ברוריה קנר‬ ‫דורית פטקין‬
‫התיאוריות הדוגלות בעיבוד מידע מתייחסות למבנה‬ ‫במאמר זה מוצג מחקר הבוחן את מידת ההשפעה של לימוד‬
‫הזיכרון האנושי כגורם המשפיע על הלמידה. גישה זו רואה‬ ‫המושגים המופשטים בגיאומטריה, כמו "קטעים מיוחדים‬
‫את ההתפתחות הקוגניטיבית כסדרה של שינויים הדרגתיים‬ ‫במשולש" בעזרת המחשות של קיפולי נייר. בתחילה יוצג‬
‫החלים בקשב, בזיכרון ובחשיבה, המביאים למיומנות גדולה‬ ‫הקוגנטיבית של‬ ‫רקע המסביר את שלבי ההתפתחות‬
‫יותר בפירוש אירועים, ולטווח רחב יותר של אסטרטגיות‬ ‫תלמידים בחטיבת הביניים והבעייתיות ברכישת מושגים‬
‫לפתרון בעיות )3991 ,‪ .(Strauss‬המחקר על עיבוד מידע אצל‬ ‫מתמטיים ובהמשך יתואר המחקר.‬
‫מתבגרים, מצביע על שיפור עקבי בקשב ובמיומנויות‬
‫השלב ההתפתחותי- קוגניטיבי‬
‫הזיכרון. מגיל הילדות ניכרים שיפורים גם בזיכרון קצר-הטווח‬
‫של תלמידי חטיבת הביניים‬
‫ובזיכרון ארוך-הטווח. השיפור בזיכרון נובע בעיקר מתהליכי‬
‫שאלת היחס בין הוראה ולמידה לבין ההתפתחות השכלית‬
‫זיכרון משופרים, כתוצאה מתחכום רב יותר בשימוש בעזרי-‬
‫של ילדים בכל גיל היא שאלה מרכזית וחשובה. ניתן למצוא‬
‫זכירה.‬
‫בספרות שלוש גישות מרכזיות המנסות לתת תשובות‬
‫לב ויגוצקי, הוגה הגישה החברתית, טען כי התפתחות‬
‫לשאלה זו: הגישה הקונסטרוקטיביסטית של פיאז'ה, גישת‬
‫קוגניטיבית מתרחשת בעיקר על-ידי אינטראקציה חברתית‬
‫עיבוד המידע על-פי שטראוס והגישה החברתית על-פי‬
‫עם אחרים, שהם מומחים בתחום ידע מסוים. השתתפות‬
‫ויגוצקי. בנוסף, קיימת גישה, הרווחת בקרב אנשי חינוך‬
‫הלומד באינטראקציה דיאלוגית עם מומחים, היא היוצרת את‬
‫מתמטי, לקביעת רמות ההתפתחות בתפיסה הגיאומטרית‬
‫הלמידה ברמה גבוהה. לפי גישה זו, התפתחות קוגניטיבית,‬
‫על-פי ואן הילה.‬
‫היא תהליך הנמשך כל החיים )8791 ,‪.(Vigotsky‬‬
‫השיפור‬ ‫תיאורית ואן הילה פותחה על-ידי זוג מתמטיקאים‬ ‫הגישה הקונסטרוקטיביסטית‬
‫בזיכרון נובע‬ ‫פיאז'ה טען כי ההתפתחות הקוגניטיבית מאופיינת בכל גיל‬
‫הולנדיים: מרי ופייר ואן הילה. לפי תיאוריה זו, החשיבה‬
‫בעיקר‬
‫מתהליכי‬ ‫בגיאומטריה מתפתחת בארבעה שלבים: הרמה הוויזואלית,‬ ‫בהתקדמות חדשה מבחינה איכותית ולא רק כמותית.‬
‫זיכרון‬ ‫הלמידה היא תהליך של התפתחות קונספטואלית, הנבנית‬
‫הרמה התיאורית, רמת הדדוקציה הבלתי פורמאלית, ורמת‬
‫משופרים,‬
‫כתוצאה‬ ‫הדדוקציה הפורמאלית. ) ‪Fuys, Gedds & Ticshler, 1988; Van‬‬ ‫על-ידי הילד בעצמו, מתוך הזדמנויות של למידה הניתנות לו‬
‫מתחכום רב‬ ‫מבחוץ )3002 ,‪ .(Even & Tirosh‬גיל ההתבגרות הוא שלב‬
‫9991,6891,‪ .(Hiele‬שליטה חלקית בשלב מסוים היא תנאי‬
‫יותר בשימוש‬
‫בעזרי- זכירה.‬ ‫הכרחי אך לא מספיק לשליטה בשלב גבוה יותר, ותלמיד‬ ‫האופרציות הפורמאליות. בשלב זה הילד יכול לחשוב‬
‫אינו יכול לתפקד בשלב מסוים אם אינו שולט בשלבים‬ ‫מחשבה מופשטת ושיטתית יותר מבעבר. שלב זה, של‬
‫הקודמים. כמו כן, תלמיד יכול לתפקד בשלבי ואן הילה‬ ‫האופרציות הפורמאליות, אינו מגיע אל המתבגר בבת אחת,‬
‫שונים בעת ובעונה אחת, בכפוף להבנה שפיתח לגבי‬ ‫אלא מתפתח בהדרגה. גיל ההתבגרות המוקדמת, גיל‬
‫מושגים שונים.‬ ‫חטיבת- הביניים שבו עוסק מחקר זה, מכונה על-ידי‬
‫החוקרים הגיל של "אופרציות פורמאליות מתהוות", ואפשר‬
‫לראות כי ילדים בגיל חטיבת-הביניים אינם עקביים בשימוש‬
‫בחשיבה הפורמאלית )6991 ,‪.(Sroufe, Cooper & DeWart‬‬
‫91‬ ‫על"ה 24 | מאי 0102‬

2. ‫דרך מעניינת להוראת מושגים בגיאומטריה מובאת על-ידי‬ ‫על-פי כל הגישות שתוארו לעיל, ניתן לראות כי גיל חטיבת‬
‫פטקין )6991( - מהתנסות להגדרה ומהגדרה להתנסות.‬ ‫הביניים, שהוא תחילתו של גיל ההתבגרות, מאופיין כשלב‬
‫בדרך זו התלמיד מגיע לבד להגדרת מושג, כאשר מובאות‬ ‫המעבר מרמת חשיבה קונקרטית המתייחסת לאובייקטים‬
‫לפניו מספר רב של דוגמאות ואי-דוגמאות של אותו מושג.‬ ‫מוחשיים, לרמת חשיבה מופשטת ויכולת עיבוד והסקה‬ ‫גיל חטיבת‬
‫הביניים,‬
‫המתמטיקאי ההולנדי המפורסם, האנס פרוידנטל, תיאר את‬ ‫לוגית.‬ ‫מאופיין‬
‫הגיאומטריה כ"חוויה ופירוש של המרחב שבו הילד חי, נושם‬ ‫כשלב‬
‫רכישת מושגים מתמטיים‬ ‫המעבר‬
‫וזז." )3791 ,‪ Freudenthal‬בתוך 7891 ,‪.(Friedlander & Lappan‬‬ ‫מרמת‬
‫הקושי בהוראת הנושא "קטעים מיוחדים במשולש" נובע‬
‫מנקודת מבט זו, אנו יכולים לחשוב על ילדים כמתחילים‬ ‫חשיבה‬
‫מהיותם לא רק מושגים חדשים ללומד, אלא גם מושגים‬ ‫קונקרטית‬
‫ללמוד גיאומטריה, החל מהרגע שבו הם רואים, מרגישים‬ ‫המתייחסת‬
‫הנתפסים כדומים זה לזה. התלמיד בחטיבת הביניים‬
‫ונעים במרחב. כאשר הילד גדל הוא מתחיל לקלוט את‬ ‫לאובייקטים‬
‫מתקשה במתן הגדרה מדויקת של מושגים אלה, ולכן נוצר‬ ‫מוחשיים‬
‫התכונות של עצמים במרחב, כמו צורה, גודל, מיקום, תנועה,‬ ‫לרמת‬
‫הפסיכולוגיה‬ ‫ביניהם.‬ ‫ההבדלים‬ ‫וטשטוש‬ ‫בלבול‬
‫סדר וצמיחה. המטרה שלנו, כמורים לגיאומטריה, היא‬ ‫חשיבה‬
‫הקוגניטיבית עוסקת בהרחבה בשאלה מהו מושג. היבט‬ ‫מופשטת‬
‫לספק התנסויות לתלמידים שיחזקו אצלם את ההבנה של‬ ‫ויכולת עיבוד‬
‫חשוב של הדיון מתייחס לשאלה, האם ניתן לאפיין מושג‬
‫המרחב סביבם )7891 ,‪.( Friedlander & Lappan‬‬ ‫והסקה‬
‫באופן חד-משמעי באמצעות תכונות. בוויכוח בשאלה מהו‬ ‫לוגית.‬
‫קשיי תלמידים במקצוע‬ ‫מושג אנו נמצאים על קרקע בטוחה כשאנו עוסקים‬
‫הגיאומטריה בחטיבת הביניים‬ ‫במושגים מתמטיים, כי במתמטיקה קיימת הגדרה לכל מושג‬
‫מבין כל הנושאים הנלמדים במסגרת שיעורי המתמטיקה‬ ‫שאינו ראשוני. ההגדרה קובעת את המשמעות שיש לייחס‬
‫בחט"ב, הגיאומטריה נחשבת בעיני התלמידים למקצוע‬ ‫לביטוי חדש באמצעות ביטויים קודמים. ההגדרה קובעת את‬
‫קשה ולא מובן. למרות שמושגים וטענות גיאומטריות‬ ‫היקף המושג )כלומר, המחלקה הכוללת את כל הדוגמאות‬
‫מבוססות על המציאות, המציאות איננה בודקת את תקפותה‬ ‫השייכות לו(, וכיצד הוא מתייחס למושגים אחרים. מבחינת‬
‫של תורה מתמטית. בכך נבדלת המתמטיקה מכלל‬ ‫ההיבט הלוגי של המושג, המצב בתחום המתמטיקה ברור.‬
‫המדעים, שאמיתות רבות בהם נבחנות, למשל, בדרך הניסוי‬ ‫לא כך הדבר כשעוסקים בהיבטים הפסיכולוגיים שלו,‬
‫במעבדה. לא תמיד ברור ללומד מתמטיקה כמה מותר ומתי‬ ‫כלומר, בשאלות הנלוות לרכישת המושג. לרכישת מושג,‬
‫אסור להשתמש במה שרואים בתהליך הפתרון או ההוכחה‬ ‫שהיא אחד המרכיבים העיקריים בלמידה, פנים רבות: ידיעת‬
‫)4991 ,‪ .(Zaslavsky‬תלמידי בית הספר העל-יסודי אמורים‬ ‫היקפו של המושג, ידיעת תוכנו של המושג , הבנת שם‬
‫להתחיל בלימודי הגיאומטריה הדדוקטיבית, השיטתית‬ ‫‪.(Tennyson‬‬ ‫&‬ ‫,‪Cochiarella‬‬ ‫)6891‬ ‫וכדומה‬ ‫המושג‬
‫המטרה‬
‫והפורמאלית. על-פי הרמות של ואן-הילה, לימודים אלו‬ ‫המתמטיקה, בהיותה תחום ידע דדוקטיבי ומופשט, מציבה‬ ‫שלנו, כמורים‬
‫מחייבים שליטה במיומנויות לימודיות שאינן קיימות ברמה‬ ‫לגיאומטריה,‬
‫וחד-משמעית‬ ‫מדויקת‬ ‫להתבטאות‬ ‫נוקשות‬ ‫דרישות‬
‫היא לספק‬
‫הוויזואלית. מסיבות אלו, עיקר הקושי בגיאומטריה מתרכז‬ ‫)4991 ,‪ ,(Zaslavsky‬ולכן, במהלך שנות הלימוד בבית הספר‬ ‫התנסויות‬
‫בחטיבת הביניים, שבה לראשונה, התלמידים נדרשים‬ ‫לתלמידים‬
‫מפתחים תלמידים רבים לא רק קשיים בלימוד המקצוע‬
‫שיחזקו‬
‫לחשיבה לוגית ודדוקטיבית. השלב הראשון של לימודי‬ ‫אלא גם חרדות רבות מפניו.‬ ‫אצלם את‬
‫גיאומטריה נעשה במסגרת בית-הספר היסודי, תוך התנסות‬ ‫ההבנה של‬
‫במחקר שנערך על-ידי פטקין )4991( בו נבדקה שליטתם‬
‫המרחב‬
‫פעילה של התלמיד הכוללת סרטוט, מדידה וגזירה, וזהו‬ ‫של תלמידים במושגים בגיאומטריה, נמצא כי התלמידים‬ ‫שסביבם.‬
‫השלב האינטואיטיבי. בשלב השני, המתחיל בחטיבת‬ ‫אינם מדייקים בניסוח מושגים ובמתן הגדרות נכונות. ניתן‬
‫הביניים, מתחיל ארגון החומר כמערכת דדוקטיבית. בשלב‬ ‫להניח כי הליקויים בידע נובעים מחוסר ההבחנה המילולית.‬
‫זה התלמיד פוגש את המושגים: הגדרה, משפט ואקסיומה.‬ ‫כמו כן נמצא במחקר כי תלמידים שוגים כאשר הם נדרשים‬
‫הוא לומד להוכיח טענות, ולפסול טענות שאינן נכונות‬ ‫לזהות הבדלים בין צורות, דבר המחזק את ההנחה של חוסר‬
‫בעזרת דוגמה נגדית )8002 ,‪.(Kinard & Kozulin‬‬ ‫במיומנות לוגית להבחנה בין מושגים.‬
‫על"ה 24 | מאי 0102‬ ‫02‬

3. ‫)5791 ,‪ (Olson‬כותב כי כל מורה למתמטיקה מבין שלמידת‬ ‫מושגים מופשטים אלו מקשים על ההבנה של הגיאומטריה‬
‫מתמטיקה דרך התנסות אקטיבית היא הלמידה היעילה‬ ‫בחטיבת הביניים. הקשיים בגיל זה הם בעיקר קשיים‬
‫ביותר.‬ ‫קוגניטיביים בסיסיים של רכישת מושגים בגיאומטריה, או‬
‫קיפולי הנייר מאפשרים התנסות אקטיבית כזאת, כאשר‬ ‫קשיים בתפיסה חזותית. מורים רבים אינם מודעים לקשיים‬
‫יצירת קווים ישרים על-ידי קיפולי נייר היא דרך מעניינת‬ ‫אלו או שאינם מכירים כלים כדי להתמודד אתם‬
‫לגלות ולהציג יחסים בין ישרים וזוויות. לאחר שהתלמיד‬ ‫)2002 ,‪.(Gal & Linchevski‬‬
‫התנסה וגילה עובדות חדשות בעזרת קיפולי הנייר, השימוש‬
‫הפורמאלי, מאוחר יותר, לא יהיה זר לו.‬ ‫הוראת " קטעים מיוחדים‬
‫קיפולי נייר מאפשרים לתאר את כל האקסיומות‬ ‫במשולש "‬
‫הגיאומטריות באופן דומה לבניות בעזרת סרגל ומחוגה, ולכן‬ ‫מחקר זה, העוסק בהוראת מושגים הנקראים "קטעים‬
‫ניתן לבצע את כל הבניות של הגיאומטריה האוקלידית‬ ‫מיוחדים במשולש", מציע גישה אחרת להוראתם, באמצעות‬
‫במישור )מלבד נושא המעגלים( על-ידי האוריגאמי ) ,‪(Alperin‬‬ ‫קיפולי נייר.‬
‫0002.‬ ‫בשלהי המאה ה- 91, סוחר ברובע יושימה בטוקיו, ייבא‬
‫לימוד מתמטיקה בעזרת קיפולי נייר אינו פרויקט טריביאלי‬ ‫ניירות צבעוניים מאירופה, גזר אותם לריבועים קטנים ומכר‬
‫וחד-פעמי. זהו תחום עשיר אשר יש לו את היתרונות של‬ ‫אותם תחת השם "אוריגאמי". זו הייתה ראשיתו של‬
‫נגישות, זמינות ותועלת מיידית לתלמידי חטיבת הביניים. הוא‬ ‫האוריגאמי מן הסוג המקובל כיום. האוריגאמי כשלעצמו‬
‫ללמידת‬ ‫מציג לתלמידים את הרעיונות הגיאומטריים, ומעודד הערכה‬ ‫ותיק בהרבה, אבל עד אז הוא נקרא בשמות שונים ונעשה‬
‫המתמטיקה‬
‫בעזרת‬ ‫של הוכחות משכנעות ושל הוכחות מסבירות. קיפולי הנייר‬ ‫בסוגי נייר שונים. העיסוק באוריגאמי התפשט גם למערב,‬
‫קיפולי נייר‬ ‫הם שובי-לב ומושכים, ויש להם תועלת אפקטיבית החסרה‬ ‫והוא מקובל הן כמשחק ילדים פשוט והן כאומנות בוגרת‬
‫יש יתרון של‬
‫נגישות,‬ ‫כל- כך להוכחות הגיאומטריות המסורתיות )6002 ,‪.(Coad‬‬ ‫ומורכבת. שמה של אומנות האוריגאמי נגזר משילוב צמד‬
‫זמינות‬ ‫המילים היפניות: ‪ – oru‬לקפל ו- ‪ - kami‬נייר )3791 ,‪Kasahara‬‬
‫ותועלת‬ ‫המחקר‬
‫מיידיים‬ ‫; 5891 ,7791 ,‪.(Gray & Kasahara‬‬
‫במסגרת מחקר זה נבדקה מידת ההשפעה של פעילות עם‬
‫לתלמידי‬ ‫‪ (1975) Levenson‬כותב, כי לעיסוק באוריגאמי תרומה‬
‫חטיבת‬ ‫קיפולי נייר על הבנת מושגים בהנדסה.‬
‫הביניים‬ ‫חשובה לתלמיד, הן בגלל המיומנויות הקוגניטיביות שהוא‬
‫השאלות אשר הנחו את המחקר הן:‬ ‫מפתח, והן בזכות הקשר שלו למתמטיקה ולגיאומטריה. ניתן‬
‫מהי מידת ההשפעה של ההוראה באמצעות קיפולי‬ ‫א.‬ ‫ללמוד בעזרתו מושגים מופשטים כמו סימטריה, ולהדגים‬
‫המושגים‬ ‫של‬ ‫וההבנה‬ ‫הלמידה‬ ‫על‬ ‫נייר,‬ ‫תרגילים גיאומטריים. כמו כן מוסיף ‪) Levenson‬שם( וטוען כי‬
‫בגיאומטריה?‬ ‫העבודה באוריגאמי היא דוגמה למצב בו הצלחת התלמיד‬
‫באיזו מידה משפיעה ההוראה באמצעות קיפולי‬ ‫ב.‬ ‫תלויה בו ולא במורה. רק תלמיד שימלא בדייקנות אחר‬
‫נייר, על המוטיבציה וההנאה של התלמידות‬ ‫ההוראות, יצליח. הלמידה בעזרת אוריגאמי היא למידה‬
‫משיעורי גיאומטריה?‬ ‫פעילה באמצעות עשייה והתנסות, ויש לה יתרון על-פני‬
‫למידה פסיבית המבוססת רק על האזנה למלל. השגת‬
‫השערת המחקר‬
‫התוצר הסופי עשויה להיות מהירה, ולהוביל לחוויית הצלחה‬
‫השערת המחקר התבססה על כך שהתלמידים בחטיבת‬
‫והישג. אף תלמיד לא יוכל להיות לא פעיל כאשר הכיתה‬
‫הביניים, הרגילים מבית הספר היסודי להסתייע בלמידה‬
‫עוסקת באוריגאמי. אין תלמיד שלא יסיק מסקנות ויגלה‬
‫באמצעים מוחשיים, ישפרו את ההבנה בגיאומטריה בעזרת‬
‫משמעות של המושגים החדשים תוך כדי העיסוק באוריגאמי‬
‫של קיפולי נייר. השימוש בכלי עזר זה יסייע‬ ‫הפעילות‬
‫)6002 ,‪ .(Hull‬השימוש בידיים בעת הקיפול משפר את‬
‫להפנים את המושגים החדשים, ויקדם את הידע של הגדרות‬
‫המעקב אחרי ההוראות, את הזכירה ואת ההבנה. אולסון‬
‫נכונות ומדויקות.‬
‫12‬ ‫על"ה 24 | מאי 0102‬

4. ‫לשיעורי‬ ‫כמו כן, התלמידים יפתחו גישה חיובית יותר‬
‫הגיאומטריה הדדוקטיבית בעקבות הפעילויות.‬
‫מהלך המחקר‬
‫אוכלוסיית המחקר כללה 11 תלמידות הלומדות בכיתה ח'‬
‫)בגילים 31-41( ברמת לימוד בינונית )רמה ב( בבית ספר‬
‫עיוני במרכז הארץ.‬
‫בתחילת המחקר היה לתלמידות ידע בסיסי של המושגים:‬
‫תיכון, גובה וחוצה-זווית במשולש. הלמידה הקודמת הייתה‬
‫בדרך הפרונטאלית הרגילה. הן תרגלו מתוך ספר הלימוד,‬
‫סרט 1 ) 9 ‪( Acrobat‬‬
‫והמורה למתמטיקה דיווחה שהתלמידות אינן שולטות‬
‫שיטת המחקר‬
‫במושגים ונוטות לבלבל ביניהם. בתחילת המחקר נערך‬
‫במחקר זה נעשה שימוש בשתי השיטות, כמותית ואיכותנית,‬
‫לתלמידות מבדק מקדים )‪ (pre‬בנושא הקטעים המיוחדים‬
‫דבר המאפשר מחקר מעמיק יותר ובעל תוקף רב יותר.‬
‫)ראה נספח א(. במהלך ההתנסות למדו התלמידות שני‬
‫כאמור, תחילה נערך המבדק שכלל 6 שאלות )נספח א(.‬
‫שיעורים בנושא קטעים מיוחדים, כאשר הפעם, שיעורים אלו‬
‫חלקן שאלות סגורות וחלקן שאלות פתוחות. שאלות מס' -3‬
‫התבססו על ההוראה באמצעות קיפולי נייר.‬
‫1 היו שאלות פתוחות, כאשר התשובה ניתנה על-ידי סרטוט.‬
‫במהלך השיעורים, התלמידות ביצעו מטלות קיפול מודרכות‬
‫התלמידות נדרשו לסרטט תיכונים, גבהים, וחוצי-זוויות‬
‫המציגות תיכונים, גבהים וחוצי-זוויות במשולשים שונים, לאו‬
‫במשולשים.‬
‫דווקא שווי-שוקיים או שווי- צלעות. פעילות זו התבצעה תוך‬
‫בשאלות אלה נבדקה ההבנה החזותית של התלמידות‬
‫כדי שיח מתמטי על קיפולים נכונים או לא נכונים הנחוצים‬
‫בנושא הקטעים המיוחדים. שאלה מספר 4 עסקה בטעות‬
‫כדי לקבל כל אחד מהקטעים הנ"ל. חציית קטע מתקבלת‬
‫נפוצה - בבלבול בין חוצה-זווית לתיכון. בשאלה מספר 5‬
‫כאשר שמים שני קצות קטע זה על זה , ישר הקיפול הוא‬
‫נבדקה יכולת זיהוי והתאמה בין ייצוגים מסורטטים לבין שם‬
‫האנך האמצעי לאותו הקטע, נקודת החיתוך של ישר הקיפול‬
‫המושג. שאלה מספר 6, שהייתה שאלה פתוחה, חולקה‬
‫עם הקטע היא אמצע הקטע. מציאת התיכון מצריכה שני‬
‫לשלושה סעיפים, כאשר בכל סעיף היה צורך להגדיר את‬
‫שלבים בקיפול: ראשית, מציאת אמצע הצלע וסימון‬
‫אחד הקטעים המיוחדים במשולש. שאלה זו באה לבדוק את‬
‫האמצע, ואחר כך, קיפול סביב ישר שקצותיו הם אמצע‬
‫מידת ההבנה ומידת הדיוק של התלמידות בהגדרת מושגים.‬
‫הצלע והקדקוד השלישי. חוצה-זווית מתקבל עם קיפול שוקי‬
‫המבדק לאחר הלמידה היה זהה לזה המוקדם. המבדק‬
‫זווית זו על גבי זו. חוצה הזווית נמצא על ישר הקיפול. גובה‬
‫נותח באופן כמותי.‬
‫לצלע של משולש נמצא על הישר העובר דרך קדקוד‬
‫הריאיון עם התלמידות היה ריאיון פתוח, שמטרתו הייתה‬
‫המשולש, ומאונך לצלע שממולו או להמשך אותה צלע. כדי‬
‫לבדוק את התחושה שלהן לאחר שיעורי ההתנסות בקיפולי‬
‫לקבל את אותו ישר שעליו נמצא הגובה, יש לקפל את‬
‫נייר. הריאיון נותח באופן איכותני.‬
‫הצלע על עצמה כאשר ישר הקיפול עובר דרך אותו קדקוד.‬
‫ממצאי המחקר וניתוחם‬ ‫ראו את הסרט המדגים בניית חוצה-זווית, גובה ותיכון‬
‫מטרת מחקר זה הייתה לבחון באיזו מידה משפרת פעילות‬ ‫באמצעות קיפולי נייר )סרט 1(.‬
‫של קיפולי נייר את ההבנה של מושגים הקשורים לקטעים‬ ‫בסיום ההתנסות נערך ריאיון עם 7 מתוך 11 התלמידות‬
‫מיוחדים במשולש אצל התלמידות.‬ ‫)ראה נספח ב(. שבוע לאחר הלמידה התלמידות עברו‬
‫ממצאי המבדקים הראו שהציון הממוצע במבחן שנערך לפני‬ ‫מבדק נוסף )‪ ,(post‬שהיה זהה למבדק הראשון.‬
‫פעילות הקיפולים היה %32. במבחן שנערך לאחר פעילות‬
‫על"ה 24 | מאי 0102‬ ‫22‬

5. ‫השאלות החזותיות )שאלות 5,3,2,1(‬ ‫קיפולי הנייר, עלה הציון והיה %26. כמו כן, מן הממצאים‬
‫עולה שחל שיפור בידע בכל אחת מן השאלות.‬
‫021‬
‫001‬ ‫כאשר נתבונן באיור 1 המתאר את התפלגות הציונים‬
‫הציון באחוזים‬
‫08‬
‫מבחן ‪PRE‬‬
‫06‬ ‫במבחן, נוכל לראות כי בשאלות מסוימות ניכר שיפור‬
‫מבחן ‪POST‬‬
‫04‬
‫02‬
‫משמעותי, ובשאלות אחרות השיפור קטן יותר, אך ניתן‬
‫0‬ ‫לראות בבירור כי בכל השאלות חל שיפור.‬
‫ח ט י יא‬ ‫ז‬ ‫א ב ג ד ה ו‬
‫התלמידות‬ ‫ממוצע הציונים‬
‫איור 2 : הציונים באחוזים שהתקבלו בשאלות‬ ‫001‬
‫הבודקות הבנה חזותית‬ ‫08‬
‫ציון באחוזים‬
‫מבחן ‪PRE‬‬ ‫06‬
‫מבחן ‪POST‬‬ ‫04‬
‫ממצאי המחקר בשאלה הבודקת תפיסות מוטעות‬ ‫02‬
‫0‬
‫מטרת שאלה מספר 4 הייתה לבדוק טעויות אופייניות של‬ ‫6‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬
‫בלבול בין התכונות של הקטעים המיוחדים במשולש.‬ ‫מספר הש אלה‬
‫בשאלה זו ניתן משולש ובו חוצה-זווית, והתלמידות נשאלו‬ ‫איור 1 : ציוני המבדקים מחולקים לפי שאלות ) באחוזים (‬
‫על גודלן של הזוויות שיצר החוצה- זווית, וכן על גודלם של‬
‫כדי לדון ביתר פירוט בממצאי המחקר, נתייחס לשינוי שחל‬
‫חלקי הצלע שאליה הוא הגיע. בשאלה זו הציון הממוצע‬
‫בציוני התלמידות בהיבטים שונים של הבנת המושגים, לפי‬
‫במבחן המקדים היה %7.22 ואילו במבחן שאחרי הלימוד‬
‫אפיון השאלות שהיו במבדק. שאלות 5,3,2,1 בדקו הבנה‬
‫הוא עלה ל- %57.04. בשאלה זו חל שיפור של %50.81.‬
‫חזותית )ויזואלית( של הקטעים המיוחדים, ולכן נדון בהם‬
‫שאלה מס' 4‬
‫כיחידה בפני עצמה. שאלה 4 בדקה טעות אופיינית, שבה‬
‫021‬ ‫נוטים תלמידים לייחס לקטע מסוים תכונות שאינן שייכות לו,‬
‫001‬
‫ציון באחוזים‬
‫מבחן ‪PRE‬‬
‫08‬ ‫ושאלה 6 בדקה את יכולת ההגדרה של התלמידות למושגים‬
‫06‬
‫מבחן ‪POST‬‬ ‫שנלמדו. באיורים הבאים נפרט את ממצאי המחקר בכל‬
‫04‬
‫02‬
‫0‬ ‫יחידה בנפרד.‬
‫ח ט י יא‬ ‫ז‬ ‫א ב ג ד ה ו‬
‫התלמידות‬ ‫ממצאי המחקר בשאלות הבודקות ידע חזותי‬
‫בשאלות 1, 2, 3 ו- 5 נבדקה מידת הזיהוי והידע של המושגים‬
‫איור 3 : הציונים באחוזים בשאלה מס' 4‬
‫מבחינה חזותית - ויזואלית. בשאלות 1-3 התלמידות התבקשו‬
‫השיפור שחל הוא קטן יחסית לשיפור שחל בשאלות‬
‫לשרטט בעצמן קטעים מיוחדים, ובשאלה 5 הן התבקשו‬
‫האחרות, אך בבואנו לבדוק את השיפור שחל אצל‬
‫לזהות קטעים מסורטטים. לסך כל השאלות החזותיות היה‬
‫התלמידות אחת לאחת, ניתן לראות מאיור 3, כי 4 תלמידות‬
‫הציון הממוצע במבחן המקדים )‪ .29.3% (pre‬במבחן בסוף‬
‫צברו 0 נקודות במבחן ‪ pre‬וחזרו וצברו 0 נקודות במבחן ‪.post‬‬
‫הלימוד )‪ ,(post‬צברו התלמידות ציון ממוצע של % 7.76.‬
‫אצל תלמידות אלו לא חל שיפור בטעויות האופייניות‬
‫כלומר, התקבל שיפור של %4.83 .‬
‫ובבלבול בין המושגים. אצל שתי תלמידות חלה נסיגה:‬
‫כפי שניתן לראות מאיור 2, כל התלמידות שיפרו את‬
‫במבחן המקדים הן צברו רק מחצית הנקודות . ואילו במבחן‬
‫הישגיהן בשאלות אלו. ניתן לראות שישנן שתי תלמידות‬
‫שלאחר מכן קיבלו שתיהן 0 נקודות. 4 תלמידות אחרות‬
‫שציונן במבחן המקדים היה 0, כלומר, לא הייתה להן כל‬
‫שיפרו מאוד את הישגיהן, כאשר שתיים מהן קיבלו 0 במבחן‬
‫הבנה במושגים הנבדקים מבחינה חזותית, ובמבחן שנערך‬
‫המקדים ושתיים אחרות קיבלו מחצית מהנקודות האפשריות,‬
‫לאחר הפעילות שיפרו תלמידות אלו את הישגיהן. אחת מהן‬
‫ואילו במבחן שלאחר הלימוד צברו ארבעתן את מלוא‬
‫אף צברה את מלוא הנקודות האפשריות.‬
‫הנקודות האפשריות.‬
‫32‬ ‫על"ה 24 | מאי 0102‬

6. ‫מבדיקת ההגדרות למושג תיכון נמצא:‬ ‫ממצאי המחקר בשאלה הבודקת יכולת הגדרה‬
‫במבחן המקדים שלוש תלמידות לא ענו כלל על‬ ‫א.‬ ‫בשאלה מספר 6, אשר בדקה יכולת הגדרה, הציון הממוצע‬
‫השאלה, ואילו במבחן השני כל התלמידות השיבו‬ ‫במבחן המקדים היה %2.71, ואילו במבחן השני הציון‬
‫לשאלה.‬ ‫הממוצע היה %6.66. כלומר, השיפור בשאלה זו היה של‬
‫במבחן המקדים השתמשה רק תלמידה אחת במושג‬ ‫ב.‬ ‫%4.94.‬
‫"קטע", ואילו במבחן השני השתמשו 9 מתוך 11‬ ‫שאלה מס' 6‬
‫תלמידות במושג "קטע".‬
‫021‬
‫במבחן המקדים ידעו 4 מתוך 11 תלמידות כי התיכון‬ ‫ג.‬ ‫001‬
‫ציון באחוזים‬
‫מבחן ‪PRE‬‬ ‫08‬
‫חוצה צלע, ובמבחן שלאחר הלימוד ידעו 8 מתוך 11‬ ‫מבחן ‪POST‬‬
‫06‬
‫04‬
‫תלמידות כי התיכון חוצה צלע )אף כי לא כולן נתנו‬ ‫02‬
‫0‬
‫הגדרה מדויקת(.‬ ‫ח ט י יא‬ ‫ז‬ ‫א ב ג ד ה ו‬
‫מבחן לאחר הלימוד‬ ‫מבחן מקדים )‪(pre‬‬ ‫התלמידות‬
‫)‪(post‬‬ ‫שם‬
‫איור 4 : הציונים באחוזים בשאלה מס' 6‬
‫הוא חוצה את הזווית )ואי-‬ ‫חוצה את הבסיס‬ ‫א‬
‫אפשר לדעת אם זה שווה(.‬ ‫באופן שווה.‬
‫ניתן לראות מאיור 4 כי כל התלמידות שיפרו את הישגיהן‬
‫חוצה את הזווית לשתי‬ ‫קטע שהוא נמצא‬ ‫ב‬
‫חלקים שווים.‬ ‫באמצע משולש.‬ ‫בשאלה זו. 4 תלמידות שלא ידעו כלל להגדיר את המושגים‬
‫קטע שיוצא מקדקוד וחוצה‬ ‫מחלק את הזווית ל-2‬ ‫ג‬ ‫במבחן המקדים וציונן היה 0, שיפרו את יכולת ההגדרה‬
‫את הזווית.‬ ‫ששתיהן שוות זו לזו.‬
‫קטע היוצא מקדקוד וחוצה‬ ‫זווית שחוצה את‬ ‫ד‬ ‫שלהן. בטבלאות הבאות מובאות ההגדרות שניתנו על-ידי‬
‫את הזווית לשני חלקים‬ ‫המשולש לשני‬ ‫הנחקרות לפני ההתנסות בקיפולי הנייר ולאחר מכן.‬
‫שווים.‬ ‫חלקים.‬
‫קטע שחוצה זווית לשני‬ ‫קו שחוצה זווית‬ ‫ה‬ ‫מבחן לאחר הלימוד‬ ‫מבחן מקדים )‪(pre‬‬ ‫שם‬
‫חצאים שונים.‬ ‫כלשהי כאשר שני‬ ‫)‪(post‬‬
‫הצדדים הם שווים.‬ ‫הקו יורד מהקדקוד‬ ‫מהתיכון הקו יורד בצורה‬ ‫א‬
‫קטע במשולש שחוצה את‬ ‫קו שהוא חוצה את‬ ‫ו‬ ‫ומחלק את הבסיס ל-2‬ ‫ישרה אל הבסיס כך‬
‫הזווית.‬ ‫זווית המשולש.‬ ‫חלקים שווים.‬ ‫שהתקבל 09 מעלות.‬
‫קטע המחלק את זווית‬ ‫קו שחוצה את זווית‬ ‫ז‬ ‫מתחיל מהזווית.‬ ‫פחות מ- 09 מעלות.‬ ‫ב‬
‫הקדקוד ל- 2 חלקים שווים.‬ ‫הקדקוד.‬ ‫קטע שיוצא מקדקוד‬ ‫חוצה את הצלע.‬ ‫ג‬
‫קטע שיוצא מקדקוד וחוצה‬ ‫חוצה את זווית‬ ‫ח‬ ‫וחוצה את הצלע מולו.‬
‫באמצע המשולש.‬ ‫המשולש.‬ ‫קטע היוצא מקדקוד‬ ‫----‬ ‫ד‬
‫קטע שיוצא מקדקוד‬ ‫----‬ ‫ט‬ ‫וחותך את האמצע.‬
‫המשולש וחוצה אותו.‬ ‫קטע היוצא מקדקוד‬ ‫קו שחוצה צלעות.‬ ‫ה‬
‫קטע שיוצא מזווית בדיוק‬ ‫מחלק את הזווית‬ ‫י‬ ‫וחוצה את הצלע מולו.‬
‫באמצע -חוצה את הזווית.‬ ‫לשניים.‬ ‫קטע במשולש שיוצא‬ ‫קו שמציין 09 מעלות.‬ ‫ו‬
‫קטע היוצא מקדקוד וחוצה‬ ‫קטע שחוצה זווית‬ ‫יא‬ ‫מקדקוד למטה.‬
‫את הזווית.‬ ‫לשני חלקים.‬ ‫קטע היוצא מהקדקוד‬ ‫קו שיוצא מהקדקוד עד‬ ‫ז‬
‫טבלה מס' 2 : ההגדרות למושג " חוצה- זווית" כפי ש נכתבו‬ ‫ומגיע לצלע שמולו‬ ‫לצלע הבסיס ויוצר 09‬
‫במבחנים‬ ‫ומחלק אותה ל- 2‬ ‫מעלות.‬
‫חלקים שווים.‬
‫מבדיקת ההגדרות למושג חוצה- זווית נמצא :‬ ‫קטע החוצה את הזווית.‬ ‫----‬ ‫ח‬
‫קטע החוצה את הצלע‬ ‫----‬ ‫ט‬
‫במבחן המקדים תלמידה אחת לא ענתה כלל ואילו‬ ‫א.‬ ‫הבסיסית של המשולש.‬
‫במבחן שלאחר הפעילות כל התלמידות ענו לשאלה.‬ ‫קטע שיוצא מזווית וחוצה‬ ‫חוצה את הצלע.‬ ‫י‬
‫את הצלע מולו.‬
‫במבחן המקדים השתמשו שתי תלמידות במושג "קטע"‬ ‫ב.‬ ‫קטע היוצא מקדקוד‬ ‫קטע החוצה את הצלע‬ ‫יא‬
‫ואילו במבחן השני השתמשו 9 מתוך 11 תלמידות‬ ‫וחוצה את הצלע.‬ ‫לשני חלקים.‬
‫במושג "קטע".‬ ‫טבלה מס' 1 : ההגדרות למושג " תיכון " כפי שנכתבו‬
‫במבחנים‬
‫על"ה 24 | מאי 0102‬ ‫42‬

7. ‫במבחן המקדים ידעו 2 מתוך 11 תלמידות כי הגובה‬ ‫ג.‬ ‫במבחן המקדים ידעו 8 מתוך 11 תלמידות כי תכונתו‬ ‫ג.‬
‫יוצר זווית ישרה עם הצלע, ובמבחן שלאחר הפעילות‬ ‫של החוצה-זווית היא: חוצה של זווית בתוך משולש,‬
‫ידעו כל התלמידות כי הוא יוצר זווית ישרה. )אף כי לא‬ ‫ובמבחן שלאחר הפעילות ידעו כל התלמידות תכונה זו.‬
‫כולן נתנו הגדרה מדויקת(.‬ ‫ממצא זה אינו מפתיע כי תכונתו של החוצה- זווית במשולש‬
‫מניתוח ההגדרות עולה כי רוב התלמידות במבחן ה- ‪Post‬‬ ‫נמצאת בשמו של המושג הנבדק, ולכן רוב התלמידים אינם‬
‫טועים בהגדרה. יש לציין כי התלמידה ט. הוסיפה להגדרה‬
‫התחילו את ההגדרה במילה "קטע", כאשר במבחן המקדים‬
‫את המילים: "ואי- אפשר לדעת אם זה שווה". במילים אלו‬
‫כמעט אף אחת לא רשמה זאת. ניכרת כאן הבנה שבהגדרה‬
‫יש לרשום תחילה מילה כללית ומדויקת )קטע( ולאחריה‬ ‫כנראה רצתה להדגיש את מה שנאמר בשיעור, כי החוצה-‬
‫לתאר את התכונה של הקטע. כמו כן, ניתן לראות כי רוב‬ ‫זווית במשולש אינו בהכרח חוצה את הצלע.‬
‫התלמידות הבינו שבהגדרה יש לכתוב תכונה ברורה וחד-‬
‫מבחן לאחר הלימוד‬ ‫מבחן מקדים )‪(pre‬‬ ‫שם‬
‫משמעית של המושג אותו הן מגדירות.‬ ‫)‪(post‬‬
‫קו שיורד מהקדקוד בצורה‬ ‫בצורה‬ ‫יורד‬ ‫הקו‬ ‫א‬
‫ממצאים מניתוח השיח בריאיון‬ ‫ישרה ויוצר 09 מעלות.‬ ‫כך‬ ‫אלכסונית‬
‫הריאיון התקיים כשיחה חופשית עם התלמידות, לאחר‬ ‫שמקבלים בסיס שווה.‬
‫חוצה את המשולש ל- 09‬ ‫יותר מ- 09 מעלות‬ ‫ב‬
‫שעברו את שני השיעורים בקיפולי נייר ולפני המבדק החוזר‬
‫מעלות.‬
‫)נספח ב(. התלמידות נענו ברצון לריאיון והיה ניכר כי הן‬ ‫קטע שיוצא מקדקוד ויוצר‬ ‫----‬ ‫ג‬
‫שמחות לחלק עם מישהו את תחושתן לאחר השיעורים. לא‬ ‫09 מעלות .‬
‫גובה היוצא מקדקוד ויוצר‬ ‫----‬ ‫ד‬
‫כל התלמידות השתתפו באופן פעיל בריאיון, אלא רק שבע‬ ‫09 מעלות עם הצלע‬
‫מהן. בניתוח הריאיון נמצאו חמישה מדדים מרכזיים: הנאה,‬ ‫שמולו.‬
‫קטע שיוצא מקדקוד ויוצר‬ ‫קו היוצר 09 מעלות‬ ‫ה‬
‫הבנה, יחס חיובי לשיטת קיפולי הנייר, רצון ללמוד בשיטה זו‬ ‫09 מעלות בצלע מולו.‬ ‫במשולש.‬
‫באופן קבוע, ותחושה של בטחון- עצמי.‬ ‫קטע במשולש ששווה 09‬ ‫יוצא מהקדקוד ויורד‬ ‫ו‬
‫מעלות.‬ ‫למטה.‬
‫דוגמאות מהראיונות‬ ‫קטע שיוצא מהקדקוד עד‬ ‫יוצא מהקדקוד ומגיע‬ ‫ז‬
‫הצלע שממולו ויצר 09‬ ‫לבסיס, ויצר שני‬
‫)המספרים בסוגריים מציינים את מס' השורה בנספח ב, בה‬
‫מעלות.‬ ‫חלקים שווים ו- 09‬
‫מופיע הציטוט(.‬ ‫מעלות.‬
‫קטע היוצא מקדקוד וחוצה‬ ‫הגובה של המשולש‬ ‫ח‬
‫הנאה: "זה כיף שמגוונים את השיעורים ולא כזה משעמם."‬
‫בצורה ישרה )09 מעלות(.‬
‫)מס' 01(‬ ‫קטע שיוצר 09 מעלות‬ ‫----‬ ‫ט‬
‫הבנה: "עכשיו הנושא הזה נראה לי ממש קל" )מס' 61(. או‬ ‫במשולש.‬
‫קטע שיוצא מהזווית ויוצר‬ ‫מאמצע הצלע ומעלה‬ ‫י‬
‫"אני הכי סתומה בכיתה ואפילו אני הצלחתי לעשות את‬ ‫בצלע שמולו 09 מעלות.‬
‫הקיפולים" )מס' 51(. או "ממש הבנתי טוב. כשהמורה‬ ‫קטע היוצא מקדקוד ויוצר‬ ‫----‬ ‫יא‬
‫09 מעלות.‬
‫מסבירה על הלוח אני לא מבינה כלום" )מס' 31(. "כי זה היה‬
‫טבלה מס' 3 : ההגדרות למושג " גובה " כפי שנכתבו‬
‫מוחשי" )מס' 81(. "ממש ראינו את הקטעים האלה ואת כל‬ ‫במבחנים‬
‫התכונות שלהם" )מס' 91(.‬
‫מבדיקת ההגדרות למושג גובה נמצא:‬
‫יחס חיובי לשיטת קיפולי נייר: " נכון. כשקיפלנו ממש‬
‫4 תלמידות לא רשמו כל הגדרה,‬ ‫א. במבחן המקדים‬
‫הבנתי" )מס' 41(.‬
‫ואילו במבחן שלאחר הפעילות כל התלמידות הגדירו‬
‫הרצון ללמוד בשיטה זו באופן קבוע: "אם ככה אנחנו‬
‫את המושג.‬
‫מבינות, לדעתי צריך להמשיך ללמד ככה. אולי בהקבצה ב'‬
‫ב. במבחן המקדים לא השתמשה אף תלמידה במושג‬
‫זה כן מתאים, עובדה שככה הבנו יותר טוב" )מס' 53(. אבל‬
‫"קטע", ואילו במבחן השני השתמשו 8 מתוך 11‬
‫מנגד היו כאלה שחשבו ש"זה טוב כדי לתת הרגשה של‬
‫תלמידות במושג "קטע".‬
‫52‬ ‫על"ה 24 | מאי 0102‬

8. ‫החומר. רוב התלמידות ציינו כי השיעורים בקיפולי נייר היו‬ ‫הבנה אבל בטח אי-אפשר ללמוד את כל ההנדסה ככה."‬
‫"כיף" וניכר שהן ניהנו. התלמידות בעצמן הרגישו את‬ ‫)מס' 92(. "לא נראה לי שהמורה היתה מסכימה ללמד הכל‬
‫העובדה שהן השתתפו באופן פעיל בשיעור, בניגוד‬ ‫ככה. היא תמיד דורשת כתיבה מדויקת..." )מס' 33(.‬
‫לשיעורים רגילים בהם חלק מהתלמידות אינן משתתפות‬ ‫ביטחון עצמי: "לדעתי, אני אצליח יותר" )מס' 93(. ולעומת‬
‫ואינן מרגישות את עצמן כחלק מהשיעור, בגלל חוסר הבנה‬ ‫זאת התקבל גם ההיגד: "אל תהיי בטוחה שנצליח, אנחנו לא‬
‫או בגלל שעמום. הן דיווחו כי יש להן תחושה של הבנה‬ ‫כאלה חכמות" )מס' 83(. או "אנחנו הקבצה ב אז בלי הרבה‬
‫בנושא הקטעים המיוחדים, וחלקן אף הגדירו את הנושא‬ ‫ציפיות" )מס' 14(‬
‫כ"קל", וידעו להסביר כי ההבנה נבעה מהפעילות המעשית‬
‫התקדמות בהישגי‬ ‫לסיכום הממצאים, ניתן להצביע על‬
‫שהמחישה להן את המושגים. הערה חיובית נוספת‬
‫התלמידות בביצוע הקיפולים, בהבנת המושגים, וביכולת‬
‫שהושמעה בשיחה הייתה "המורה עזרה לכל אחת" .‬
‫להגדיר אותם נכון. כמו כן, ניכרת אצלן תחושה של חוויה‬
‫הפעילות של קיפולי נייר גורמת לכל התלמידות להשתתף,‬
‫והנאה מהשיעור והגברת המוטיבציה ללמידת הנדסה.‬
‫ובה במידה גם גורמת למורה לעבור בין התלמידות ולעזור‬
‫לכל אחת להגיע לקיפול הנכון, כך שכל תלמידה "חוותה"‬ ‫דיון‬
‫את המושגים בעצמה.‬ ‫במחקר זה למדה קבוצת תלמידות מושגים גיאומטריים‬
‫בשיחה נשמע כי חלק מהתלמידות לא בטוחות שקיפולי נייר‬ ‫בצורה מוחשית, על-ידי כך שקיפלו בעצמן את הגבהים,‬
‫המלמדים‬ ‫הם אכן גיאומטריה, לכן חשוב שמורים‬ ‫התיכונים והחוצי-זוויות של משולשים, וכך "הרגישו" ממש את‬
‫גיאומטריה בעזרת קיפולי נייר ידגישו בפני התלמידים כי זו‬ ‫המושגים. התלמידות למדו בצורה מוחשית את ההבדל בין‬
‫פעילות בה מוצגות תכונות גיאומטריות של מושגים, ויש‬ ‫"חוצה" לבין "מחלק" על-ידי כך ששמו את שני חלקי הצלע‬
‫לגבות את הטענות בהוכחות.‬ ‫זה על זה וראו אם נוצרה חצייה של קטע או חלוקה שלו.‬
‫כאשר נשאלו התלמידות על המבדק נוסף, חלקן הפגין‬ ‫ניתן לראות בתוצאות, כי פעילות זו חיזקה את ההבנה‬
‫ביטחון עצמי, שנבע מתוך הפעילות שחוו, וחלקן עדיין לא‬ ‫בתכונות הקטעים. השימוש במשולשים שאינם שווי-שוקיים‬
‫היו בטוחות בעצמן. חשוב לומר כי הפעילות הייתה חד-‬ ‫במהלך השיעור, חיזק את ההבדלים בין הקטעים המיוחדים,‬
‫פעמית, ולכן אצל חלק מהתלמידות עדיין לא נוצר ביטחון.‬ ‫וחידד את התכונה המיוחדת של כל אחד מהם באופן‬
‫אפשר לשער כי פעילות רבה יותר שתביא אחריה הישגים‬ ‫מוחשי.‬
‫גבוהים יותר, תגרום לתלמידות ביטחון עצמי רב יותר.‬ ‫כאשר התלמידות התבקשו לקפל גובה במשולש, כולן‬
‫מתוך התוצאות ניתן לומר כי הפעילות של קיפולי נייר תרמה‬ ‫קיפלו אנך אמצעי בגלל הנטייה לקפל את הדף באמצעו.‬
‫מאוד להבנת המושגים של הקטעים המיוחדים במשולש‬ ‫הטעות הביאה אותן לחזור להגדרת גובה ולקפל אותו נכון,‬
‫אצל התלמידות שהשתתפו. דבר זה התבטא בהישגים בכל‬ ‫כאשר סימן הקיפול של האנך האמצעי נשאר. פעילות זו‬
‫השאלות. כמו כן, בציון הכללי, נמצא דפוס קבוע של עלייה‬ ‫חידדה את ההבדלים בין שני הקטעים. כמו כן, קיפול הגובה‬
‫בנקודות שצברו התלמידות. השיפור הגדול ביותר חל‬ ‫על עצמו המחיש לתלמידות כי הגובה אינו חוצה את הזווית‬
‫בשאלת שהתייחסה להגדרות, בה ניכר שיפור בהבנה מהי‬ ‫שממנה הוא יוצא. את התיכון התקשו כל התלמידות לקפל,‬
‫הגדרה באופן כללי ולא רק בנושא הספציפי שנלמד.‬ ‫מפני שהוא מצריך שני שלבים בקיפול: מציאת אמצע הצלע‬
‫התלמידות קיפלו בעצמן את המשולשים ובכך התייחסו‬ ‫וסימון האמצע, ואחר כך קיפול התיכון. גם החוויה הזו‬
‫באופן מיוחד לתכונה המאפיינת כל קטע. מתוך פעילות זו‬ ‫השאירה רושם אצל התלמידות וגרמה להן להבין ולזכור טוב‬
‫למדו התלמידות כי תכונות אלו ייחודיות לקטע זה ואין לו‬ ‫יותר את תכונתו של התיכון.‬
‫תכונות אחרות. השיפור הקטן ביותר חל בשאלה שבה‬ ‫בשיחה שנערכה לאחר השיעור עלה כי התלמידות ניהנו‬
‫נבדקו טעויות ובלבול בין מושגים. נראה כי למרות‬ ‫מאוד מהשיעור. חלק מהתלמידות סיפרו כי בדרך כלל הן‬
‫שהתלמידות הבינו ולמדו את תכונותיו של כל קטע, כאשר‬ ‫לא אוהבות שיעור מתמטיקה, חרדות מפניו ואינן מבינות את‬
‫על"ה 24 | מאי 0102‬ ‫62‬

9. ‫המבדקים ומתוך השיחה שנערכה לאחר השיעור, ניתן‬ ‫הן מתבוננות בסרטוט שבו החוצה-זווית נראה דומה לתיכון,‬
‫להסיק כי פעילות בקיפולי נייר תוכל לחדד ולשפר את‬ ‫קשה להן להשתחרר מההיצמדות ל"מה שרואים" ולהתרכז‬
‫ההבנה במושגים וטענות הנדסיות, בכלל הכיתות בחטיבת‬ ‫רק בהגדרות והנתונים שניתנו בשאלה.‬
‫הביניים. תלמידי חטיבת הביניים עדיין אינם מיומנים‬
‫מסקנות והמלצות‬
‫במערכת הוכחות פורמאליות, והשימוש בכלים מעשיים יכול‬
‫כפי שעולה מן המחקר הנוכחי, העשייה בידיים אכן שיפרה‬
‫להוביל אותם להבנה ואף לניסוח טענות בעצמם.‬
‫את ההבנה והזכירה של התלמידות במושגים תיכון, גובה‬
‫"כשאני‬ ‫מומלץ לקחת פרקים בהנדסת המישור, שבהם יש‬
‫וחוצה- זווית במשולש. ‪ (1975) Olson‬טען שההתנסות‬
‫רואה- אני‬ ‫לתלמידים קושי בהבנת מושגים מופשטים, ולתת לתלמידים‬
‫מזהה, כשאני‬ ‫היעילה ביותר. גם אנו ראינו‬ ‫האקטיבית היא הלמידה‬
‫שומע- אני‬ ‫להתנסות בקיפולי נייר בהקשר למושגים אלו. שיעורים‬
‫במחקר זה, כי ההתנסות של התלמידות בקיפולי נייר אכן‬
‫זוכר, כשאני‬ ‫כאלה, לא רק שהם מעמיקים את ההבנה של התלמידים,‬
‫עושה- אני‬ ‫הייתה יעילה. ההסבר לכך יכול להיות, שהשימוש בידיים‬
‫מבין".‬ ‫אלא הם מגוונים את שיעורי המתמטיקה וגורמים ליתר עניין‬
‫בעת הקיפול משפר את המעקב אחרי ההוראות, את הזכירה‬
‫ומוטיבציה אצל התלמידים. בשיעורים כאלה יש לצפות‬
‫ואת ההבנה. מסקנה זאת תואמת לדברי ‪(1995) Benjamin‬‬
‫להשתתפות פעילה של כל תלמידי הכיתה. על המורה‬
‫שאמר: "כשאני רואה - אני מזהה, כשאני שומע - אני זוכר,‬
‫להכין מראש את השיעור וכן להתכונן לשיח המתמטי‬
‫כשאני עושה - אני מבין" .‬
‫ולצידוקים ההנדסיים של כל צעד בקיפולי הנייר.‬
‫כאמור, המחקר נערך על קבוצה קטנה של תלמידות‬
‫הקבצה ב' בחטיבת הביניים, אך מתוך ניתוח תוצאות‬
‫מקורות‬
‫פטקין, ד' )4991(. דרכים להתמודדות עם טעויות נפוצות בלימוד גיאומטריה. החינוך וסביבו, שנתון מכללת סמינר הקיבוצים, כרך‬
‫ט"ז, 311-221.‬
‫פטקין, ד' )6991(. דרכים שונות להקניית מושגים בגיאומטריה. החינוך וסביבו, שנתון מכללת סמינר הקיבוצים כרך י"ח , 971-981.‬
‫,6 ,‪Alperin, R.G. (2000). A Mathematical Theory of Origami Constructions and Numbers. New York Journal of Mathematics‬‬
‫.331-911‬
‫‪Benjamin, R. (1995). Inculding Origami in the classroom. In V. Cornelius (Ed.), COET95-Second international Conference on‬‬
‫.‪Origami in Education and Therapy, (pp.135-14). U.S.A: Origami USA‬‬
‫.31-6 ,)1( 26 ,‪Coad, L.(2006). Paper Folding in the Middle School Classroom and Beyond. Australian mathematics Teacher‬‬
‫‪Even, R., & Tirosh, D. (2003). Teachers Knowing and Understanding. In: L. English (Ed.), Handbook of International Research‬‬
‫.‪in Mathematics, ( pp. 219-240). Mahwah, NJ: Lawrence‬‬
‫.‪Friedlander, A., & Lappan, G. (1987). Similarity: Investigation at the Middle Grade Level. In: Learning and teaching geometry‬‬
‫.7891 ‪In: M. Montgomery, & A. P. Shulte (Ed), NCTM, Yearbook‬‬
‫‪Fuys, D., Gedds, D., & Ticshler, R. (1988). The Van hiele model of thinking in geometry among adolescents. Journal for‬‬
‫.‪research in mathematics education. Monograph Series no. 3. Reston. VA.: NCTM‬‬
‫& ‪Gal, H., & Linchevski, L. (2002) Analyzing geometry problematic learning situations by theory of perception. In: A. Cockburn‬‬
‫-004 ‪E. Nardi (Eds.), Proceedings of the 26th International Conference for the Psychology of Mathematics Education, 2, (pp‬‬
‫.‪407). Norwich, United Kingdom‬‬
‫72‬ ‫על"ה 24 | מאי 0102‬

10. Gray, A., & Kasahara, K. (1977,1985). The magic of Origami. Japan publication. INC., Tokyo.
Hull, T.(2006) Project Origami :Activities for Exploring Mathematics, ( pp xi-xii). Wellesley: AK Peters Ltd.
Kasahara, K. (1973). Origami made easy. (26th edition, july 1997). Japan publication. INC., Tokyo & N. Y.
Kinard, J. T., & Kozulin, A. ( 2008). Rigorous mathematical thinking – conceptual formation in the mathematics classroom.
N.Y.: Cambridge university press.
Levenson, G. The Educational Benefits of Origami. http://home.earthlink.net/~robertcubie/origami/edu.html. Retrieved
20.9.2008 from: Olson, T. A. (1975) Mathematics through Paper Folding. The National Council of Teachers of Mathematics.
University of Alberta.
Piaget, J. (1969) The Intellectual Development of the Adolescent. In: A.H. Esman (Ed.), The Psychology of Adolescence
(1985). New- York: International Universities Press.
Sroufe, A. L., Cooper R. G., & DeWart, G. B. (1996). Child development: Its nature and course (3rd edition). New-York:
McGraw-Hill.
Strauss, S. (1993). Theories of Learning and Development for Academics and Educators. Educational Psychologist, 28(3), 191-
203.
Tennyson, R. D., & Cochiarella, M. J. ( 1986). An empirically based instructional design theory for teaching concepts. Review
of education science research, 56, 40-71.
Van Hiele, P. M. (1986). Structure and insight. Orlando, Fl: Academic Press.
Van Hiele, P. M. (1999). Developing geometric thinking through activities that begin with play. Teaching Children Mathematics,
5(6), 310-316.
Vigotsky, L. S.(1978). Interactions between Developments and Learning. In: M. Cole (Ed.), Mind in Society, (pp 79-91).
Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press.
Zaslavsky, C. (1994). Fear of math: How to get over it and get on with your life. New-Jersey: Rutgers University Press.
‫ברוריה קנר‬ ‫ד"ר דורית פטקין‬
,‫מורה ורכזת מתמטיקה באולפנת להב"ה בקדומים‬ ‫מרצה בכירה וראש החוג למתמטיקה במכללת‬
.‫ומדריכה בחטיבות הביניים‬ .‫סמינר הקיבוצים‬
2010 ‫על"ה 24 | מאי‬ 28

11. ‫נספח א : המבדק‬
‫מבדק בנושא: קטעים מיוחדים במשולש‬
‫1. במשולשים הבאים סמני קטע שיכול להיות תיכון לצלע ‪.AB‬‬
‫2. במשולשים הבאים סמני קטע שיכול להיות חוצה-זווית של ‪. B‬‬
‫3. במשולשים הבאים סמני קטע שיכול להיות גובה לצלע ‪.AB‬‬
‫4. התבונני במשולש ‪ AD .ABC‬הוא חוצה-זווית.‬
‫‪. A‬‬ ‫007 ‪‬‬ ‫נתון: 81 ס"מ = ‪. BC‬‬
‫* האם תוכלי לחשב את אורך ‪? BD‬‬
‫אם כן, חשבי: _____________________‬
‫אם לא, נמקי מדוע לא: ____________________‬
‫?‬ ‫‪BAD‬‬ ‫* האם תוכלי לחשב את זווית‬
‫אם כן, חשבי: _____________________‬
‫אם לא, נמקי מדוע לא: ____________________‬
‫5. התבונני במשולש ‪ ,ABC‬ונסי להתאים בין הקטעים‬
‫לשמותיהם:‬
‫‪AD‬‬ ‫גובה‬
‫‪AF‬‬ ‫חוצה-זווית‬
‫‪AE‬‬ ‫תיכון‬
‫6. הגדירי במילים:‬
‫א. תיכון במשולש: ______________________________________‬
‫ב. חוצה-זווית במשולש: __________________________________‬
‫ג. גובה במשולש: _______________________________________‬
‫92‬ ‫על"ה 24 | מאי 0102‬

12. ‫נספח ב : תעתיק ר י איון‬
‫מראיינת: שלום בנות. הייתי רוצה שתספרנה לי קצת על שיעורי ההנדסה המיוחדים שהיו לכן בשבוע שעבר.‬ ‫1.‬
‫תלמידה א: היה כיף. רוצים עוד שיעורים כאלה.‬ ‫2.‬
‫תלמידה ב: הלוואי שכל השיעורים היו כאלה.‬ ‫3.‬
‫תלמידה ד: היה ממש כיף וגם הבנתי הרבה יותר.‬ ‫4.‬
‫תלמידה ו: זה היה יותר כיף משיעור רגיל וגם אני הבנתי.‬ ‫5.‬
‫תלמידה יא: תמיד אני שונאת שיעורי מתמטיקה וזה היה שיעור כיף.‬ ‫6.‬
‫תלמידה א: נכון, אני תמיד ישנה בשיעור...‬ ‫7.‬
‫תלמידה ד: אני אף פעם לא משתתפת בשיעור מתמטיקה אבל זה היה אחרת.‬ ‫8.‬
‫השאר מסכימות ומהנהנות.‬ ‫9.‬
‫תלמידה ח: זה כיף שמגוונים את השיעורים ולא כזה משעמם.‬ ‫01.‬
‫תלמידה ו: הייתי רוצה לראות עוד הוכחות בגיאומטריה עם קיפולי נייר.‬ ‫11.‬
‫מראיינת: שמעתי הרבה פעמים את המילה "כיף". האם חוץ מ"כיף" זה נתן עוד משהו?‬ ‫21.‬
‫תלמידה ד: כן. אני ממש הבנתי טוב. כשהמורה מסבירה על הלוח אני לא מבינה כלום.‬ ‫31.‬
‫תלמידה ו: נכון. כשקיפלנו ממש הבנתי.‬ ‫41.‬
‫תלמידה ד: אני הכי סתומה בכיתה ואפילו אני הצלחתי לעשות את הקיפולים.‬ ‫51.‬
‫תלמידה ח: עכשיו הנושא הזה נראה לי ממש קל.‬ ‫61.‬
‫מראיינת : אתן יכולות לנסות להסביר למה זה יותר מובן משיעור רגיל?‬ ‫71.‬
‫תלמידה ד: כי זה היה מוחשי.‬ ‫81.‬
‫תלמידה ח: ממש ראינו את הקטעים האלה ואת כל התכונות שלהם.‬ ‫91.‬
‫תלמידה א: וגם המורה עזרה לכל אחת לקפל נכון.‬ ‫02.‬
‫תלמידה ב: אני ממש מרגישה שעכשיו אני מבינה את זה כי ממש ראיתי את זה.‬ ‫12.‬
‫מראיינת: אתן חושבות שתוכלנה להצליח יותר במבחן בנושא זה אם השאלות יהיו שאלות רגילות עם סרטוטים רגילים?‬ ‫22.‬
‫תלמידה ד: אני בטוחה שאצליח יותר.‬ ‫32.‬
‫תלמידה ח: גם אני. זה ממש קל עכשיו.‬ ‫42.‬
‫תלמידה א: אולי זה רק הרגשה של הבנה. אני לא יודעת אם אצליח במבחן, כי הסרטוטים תמיד מבלבלים אותי.‬ ‫52.‬
‫מראיינת: האם נראה לכן שאפשר ללמוד את כל שיעורי הגיאומטריה על-ידי קיפולי נייר?‬ ‫62.‬
‫תלמידה ב: לא נראה לי שאפשר מה שלומדים בתיכון.‬ ‫72.‬
‫תלמידה א: הלוואי, אבל לא נראה לי.‬ ‫82.‬
‫תלמידה ח: זה טוב כדי לתת הרגשה של הבנה אבל בטח אי-אפשר ללמוד את כל ההנדסה ככה.‬ ‫92.‬
‫תלמידה ו: אבל אם עשינו כבר חוצה- זווית, תיכון וגובה בקיפולי נייר, אז מה אי-אפשר לעשות עם זה? לדעתי אפשר הכל.‬ ‫03.‬
‫תלמידה ד: לא נראה לי. הגיאומטריה של התיכון הרבה יותר קשה.‬ ‫13.‬
‫תלמידה א: נכון. זה ממש נחמד וכיף אבל זה לא ממש גיאומטריה.‬ ‫23.‬
‫תלמידה י: לא נראה לי שהמורה שלנו הייתה מסכימה ללמד הכל ככה. היא תמיד דורשת כתיבה מדויקת עם "נתון" ו"צריך‬ ‫33.‬
‫להוכיח"...‬
‫תלמידה ח: סיפרתי את זה לאמא שלי שהיא מורה בחטיבה, והיא אמרה שכל הכבוד שעשו לנו כזה שיעור וזה רעיון טוב,‬ ‫43.‬
‫אבל זה לא ממש ללמוד גיאומטריה.‬
‫תלמידה ו: למה לא? אם ככה אנחנו מבינות, לדעתי צריך להמשיך ללמד ככה. אולי בהקבצה ב זה כן מתאים, עובדה‬ ‫53.‬
‫שככה הבנו יותר טוב.‬
‫תלמידה ד: נראה לכן שהמורה תסכים? ממש לא!‬ ‫63.‬
‫מראיינת: אני מבינה שיש לכן הרגשה של הבנה אחרי השיעור. אני שמחה שכך אתן מרגישות ובעוד זמן מה נערוך שוב‬ ‫73.‬
‫מבדק לראות אם באמת הבנתן.‬
‫תלמידה ו: אל תהיי בטוחה שנצליח. אנחנו לא כאלה חכמות.‬ ‫83.‬
‫תלמידה ד: לדעתי, אני אצליח יותר.‬ ‫93.‬
‫תלמידה י: גם אני.‬ ‫04.‬
‫תלמידה יא: טוב המורה, את יודעת, אנחנו הקבצה ב', אז בלי הרבה ציפיות....‬ ‫14.‬
‫מראיינת: תודה לכן.‬ ‫24.‬
‫על"ה 24 | מאי 0102‬ ‫03‬