CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DECOMPOSIÇÃO MULTIPLICATIVA

1. IV S I P E M
PONTOS CRÍTICOS DO RECURSO DIDÁTICO
QUADRADOS CONGRUENTES NA
4=2x2
4 = 22 CONSTRUÇÃO DO CONCEITO
DECOMPOSIÇÃO MULTIPLICATIVA
Lialda B. Cavalcanti
Orientadora: Verônica Gitirana- UFPE
Doutoranda UNICAMP/ G- Formar
E-mail: libeca7@gmail.com
Outubro/2009

2. TÓPICOS
Fundamentação teórica
 Materiais Concretos
4=2x2
4 = 22
Material “ Quadrados Congruentes”
 O material concreto “quadrados congruentes
e representações retangulares” como um
recurso didático com ênfase na noção de
Teoria das Situações Didáticas de Guy
Brousseau visando possibilitar a construção de
conceitos na matemática.

3. IMPLEMENTAÇÃO NA ESCOLA
MATERIAIS CONCRETOS
I- Fiorentini e Miorim
II- Matos e Serrazina
Subjacente ao material há
uma proposta pedagógica Preparar a matematização
com justificativas de relações e operações
matemáticas
III- PCN(BRASIL,1997) IV- Smole(2000)
Desencadear conjecturas Ação reflexiva e conduzida
p/ aprendizagem dos em função dos objetivos
conceitos matemáticos.
V- Passos(2003)
Mediador para facilitar a
relação professor/aluno/
conhecimento.

4. TENDÊNCIA DE ENSINO
MATERIAIS CONCRETOS
Clareza de objetivos na situação
4=2x2
4 = 22
Ações realizadas com objetos
Obtenção e extração de Interiorização dessas
relações relações
Formulação e Aquisição de Conceito

5. TEORIA DAS SITUAÇÕES
DIDÁTICAS
Guy Brousseau (1986):
SITUAÇÃO DIDÁTICA
Relações estabelecidas explícita e/ou
implicitamente (ALUNO - PROFESSOR -
SABER) com a finalidade de que os alunos se
apropriem de um saber constituído ou em
vias de constituição”.

6. REPRESENTAÇÃO ESQUEMÁTICA DA TSD
S↔P
S
 Processo de ensino-aprendizagem
de um saber escolar
MEIOS Métodos e objetivos de ensino
posições teóricas.
RECURSOS DIDÁTICOS
OBJETIVOS
P ADEQUADOS A↔S
P A  Envolve :
conhecimentos prévios do “algo”
a ensinar
hipóteses acerca do novo saber
aquisição do conhecimento.
A↔P
 Diálogo constante p/ realização do
processo ensino-aprendizagem de
um saber escolar visando a
construção do conhecimento.

7. SITUAÇÃO DIDÁTICA
Composição de quadrados congruentes em
representações retangulares.
Questionamentos na intervenção:
I - INTERAÇÃO ALUNO X MATERIAL
CONCRETO
A manipulação desses materiais pode propiciar a
construção de relações matemáticas?
II- SITUAÇÃO DIDÁTICA X MATERIAL
CONCRETO
Pode gerar correspondências entre as
características do material e as relações
matemáticas existentes?

8. DECOMPOSIÇÃO
MULTIPLICATIVA
Pitágoras e o Misticismo dos Números
 Escola Pitagórica: Lema “ Tudo é Número ”
 Idéia de primalidade: Números perfeitos e amigáveis
Número perfeito: S D (exceto ele mesmo) é próprio número.
6 D = {1, 2, 3, 6}, 28 D={1, 2, 4, 7, 14, 28}
SD(6) = 1 + 2 + 3 = 6 SD(28) = 1+2+4+7+14=28
Teoremas e conceitos correlatos
I- Teorema da Divisão a = b.q + r , com 0 ≤ r < b
(r = 0 ⇔ b l a)
Diz-se a divide b, a e b - inteiros
II- Divisibilidade positivos, se existir um inteiro c tal
que b = ac.
Notação: a I b

9. DECOMPOSIÇÃO
DIVISOR MÚLTIPLOS
MULTIPLICATIVA
Linha
SEPARAÇÃO
Coluna
LINHA COLUNA
Retângulo 3 :
Retângulo 2 :
2 Linhas 3 quadrados
6 quadrados
4 Colunas
II- Decomposição multiplicativa
II- Decomposição multiplicativa
(linha x coluna)
(linha x coluna)
P2 : 12 2 x 6
s
P3 : 12 3 x 4
s

10. PROPRIEDADES
 Todo número, não nulo, é divisível por ele mesmo.
Se n ∈ IN, n ≠ 0 então n l n
5 ∈ IN, 5 ≠ 0 então 5 l 5
K = 5 quadrados 1 quadrado
5 quadrados
 Se todo número natural, não nulo, divide um outro número,
não nulo, então:
Se n ∈ IN e d l n, n ≠ 0 ⇒ ad l
an 2 ∈ IN e 2 l 4 ⇒ 4 l 8
2 Colunas
4 Colunas

11. REPRESENTAÇÃO NAS MALHAS
QUADRICULADAS
 As regularidades nesta situação de aprendizagem foram
percebidas após testagem com diferentes quantidades de
quadrados ( k ).
Registro nas malhas quadriculadas Registro nas malhas quadriculadas
Retângulo 1 Retângulo 2
Retângulo 1 Retângulo 2
Não forma retângulo
Forma quadrada dentre as soluções Única solução de retângulo
de retângulos possíveis Uma decomposição multiplicativa
Números quadrados perfeitos Números Primos

12. PONTOS X PONTOS
FAVORÁVEIS VULNERÁVEIS
 Momentos de exploração do  Restrição de um ensino apenas
material; no nível sensitivo;
 Distância entre o material e as
 Explicitação de argumentos c/
justificativas de raciocínio para relações matemáticas existentes;
solução de problemas;  Reconhecimento parcial do
esquema de montagem;
 Elaboração de esquemas para
 O limite das ações surge na
montagem de representação
retangular construção de um retângulo
côngruo;
 Gerar reflexões acerca das  Repetição no uso do material p/
noções matemáticas. decompor um número
composto (sucessivos produtos
 Apenas possibilita encontrar de dois fatores)
decomposições multiplicativas de
 Impossibilidade de prova
números c/ dois fatores.
empírica de que todo número
natural, não nulo, divide o zero (0).

13.  RESULTADOS
 Explicitação de argumentos que
justificassem a solução encontrada com
eficácia;
- Os intercâmbios comunicativos foram primordiais para que
desenvolvessem ações sobre os materiais e reflexões que
fizeram sobre suas ações;
 A ação do aluno depende da formulação de
uma estratégia que garanta êxito em seu
desempenho; e o número de soluções de retângulos
- A montagem
dependem do total de quadrados
 A Institucionalização foi necessária para
mostrar a validade do conhecimento
-construído.do professor/pesquisador e orientador guiou
A mediação
os alunos através de perguntas/desafios à descoberta de
fatos específicos do conteúdo.

14.  (LORENZATO, 2004, p.73)
Mas, a importância da experimentação
reside no poder que ela tem de
conseguir provocar raciocínio, reflexão,
construção do conhecimento. Isto pode
ocorrer em meio ao silêncio, o que
lembra Guimarães Rosa: “mesmo quando
nada acontece, há um milagre que não
estamos vendo”.
OBRIGADA