1. Séries Uniformes
Operações
com Séries
Uniformes
1

2. Séries Uniformes
Objetivos :
– Entender o DFC em séries
– Diferenciar séries antecipadas,
postecipadas e diferidas
– Compreender os cálculos
envolvendo séries uniformes
– Discutir os principais
aspectos associados às
séries uniformes
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3. Conceito de Séries
Seqüência de pagamentos ou
recebimentos em datas futuras,
como contrapartida de recebimento
ou aplicação a valor presente

4. Classificações de Séries
Quanto ao Finitas : quando ocorrem durante um período pré-determinado de tempo
número de
prestações: Infinitas : ou perpetuidades, ocorrem quando ocorrem de forma ad eternum. Isto
é, quando os pagamentos ou recebimentos duram de forma infinita.
Quanto à Periódicas : quando os pagamentos ocorrem a intervalos constantes
periodicidade dos
pagamentos: Não-periódicas : quando os pagamentos ou recebimentos acontecem em
intervalos irregulares de tempo
Quanto ao valor Uniformes : quando as prestações ou anuidades são iguais.
das prestações:
Não-uniformes : quando os pagamentos ou recebimentos apresentam valores
distintos
Quanto ao prazo Postecipadas : quando as anuidades iniciam após o final do primeiro período
dos pagamentos:
Antecipadas : quando o primeiro pagamento ocorre na entrada, do início da série
Quanto ao Diferidas : ou com carência, quando houver um prazo maior que um período entre
primeiro a data do recebimento do financiamento e data de pagamento da primeira
pagamento: prestação
Não diferidas : quando não existir prazo superior a um período entre o início da
operação e o primeiro pagamento ou recebimento.
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5. Tipos de séries
 Uniformes
– Valores nominais iguais
 Não uniformes
– Valores nominais diferentes
Esta aula:
Séries Uniformes

6. Classificação das séries
 Antecipadas
– Com entrada
– Exemplos … 1 + 2, 1 + 5, 1 + …
 Postecipadas
– Sem entrada
– Exemplos … 2x, 5x, 6x …

7. Conceito de Séries Uniformes
 Consistem em uma sequência de recebimentos
ou pagamentos, cujos valores são iguais.
 Genericamente, as séries uniformes podem ser
representadas de acordo com a figura a seguir:
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8. DFC genérico de série uniforme
VP = Valor Presente
n = número de pagamentos iguais
Carência
m +1
0
PMT = Prestações ou Pagamentos
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9. Séries Uniformes
Fórmula para séries uniformes
A fórmula básica para uso em séries
uniformes pode ser apresentada como :
n SOMENTE PARA
i1 i SÉRIES DIFERIDAS
m
PMT PV n
1 i
1 i 1
Onde :
PMT = Pagamento periódico igual
m = carência em número de períodos
n = número de pagamentos
PV = valor presente
9 i = taxa de juros

10. Séries Postecipadas
O pagamento ocorre Valor Presente
ao final do primeiro
período
Postecipada
0
PMT
n Pagamentos Periódicos
Sem Entrada
10

11. A geladeira nova de Pedro
Valores nominais
 Pedro quer comprar uma
iguais
geladeira
 Na loja, $1.000,00 a vista Séries
UNIFORMES
 Ou … em quatro iguais mensais,
sem entrada Como obter
PMT?
+$1.000,00 Álgebra
Tabelas
HP 12C
0 1 2 3 4
-PMT Taxa da loja?
i= 4% a.m.

12. Usando o bom senso
Pagamentos em
+$1.000,00 i= 4% a.m. 1, 2, 3 e 4
n = 2,5 Prazo médio igual
a 2,5
0 1 2 3 4
-PMT Supondo JS
Cuidado! VF = VP (1+in)
Valor aproximado PQ?
por juros simples VF = 1+2+3+4 VF = 1000 (1+0,04.2,5)
PMT = VF/4
Valor exato MÉDIA = (1+2+3+4)/4 VF = 1100
com juros
compostos
VF Como são feitos quatro pagamentos
Pagamento = 1100/4 = $275,00

13. Séries Postecipadas
13

14. Utilizando an’i
VP = an,i.PMT
PMT = VP
an,i

15. Usando a álgebra
n
1 i 1
an , i n
i1 i

16. Usando a tabela
N i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
0,9901
1,9704
0,9804
1,9416
0,9709
1,9135
0,9615
1,8861
0,9524
1,8594
an,i=3,6299
0,9434
1,8334
0,9346
1,8080
0,9259
1,7833
0,9174
1,7591
0,9091
1,7355
3 2,9410 2,8839 2,8286 2,7751 2,7232 2,6730 2,6243 2,5771 2,5313 2,4869
4 3,9020 3,8077 3,7171 3,6299 3,5460 3,4651 3,3872 3,3121 3,2397 3,1699
5 4,8534 4,7135 4,5797 4,4518 4,3295 4,2124 4,1002 3,9927 3,8897 3,7908
6 5,7955 5,6014 5,4172 5,2421 5,0757 4,9173 4,7665 4,6229 4,4859 4,3553
7 6,7282 6,4720 6,2303 6,0021 5,7864 5,5824 5,3893 5,2064 5,0330 4,8684
8 7,6517 7,3255 7,0197 6,7327 6,4632 6,2098 5,9713 5,7466 5,5348 5,3349
9 8,5660 8,1622 7,7861 7,4353 7,1078 6,8017 6,5152 6,2469 5,9952 5,7590
10 9,4713 8,9826 8,5302 8,1109 7,7217 7,3601 7,0236 6,7101 6,4177 6,1446
Pagamento = 1000/3,6299 = $275,49

17. Exemplo A
 Um televisor é anunciado por $600,00 a vista. A
loja aceita parcelar a compra, cobrando 2% a.m.
Calcule o valor das prestações supondo um
plano do tipo:
4 x sem entrada
VP = an,i.PMT n
1 i 1
an , i n
PMT = VP i1 i
an,i

18. Exemplo A
 Um televisor é anunciado por $600,00 a vista. A
loja aceita parcelar a compra, cobrando 2% a.m.
Calcule o valor das prestações supondo um
plano do tipo:
4 x sem entrada
4
1 0,02 1
an , i 4
0,02 1 0,02
PMT = 600 = 157, 58
3,807729

19. E se os pagamentos fossem …
Com entrada
…

20. Séries Antecipadas
O pagamento ocorre Valor Presente
no início do primeiro
período
Antecipada
0
PMT
N Pagamentos Periódicos
Com Entrada
20

21. Usando o bom senso
Pagamentos em
+$1.000,00 i= 4% a.m. 0, 1, 2 e 3
Prazo médio igual
n = 1,5
a 1,5
0 1 2 3 4
Supondo JS
-PMT
Cuidado!
VF = VP (1+in)
Valor aproximado
por juros simples VF = 1000 (1+0,04.1,5)
Valor exato VF = 1060
com juros
compostos
Como são feitos quatro pagamentos
VF Pagamento = 1060/4 = $265,00

22. Séries Antecipadas
n
1 i 1
an , i n
i1 i
22

23. A geladeira nova de Pedro
 Pedro quer comprar uma
geladeira
 Na loja, $1.000,00 a vista
 Ou … em quatro iguais mensais,
com entrada
+$1.000,00 i= 4% a.m.
0 1 2 3 4
-PMT $264,89
JC = $265,00, diferença de $0,11!!!

24. Exemplo B
 Um televisor é anunciado por $600,00 a vista. A
loja aceita parcelar a compra, cobrando 2% a.m.
Calcule o valor das prestações supondo um
plano do tipo:
1+3x

25. Analisando o DFC: 4x
+600,00
0 1 2 3 4
-PMT
Taxa igual a 2% a.m.
Com entrada 154,4846

26. Exemplo C
 A Mercantil Precinho e Descontão
Ltda. pensa em financiar suas
vendas, cobrando uma taxa
composta mensal sempre igual a
3% a.m. Calcule o valor das
prestações nas operações de
venda financiada apresentadas
a seguir:

27. a) Rádio Somzão
Valor a vista igual a $400,00, em três iguais,
sem entrada.

28. Analisando o DFC do Somzão
+400,00
0 1 2 3 4
-PMT
Taxa igual a 3% a.m.
Sem entrada 141,4121

29. b) Tocador de CD Musical
Valor a vista igual a $240,00, entrada de
$80,00 mais cinco mensais iguais.

30. Analisando o DFC do Musical
+160,00
+240,00
0 1 2 3 4 5
-PMT
-80,00
Taxa igual a 3% a.m.
Entrada igual a 80
34,9367

31. c) Televisor Veja Mais
Valor a vista igual a $1.200,00, em 1 + 7.

32. Analisando o DFC
+1.200,00
0 1 2 3 4 5 6 7
-PMT
Taxa igual a 3% a.m.
1+7
165,97

33. d) Refrigerador Esquimó
Valor a vista igual a $2.100,00, em 1 + 3.

34. Analisando o DFC do Esquimó
+2.100,00
0 1 2 3
-PMT
Taxa igual a 3% a.m.
548,5017
1+3

35. Exercício de Fixação
 Uma máquina de cortar grama é
anunciada por $600,00 a vista ou
em 4 parcelas mensais iguais, sem
entrada. Se a taxa de juros
cobrada pela loja é igual a 2% ao
mês, qual o valor das prestações?
A 157 B 167 C 177 D 187 E 197
35

36. Exercício de Fixação
Um automóvel novo é vendido a vista por
$40.000,00 ou em dez parcelas mensais
iguais sem entrada no valor de $5.180,18.
Qual o valor da taxa de juros efetiva
mensal % da operação?
A 5 B 6 C 7 D 8 E 9
36

37. Exercício de Fixação
Um microcomputador é
anunciado por $1.200,00 a
vista ou em 9 parcelas
mensais iguais, com entrada.
Se a taxa de juros cobrada
pela loja é igual a 1% ao mês,
qual o valor das prestações?
A 109 B 119 C 129 D 139 E 149
37

38. Exercício de Fixação
Uma rede de lojas de
brinquedos anuncia a venda
de um robozinho eletrônico
por $300,00 a vista ou em (1+4)
prestações mensais iguais no
valor de $100,00. Qual a taxa
de juros da operação?
A 34,9 B 32,2 C 30,1 D 29,3 E 28,2
38

39. Séries Perpétuas
Os pagamentos
Valor Presente ou recebimentos
ocorrem até
o infinito.
0
Pagamentos ou recebimentos ad eternum.
39

40. Fórmulas para Séries Perpétuas
Sem crescimento :
• VP = PMT / i
Com crescimento :
• VP = PMT1 / (i-g)
Onde :
PMT1 = fluxo de caixa perpétuo no período 1
i = taxa de juros da operação ou custo de capital (deve ser maior que g)
g = taxa de crescimento do fluxo de caixa
40

41. Exercício de Fixação
Um título paga juros eternos anuais no
valor de $80. Se a taxa de juros
apropriada ao risco da operação é igual a
25% ao ano, qual o valor presente desse
papel?
A 240 B 280 C 320 D 360 E 400
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42. Exercício de Fixação
 As ações da Rocambole S.A., prevêem pagar
um dividendo igual a $ 0,40 por ação no
próximo ano. Sabe-se que historicamente, os
dividendos da empresa crescem a uma taxa
igual a 2% a.a. e o custo de capital (i) da
empresa é estimado em 16% a.a. Qual o valor
da ação ?
A $ 2,5 B $ 2,17 C $ 2,86 D $3 E $ 3,86
42