aprende sobre álgebra

1. EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Estudiante:
Linet Parra
C.I:29916124
Annie Rivas
C.I.25139818

2. Introducción
Las matemáticas forman parte de nuestra vida por esto es necesario aprenderlas y
comprenderlas para describir y analizar las cantidades, el espacio y las formas.
El álgebra es una herramienta útil en la vida cotidiana de toda persona, ya que sin
ella no sabríamos muchas de las cosas que pasan a nuestro rededor.
Una expresión algebraica es una combinación de números, variables y operaciones
como la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Se llaman términos de una expresión algebraica las partes de ésta que se encuentran
separadas por signos de + o de -.

3. Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es una combinación de letras ó letras y números unidos
por medio de las operaciones: suma, resta, multiplicación, división, potenciación ó
radicación, de manera finita.
Usualmente las primeras letras de nuestro alfabeto: a, b, c, d, etc. si no se dice
otra cosa, representan valores fijos en la expresión. Estas letras también se
pueden llamar parámetros.
Las últimas letras de nuestro alfabeto: x, y, z, u otros símbolos, representan
variables que pueden tomar valores dentro de un subconjunto de números reales.

4. Una expresión algebraica es una combinación de letras ó letras y números unidos
por medio de las operaciones: suma, resta, multiplicación, división, potenciación ó
radicación, de manera finita.
En este punto también es importante hablar del álgebra, la rama de las
matemáticas que se encarga de estudiar, resolver y analizar este tipo de
expresiones. Para conseguir una solución, lo que primero que se busca es
simplificar la expresión algebraica, haciendo uso de las propiedades matemáticas
(tanto numéricas como de operaciones). Todo esto con el fin de hallar el valor de
la incógnita. Luego de lo cual se procede a resolver las operaciones.
Clasificación de expresiones algebraicas:
Existen diferentes tipos de expresiones algebraicas, las cuales se clasifican de
acuerdo al número de términos que tiene. A continuación te explicamos dicha
clasificación con más detalle
Monomios: Se trata de una expresión algebraica que contiene únicamente un
término, aunque se puedan tener diferentes variables. Un ejemplo serían
expresiones como: -85x, 47y, b3zxy, etc. Más
Binomios: A diferencia de los monomios, los binomios son expresiones
algebraicas que tienen hasta dos términos. Algunos ejemplos serían: 5y + 85x,
azb+46x, 85xy – 25a, etc. Como seguramente notarás, un binomio se puede
formar por la unión de dos monomios.
Trinomios: Tal y como su nombre lo indica, se trata de una expresión algebraica
que contiene hasta tres términos. Algunos ejemplos son: -5y +45xy – 963abc,
8xy + 25azb – 567xya, etc. Igualmente, estas expresiones se pueden formar por
la unión de un binomio y un monomio, o por la unión de tres monomios.
Polinomios: Cuando hablamos de polinomios nos referimos a expresiones
algebraicas que están formadas por más de tres términos. En este sentido, se
pueden formar por la unión de binomios, trinomios y monomios.

5. Expresiones algebraicas con suma:
Para sumar dos o más expresiones algebraicas con uno o más términos, se deben
reunir todos los términos semejantes que existan, en uno sólo. Se puede aplicar la
propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma.
Álgebra la suma es una de las operaciones fundamentales y la más básica, sirve
para sumar monomios y polinomios. La suma algebraica sirve para sumar el valor
de dos o más expresiones algebraicas. Como se trata de expresiones que están
compuestas por términos numéricos y literales, y con exponentes, debemos estar
atentos a las siguientes reglas:
Suma de monomios:
La suma de dos monomios puede dar como resultado un monomio o un polinomio.

6. Cuando los factores son iguales, por ejemplo, la suma 2x + 4x, el resultado será
un monomio, ya que la literal es la misma y tiene el mismo grado (en este caso,
sin exponente). En este caso sumaremos solo los términos numéricos, ya que, en
ambos casos, es lo mismo que multiplicar por x:
2x + 4x = (2+4)x = 6x
Cuando las expresiones tienen signos diferentes, se respeta el signo. Si es
necesario, escribimos la expresión entre paréntesis: (–2x) + 4x; 4x + (–2x).
Aplicando la ley de los signos, al sumar una expresión conserva su signo, positivo
o negativo:
4x + (–2x) = 4x – 2x = 2x.
En el caso de que los monomios tengan literales diferentes, o en caso de tener la
misma literal, pero con diferente grado (exponente), entonces el resultado de la
suma algebraica es un polinomio, formado por los dos sumandos. Para distinguir
la suma de su resultado, podemos escribir los sumandos entre paréntesis:
(4x) + (3y) = 4x + 3y
(a) + (2a2) + (3b) = a + 2a2 + 3b
(3m) + (–6n) = 3m – 6n
Cuando en la suma hay dos o más términos comunes, es decir, con las mismas
literales y del mismo grado, se suman entre sí, y se escribe la suma con los demás
términos:
(2a) + (–6b2) + (–3a2) + (–4b2) + (7a) + (9a2)= [(2a) + (7a)] + [(–3a2) + (9a2)] + [(–
6b2) + (–4b2)] = [9a]+[ 6a2]+[ –10b2] = 9a + 6a2 – 10b2
Suma de polinomios:
Un polinomio es una expresión algebraica que está formada por sumas y restas de
los diferentes términos que conforman el polinomio. Para sumar dos polinomios,
podemos seguir los siguientes pasos:
Sumaremos 3a2 + 4a + 6b –5c – 8b2 con c + 6b2 –3a + 5b
1. Ordenamos los polinomios en relación a sus letras y sus grados,
respetando el signo de cada término:

7. 4a +3a2 + 6b – 8b2
–3a + 5b + 6b2 + c
2. Agrupamos las sumas de los términos comunes:
[4a –3a] + 3a2 + [6b + 5b] + [– 8b2 + 6b2] + c
3. Efectuamos las sumas de los términos comunes que pusimos entre
paréntesis o corchetes. Recordemos que al ser suma, cata término del
polinomio conserva su signo en el resultado:
[4a –3a] + 3a2 + [6b + 5b] + [– 8b2 + 6b2] + c = a + 3a2 + 11b – 2b2 + c
Otra forma de ilustrar esto, es haciendo la suma en forma vertical, alineando los
términos comunes y realizando las operaciones:
Suma de monomios y polinomios: Como podemos deducir de lo ya explicado, para
sumar un monomio con un polinomio, seguiremos las reglas revisadas. Si existen
términos comunes, el monomio se sumará al término; si no hay términos comunes,
el monomio se agrega al polinomio como un término más:
Si tenemos (2x + 3x2 – 4y) + (–4x2) Alineamos los términos comunes y realizamos
la suma:
Si tenemos (m – 2n2 + 3p) + (4n), realizamos la suma, alineando los términos:
m – 2n2 + 3p
4n
m +4n –2n2 +3p
Es recomendable ordenar los términos de un polinomio, para facilitar su
identificación y los cálculos de cada operación.
Ejemplo: Para resolver esta suma algebraica se puede sumar por un lado los
valores positivos (6+5+8=19) y, por otro, los negativos (7+4+2+6=19). Finalmente
se restan ambos resultados (19-19=0).
Ejercicios de expresiones algebraicas con suma:
(3x) + (4x) = 7x
(–3x) + (4x) = x

8. (3x) + (–4x) = –x
(–3x) + (–4x) = –7x
Expresiones algebraicas con resta
La resta algebraica es una de las operaciones fundamentales en el estudio del
álgebra. Sirve para restar monomios y polinomios. Con la resta
algebraica sustraemos el valor de una expresión algebraica de otra. Por ser
expresiones que están compuestas por términos numéricos, literales, y
exponentes, debemos estar atentos a las siguientes reglas:
Resta de monomios:
La resta de dos monomios puede dar como resultado un monomio o un polinomio.
Cuando los factores son iguales, por ejemplo, la resta 2x – 4x, el resultado será un
monomio, ya que la literal es la misma y tiene el mismo grado (en este caso, 1, o
sea, sin exponente). Restaremos solo los términos numéricos, ya que, en ambos
casos, es lo mismo que multiplicar por x:
2x – 4x = (2 – 4)x = –2x
Cuando las expresiones tienen signos diferentes, el signo del factor que restamos
cambiará, aplicando la ley de los signos: al restar una expresión, si tiene signo
negativo, cambiará a positivo, y si tiene signo positivo, cambiará a negativo. Para

9. no tener confusión, escribimos los números con signo negativo, o incluso todas
las expresiones, entre paréntesis: (4x) – (–2x).:
(4x) – (–2x) = 4x + 2x = 6x.
Debemos recordar además, que en la resta, el orden de los factores se debe de
tener en cuenta:
(4x) – (–2x) = 4x + 2x = 6x.
(–2x) – (4x) = –2x – 4x = –6x.
En el caso de que los monomios tengan literales diferentes, o en caso de tener la
misma literal, pero con diferente grado (exponente), entonces el resultado de la
resta algebraica es un polinomio, formado por el minuendo, menos el sustraendo.
Para distinguir la resta de su resultado, escribimos minuendo y sustraendo entre
paréntesis:
(4x) – (3y) = 4x – 3y
(a) – (2a2) – (3b) = a – 2a2 – 3b
(3m) – (–6n) = 3m + 6n
Cuando en la resta hay dos o más términos comunes, es decir, con las mismas
literales y del mismo grado, se restan entre sí, y se escribe la resta con los demás
términos:
(2a) – (–6b2) – (–3a2) – (–4b2) – (7a) – (9a2)= [(2a) – (7a)] – [(–3a2) – (9a2)] – [(–
6b2) – (–4b2)] = [–5a]–[ –10b2]–[ –6a2] = –5a + 12a2 +2b2
Resta de polinomios:
Un polinomio es una expresión algebraica que está formada por sumas y restas de
los términos con diferentes literales y exponentes que conforman el polinomio.
Para restar dos polinomios, podemos seguir los siguientes pasos:
Restaremos c + 6b2 –3a + 5b de 3a2 + 4a + 6b –5c – 8b2
Ordenamos los polinomios en relación a sus letras y sus grados, respetando el
signo de cada término:
4a +3a2 + 6b – 8b2
–3a + 5b + 6b2 + c
Agrupamos las restas de los términos comunes, en el orden minuendo–
sustraendo:
[(4a) –(–3a)] + 3a2 + [(6b) – (5b)] + [(– 8b2) – (6b2)] – c

10. Efectuamos las restas de los términos comunes que pusimos entre paréntesis o
corchetes. Recordemos que al ser resta, los términos del sustraendo cambian de
signo:
[4a + 3a] + 3a2 + [6b – 5b] + [– 8b2 – 6b2] – c = 7a + 3a2 + b – 14b2 – c
Para comprender mejor el cambio de signos en la resta, podemos hacerla en
forma vertical, colocando el minuendo en la parte de arriba, y el sustraendo en la
parte de abajo:
Como estamos realizando una resta, los signos del sustraendo cambiarán, por lo
que si lo expresamos como una suma en la que todos los signos del sustraendo
se invierten, entonces quedará así y resolvemos.
Ejercicios de expresiones algebraicas con resta:
(3x) – (4x) = –x
(–3x) – (4x) = –7x
(3x) – (–4x) = 7x
Valor numérico de expresiones algebraicas
En este tema vamos a ver cómo encontrar el valor numérico de expresiones
algebraicas. Se le conoce como expresión algebraica a la combinación de
números reales llamados coeficientes y literales o letras llamadas variables que
representan cantidades, mediante operaciones de suma, resta, multiplicación,
división, potenciación, radicación, etc.
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al
sustituir las letras de la expresión por números determinados y realizar las
operaciones correspondiente que se indican en tal expresión. para realizar las
operaciones debes seguir un orden de jerarquía de las operaciones.
1. se resuelven las operaciones entre paréntesis.
2. potencias y radicales

11. 3. multiplicaciones y divisiones
4. sumas y restas.
Ejemplo 1:
Calcular el valor numérico para:
Cuando x=2.
Sustituimos en la expresión:
El valor numérico de la expresión es 17.
Ejemplo 2:
Calcular el valor numérico para:
cuando x=10.
Sustituimos en la expresión:
El valor numérico de la expresión es 2.
Ejemplo 3:
Calcular el valor numérico para:

12. cuando x=5.
Sustituimos en la expresión:
El valor numérico de la expresión es 10.
División Polinomio
Es la operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores dividendo y
uno de los factores
divisor encontrar otro factor llamado cociente:
D = d · C
Donde: D es el Dividendo (producto de los factores “d” y “C”)
d es el divisor (factor conocido)
C es el cociente (factor desconocido)
Los factores “D”, “d” y “C” pueden ser números, monomios o polinomios.
Leyes que sigue la división:
Ley de signos: el resultado es negativo si la cantidad de factores negativos es
impar, de lo contrario es
positivo.

13. (+) ÷ (+) = +
(-) ÷ (-) = +
(+) ÷ (-) = -
(-) ÷ (+) = -
Ley de los cocientes de los coeficientes: el coeficiente del cociente es el cociente
de dividir el coeficiente
del dividendo entre el coeficiente del divisor.
mx ÷ nxy = (m ÷ n)(x ÷ xy)
Donde m y n son números y n es distinto de cero.
Ley de exponentes: la división de dos o más potencias de la misma base es igual
a la base elevada a la
diferencia de las potencias.
Ley de exponentes:
Nota: resulta útil y cómodo colocar la división como una expresión fraccionaria así:
Ley de exponentes:
División de monomios
Es la división de un monomio entre otro, en fracción se trabaja como
reducción de múltiplos iguales.
Pasos a seguir:
Se aplica ley de signos
Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor
Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren
como elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.
División algebraica (polinomios)
División entre fracciones
En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de
monomios y las reglas de división de fracciones de la aritmética.
Se aplica ley de signos se multiplica el dividendo del primer término por el divisor
del segundo para crear el dividendo de la división, y el divisor del primero por el
dividendo del segundo para crear el divisor de la división (esto se llama división
cruzada) Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor
Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como
elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.
Ejemplo
División de polinomios entre monomios.

14. Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el
monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.
Pasos:
Colocamos el monomio como denominador de él polinomio Separamos el
polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido por el
monomio.
Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el
capitulo anterior. Se realizan las sumas y restas necesarias.
División de polinomios entre monomios.
Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el
monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.
Pasos:
Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.
Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno
dividido por el monomio.
Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el
capitulo anterior. Se realizan las sumas y restas necesarias
Ejemplo
´División entre polinomios.
En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los
pasos a seguir son los siguientes.
Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido
(en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se
dejan los espacios de los términos que faltan.
El primer termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del
dividendo entre el primer miembro del divisor.
Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se
coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del
dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer termino del
divisor.

15. Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se
coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo
parcial. Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo
parcial cuyo primer término no pueda ser dividido por el primer termino del divisor.
Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.
La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar
el termino que se encuentra más a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial
Ejemplos:
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones
algebraicas cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin
verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y
sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo,
la factorización de una
diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y
recíprocamente.
Factor común
El resultado de multiplicar un binomio a+b por un término c se obtiene aplicando la
propiedad distributiva:
c (a + b) = c a + c b
Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura
adjunta. El área del
rectángulo es
c (a + b) (el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como
la suma de las dos
Áreas coloreadas: ca y cb.
Ejemplo:
Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio Para elevar un binomio al
cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada
término con el doble del producto de ellos. Así:
Un trinomio de la expresión siguiente: se conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:
En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo.

16. Ejemplo:
Simplificando
Ilustración Gráfica de un binomio al cuadrado
Producto de dos binomios con un término común cuando se multiplican dos
binomios que tienen un término común, el cuadrado del término común se
Suma con el producto del término común por la suma de los otros, y al resultado
se añade el producto de los términos diferentes.
Ejemplo
Agrupando términos Luego Ilustración Gráfica del producto del binomio con un
término en común
Productos de dos binomios conjugados dos binomios conjugados se diferencian
sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios
al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con
lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados
Ejemplo:
Agrupando Términos:
A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.
Productos de Binomios Conjugados.
Polinomio al cuadrado Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos
se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de
la suma de los productos de cada posible par de términos.
Ejemplo:
Multiplicando los monomios.
Agrupando Términos luego elevación de un trinomio al Cuadrado de forma gráfica
Binomio al cubo o cubo de un binomio Para calcular el cubo de un binomio se
suman, sucesivamente: El cubo del primer término con el triple producto del
Cuadrado del primero por el segundo. El triple producto del primero por el
cuadrado del segundo. El cubo del segundo término.