Tích phân-3-Phương pháp biến đổi số-pages-30-43

1. 3 Phương pháp đổi biến số
3.1 LÝ THUYẾT
• Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho
f(u(x)) xác định trên K.
Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f, tức là: f(u) du = F(u) + C thì:
f[u(x)].u (x) dx = F[u(x)] + C.
• Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm liên tục
trên [α, β] sao cho φ(α) = a, φ(β) = b và a ≤ φ(t) ≤ b với mọi t ∈ [α; β]. Khi đó:
b
a
f(x) dx =
β
α
f(φ(t))φ (t) dt.
3.1.1 Phương pháp đổi biến số cơ bản
Phương pháp chung:
Bước 1: Đặt t = u(x). Trong đó u(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp.
Bước 2: Tính vi phân hai vế: dt = u (x) dx.
Bước 3: Biến dổi f(x) dx = g(t) dt.
Bước 4: Khi đó f(x) dx = g(t) dt = G(t) + C.
Chú ý: Đối với tích phân, ta cần đổi cận ở sau bước 2.
Câu 1. Cho I = 2x(1 + x2
) dx. Bằng phương pháp đổi biến t = 1 + x2
, tìm nguyên hàm I?
A. I =
t2
2
+ C. B. I = t2
+ C. C. I = 2t2
+ C. D. I = 2t3
+ C.
A
Lời giải. Đặt t = 1 + x2
.
Lấy vi phân 2 vế được: dt = 2x dx.
Ta có: 2x(1 + x2
) dx = t dt.
⇒ I = 2x.(1 + x2
) dx = t dt =
t2
2
+ C =
(1 + x2
)2
2
+ C.
Câu 2. Tìm nguyên hàm I = sin x.
√
cos x dx.
A. I =
−2
√
cos3 x
3
+ C. B. I =
2
√
cos3 x
3
+ C.
C. I =
−
√
cos3 x
3
+ C. D. I =
√
cos3 x
3
+ C.
A
Lời giải. Đặt t =
√
cos x. ⇒ t2
= cos x.
Lấy vi phân 2 vế được: 2t dt = − sin x dx.
Khi đó: sin x.
√
cos x dx = −2t.t. dt = −2t2
dt.
⇒ I = −2t2
dt =
−2t3
3
+ C =
−2
√
cos3 x
3
+ C.
Câu 3. Tìm nguyên hàm I =
dx
√
x2 + a
, (a = 0).
A. I = ln
√
x2 + a + C. B. I = ln x +
√
x2 + a + C.
30
lovestem
.edu.vn

2. C. I = ln |x + a| + C. D. I = ln x −
√
x2 + a + C.
B
Lời giải. Đặt t = x +
√
x2 + a.
Lấy vi phân 2 vế được: dt = 1 +
x
√
x2 + a
dx =
(x +
√
x2 + a)
√
x2 + a
dx =
t dx
√
x2 + a
.
⇒
dt
t
=
dx
√
x2 + a
.
Vậy I =
dx
√
x2 + a
=
dt
t
= ln |t| + C = ln x +
√
x2 + a + C.
Câu 4. Tính tích phân I =
π
2
0
sin x. cos3
x dx.
A.
1
4
. B. 3. C. −
1
4
. D. −2.
A
Lời giải. Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin x dx.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x =
π
2
⇒ t = 0
Ta có: sin x. cos3
x dx = −t3
dt.
⇒ I =
0
1
−t3
dt =
1
0
t3
dt =
t4
4
1
0
=
1
4
.
Câu 5. Tính tích phân I =
1
0
x2
e3x3
dx.
A.
1
9
(e3
− 1). B. −
1
9
(e3
− 1). C. e3
− 1. D.
1
3
(e3
− 1).
Lời giải. Chọn đáp án A
Đặt t = 3x3
⇒ dt = 9x2
dx.
Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = 3.
Vậy I =
1
9
3
0
et
dt =
1
9
et
3
0
=
1
9
(e3
− 1). A
Câu 6. Giá trị nào sau đây gần nhất với giá trị của tích phân I =
√
6
1
x
√
3 + x2 dx?
A. 9. B. 8. C. 7. D. 6.
Lời giải. Chọn đáp án D
Đặt t =
√
3 + x2 (t ≥ 0) ⇒ t2
= 3 + x2
⇒ t dt = x dx.
Đổi cận x = 1 ⇒ t = 2; x =
√
6 ⇒ t = 3.
I =
3
2
t2
dt =
1
3
t3
3
2
=
19
3
. D
Câu 7. Biết I =
a
1
ln x
x
dx =
1
2
. Tìm a.
A. e2
. B. e. C. 2. D.
1
2
e.
31
lovestem
.edu.vn

3. Lời giải. Chọn đáp án B
Đặt ln x = t ⇒ dt =
dx
x
.
Đổi cận x = 1 ⇒ t = 0; x = a ⇒ t = ln a.
I =
ln a
0
t dt =
t2
2
ln a
0
=
ln2
a
2
.
Mặt khác I =
1
2
nên ln2
a = 1 ⇒ a = e. B
3.1.2 Một số dạng đổi biến bằng phương pháp lượng giác hóa
Phương pháp chung:
Bước 1: Đặt x = v(t), trong đó v(t) là hàm mà ta chọn thích hợp.
Bước 2: Lấy vi phân 2 vế: dx = v (t) dt.
Bước 3: Biến đổi f(x) dx = g(t) dt.
Bước 4: Khi đó I = f(x) dx = g(t) dt = G(t) + C.
Chú ý: Đối với tích phân, ta cần đổi cận ở sau bước 2.
Chú ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ hay gặp:
Dấu hiệu Cách đặt
√
a2 − x2


x = |a| sin t, t ∈
−π
2
;
π
2
x = |a| cos t, t ∈ [0; π]
√
x2 − a2



x =
|a|
sin t
, t ∈
−π
2
;
π
2
x =
|a|
cos t
, t ∈ [0; π]
π
2
√
a2 + x2


x = |a| tan t, t ∈
−π
2
;
π
2
x = |a| cot t, t ∈ (0; π).
a + x
a − x
hoặc
a − x
a + x
x = a cos 2t
Câu 8. Tìm nguyên hàm I =
dx
(
√
1 − x2)3
.
A. I =
1
√
1 − x2
+ C. B. I =
√
1 − x2
x
+ C. C. I =
x
√
1 − x2
+ C. D. I =
√
1 − x2 + C.
C
32
lovestem
.edu.vn

4. Lời giải. Đặt x = sin t, t ∈
π
2
;
π
2
.
⇒ dx = cos t dt.
⇒
dx
(
√
1 − x2)3
=
cos t dt
( 1 − sin2
t)3
=
dt
cos2 t
= d(tan t).
⇒ I = d(tan t) = tan t + C =
x
√
1 − x2
+ C.
Câu 9. Tìm nguyên hàm I =
dx
(
√
4 + x2)3
.
A. I =
4x
√
4 + x2
+ C. B. I =
2x
√
4 + x2
+ C. C. I =
x
2
√
4 + x2
+ C. D. I =
x
4
√
4 + x2
+ C.
D
Lời giải. Đặt x = 2 tan t, −
π
2
< t <
π
2
⇒ dx =
2 dt
cos2 t
.
⇒
dx
(
√
4 + x2)3
=
1
( 4(1 + tan2
t))3
.
2 dt
cos2 t
=
cos t dt
4
.
⇒ I =
cos t dt
4
=
sin t
4
+ C =
x
4
√
4 + x2
+ C. cos t =
2
√
4 + x2
; sin t =
x
√
4 + x2
.
Câu 10. Tính tích phân I =
1
1√
3
dx
x2
√
1 + x2
.
A. 2 +
√
2. B.
1
2
−
√
2. C.
1
2
+
√
2. D. 2 −
√
2.
D
Lời giải. Đặt x = tan t −
π
2
< t <
π
2
⇒ dx =
dt
cos2 t
.
Đổi cận: x =
1
√
3
⇒ t =
π
6
; x = 1 ⇒ t =
π
4
⇒
1
1√
3
dx
x2
√
1 + x2
=
π
4
π
6
dt
tan2
t
√
1 + tan2
t cos2 t
=
π
4
π
6
cos t
sin2
t
dt =
π
4
π
6
d(sin t)
sin2
t
= −
1
sin t
π
4
π
6
= 2 −
√
2.
3.1.3 Một số sai lầm thường gặp
Học sinh hay thiếu sót và lãng quên bước thứ 2: "Lấy vi phân 2 vế: dx = v (t) dt".
3.2 BÀI TẬP
3.2.1 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1. Cho tích phân I =
1
0
x(1 + 2x)5
dx. Đặt t = 1 + 2x, khi đó giá trị của t nằm trong
đoạn nào trong các đoạn sau?
A. (1; 3). B. [1; 3]. C. [0; 1]. D. [0; 3].
33
lovestem
.edu.vn

5. Câu 2. Giá trị của t =
√
2 + x2 với tích phân I =
1
0
x
√
x2 + 2 dx nằm trong đoạn nào trong
các đoạn sau?
A. [0;
√
3]. B. [0; 1]. C. [
√
2;
√
3]. D. [1;
√
2].
Câu 3. Tìm miền giá trị của t = sin x với tích phân I =
π
2
0
sin5
x cos x dx.
A. [0;
π
2
]. B. [0; 1]. C. [1;
π
2
]. D. [0;
1
2
].
Câu 4. Tìm miền giá trị của t =
√
1 + ln x với tích phân I =
e
1
√
1 + ln x
x
dx.
A. [1; e]. B. [0; 1]. C. [1;
√
2]. D. [0; e].
Câu 5. Tìm nguyên hàm I = 2x(5 + x2
) dx bằng phương pháp đổi biến t = 5 + x2
?
A. t dt. B.
t
2
dt. C. (t − 5) dt. D. 2t dt.
Câu 6. Tìm nguyên hàm của f(x) = (1 − 2x)5
bằng phương pháp đổi biến t = 1 − 2x ?
A. t5
dt. B. −
t5
2
dt. C. (1 − 2t)5
dt. D. (1 − 2t) dt.
Câu 7. Tìm nguyên hàm của I = x
√
1 + x2 dx bằng phương pháp đổi biến số t =
√
1 + x2?
A. t dt. B.
t2
2
dt. C. t2
dt. D.
t
2
dt.
Câu 8. Đổi biến x = 2 sin t, I =
dx
√
4 − x2
trở thành:
A. dt. B. t dt. C.
dt
t
. D. 2t dt.
Câu 9. Cho I = x(x − 1)5
dx và phép đổi biến số u = x − 1. Khẳng định nào sau đây là
đúng?
A. I = u(u − 1)5
du. B. I = u5
(u + 1) du.
C. I = u5
du. D. I =
u5
u − 1
du.
Câu 10. Khi biến đổi I = ex
(2 − ex
)5
dx bằng phương pháp đổi biến số t = 2 − ex
ta được:
A. I = (2 − t)t5
dt. B. I = t5
dt. C. I = − t5
dt. D. I = (2 − t)5
dt.
Câu 11. Để tính nguyên hàm I =
dx
√
x2 − 1
bằng phương pháp đổi biến số, ta đổi biến:
A. x = sin t. B. x =
1
sin t
. C. x = tan t. D. x =
1
tan t
.
Câu 12. Tìm nguyên hàm I =
x2
dx
(3x + 1)3
bằng phương pháp đổi biến số. Mệnh đề nào sau
đây SAI?
A. dt = 3 dx. B. I =
(t − 1)2
9t3
dt. C. x =
t − 1
3
. D. x2
=
(t − 1)2
9
.
34
lovestem
.edu.vn

6. Câu 13. Cho I = f(x) dx, với f(x) = sin3
x. Khi t = cos x thì f(x) dx =?
A. (1 − t2
) dt. B. t2
dt. C. sin3
t dt. D. (t2
− 1) dt.
Câu 14. Cho I = f(x) dx, với f(x) =
√
1 − x2. Bằng phương pháp đổi biến x = sin t thì
I =?
A. sin2
t dt. B. cos2
t dt. C. sin t dt. D. cos t dt.
Câu 15. Để tính
eln x
x
dx theo phương pháp đổi biến số, ta đặt:
A. t = eln x
. B. t = ln x. C. t = x. D. t =
1
x
.
Câu 16. Tìm nguyên hàm I =
e2x
√
ex − 1
dx bằng phương pháp đổi biến số u =
√
ex − 1.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. I = (u2
+ 1) du. B. I =
2(u + 1)
u
du.
C. I =
u + 1
u
du. D. I = 2(u2
+ 1) du.
Câu 17. Cho I = f(x) dx, với f(x) = (sin x + 1)3
cos x. Đặt t = sin x + 1, khi đó I =?
A. t3
dt. B. t3
(t2
− 1) dt. C. 3t dt. D. t3
(1 − t) dt.
Câu 18. Cho I =
√
1 + 3 ln x
x
dx, đặt t =
√
1 + 3 ln x. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. I =
2
3
t dt. B. I =
2
3
t2
dt. C. I =
1
3
t dt. D. I =
1
3
t2
dt.
Câu 19. Cho I = sin x
√
8 + cos x dx. Đặt u = 8+cos x thì khẳng định nào sau đây là đúng?
A. I = 2
√
u du. B. I =
1
2
√
u du. C. I =
√
u du. D. I = −
√
u du.
Câu 20. Nếu đặt t = t(x) thì ta có cách biểu diễn dt theo dx là:
A. dt = t (x) dx. B. dt = −t (x) dx . C.
dt
dx
= t(x) dx. D.
dt
dx
= t (x) dx.
Câu 21. Nếu đặt t = xα
thì ta có dt = f(α) dα. Hàm f(α) là:
A.
xα
ln x
. B. αxα−1
. C. xα
.ln x. D.
xα+1
α + 1
.
Câu 22. Cho tích phân I =
1
0
1
1 + x2
dx. Bằng phương pháp đổi biến x = tan t, ta được tích
phân mới là:
A. I =
π
4
0
1 dt. B. I =
1
0
1
(1 + tan2
t) cos2 t
dt .
C. I =
1
0
1
(1 + t2) cos2 t
dt. D. I =
π
4
0
1
(1 + tan2
t)
dt.
35
lovestem
.edu.vn

7. Câu 23. Cho tích phân I =
π
2
0
sin3
x cos x dx. Bằng phương pháp đổi biến sin x = t, ta được
tích phân mới là:
A. I = −
1
0
t3
dt. B. I =
π
2
0
t3
dt. C. I = −
π
2
0
t3
dt. D. I =
1
0
t3
dt.
Câu 24. Cho tích phân I =
1
0
x
(1 + x2)3
dx. Bằng phương pháp đổi biến 1 + x2
= t, ta được
tích phân mới là:
A. I =
1
2
1
0
1
t3
dt. B. I =
1
0
1
t3
dt. C. I =
1
2
2
1
1
t3
dt. D. I =
2
1
1
t3
dt.
Câu 25. Cho tích phân I =
1
0
√
1 − x2 dx. Bằng phương pháp đổi biến x = sin t, ta được tích
phân mới là:
A. I =
1
0
cos2
t dt. B. I = −
1
0
cos2
t dt. C. I = −
π
2
0
cos2
t dt. D. I =
π
2
0
cos2
t dt.
Câu 26. Cho tích phân I =
1
0
(3x − 5)10
(x + 2)12
dx. Bằng phương pháp đổi biến
3x − 5
x + 2
= t, ta được
tích phân mới là:
A. I =
1
2
1
0
(3x − 5)10
(x + 2)12
dt. B. I =
1
11
1
0
t10
dt.
C. I =
1
11
−2
3
−5
2
t10
dt. D. I =
−2
3
−5
2
t10
dt.
Câu 27. Tính tích phân I =
1
0
(1 + 3x)5
dx bằng phương pháp đổi biến số t = 1 + 3x. Khẳng
định nào sau đây là đúng?
A. I =
4
1
1
3
t5
dt. B. I =
1
0
1
3
t5
dt . C. I =
1
0
t5
dt. D. I =
4
1
t5
dt.
Câu 28. Tính tích phân I =
1
0
x
√
1 + x2 dx bằng phương pháp đổi biến số t =
√
1 + x2.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. I =
√
2
1
t2
dt. B. I =
1
0
t2
dt. C. I =
1
0
t
√
1 + t2 dt. D. I =
√
2
1
2t2
dt.
Câu 29. Cho tích phân I =
1
0
e2x
dx. Đặt t = 2x ta được giá trị của I bằng:
36
lovestem
.edu.vn

8. A. I =
1
0
e2t
dt. B. I =
2
0
1
2
et
dt. C. I =
2
0
e2t
dt. D. I =
1
0
1
2
et
dt.
3.2.2 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 30. Tìm I =
x
√
x2 + 2
dx?
A. I =
1
√
x2 + 2
+ C. B. I = −
1
√
x2 + 2
+ C.
C. I = −
√
x2 + 2 + C. D. I =
√
x2 + 2 + C.
Câu 31. Tìm họ nguyên hàm F(x) =
x3
x4 − 1
dx?
A. F(x) = ln |x4
− 1| + C. B. F(x) =
1
4
ln |x4
− 1| + C.
C. F(x) =
1
2
ln |x4
− 1| + C. D. F(x) =
1
3
ln |x4
− 1| + C.
Câu 32. Tìm I = x 3
√
1 − x dx?
A. I =
3t4
4
−
3t7
7
+ C. B. I =
t2
2
−
t5
5
+ C. C. I = t3
−
t6
2
+ C. D. I =
3t4
4
+ C.
Câu 33. Tìm I =
ex
√
1 + ex
dx?
A. I = 2
√
1 + ex + C. B. I =
√
1 + ex
2
+ C.
C. I = −
1
2 (1 + ex)3
+ C. D. I =
1
2 (1 + ex)3
+ C.
Câu 34. Tính nguyên hàm I =
dx
x ln x
?
A. I = ln x + C. B. I = ln |x| + C. C. I = ln(ln x) + C. D. I = ln | ln x| + C.
Câu 35. I = f(x) dx Với f(x) = xex2+1
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. I = ex2+1
+ C. B. I =
1
2
ex2
+ C. C. I =
1
2
ex2+1
+ C. D. 2ex2+1
+ C.
Câu 36. Tìm I = sin 2x cos2
x dx?
A. I = −
cos4
x
2
+ C. B. I = −
sin4
x
2
+ C. C. I =
cos4
x
2
+ C. D. I =
sin4
x
2
+ C.
Câu 37. Cho f(x) dx = F(x) + C. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. f(ax + b) dx =
1
2a
F(ax + b) + C. B. f(ax + b) dx =
1
a
F(ax + b) + C.
C. f(ax + b) dx = aF(ax + b) + C. D. f(ax + b) dx = F(ax + b) + C.
Câu 38. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =
√
2x − 1?
A. f(x) dx =
2
3
(2x − 1)
√
2x − 1 + C. B. f(x) dx =
1
3
(2x − 1)
√
2x − 1 + C.
C. f(x) dx = −3
√
2x − 1 + C. D. f(x) dx =
1
2
√
2x − 1 + C.
37
lovestem
.edu.vn

9. Câu 39. F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = sin4
x cos x, F(x) là hàm số nào sau đây?
A. F(x) =
cos5
x
5
+ C. B. F(x) =
cos4
x
4
+ C. C. F(x) =
sin4
x
4
+ C. D. F(x) =
sin5
x
5
+ C.
Câu 40. Cho I =
dx
x2 + 3
. Bằng phương pháp đổi biến số x =
√
3 tan t, hãy tìm I?
A. I =
√
3t + C. B. I =
√
3
3
ln |t| + C. C. I =
√
3
3
t2
2
+ C. D. I =
√
3
3
t + C.
Câu 41. Tìm I =
ln2
x
x
dx?
A. I = 2 ln x + C. B. I = ln3
x + C. C. I = ln x + C. D. I =
ln3
x
3
+ C.
Câu 42. I =
√
x2 − 1
x3
dx = f(t) dt, f(t) =?
A. f(t) = − cos2
t. B. f(t) = − sin2
t.
C. f(t) = cos2
t − 1. D. f(t) =
1
2
(1 − cos 2t).
Câu 43. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =
1
x2
cos
2
x
?
A.
1
x2
cos
2
x
dx =
−1
2
sin
2
x
+ C. B.
1
x2
cos
2
x
dx =
1
2
sin
2
x
+ C.
C.
1
x2
cos
2
x
dx =
−1
2
cos
2
x
+ C. D.
1
x2
cos
2
x
dx =
1
2
cos
2
x
+ C.
Câu 44. Tìm I =
1
√
a2 − x2
dx?
A. I = arccos(
x
a
) + C. B. I = arcsin(−
x
a
) + C .
C. I = − arccos(
x
a
) + C. D. I = arcsin(
x
a
) + C.
Câu 45. Tính tích phân I =
b
a
1
1 + x2
dx?
A. arctan b + arctan a. B. tan b − tan a. C. arctan b − arctan a. D. tan b + tan a.
Câu 46. Tính tích phân I =
b
a
3x2
(1 + x3)4
dx?
A.
1
(1 + b3)4
−
1
(1 + a3)4
. B.
4
(1 + a3)5
−
4
(1 + b3)5
.
C.
4
(1 + b3)5
−
4
(1 + a3)5
. D.
1
3(1 + a3)3
−
1
3(1 + b3)3
.
Câu 47. Cho tích phân I =
π
2
0
cos x
9 − sin2
x
dx = a ln b. Giá trị của ab là?
A. −
1
3
. B.
1
12
. C. 3. D. −
1
12
.
Câu 48. Cho tích phân I =
arccos a
0
4 sin3
x
1 + cos x
dx. Giá trị của I là?
A. 2a2
− 4a. B. 4a − 2a2
.
C. −4 arccos a + 2 arccos2
a. D. 4 arccos a − 2 arccos2
a.
38
lovestem
.edu.vn

10. Câu 49. Cho tích phân I =
a
1
ln2
x
x
dx =
1
3
. Giá trị của a là?
A. e. B. 1. C.
e
2
. D. e2
.
Câu 50. Cho tích phân I =
a
0
x.ex2+1
dx =
1
2
e2
− e. Giá trị của a là?
A. 2. B. 1. C. e. D. e2
.
Câu 51. (Đề thi minh họa THPTQG 2017). Tính tích phân I =
π
0
cos3
x. sin x dx.
A. −
π4
4
. B. −π4
. C. 5. D. 0.
Câu 52. Cho tích phân I =
π
4
a
tan x dx = ln
2
3
. Giá trị của a là?
A. 0. B. −
π
4
. C.
π
6
. D.
π
3
.
Câu 53. Tính tích phân I =
2
0
x(1 + x)5
dx bằng phương pháp đổi biến số t = 1 + 2x, khi đó
I =?
A. I =
2
0
t(1 + t)5
dt. B. I =
3
1
(t − 1)t5
dt. C. I =
3
0
(t − 1)t5
dt. D. I =
3
1
(t + 1)t5
dt.
Câu 54. Tích phân I =
1
0
x2
√
1 − x2 dx nhờ đổi biến x = sin t trở thành:
A.
π
2
0
sin2
t cos2
t dt. B.
π
2
0
sin2
t cos2
t dt. C.
1
0
sin2
t cos2
t dt. D.
π
2
0
sin t cos t dt.
Câu 55. Khi tính tích phân I =
π
2
0
cos x
1 + sin2
x
dx bằng phương pháp đổi biến số t = tan x ta
được:
A. I =
π
4
0
dt. B. I =
π
4
0
dt. C. I =
π
4
0
2 dt. D. I = 0.
Câu 56. Đặt t = cos 4x thì tích phân I =
π
12
0
tan 4x dx trở thành:
A. I =
1
1
2
−
1
4t
dt. B. I =
1
√
3
2
1
4t
dt. C. I =
1
1
2
1
4t
dt. D. I =
1
√
3
2
−
1
4t
dt.
Câu 57. Bằng phương pháp đổi biến số t =
√
x2 + 9 tích phân I =
4
√
7
dx
x
√
x2 + 9
bằng với giá
trị tích phân nào sau đây?
39
lovestem
.edu.vn

11. A. I =
4
√
7
dt
t2 − 9
. B. I =
4
√
7
dt
t2 − 9
. C. I =
5
4
dt
t2 − 9
. D. I =
5
4
dt
t2 − 9
.
Câu 58. Tính tích phân I =
π
6
0
tan x dx.
A. ln
2
√
3
3
. B. − ln
2
√
3
3
. C. − ln
√
3
2
. D. ln
1
2
.
Câu 59. Bằng phương pháp đổi biến số t = π − x tích phân I =
π
0
sin 4x
1 + sin x
dx bằng với giá
trị tích phân nào sau đây?
A. I = −
π
0
sin 4t
1 + sin t
dt. B. I =
π
0
sin 4t
1 + sin t
dx.
C. I = −
π
0
sin 4x
1 + sin x
dt. D. I = −
π
0
sin 4t
1 + sin t
dx.
3.2.3 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 60. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 +
1
x2
ex− 1
x .
A. ex
+ C. B. e1+ 1
x2
+ C. C. ex+ 1
x + C. D. ex− 1
x + C.
Câu 61. Tính nguyên hàm I =
dx
x ln x
?
A. ln x + C. B. ln |x| + C. C. ln(ln x) + C. D. ln | ln x| + C.
Câu 62. Tìm nguyên hàm I =
sin2
x
sin 3x
dx?
A. 4 tan arccos
4
x
+ 4 arccos
4
x
− C. B. 4 tan arccos
4
x
− 4 arccos
4
x
− C.
C. 4 arccos
4
x
− 4 tan arccos
4
x
+ C. D. −4 tan arccos
4
x
− 4 arccos
4
x
+ C.
Câu 63. Tìm nguyên hàm I =
√
x2 − 16
x
dx?
A. 2
√
x sin
√
x + 2 cos
√
x + C. B.
√
x sin
√
x + 2 cos
√
x + C.
C. 2
√
x sin
√
x + cos
√
x + C. D.
√
x sin
√
x + cos
√
x + C.
Câu 64. Tìm nguyên hàm I =
x dx
(3x2 − 5)
√
2 − x2
?
A. I =
1
√
3
ln
1 +
√
6 − 3x2
1 −
√
6 − 3x2
+ C. B. I = −
1
√
3
ln
1 +
√
6 − 3x2
1 −
√
6 − 3x2
+ C.
C. I = −
1
√
3
ln
1 +
√
6 − 3x2
1 −
√
6 − 3x2
+ C. D. I =
1
√
3
ln
1 +
√
6 − 3x2
1 −
√
6 − 3x2
+ C.
Câu 65. Tìm nguyên hàm
ln(sin x)
cos2 x
dx?
A. tan x ln(sin x) − x. B. tan x ln(sin x) − x + C.
C. tan x ln(sin x) + C. D. tan 2x ln(sin x) − x + C.
Câu 66. Tìm họ nguyên hàm F(x) =
x3
x4 − 1
dx?
40
lovestem
.edu.vn

12. A. ln |x4
− 1| + C. B.
1
4
ln |x4
− 1| + C. C.
1
2
ln |x4
− 1| + C. D.
1
3
ln |x4
− 1| + C.
Câu 67. Tính nguyên hàm:
(3x − 5)10
(x + 2)12
dx
A.
10
11
3x − 5
x + 2
9
+ C. B.
3x − 5
x + 2
11
+ C.
C.
1
121
3x − 5
x + 2
11
+ C. D.
3x − 5
x + 2
9
+ C.
Lời giải. Chọn đáp án C
Đặt
3x − 5
x + 2
= t ⇒ dt =
11
(x + 2)2
dx Ta có:
(3x − 5)10
(x + 2)12
dx =
t10
11
dt =
t11
121
+ C
=
1
121
3x − 5
x + 2
11
+ C
Câu 68. Tìm nguyên hàm
sin2
x
sin 3x
dx?
A.
1
4
ln
2 cos x + 1
2 cos x − 1
+ C. B.
1
4
ln
2 cos x − 1
2 cos x + 1
+ C.
C.
1
4
ln
2 cos x + 1
2 cos x − 1
+ C. D.
1
4
ln
2 cos x − 1
2 cos x + 1
+ C.
Câu 69. Giả sử a, b là hai số nguyên thỏa mãn
5
1
dx
x
√
3x + 1
= a ln 3 + b ln 5. Tính giá trị của
a2
+ ab + 3b2
A. 4. B. 1. C. 0. D. 5.
Câu 70. Cho
a
0
sin x
sin x + cos x
dx =
π
4
. Giá trị của a là:
A.
π
3
. B.
π
4
. C.
π
2
. D.
π
6
.
Câu 71. Cho f(x) là hàm số chẵn và
0
−3
f(x) dx = a. Tính I =
3
0
f(x) dx.
A. I = −a. B. I = 2a. C. I = 0. D. I = a.
Câu 72. Tính tích phân I =
π
2
0
(1 − cos x)n
sin x dx.
A.
1
n + 1
. B.
1
n − 1
. C.
1
2n
. D.
1
n
.
Câu 73. Cho f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên R. Khi đó giá trị của I =
1
−1
f(x) dx thỏa mãn
A. I > 0. B. I = 0. C. I = 0. D. I < 0.
Câu 74. Giả sử a, b là hai số thực thỏa mãn
2a
a
√
2
√
x2 − a2
x2
dx = a −
1
2
ln b. Tính giá trị của
b2
− 4a
A. 7 + 8
√
3. B. −7. C. −7 + 8
√
3. D. 7.
41
lovestem
.edu.vn

13. Câu 75. Cho tích phân I =
0
a
ln
√
1 − x
(1 − x)
√
1 − x
dx = 1 − ln 2. Giá trị của a là?
A. −3. B. −1. C. −
3
2
. D. −2.
Câu 76. Cho tích phân I =
a
0
ex
(1 + x)
1 + xex
dx = ln(e + 1). Giá trị của a là?
A. 1. B. 2. C.
e
2
. D. e.
Câu 77. Tính tích phân: I =
3
2
dx
(x − 1)
√
x2 − 2x + 2
A. (−∞, 0] ∪ [1, +∞). B. (−∞, 0]. C. [1, +∞). D. [0; 1].
Lời giải. Chọn đáp án D
Đặt x − 1 =
1
t
⇒ x =
t + 1
t
;



x = 2 ⇒ t = 1
x = 3 ⇒ t =
1
2
dx =
− dt
t2
.
Khi đó:
I =
3
2
dx
(x − 1)
√
x2 − 2x + 2
=
1
2
1
− dt
t2
1
t
t + 1
t
2
− 2
t + 1
t
+ 2
=
1
1
2
dt
√
t2 + 1
= ln t +
√
t2 + 1
1
1/2
ln 1 +
√
2 − ln
1 +
√
5
2
= ln
2 + 2
√
2
1 +
√
5
Câu 78. Cho tích phân sau: I =
π
0
2x sin x
cos 2x − 17
dx. Giá trị của I thuộc khoảng nào sau đây?
A. 0;
1
2
. B. (
3
2
; 2). C.
1
2
;
3
2
. D. (−1; 0).
Lời giải. Chọn đáp án D
Đặt t = π − x ⇒ dt = − dx
Đổi cận ta có:
x = 0 ⇒ t = π
x = π ⇒ t = 0
I =
0
π
−
2(π − t). sin(π − t)
cos 2(π − t) − 17
dt =
π
0
2(π − t). sin t
cos 2t − 17
dt =
π
0
(π − t). sin t
cos2 t − 9
dt
=
π
0
π. sin t
cos2 t − 9
dt −
π
0
t. sin t
cos2 t − 9
dt =
π
0
π. sin x
cos2 x − 9
dx −
π
0
x. sin x
cos2 x − 9
dx
=
π
0
π. sin x
cos2 x − 9
dx − I
⇒ I =
1
2
π
0
π. sin x
cos2 x − 9
dx =
1
2
π
0
−π.d(cos x)
cos2 x − 9
42
lovestem
.edu.vn

14. =
1
2
.
−π
6
π
0
(cos x + 3) − (cos x − 3)
(cos x − 3).(cos x + 3)
. d(cos x) =
−π
12
ln
cos x − 3
cos x + 3
π
0
=
−π
12
. ln 4
Câu 79. Cho tích phân : I =
π
2
−π
2
x + cos x
4 − sin2
x
dx. Giá trị của I thuộc đoạn nào sau đây?
A. (−∞, 0] ∪ [1, +∞). B. (−∞, 0]. C. [1, +∞). D. [0; 1].
Lời giải. Chọn đáp án D
Ta có:
I =
π
2
−π
2
x + cos x
4 − sin2
x
dx =
π
2
−π
2
x
4 − sin2
x
dx +
π
2
−π
2
cos x
4 − sin2
x
dx
Do f1(x) =
x
4 − sin2
x
là hàm số lẻ trên
−π
2
;
π
2
nên
π
2
−π
2
x
4 − sin2
x
dx = 0
và f2(x) =
cos x
4 − sin2
x
là hàm số chẵn trên
−π
2
;
π
2
nên ta có:
π
2
−π
2
cos x
4 − sin2
x
dx = 2
π
2
0
cos x
4 − sin2
x
dx
Đặt sin x = t ⇒ dt = cos x dx
Đổi cận ta có:
x = 0 ⇒ t = 0
x =
π
2
⇒ t = 1
= 2
1
0
dt
4 − t2
= 2
1
0
(2 + t) + (2 − t)
4(2 − t)(2 + t)
dt =
1
2
ln
2 + t
2 − t
1
0
=
1
2
ln 3
Vậy I =
π
2
−π
2
x + cos x
4 − sin2
x
dx =
1
2
ln(3)
43
lovestem
.edu.vn