1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS À FLEXÃO DE VIGAS
(Curso de Engenharia Civil)
Lucas da Mata Rocha Menezes1.
Erica Dantas Pereira Gama2.
RESUMO
A base teórica da engenharia em grande parte vem da linguagem e análise
matemática. Por isso o engenheiro deve ter um bom embasamento dos
cálculos diferenciais e integral, equações diferenciais, álgebra linear entre
outros recursos matemáticos para resolver a maioria dos problemas de
engenharia. O objetivo desse artigo é mostrar uma aplicação de um dos
métodos matemáticos chamado equações diferenciais à análise estrutural,
mais especificamente à flexão de vigas, visando um melhor entendimento dos
recursos e da aprendizagem das equações diferenciais através da utilização da
mesma no comportamento de estruturas.
PALAVRAS-CHAVE: Equações Diferenciais. Matemática.
Engenharia.Flexão.Vigas.
ABSTRACT
The theoretical basis of engineering largely comes from the language and
mathematical analysis. For this the engineer must have a good foundation for
differential and integral calculations, differential equations, linear algebra and
other mathematical tools to solve most engineering problems. The aim of this
paper is to show an application of a mathematical method called differential
equations for structural analysis, specifically bending of beams, seeking a better
1
Aluno do Curso de Engenharia Civil – Universidade Tiradentes.
2
Professora Titular – Universidade Tiradentes.

2. understanding of resources and learning of differential equations by using the
same behavior of structures.
KEYWORDS: Differential Equations. Mathematics.Engineering.Flexion. Beams.
INTRODUÇÃO
As equações diferencias estão presentes em quase todos os tipos de estudo,
não só em áreas de engenharia como em física, biologia, estatística entre
outras, o que faz o seu estudo de grande importância.
Uma das aplicações da equação diferencial é o estudo da mecânica dos
sólidos em função de forças atuantes, podemos incluir como corpo sólido as
vigas, que são elementos estruturais que são projetadas para receber
carregamentos e suportar diversas cargas ao longo de sua extensão.
O principal objetivo desse trabalho é fazer a associação das equações
diferencias e a mecânica dos sólidos. Descrevendo a relação entre eles.
Para melhor entendimento do trabalho será feito uma apresentação superficial
das equações diferenciais priorizando as principais definições e métodos de
resolução, para facilitar o entendimento da utilização dessa ferramenta. Após o
expor os principais conceitos das equações diferenciais, será apresentada a
base para o estudo de vigas assim como as forçasque atuam sobre a mesma.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Uma equação diferencial é uma equação em que as suas incógnitas são
funções e a equação envolve as derivadas dessas funções.
Definição: Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é uma equação da
forma: F(x, y(x), y’(x), y’’(x),...,y(n)(x)) = 0.
Exemplos: y’ + 5y = ex. ↔ + 5y = ex.
Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem.
As equações diferencias de 1ª ordem são equações que podem ser escritas na
forma:F(x,y,y’) = 0

3. Vamos ver equações de primeira ordem escritas como:
Quando resolvemos uma equação diferencial ordinária de 1ª ordem
normalmente obtemos uma família de soluções que dependem de uma
constante arbitrária. Se toda solução particular puder ser obtida da família de
soluções que encontramos por uma escolha apropriada da constante dizemos
que a família de soluções é a solução geral da equação.
Exemplo:
, pode-se resolver por integração direta:
,
Que é uma solução geral da equação diferencial dada.
Equações Diferenciais Ordinárias de Segunda Ordem.
Uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem é uma equação da
forma:a(x) y’’ + b(x) y’ + c(x) y = d(x)
Onde a = a(x), b = b(x), c = c(x) e d = d(x) são funções conhecidas somente da
variável independente x.
Exemplos de equações diferenciais lineares de segunda ordem:
a) x2y’’ + sin(x) y’ + exy = u(x)
b) y’’ − 7y’ + 12y = cos(x)
CONCEITOS PRELIMINARES DA MECÂNICA.
Força Normal (N)
Força Normal é a componente da força interna que age perpendicularmente à
seção transversal. Se for dirigida para fora do corpo, provocando alongamento
no sentido da aplicação da força, é chamada de força normal de tração ou
solicitação de tração. Se for dirigida para dentro do corpo, provocando
encurtamento no sentido deaplicação da força, é chamada de força normal de
compressão ou solicitação de compressão.

4. Força Cortante (V)
Força Cortante é componente de força interna que equilibra uma dada seção
transversal de barra (ou viga), contida no plano da seção transversal que tende
a deslizar uma porção do corpo em relação à outra, provocando corte
(deslizamento da seção em seu plano). As tensões desenvolvidas internamente
que opõem resistência às forças cortantes são denominadas tensões de
cisalhamento ou tensões tangenciais (força por unidade de área),
representadas pela letra grega τ (Thau).
Momento Fletor (M).
Considerando a análise de membros prismáticos sujeitos a dois conjugados ou
momentos, iguais e de sentidos opostos, M e M’, atuando no mesmo plano
longitudinal. Se passarmos uma seção transversal cortando a viga, as
condições de equilíbrio de uma parte da viga exigem que os esforços
elementares exercidos sobre essa parte formem um conjugado equivalente.
Desse modo, a seção transversal da barra submetida à flexão pura apresentará
esforços internos equivalentes a um conjugado. O momento M desse
conjugado é chamado momento fletorda seção. Por convenção, indica-se como
positivo o momento M que flexiona a barra e como negativo o caso em que M e
M’ têm sentidosinversos.
FLEXÃO DE VIGAS
Vigas geralmente são elementos prismáticos retos e longos. Vigas de aço e de
alumínio desempenham um papel importante na engenharia de estruturas e
mecânica.
Vigas de concreto armado e madeira são muito usadas na construção de
casas. Na maioria dos casos, as forças são perpendiculares ao eixo da viga.
Esse carregamento transversal provoca somente flexão e cisalhamento naviga.
Quando as forças não estão em ângulo reto com o eixo da viga, elas produzem
também forças axiais na viga (Ferdinand, 2006).
O projeto de qualquer elemento estrutural ou mecânico requer uma
investigação das cargas que atuam em seu interior para a garantia de que o
material utilizado possa resistir a tal carregamento. Esses efeitos internos
podem ser determinados pelo uso do método das seções.

5. Em mecânica, os componentes da Força N, atuando à viga na região de corte,
e V que atua tangente a essa região, são denominados força normal ou axial e
força de cisalhamento, respectivamente. O momento M é denominado
momento fletor (Hibbeler, 2005).
As vigas são classificadas de acordo com a maneira como são vinculadas ou
apoiadas. A figura a seguir mostrao tipo de viga usada frequentemente. A
distância L mostrada naviga é chamada de vão.
Figura 1(Figura - Representação de uma Viga em 3D
Fonte: GASPAR: 2005.)
Diagrama de Força Cortante e Momento Fletor.
A determinação dos valores máximos absolutos da força cortante e do
momento fletor em uma viga fica muito mais fácil se os valores V e M forem
construídos graficamente em função da distancia x medida a partir de uma
extremidade da viga. Além disso, o conhecimento de M em função de x é
essencial para a determinação do deslocamento de uma viga.
No exemplo da figura a baixo, os diagramas de força cortante e momento fletor
serão obtidos determinando-se os valores de V e M em pontos selecionados da
viga. Esses valores serão determinados da maneira usual, isto é, cortando-se a
viga no ponto onde eles devem ser determinados (figura 2a) e considerando o

6. equilíbrio da parte da viga localizada de cada lado da seção (figura 2b). Como
as forças cortantes V e V’ têm sentidos opostos, registrar a força cortante no
ponto C com uma seta para cima ou para baixo não teria significado, a menos
que indicássemos ao mesmo tempo qual dos corpos livres AC e CB estamos
considerando. Por esta razão, a força cortante V será marcada com um sinal:
um sinal positivo se estiverem direcionadas, como mostra a figura 2b, e um
sinal negativo, no caso contrario. Será aplicada uma convenção similar para o
momento fletor M. Ele será considerado positivo se os momentos fletores
estiverem direcionados, conforme mostrado naquela figura, e negativo caso
contrario.
Figura 2(Ferdinand, 2006)

7. Curva de Deflexão (Coeficiente de Poisson).
Quando uma barra é tracionada, o alongamento axial é acompanhado por uma
contração lateral, isto é, a largura da barra torna-se menor enquanto cresce
seu comprimento. Quando a barra é comprimida, a largura da barra aumenta.
A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante dentro
da região elástica, e é conhecida como relação ou coeficiente de Poisson (v);
definido como:
Esse coeficiente é assim conhecido em razão do famoso matemático francês
S. D. Poisson (1781-1840). Para os materiais que possuem as mesmas
propriedades elásticas em todas as direções, denominados isotrópicos,
Poisson achou n » 0,25. Experiências com metais mostram que o valor de v
usualmente encontra-se entre 0,25 e 0,35. Se o material em estudo possuir as
mesmas propriedades qualquer que seja a direção escolhida, no ponto
considerado, então é denominado, material isotrópico. Se o material não
possuir qualquer espécie de simetria elástica, então é denominado material
anisotrópico. Um exemplo de material anisotrópico é a madeira pois, na direção
de suas fibras a madeira é mais resistente.
Equações Diferenciais das Curvas de Deflexão.
Considere uma viga engastada com um carregamento concentrado atuando
para cima na extremidade livre.

8. Figura 3 - Curva de deflexão de uma viga engastada. (Gere, 2003)
Considerações: O plano xyé um plano de simetria da viga e todos os
carregamentos atuam nesse plano (plano de flexão). O material segue a Lei de
Hooke e consideramos somente deformações devido à flexão pura.
Deflexão ν - É o deslocamento na direção y de qualquer ponto no eixo da viga,
como apresenta a Figura 3b. Como y é positivo para cima, então ν é positivo.
Vamos considerar a curva de deflexão com mais detalhes como mostra a
Figura 4.
Figura 4 - Curva de deflexão de uma viga. (Gere, 2003)
Ângulo de rotação θ - É o ângulo entre o eixo x e a tangente à curva de
deflexão, como mostra a Figura 4b.
Observações: θ é positivo no sentido anti-horário.

9. Notação: Ângulo de rotação = Ângulo de inclinação = Ângulo de declive
Ângulo de rotação em m2 = θ+dθ
dθ- Aumento no ângulo conforme nos movemos do ponto m1 para o ponto m2.
Ângulo entre as normais as tangentes = dθ
Ponto de interseção entre as normais as tangentes = O’ (Centro de curvatura) ρ
- Raio de curvatura – Distância de O’ à curva e é dado pela seguinte
expressão.
ondedθé dado em radianos e dsé a distância ao longo da curva de deflexão
entre os pontos m1e m2.
A curvatura é dada por:
A convenção de sinal para a curvatura é apresentada na Figura 5.
Figura 5 - Convenção de sinal para a curvatura. (Gere, 2003)

10. A inclinação da curva de deflexão é a primeira derivada . Geometricamente, a
inclinação da curva de deflexão é o incremento dν na deflexão (conforme
vamos do ponto m1 para o ponto m2) dividindo pelo incremento dxna distância
ao longo do eixo x.
Como dve dxsão infinitesimais tem-se que:
De modo similar tem-se:
Essas equações são validas para vigas de qualquer material
Vigas com pequenos ângulos de Rotação:
Estruturas encontradas na vida diária: Edifícios, Automóveis, Aeronaves,
navios e
etc. Essas estruturas sofrem pequenas variações na forma enquanto estão em
serviço e não são percebidas por um observador casual. Dessa forma, a curva
de deflexão da maioria das vigas e colunas tem ângulos de rotação muito
pequenos, deflexões muito pequenas e curvaturas muito pequenas.
De acordo com a Figura 4, se o ângulo de rotação é muito pequeno, a curva de
deflexão
é quase horizontal. Dessa forma tem-se que:
Assim a curvatura, pode ser dada por:
Uma vez que quando é pequeno, tem-se o seguinte:

11. Derivando a expressão anterior em relação a x temos:
Igualando com a expressão da curvatura:
A expressão anterior é válida para uma viga de qualquer material, com a
condição de que as rotações sejam pequenas.
Se o material é elástico e linear e segue a Lei de Hooke, a curvatura é dada
por:
Em que M é o momento fletor e EI é a rigidez a flexão da viga. Combinando as
duas ultimas equações da deflexão produz-se a equação diferencial da curva
de deflexão básica de uma viga.
Essa equação pode ser integrada em cada caso particular para se obter, ν, M e
EI que são funções de x.
Equações adicionais podem ser obtidas a partir das relações entre o momento
fletorM, a força de cisalhamento V e a intensidade q da carga distribuída, como
a seguir:
Vigas Não-Prismáticas
A rigidez a flexão EIxé variável. A equação torna-se:

12. Diferenciando ambos os lados da equação anterior e usando as equações
obtém-se:
Vigas Prismáticas
No caso de uma viga prismática (EI constante), as equações diferenciais
tornam-se:
Iremos nos referir a essas equações como a equação do momento fletor, a
equação da força de cisalhamento e a equação do carregamento,
respectivamente.
Deflexões por integração da equação do momento fletor – Método de
integrações
Sucessivas
Objetivo: Integrar duas vezes
1ª Integração →
2ª Integração → deflexão v
Passos:
1- Escrever as equações para os momentos fletores da viga
2- Para cada região da viga substituímos as expressões para M na equação
diferencial da elástica e integramos para obter a inclinação ν’
3- Integramos cada equação da inclinação para obter ν.

13. Observações: Cada integração produz uma constante de integração.
As constantes de integração são obtidas a partir de condições relativas às
inclinações e deflexões. As condições classificam-se em três categorias.
Condições de contorno: relativas às inclinações e deflexões nos apoios das
vigas, como
exemplifica a Figura 6 e a Figura 7.
Figura 6 - Condições de contorno em apoio simples.(Gere, 2003)
Figura 7 - Condições de contorno no engaste (Apoio fixo). Fonte: Gere, 2003
APLICAÇÃO EM VIGAS BIAPOIADAS:
Imaginemos uma viga isolada de uma estrutura de certo empreendimento, para
a determinação da carga devemos levar em conta o próprio pesa desta viga “q”
adicionado o peso resultante da parede sobre esta viga “p”. Esta carga “w”

14. representada por q + p, é chamada de carregamento e tem como unidade
Kg/m, ou seja, o peso da viga mais o peso da parede sobre esta viga gera
certa quantidade de peso em Kg sobre cada metro ao longo do comprimento
da viga analisada. A viga em analise está apoiada em sobre pilares em cada
uma de sua extremidade (biapoiada), cada uma desses pilares representados
pelas letras A e B, fornecerão as respectivas reações devido o carregamento
aplicado. Conhecida a viga, os conceitos de equações e da mecânica dos
sólidos, determine a equação da linha elástica (deflexão) de uma viga simples
ABsuportando um carregamento uniforme de intensidade watuando por toda a
extensão da viga. Determine também a flecha máxima vno ponto médio da
viga. (Nota: A viga tem comprimento L e rigidez à flexão EI constante).
Figura 8 - Viga Biapoiada com carregamento uniformemente distribuído. Fonte: Beer, 2006
Solução:
Determinando o momento fletor desta viga:
O momento fletor em uma secção transversal distante x de um dos apoios fixo
é obtido considerando a reação no mesmo que é igual awL /2.
Consequentemente, a expressão para o momento fletorM é:
M= (1)
Considerando a equação diferencial do momento fletor para uma viga prismática
EI =M e substituindo em (1), obtemos:

15. EI = (2)
Essa equação pode ser utilizada para se obter a inclinação e a elástica da viga .
Reescrevendo a equação diferencial (2) que é uma equação de variáveis
separáveis, e integrando ambos os lados:
EI =
EI = + C1 (3)
A equação diferencial (3) representa a inclinação da viga ( ). Para
determinarmos C1na equação (3) observamos, a partir da simetria da viga e de
seu carregamento, que a inclinação da curva de flexão na metade da extensão é
igual a zero, e daí, temos a seguinte condição de simetria:
Para , Então:
0= + C1
C1=
A equação para a inclinação da viga torna-se então:
EI = (4)
(5)
Para encontrar a deflexão da viga (v), temos que integrar a função (4):
+ C2 (6)
A constante de integração C2 pode ser calculada a partir da condição de que
adeflexão da viga no suporte fixo é igual a zero; isto é, v = 0 quando x = 0.
C2=0, então:

16. ou ,
(7)
Essa equação da o deslocamento vertical em qualquer ponto ao longo do eixo
da viga. Vale ressaltar que esse deslocamento é zero em ambas as
extremidades da viga e negativa em qualquer outra parte, pois flechas para
baixo são negativas por convenção.
Flecha Máxima: Da simetria, observamos que a flecha máxima (deflexão
máxima) ocorre no ponto médio do comprimento. Assim, fixando x igual a L/2
na equação (7), obtemos:
max
APLICAÇÃO EM VIGAS EM BALANÇO (ENGASTADAS).
Imaginemos agora outra viga do mesmo empreendimento da aplicação
anterior, só que esta viga não é biapoiada, ou seja, não possui apoio em uma
de suas extremidades. O peso ao longo desta viga será o peso próprio da
mesma w em Kg/m. vamos determinar a equação da linha elástica (deflexão)
para uma viga engastada AB submetida a um carregamento uniforme de
intensidade w.E também o ângulo de rotação e a deflexão v em B,na
extremidade livre.(Nota: a viga tem comprimento L e rigidez de flexão EI
constante).

17. Solução:
Considerando que a reação vertical no apoio é igual awLe que a reação do
momento é igual a wL²/2 , o momento fletor à distância x do suporte fixo é
expresso pela equação:
(1)
Quando a expressão precedente para o momento fletor é substituída na equação
diferencial:
EI
Obtemos:
EI (2)
Agora integramos ambos os lados da equação (2) para obter a inclinação:
EI + C1 (3)
A constante de integração C1pode ser obtida a partir da condição de contorno
de que a inclinação da viga é zero no suporte. Para x=0, = 0.
Quando essa condição é aplicada à equação (3), obtemos C 1 = 0. Em
consequência, a equação (3) torna-se:
EI (4)

18. Assim, a inclinação é:
(5)
Como esperado, a inclinação é zero no suporte (x=0) e negativa por todo o
comprimento da viga.
A integração da equação (4) produz a equação da deflexão:
EI + C2 (6)
A constante C2é encontrada a partir da condição de contorno de que a flecha
da viga é zero no suporte. Para x=0, v=0:
Quando essa condição é aplicada na equação (6), vemos imediatamente que
C2 = 0.
Em consequência, a equação para a deflexão v é:
(7)
Como esperado, o deslocamento vertical v é zero no suporte (x = 0) e negativa
(para baixo) em outras partes.
O ângulo de rotação na extremidade B da viga é igual ao negativo da
inclinação naquele ponto. Assim, usando a equação (5), obteremos, para x = L:
(8)
Esse é o ângulo de rotação máxima para a viga.
Uma vez que a deflexão v é para baixo, ela é igual ao negativo da deflexão
obtida a partir da equação (7). Para x = L
max =

19. Essa flecha é o deslocamento vertical máximo da viga.
CONCLUSÃO
É percebida a importância do entendimento de equações diferenciais enquanto
ferramenta matemática disponível para diversos ramos da ciência, e em
específico, para a engenharia, na necessidade de determinar as tensões e as
deformações usando as propriedades físicas dos materiais, bem como as leis
que regem o comportamento dessas estruturas.
Ao realizar o estudo do comportamento de vigas percebemos a importância da
relação da matemática e engenharia. A matemática fornecendo as ferramentas
úteis para o entendimento de fenômenos que estão à nossa volta e aplicar para
uma melhor produtividade na engenharia.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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SANTOS, Reginaldo J.Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias /
Reginaldo J. Santos. Belo Horizonte: Imprensa Universitária da UFMG, 2007.
BEER, Ferdinand Pierre, 1915 – Resistencia dos Materiais / Ferdinand P. Beer,
E. Russell Johnston, Jr., John T. DeWolf; tradução Mario Moro Fecchio; revisão
técnica Walter Libardi. – São Paulo: McGraw-Hill, 2006.
HIBBELER, R. C. Estática : mecânica para engenharia, vol. 1 / R. C. Hibbeler;
tradução EveriAntonio Carrara, Joaquim Nunes Pinheiro; revisão técnica
Wilson Carlos da Silva Junior. – São Paulo: Pearson Prentive Hall, 2005.