3. = C d = C 2r Cioè C = d

5. numero reale che non è un razionale, cioè non può essere scritto come una frazione a / b con a e b interi, con b diverso da zero. I numeri irrazionali sono esattamente quei numeri la cui espansione in qualunque base non termina mai e non forma una sequenza periodica. I numeri reali possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, detta retta numerica o retta reale . Numero trascendente Numero Irrazionale numero che non è zero di alcun polinomio a coefficienti interi. Poiché ogni razionale a/b è la soluzione di bx-a =0, tutti i trascendenti sono anche irrazionali. L'insieme di tutti i numeri irrazionali non è numerabile .

8. Procedimento di Archimede (metodo di espansione) All’aumentare del numero n di lati del poligono regolare inscritto in un cerchio, il perimetro p n approssima sempre meglio la circonferenza rettificata . Ricordando che essa è legata al raggio dalla relazione c = 2Π ∙ r ricaviamo approssimazioni per difetto di Π. Vale la disuguaglianza: p n < c che può essere riscritta nella forma: p n < 2Π ∙ r Dividendo per 2r si ottiene: p n / 2r < Π Il rapporto p n / 2r dà approssimazioni di volta in volta migliori di Π!! Il calcolo di Π

9. Partiamo dall’esagono regolare e ogni volta raddoppiamo il numero di lati. Sappiamo che: L’esagono regolare inscritto in una circonferenza γ ha lato uguale al raggio; I vertici del poligono regolare che ha un numero doppio di lati si ottengono bisecando ogni arco di circonferenza limitato da due vertici consecutivi .

10. Avendo una circonferenza γ di centro O e raggio r si prenda una corda AB (che è anche il lato del poligono regolare di n lati) si tracci, poi, la bisettrice dell’angolo A Ô B e si indichi con C il punto in cui interseca l’arco AB In questo modo si dimezza l’arco AB e la corda AC è il lato del poligono regolare di 2n lati.

11. Costruiamo ora, una tabella in cui inserire i risultati via via ottenuti dimezzando gli archi. 3.1058285 6.211656 0.5176380 12 3.1326280 6.2652552 0.2610523 24 3.1410305 6.2820576 0.0654381 96 3.1393491 6.2786976 0.1308062 48 3 6 r r 6 n ∙ AC / 2r approssimazione di Π p n = n ∙ AC Lato AC Numero di lati

12. In questo modo si ottengono approssimazioni per difetto di Π INFATTI: Con n = 96 si ottengono le prime due cifre decimali di Π = 3.14… Con n = 192 si stabilisce anche la terza cifra decimale.

13. Un aneddoto su John Horton Conway Chi parla è John Conway. &quot;Un giorno decisi di imparare a memoria le prime mille cifre del pi greco - ricorda Conway - stimolato da mia moglie Larissa, una matematica di origine russa, che aveva bisogno del valore di pi greco e non ricordava che era 3,14. Le insegnai le prime cento cifre che ricordavo già a memoria. Ma questo a lei non bastava e, visto che anch'io non sapevo andare oltre, decidemmo insieme di programmare lo studio di cento nuove cifre ogni giorno, per arrivare almeno a mille, da imparare nei momenti in cui eravamo insieme, al di fuori del nostro lavoro&quot;. &quot;E' stato divertente - continua Conway - perché ogni domenica facevamo una passeggiata fino a Grantchester, una graziosa, piccola cittadina vicino a Cambridge e lungo il percorso recitavamo a turno i gruppi successivi di 20 cifre del pi greco, come fossero piccole poesie. Venti cifre io e venti cifre mia moglie e così di seguito, alternandoci nella recita: in questo modo siamo arrivati a memorizzare le mille cifre del pi greco&quot;.

16. Le regole di codifica sono le seguenti: Una parola di N lettere rappresenta: - la cifra N se N<10 - la cifra 0 se N=10 - due cifre adiacenti se N>10 (ad esempio una parola di 12 lettere rappresenta le cifre 1 e 2). ITALIANO Ora io - anch'io - celebrerò con inadatte rime il grande immortale Siracusano senza rivali che nel suo meraviglioso gioco nei tempi passati lasciò agli uomini le sue istruzioni su come misurare i cerchi. INGLESE Now I - even I- would celebrate in rymes unapt the great immortal Syracusan rivaled nevermore who in his wondroust lore passed on before left men his guidance how to circles mensurate.

17. Pi-day Ogni anno, il 14 marzo, simboleggia il giorno del pi greco, detto appunto pi day.

18. La Quadratura del Cerchio La quadratura del cerchio costituisce uno dei problemi classici della geometria greca. Il suo scopo è costruire un quadrato che abbia la stessa area di un dato cerchio, con uso esclusivo di riga e compasso. Un cerchio e la sua &quot;quadratura&quot;, hanno la stessa area

19. Il problema risale alle origini della geometria, e ha tenuto occupati i matematici per secoli. Fu solo nel 1882 che l'impossibilità venne provata rigorosamente, anche se i geometri dell'antichità avevano afferrato molto bene, sia intuitivamente che in pratica, la sua intrattabilità, che dipende unicamente dalla limitazione di dover usare solo una riga non graduata e un compasso. Trovare una soluzione richiederebbe la costruzione del numero radice π (infatti l'area del cerchio è π r 2, e quindi un quadrato con area π r 2 deve avere lato pari a ). L'impossibilità di una tale costruzione deriva dal fatto che π è un numero trascendente, ovvero irrazionale, e quindi non-costruibile.

20. Ora vediamo cosa accade se proviamo a risolvere la questione in termini esclusivamente geometrici. Dimostrazione

21. 2) Ora, immaginiamo di &quot;srotolare&quot; lungo un piano ciascuna &quot;circonferenza, procedendo dalla più grande “esterna&quot; fino alla più piccola (il punto centrale, il quale resta fisso al suo posto). 3) Fatto? Bene. Allora: ciascuna &quot;circonferenza srotolata&quot; si disporrà al di sopra della precedente, ma ognuna sarà di un frammento, piccolo quanto si vuole, più &quot;corta&quot; della precedente. Tutto questo procedimento andrà ripetuto fino a quando non si giunga alla più &quot;piccola&quot; di tutte, la quale è costituita dal punto centrale del cerchio, che, essendo un punto, non si &quot;srotola&quot;. 1) immaginiamo il cerchio come una forma costituita di un numero infinito di cerchi concentrici, sempre più piccoli, ciascuno racchiuso nel precedente. Qualcosa di simile ad una &quot;matrioska&quot; di circonferenze, di cui le più piccole convergono a quel punto che costituisce il centro del cerchio originario.

22. 4) Si sarà così formato un triangolo rettangolo , avente per cateto minore il raggio del cerchio e, per maggiore, la sua circonferenza. (Ne risulterà l'ovvia conseguenza che l'area di quel triangolo, equivalente al cerchio, sarà il prodotto del raggio per la circonferenza, diviso due, ossia il quadrato del raggio per pi greco). 5) Dividiamo a metà, ora, con un compasso, il cateto maggiore di quel triangolo, quindi solleviamo la perpendicolare a quel punto, fino ad incontrare la parallela al cateto che passa per il centro del cerchio. 6) Il rettangolo così ottenuto equivarrà all'area del triangolo ottenuto dal cerchio, infatti il triangolo rettangolo escluso da quest'ultimo è uguale a quello aggiunto nel rettangolo in oggetto. Continua

23. Triangolo Rettangolo

24. Centro del cerchio

25. 7) A questo punto, disponiamo un altro rettangolo uguale a quello così ottenuto, &quot;al di sopra&quot; del precedente, in modo che il lato più corto, che equivale al raggio del cerchio, abbia origine dal centro del cerchio stesso e collimi con il lato maggiore dell'altro, lato maggiore che è uguale a metà della circonferenza. 8) Il lato maggiore del poligono così ottenuto sarà uguale alla somma del raggio e di metà della circonferenza del cerchio di origine. 9) Dividiamo questo lato con un compasso, quindi, dal punto centrale di questo segmento, tracciamo un semicerchio in modo che esso incontri il lato maggiore del rettangolo di cui al 6). Continua

26. Semicerchio

27. Rettangolo

28. 10) Si vuole dimostrare che: il segmento che si ritraccia dal centro del cerchio di partenza, fino al punto in cui il semicerchio di cui al 9) incontra il lato maggiore del rettangolo in cui è stato trasformato il cerchio E' ESATTAMENTE IL LATO DEL QUADRATO la cui area equivale al cerchio stesso. Dimostrazione tratta da FORUM www.riflessioni.it

29. Valore di Pi Greco nella storia