1) O documento discute conceitos básicos de conjuntos, incluindo elementos, representação, igualdade, pertinência e subconjuntos.
2) Há diferentes formas de representar conjuntos, como lista de elementos, diagrama de Venn e compreensão.
3) Operações com conjuntos como união, interseção e diferença são explicadas com exemplos.
2. NOÇÕES BÁSICAS
Os componentes de um conjunto são chamados de elementos.
Por exemplo, no conjunto dos números pares positivos menores
que 9, os elementos são 2, 4, 6 e 8.
3. REPRESENTAÇÃO
Costuma-se representar um conjunto nomeando os elementos
um a um, colocando-os entre chaves e separando-os por vírgu-
la. Nesse caso, dizemos que o conjunto está representado em
extensão.
Para nomear um conjunto usamos geralmente uma letra
maiúscula.
A = {2, 4, 6, 8}
A representação em extensão pode ser usada para conjuntos
finitos ou infinitos.
Exemplos:
Conjunto dos números ímpares positivos:
B = {1, 3, 5, ...} conjunto infinito
Conjunto dos números pares positivos menores que 200:
C = {2, 4, 6, ..., 198} conjunto finito
4. Também podemos representar um conjunto por meio de uma
figura chamada diagrama de Venn (John Venn, lógico inglês,
1834 – 1923).
n(A) = 5 Lê-se: o número de elementos de A é igual
a cinco.
o Quando é dada uma propriedade característica dos elementos
de um conjunto, dizemos que ele está representado por
compreensão.
A = {x/x é um número par menor que 9}
5. IGUALDADE DE CONJUNTOS
Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos
elementos. Se dois conjuntos A e B são iguais, indicamos por
A = B.
A negação da igualdade é indicada por A ≠ B (A é diferente
de B).
6. RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA
pertence
não pertence
Exemplo: Dado o conjunto A = {0, 2, 4, 6, 8}, temos:
6 A
5 A
7. CONJUNTO UNIVERSO
Em muitas situações é importante estabelecer o conjunto U ao qual
pertencem os elementos de todos os conjuntos considerados. Esse
conjunto é chamado de conjunto universo. Assim:
Quando estudamos a geometria plana, o conjunto universo é
formado por todos os pontos de um dado plano.
Quando estudamos a população humana, o conjunto universo é
constituído de todos os seres humanos.
Para descrever um conjunto A por meio de uma propriedade
característica p de seus elementos, devemos mencionar, de modo
explícito ou não, o conjunto universo U no qual estamos
trabalhando:
A = {x U/ x tem a propriedade p} ou
A = {x/x tem a propriedade p}.
8. CONJUNTO UNITÁRIO
Chama-se conjunto unitário aquele que possui um único
elemento.
Exemplo:
O conjunto P = {x/x é um número primo par e positivo}
P = {2}
9. CONJUNTO VAZIO
Chama-se conjunto vazio aquele que não possui elemento.
Representa-se por { } ou .
Exemplo:
Seja A o conjunto dos números primos menores que 2.
A =
10. SUBCONJUNTOS (RELAÇÃO DE INCLUSÃO)
Consideremos os conjuntos A = {1, 3, 7} e B = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}.
Observe que qualquer elemento de A também é elemento de B.
Nesse caso, dizemos que A está contido em B ou A é
subconjunto de B. Indica-se: A B.
Podemos dizer também que B A.
B contém A
11. Veja os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 6}
Observe que:
A B Lê-se: A não está contido em B.
B A Lê-se: B não contém A.
Observações:
1. Se A B e B A, então A = B.
2. Os símbolos , , e são utilizados para relacionar
conjuntos.
3. Para todo conjunto A, tem-se que A A.
4. Para todo conjunto A, tem-se que A.
12. CONJUNTO DAS PARTES
Se considerarmos um conjunto A finito, é possível construirmos
um novo conjunto cujos elementos sejam todos os subconjuntos
possíveis de A. Esse novo conjunto formado é denominado
conjunto das partes de A e representamos por P(A).
P(A) = {x/x A}
Exemplo: Dado o conjunto A = {1, 3, 5}, então:
P(A) = { , {1}, {3}, {5}, {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}, {1, 3, 5}}.
Observação:
Para calcular o número de elementos de P(A), basta utilizar a
expressão 2n, onde n é o número de elementos de A.
13. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
União
A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os
elementos que pertencem a A ou a B.
A B = {x/x A ou x B}.
Em diagramas: A B
A B = {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9} A B = {a, b, c, d, e, f} A B = A
Exemplo:
Sejam os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}. Então:
A B = {0, 1, 2, 3, 4, 6}
14. Intersecção
A intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos
elementos que são comuns a A e a B.
A B = {x/x A e x B}.
Em diagramas: A B
A B =
A B = {c, d} E F = E
Exemplo:
Sejam os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}. Então:
A B = {0, 2, 4}
15. Diferença
A diferença de dois conjuntos A e B é o conjunto dos
elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B.
A – B = {x/x A e x B}.
Em diagramas: A – B
A – B = {a, b}
A – B = A A – B = {2, 10}
16. Exemplo:
Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8}. Então:
A - B = {1, 3, 5}
Em diagrama:
Se B A, a diferença A – B denomina-se complementar de B em
relação a A e indica-se por CA B.
CA B = A – B
Por exemplo, se B = {2, 3} e A = {0, 1, 2, 3, 4}, então CA B = A – B
= {0, 1, 4}.
Em diagrama:
17. RELAÇÃO ENTRE A UNIÃO E A INTERSECÇÃO
n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)
Exemplo:
Numa escola de 630 alunos, 350 deles estudam Matemática,
210 estudam Física e 90 deles estudam as duas matérias.
Pergunta-se:
a) Quantos alunos estudam apenas Matemática?
b) Quantos alunos estudam apenas Física?
c) Quantos alunos estudam Matemática ou Física?
d) Quantos alunos não estudam nenhuma das duas matérias?
