Použití WOLFRAMALPHA pro výuku kvadratické rovnice - ukázka grafického průměru. (Určeno pro střední školy).

1. Počítáme ve WOLFRAMALPHA
(kvadratické rovnice)
© Ing. Libor Jakubčík, 2011

2. ● Velmi zajímavým nástrojem pro matematiku a
pak technické i netechnické výpočty je
WOLFRAMALPHA.
● Na některé výpočty je tento nástroj výhodnější
než GOOGLE – a zvlášť skvělá je jeho část
s grafickým výstupem. Myslím si, že příležitost
vidět na obrázku názorně, co vlastně řeším může
hodně přispět k pochopení filozofie výpočtu nebo
k vyloučení některých výsledků.
● Rozšíříme výhody ještě o další možnost – přímé
řešení rovnic, bez nutnosti jejich úprav.
● U kvadratických rovnic užijeme vždy příkaz
solve – nebudeme sledovat postup, ale jen
grafický výstup a celkový výsledek.

3. ● JAK NA TO? [1]
● Zkusíme se naučit některé postupy – na typových
příkladech. Pro cvičení si otevřete adresu:
www.wolframalpha.com
● Do zadávacího řádku WOFRAMALPHA si
postupně (pokud možno s pochopením co děláte)
pište zadání výpočtu podle vzoru z prezentace.
● Výpočet spustíte ťuknutím na = na konci řádku.
● Pozor – v desetinných číslech je desetinná
tečka!

4. ● Poznámka:
● Pro všechny kvadratické rovnice uvedené
v následujících ukázkách je požadavek řešení
v R.
● Připomeňme si, že R je množina všech reálných
čísel - je tvořena čísly racionálními (vyjádřitelná
zlomkem), nulou, a čísly iracionálními
(neukončený desetinný rozvoj a nejsou
periodická)
● Pokud v ukázce vyjde výsledek v C (obor
komplexních čísel) budeme uvažovat, že
rovnice nemá řešení v R.

5. ● Obecná kvadratická rovnice má tvar:
2
ax + bx + c = 0
– ax2 – kvadratický člen, a = koeficient
kvadratického členu
– bx – lineární člen, b = koeficient lineárního členu
– c – absolutní člen
● V následujících příkladech si ukážeme:
– kde najdeme v grafu řešení kvadratické rovnice
– jak se mění grafické znázornění při změnách
jednotlivých členů a koeficientů.

6. Obecná kvadratická rovnice a ukázka
změny a v kvadratickém členu
● Řešte v R kvadratickou rovnici a ukažte jak mění
grafické znázornění koeficient kvadratického
členu a
2
6x – 19x + 15 = 0
-6x2 – 19x + 15 = 0

7. Příkaz solve (řešit)
vede k zpřehlednění výpočtu
6x2 – 19x + 15 = 0
Je to stejné jako zadání? ANO!
Řešení (2 kořeny)
Grafické řešení
Řešením je x-ová souřadnice
(vzdálenost od počátku)
průsečíku funkce
2
y = 6x – 19x + 15
s osou x
Poloha výsledku
na číselné ose

8. Příkaz solve (řešit)
vede k zpřehlednění výpočtu
-6x2 – 19x + 15 = 0
Je to stejné jako zadání? ANO!
Řešení (2 kořeny)
Grafické řešení
Řešením je x-ová souřadnice
(vzdálenost od počátku)
průsečíku funkce
2
y = -6x – 19x + 15
s osou x
Poloha výsledku
na číselné ose

9. 6x2 – 19x + 15 = 0
a>0 zakřivení paraboly
„jako pohárek“
2
-6x – 19x + 15 = 0
a<0 zakřivení paraboly
„jako kopeček“

10. Obecná kvadratická rovnice a ukázka
změny b v lineárním členu
● Řešte v R kvadratickou rovnici a ukažte jak mění
grafické znázornění koeficient lineárního členu b
2
6x – 19x + 15 = 0
6x2 + 19x + 15 = 0

11. Příkaz solve (řešit)
vede k zpřehlednění výpočtu
6x2 – 19x + 15 = 0
Je to stejné jako zadání? ANO!
Řešení (2 kořeny)
Grafické řešení
Řešením je x-ová souřadnice
(vzdálenost od počátku)
průsečíku funkce
2
y = 6x – 19x + 15
s osou x
Poloha výsledku
na číselné ose

12. Příkaz solve (řešit)
vede k zpřehlednění výpočtu
6x2 + 19x + 15 = 0
Je to stejné jako zadání? ANO!
Řešení (2 kořeny)
Grafické řešení
Řešením je x-ová souřadnice
(vzdálenost od počátku)
průsečíku funkce
2
y = 6x + 19x + 15
s osou x
Poloha výsledku
na číselné ose

13. 2
6x – 19x + 15 = 0
Koeficient b lineárního členu
posouvá parabolu po ose x
6x2 + 19x + 15 = 0

14. Obecná kvadratická rovnice a ukázka
změny c v absolutním členu
● Řešte v R kvadratickou rovnici a ukažte jak mění
grafické znázornění koeficient absolutního
členu c
2
6x – 19x + 15 = 0
6x2 – 19x - 15 = 0

15. Příkaz solve (řešit)
vede k zpřehlednění výpočtu
6x2 – 19x + 15 = 0
Je to stejné jako zadání? ANO!
Řešení (2 kořeny)
Grafické řešení
Řešením je x-ová souřadnice
(vzdálenost od počátku)
průsečíku funkce
2
y = 6x – 19x + 15
s osou x
Poloha výsledku
na číselné ose

16. Příkaz solve (řešit)
vede k zpřehlednění výpočtu
6x2 – 19x - 15 = 0
Je to stejné jako zadání? ANO!
Řešení (2 kořeny)
Grafické řešení
Řešením je x-ová souřadnice
(vzdálenost od počátku)
průsečíku funkce
2
y = 6x – 19x - 15
s osou x
Poloha výsledku
na číselné ose

17. 6x2 – 19x + 15 = 0
Koeficient c absolutního členu
posouvá parabolu
ve směru osy y
6x2 – 19x - 15 = 0

18. Kvadratická rovnice bez absolutního
členu - změny b v lineárním členu
● Řešte v R kvadratickou rovnici bez absolutního
členu a ukažte jak mění grafické znázornění
koeficient lineárního členu b
● Absolutní člen c = 0 (0 se samozřejmě nepíše -
v tomto příkladu je to ale jen ukázka, jak se stejné
zadání změní nulovou hodnotou jednoho členu)
2
6x – 19x + 0 = 0
2
6x + 19x + 0 = 0

19. Příkaz solve (řešit)
vede k zpřehlednění výpočtu
6x2 – 19x - 0 = 0
Je to stejné jako zadání? ANO!
Řešení (2 kořeny)
Grafické řešení
Řešením je x-ová souřadnice
(vzdálenost od počátku)
průsečíku funkce
2
y = 6x – 19x
s osou x
Poloha výsledku
na číselné ose

20. Příkaz solve (řešit)
vede k zpřehlednění výpočtu
6x2 + 19x - 0 = 0
Je to stejné jako zadání? ANO!
Řešení (2 kořeny)
Grafické řešení
Řešením je x-ová souřadnice
(vzdálenost od počátku)
průsečíku funkce
2
y = 6x + 19x
s osou x
Poloha výsledku
na číselné ose

21. 6x2 – 19x - 0 = 0
Koeficient b lineárního členu
posouvá parabolu po ose x.
V tomto případě jsou koeficienty
b vzájemně opačná čísla.
Všimněte si uspořádání grafu a
2
zkuste vyslovit tvrzení pro
graf kvadratické rovnice při
6x + 19x - 0 = 0
změně b za vzájemně opačné
číslo.

22. Obecná kvadratická rovnice
neřešitelná v R
● Řešte v R kvadratickou rovnici
2
9x – 12x + 9 = 0

23. Příkaz solve (řešit)
vede k zpřehlednění výpočtu
9x2 – 12x + 9 = 0
Je to stejné jako zadání? ANO!
Řešení (2 kořeny v C)
Grafické řešení
Ukazuje názorně polohu
kořenů v C (množina
komplexních čísel)
Závěr
Rovnice nemá v R řešení

24. ● Seznam zdrojů:
● V textu a obrázcích uvedené ochranné známky a obchodní značky jsou vlastnictvím jejich oprávněných majitelů .
● [1] <http://ljinfo.blogspot.com>, [cit. 16.7.2011]
● [2] Čermák, P., Červinková, P.: Odmaturuj z matematiky 1, DIDAKTIS, Brno 2007, s. 47
● [3] LOGO WOLFRAMALPHA <http://techcombo.com/2009/05/17/wolfram-alpha-review-123/>, [cit. 16.7.2011]