Mi 02 integration by parts 01
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Integración por partes Integration by parts
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- 1. Métodos y Técnicas de integración G. Edgar Mata Ortiz
- 3. El trabajo colaborativo es fundamental para aprender, requiere una actitud de compromiso de todos los integrantes del equipo.
- 4. Resolución individual de problemas En forma complementaria al aprendizaje colaborativo, es indispensable que el alumno haga frente, en forma individual, a los problemas de matemáticas para desarrollar sus competencias.
- 5. Las técnicas de integración Son un conjunto de artificios matemáticos que se aplican cuando no es posible realizar una integración directamente, ya sea porque al diferencial le faltan variables o le sobran.
- 6. Las técnicas de integración Son un conjunto de artificios matemáticos que se aplican cuando no es posible realizar una integración directamente, ya sea porque al diferencial le faltan variables o le sobran.
- 7. Las técnicas de integración En esta presentación se explica y resuelve, paso a paso, un ejemplo por el método de: Integración por partes
- 8. Como en el ejemplo anterior, podemos observar que no existe ninguna fórmula que pueda aplicarse, directamente, a esta integración. Ejemplo: න 𝑥𝑒2𝑥 𝑑𝑥 =
- 9. Ejemplo: 𝒖 = 𝒙 න 𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = Tomaremos como variable u, la equis; y el resto como diferencial de v. 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥 𝑑𝑥
- 10. Ejemplo: 𝒖 = 𝒙 ∴ 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 න 𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = Derivando la variable u, obtendremos du; e integrando el dv, obtendremos v. 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = න 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 Para efectuar la integración del du es necesario completar el diferencial agregando un 2 que se compensa con un medio fuera de la integral.
- 11. Ejemplo: 𝒖 = 𝒙 ∴ 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 න 𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = Derivando la variable u, obtendremos du; e integrando el dv, obtendremos v. 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝟏 𝟐 න 𝑒2𝑥 𝟐𝑑𝑥 𝑣 = 1 2 𝑒2𝑥 + 𝐶 Para efectuar la integración del du es necesario completar el diferencial agregando un 2 que se compensa con un medio fuera de la integral.
- 12. Ejemplo: 𝒖 = 𝒙 ∴ 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 න 𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = Derivando la variable u, obtendremos du; e integrando el dv, obtendremos v. 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝟏 𝟐 න 𝑒2𝑥 𝟐𝑑𝑥 𝑣 = 1 2 𝑒2𝑥 + 𝐶 Para efectuar la integración del du es necesario completar el diferencial agregando un 2 que se compensa con un medio fuera de la integral. La constante de integración se anotará hasta el final del proceso.
- 13. Ejemplo: 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 න 𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙ 1 2 𝑒2𝑥 − න 1 2 𝑒2𝑥 𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝟏 𝟐 න 𝑒2𝑥 𝟐𝑑𝑥 𝑣 = 1 2 𝑒2𝑥 + 𝐶 Sustitución de los valores calculados න 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − න 𝒗 𝒅𝒖
- 14. Ejemplo: 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 න 𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙ 1 2 𝑒2𝑥 − න 1 2 𝑒2𝑥 𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝟏 𝟐 න 𝑒2𝑥 𝟐𝑑𝑥 𝑣 = 1 2 𝑒2𝑥 + 𝐶 Sustitución de los valores calculados න 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − න 𝒗 𝒅𝒖
- 15. Ejemplo: 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 න 𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙ 1 2 𝑒2𝑥 − න 1 2 𝑒2𝑥 𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝟏 𝟐 න 𝑒2𝑥 𝟐𝑑𝑥 𝑣 = 1 2 𝑒2𝑥 + 𝐶 Sustitución de los valores calculados න 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − න 𝒗 𝒅𝒖
- 16. Ejemplo: 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 න 𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙ 1 2 𝑒2𝑥 − න 1 2 𝑒2𝑥 𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝟏 𝟐 න 𝑒2𝑥 𝟐𝑑𝑥 𝑣 = 1 2 𝑒2𝑥 + 𝐶 Sustitución de los valores calculados න 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − න 𝒗 𝒅𝒖
- 17. Ejemplo: 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 න 𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙ 1 2 𝑒2𝑥 − න 1 2 𝑒2𝑥 𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝟏 𝟐 න 𝑒2𝑥 𝟐𝑑𝑥 𝑣 = 1 2 𝑒2𝑥 + 𝐶 = 1 2 𝒙𝑒2𝑥 − 1 2 න 𝑒2𝑥 𝒅𝒙
- 18. Ejemplo: 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 න 𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙ 1 2 𝑒2𝑥 − න 1 2 𝑒2𝑥 𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝟏 𝟐 න 𝑒2𝑥 𝟐𝑑𝑥 𝑣 = 1 2 𝑒2𝑥 + 𝐶 = 1 2 𝒙𝑒2𝑥 − 1 2 න 𝑒2𝑥 𝒅𝒙 = 1 2 𝒙𝑒2𝑥 − 1 2 ∙ 𝟏 𝟐 න 𝑒2𝑥 𝟐𝒅𝒙
- 19. Ejemplo: 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 න 𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙ 1 2 𝑒2𝑥 − න 1 2 𝑒2𝑥 𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝟏 𝟐 න 𝑒2𝑥 𝟐𝑑𝑥 𝑣 = 1 2 𝑒2𝑥 + 𝐶 = 1 2 𝒙𝑒2𝑥 − 1 2 න 𝑒2𝑥 𝒅𝒙 = 1 2 𝒙𝑒2𝑥 − 1 2 ∙ 𝟏 𝟐 න 𝑒2𝑥 𝟐𝒅𝒙 = 1 2 𝒙𝑒2𝑥 − 1 4 𝑒2𝑥 + 𝐶
- 20. Solución: 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 න 𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙ 1 2 𝑒2𝑥 − න 1 2 𝑒2𝑥 𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝟏 𝟐 න 𝑒2𝑥 𝟐𝑑𝑥 𝑣 = 1 2 𝑒2𝑥 + 𝐶 = 1 2 𝒙𝑒2𝑥 − 1 2 න 𝑒2𝑥 𝒅𝒙 = 1 2 𝒙𝑒2𝑥 − 1 2 ∙ 𝟏 𝟐 න 𝑒2𝑥 𝟐𝒅𝒙 = 1 2 𝒙𝑒2𝑥 − 1 4 𝑒2𝑥 + 𝐶
- 21. Solución: 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 න 𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙ 1 2 𝑒2𝑥 − න 1 2 𝑒2𝑥 𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝟏 𝟐 න 𝑒2𝑥 𝟐𝑑𝑥 𝑣 = 1 2 𝑒2𝑥 + 𝐶 = 1 2 𝒙𝑒2𝑥 − 1 2 න 𝑒2𝑥 𝒅𝒙 = 1 2 𝒙𝑒2𝑥 − 1 2 ∙ 𝟏 𝟐 න 𝑒2𝑥 𝟐𝒅𝒙 = 1 2 𝒙𝑒2𝑥 − 1 4 𝑒2𝑥 + 𝐶 = 1 2 𝑒2𝑥 𝑥 − 1 2 + 𝐶
- 22. Solución del problema: El objetivo de la integración por partes es reducir la integral original que no se puede resolver mediante las fórmulas básicas; a una expresión que contenga una integral directa. න 𝑥𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 1 2 𝑒2𝑥 𝑥 − 1 2 + 𝐶