Ecuacion diferencial lineal

UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: JULIO ROMERO
44
3.2.2 La Ecuación Diferencial Lineal De Primer Orden
Una ecuación que puede escribirse en la forma
   xQyxP
dx
dy
 (10)
Donde    xQxP y son funciones dadas de x se llama una ecuación diferencial
de primer orden lineal. Es fácil verificar que la ecuación tiene como factor
integrante a  dxP
e , puesto que al multiplicar ambos lados de (10) por este factor
se obtiene
yP
dx
dy
e
dxP
 Qe
dxP
  dxP
e (11)
lo cual es equivalente a





  PdxPdx
eQey
dx
d
(12)
Esto es cierto debido a que si usamos la regla del cálculo para la diferenciación de
un producto, el lado izquierdo de (12) es
  




 




  PdxPdxPdxPdxPdxPdxPdx
eyP
dx
dy
e
dx
dy
ePey
dx
dy
ee
dx
d
yey
dx
d
esto es, el lado izquierdo de (11). De (12) obtenemos por integración la solución.?
  cdxeQey
PdxPdx
(13)
Observación. No hay necesidad de memorizar (13). Es mucho mejor usar
el factor integrante 
Pdu
e , multiplicar la ecuación dada (10) por este factor y
luego escribir el lado izquierdo como la derivada del producto de  con y como en
(12).
EJEMPLO ILUSTRATIVO 5
Resuelva: 505  y
dx
dy
Solución: Esto está en la forma (10) con 5P , 50Q Un factor integrante es el
,55 xdx
ee  Multiplicando por ,5x
e podemos escribir la ecuación como
  xx
eye
dx
d 55
50
esto es

45
cey xx
 55
e10 ó x
ecy 5
10 

Se podría haber usado también el método de separación de variables.
Resuelva: 10
52
10



t
I
dt
dI
dado que 0I donde 0t .
Solución: La ecuación tiene la forma (10), remplazando con y con . Un
factor integrante es
 
   
 552ln52ln5
52
552/10
 

teee tt
tdt
multiplicando Por
 5
52 t , encontramos.
    55
521052  tIt
dt
d
o     cTtI 
65
52
6
5
52
Colocando 0I y 0t en la ecuación, tenemos
Así
 
 5
526
125.78
52
6
5


t
tI
Realmente no hay necesidad de considerar (10) como una nueva ecuación puesto
que pertenece a. una categoría ya considerada, la categoría de ecuaciones con un
factor integrante el cual es una función de sólo una variable. A pesar de esto, la
forma en la cual (10) aparece ocurre tan frecuentemente en aplicaciones prácticas,
y el método de solución es tan simple, que vale la pena llegar a estar familiarizado
con ella. Sin embargo, si el estudiante no puede reconocer que una ecuación
particular tiene la forma (10) puede estar seguro que el método de los factores
integrantes de una variable si funcionará. Por ejemplo, considere la ecuación
  033  dyyxdxy
la cual discutimos en el Ejemplo ilustrativo 2. Si se nos ocurre reconocer que esta
ecuación se puede escribir como
y
y
y
x
dy
dx 33 

la cual está en la forma (10) con y intercambiados, podemos resolverla como
una ecuación lineal. (Ver Ejercicio 3A). En otro caso podemos buscar un factor
integrante que involucre una sola variable. Para mostrar que este método es
aplicable escribirnos (10) como
     0 dydxxQyxP
Entonces N = 1,
  ),(xQyxPM  1N ,  ,xP
y
M



,0


x
N

46
Ahora     xPxP  10 es una función de x sólo, y así
  dxxP
e es un factor
integrante
Resuelva:
Solución:
(1)
La ec (1) es una ecuación diferencial lineal de primer orden:
( ) ( )
Con
( )
De tal modo que el factor integrante es:
∫ (2)
Multiplicando cada término de (1) por el factor integrante (2)
( )
(3)
Como el miembro izquierdo de (3) es el desarrollo de la derivada del producto
, se tiene:
( )
( )
( )
∫ ( ) ∫
(4)
Como ( ) : dominio de y ( ) dominio de , los
coeficientes son continuos en todo ; y de (4) se concluye que la solución
general de la ecuación diferencial y su intervalo de solución es:
, ( )

47
Resuelva:
Solución:
(1)
( ) ( )
Con
( )
∫ (2)
( )
(3)
, se tiene:
( )
( )
( )
∫ ( ) ∫
( )
( )
(4)
Como ( ) : dominio de y ( ) dominio de , los
coeficientes son continuos en todo ; y de (4) se concluye que la solución
general de la ecuación diferencial y su intervalo de solución es:
( )
, ( )

48
3.2.2.1 Problemas de aplicación
Problema de aplicación 1: Se sabe que la población de cierta comunidad
aumenta en una razón proporcional a la cantidad de personas que tiene en
cualquier momento. Si la población se duplicó en cinco años, ¿en cuánto tiempo
se triplicará y cuadruplicará?
Solución: Sea
De tal manera que
( ) (1)
Como
( ) (2)
De (1) se tiene
( ) ( )
(3)
Luego la ecuación (1) queda de la forma
( ) (4)
En años la población se duplicó
( ) (5)
(6)
La función que da la población en función del tiempo es
( ) (7)
Cuando la población se triplica queda
Cuando la población se cuadruplica queda

49
La respuesta al problema es que la población se triplicará aproximadamente 7,9
años, y se cuadruplicará a los 10 años.
Problema de aplicación 2: En cualquier momento dado la cantidad de bacterias
en un cultivo crece a una tasa proporcional a las bacterias presentes. Al cabo de
tres horas se observa que hay 400 individuos. Pasadas 10 horas, hay 2000
especímenes ¿cuál era la cantidad inicial de bacterias?
Solución: sea
De tal manera que
( )
( )
( ) (1)
Como la cantidad de bacterias inicial es
( ) (2)
De la ecuación (1) en
( ) ( )
(3)
Sustituyendo (3) en (1)
( ) (4)
Teniendo en cuenta que en horas hay individuos
( ) (5)

50
Sustituyendo en (4)
( ) ( )
( ) (6)
Además, teniendo en cuenta que en horas hay individuos
( ) (7)
Sustituyendo en (4)
( ) ( )
( ) (8)
De (6) y (8) tenemos
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
La respuesta del problema es que la cantidad inicial de bacterias era de 201
Problema de aplicación 3: En el Pb-2009, isótopo radiactivo del plomo, se
desintegra con una razón proporcional a la cantidad presente en cualquier
momento y tiene un período medio de vida de 3.3 horas. Si al principio había un
gramo de plomo, ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que se desintegre el 90%)
Solución: Sea
De tal manera que, la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad
presente, esto es
Resolviendo tenemos

51
( ) (1)
Como la cantidad de Pb-2009 en es
(2)
Aplicando la condición cuando en (1)
( ) ( )
( )
(3)
Luego la ecuación (1) queda de la forma
( ) (4)
En se desintegra la mitad del PB-2009 esto es
( ) (5)
Sustituyendo en (4)
( ) ( )
( )
( )
(6)
Sustituyendo (6) en (4)
( ) (7)
Necesitamos averiguar cuánto tiempo se necesita para que se desintegre el 90%
de Pb-209, es decir para que la cantidad presente sea el 10% o 0.1 del original.
( )
La respuesta del problema es para que se desintegre el 90% de Pb-204, se
necesitan, aproximadamente 11 horas.

52
Problema de aplicación 4: Un termómetro se saca de un recinto donde la
temperatura del aire es de y se lleva al exterior, done la temperatura es de
. Pasado medio minuto el termómetro indica ¿cuál es la lectura
cuando ? ¿Cuánto tiempo se necesita para que el termómetro llegue a
?
Solución: La Ley de enfriamiento de Newton establece que en un cuerpo que se
enfría, la rapidez con que la temperatura del cuerpo cambia en el tiempo es
proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura
constante del medio ambiente que lo rodea. Es decir, si es una constante
de proporcionalidad.
( )
Pero, en el presente problema se tiene que , ahora
( )
( )
( )
( ) (1)
Aplicando la condición para
( ) (2)
Sustituyendo en (1)
( ) ( )
(3)
Sustituyendo en (3) en (1)
( ) (4)
Al aplicar la condición
( ) (5)
Sustituyendo en (4)
( ) ( )
(6)

53
Sustituyendo el valor de dado por (6) en (4), se obtiene:
( ) (7)
( ) ( )
( ) ( )
( )
Para calcular el tiempo en que la temperatura sea de , se sustituye
en (7):
La respuesta al problema es que al cabo de un minuto la temperatura del
termómetro es de el termómetro llega a en 3.06 minutos.

54
Problema de aplicación 5: Análisis de un circuito RC
CIRCUITO RC
Los circuitos RC son circuitos que están compuestos por una resistencia y un
condensador. Se caracteriza por que la corriente puede variar con el tiempo.
Cuando el tiempo es igual a cero, el condensador está descargado, en el
momento que empieza a correr el tiempo, el condensador comienza a cargarse ya
que hay una corriente en el circuito. Debido al espacio entre las placas del
condensador, en el circuito no circula corriente, es por eso que se utiliza una
resistencia. Cuando el condensador se carga completamente, la corriente en el
circuito es igual a cero.
Carga de un condensador
Considérese el circuito en serie de la figura. Inicialmente el condensador está
descargado. Si se cierra el interruptor I la carga empieza a fluir produciendo
corriente en el circuito, el condensador se empieza a cargar. Una vez que se
alcanza la carga máxima la corriente cesa en el circuito.
Fuente de
poder
C.D
Batería
+ -
Capacitor
Resistencia
Interruptor

55
En el circuito de la figura tendremos que la suma
 El extremo a tiene un potencial mayor
que el extremo b de la resistencia R ya
que la corriente fluye de a a b. De
acuerdo a la ley de Ohm
 La placa positiva del condensador b tiene
mayor potencial que la placa negativa c,
de modo que
 El terminal positivo de la batería a tiene
mayor potencial que el terminal negativo
c, de modo que , donde Ve es
la fem de la batería
La ecuación del circuito es
Teniendo en cuenta que la intensidad se define como la carga que atraviesa la
sección del circuito en la unidad de tiempo, tendremos la siguiente
ecuación para integrar
∫
( )
∫
( ) ( )
Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la intensidad en función del tiempo
( )
La carga tiende hacia un valor máximo C·Ve al cabo de un cierto tiempo,
teóricamente infinito.

56
La intensidad disminuye exponencialmente con el tiempo, hasta que se hace cero
cuando se alcanza la carga máxima.
La cantidad RC que aparece en el denominador de t se denomina constante de
tiempo del circuito. Este representa el tiempo que tomará a la corriente para
decrecer hasta 1/e de su valor inicial.
La analogía hidráulica de la carga de un condensador es un tubo-capilar
alimentado por un flujo constante producido por un frasco de Mariotte.
Descarga de un condensador
Consideremos ahora el circuito que consta de un condensador, inicialmente
cargado con carga Q, y una resistencia R, y se cierra el interruptor I.
La ecuación del circuito será la siguiente.
 Como la corriente va de a hacia b, el
potencial de a es más alto que el potencial
de b. Por la ley de Ohm .
 En el condensador la placa positiva a tiene
más potencial que la negativa b, de modo
que .
La ecuación diferencial es
Ecuación diferencial lineal
(1)

57
( ) ( )
Con
( )
( ) ∫ ( )
[ ∫ ( ) ∫ ( )
]
∫
(2)
( )
(3)
, se tiene:
( )
( )
( )
∫ ( )
( ) (4)
Aplicando las condiciones: ( ) y ( )
Para la condición
( ) ( )
Para la condición
( )
(4)
De aquí que , ya que es la carga inicial del capacitor que es
diferente de cero. Entonces para que la igualdad en (4) se cumpla es necesario
que
Esto solo es posible si en otras palabras este factor es

58
Se concluye que la solución general de la ecuación diferencial y su intervalo
de solución es:
( )
Otra forma de solucionar el problema es usando el método de variables
separables, esto es
La ecuación a integrar es
∫ ∫
De donde se obtiene
( )
La carga del condensador disminuye exponencialmente con el tiempo. Derivando
con respecto del tiempo, obtenemos la intensidad
( )
que disminuye exponencialmente con el tiempo.

59
Carga y descarga de un condensador
Cuando el circuito RC se conecta a un
generador de señales cuadradas, podemos
observar en un osciloscopio el proceso de carga
y descarga.
Como se ve en la figura, durante el primer semiperiodo de la señal la fem tiene un
valor constante e igual a V0. El condensador se carga durante un tiempo P/2.
La carga q1 final del condensador en el instante t=P/2 se calcula a partir de la
fórmula
( ) ( )
En el instante t=P/2 la fem se hace cero, el condensador se descarga. La carga
del condensador q2 en el instante t=P se calcula a partir de la fórmula,
( ) ( )

60
En el siguiente proceso de carga, la integración no es entre los límites 0 y q, sino
entre la carga remanente q2 y q.
∫
( )
∫
( )
Calculamos la carga final q3 en el instante t=P+P/2. Y así, sucesivamente.

61
Problema de aplicación 6: Proyecto de aplicación de un circuito RC
Problema de Aplicación: Medida de la velocidad de una bala
Fundamentos teóricos
Antes de disparar la bala se carga el condensador C con una batería de tensión
V0. Y se observa la tensión que marca el voltímetro (en color amarillo). La bala
rompe el circuito en A, y desconecta la batería por lo que el condensador C
empieza a descargarse a través de la resistencia R. Como demostramos en la
página anterior, cuando un condensador se descarga, la carga del condensador
disminuye exponencial mente con el tiempo, luego, la diferencia de potencial V
entre las placas del condensador disminuye de forma exponencial con el tiempo.
( ) ( ) (1)
Donde al producto R·C se denomina constante de tiempo del circuito. Esta
descarga prosigue hasta que la bala rompe el circuito en B. El tiempo transcurrido
es el cociente entre la distancia x que separa los dos conductores rotos y la
velocidad de la bala
(2)

62
Problema de aplicación 7: Análisis de un circuito RL
CIRCUITO RL
FUNDAMENTOS FISICOS
Autoinducción
En un circuito existe una corriente que produce un campo magnético ligado al
propio circuito y que varía cuando lo hace la intensidad. Por tanto, cualquier
circuito en el que exista una corriente variable producirá una fem inducida que
denominaremos fuerza electromotriz autoinducida.
Supongamos un solenoide de N espiras, de longitud l y de sección S recorrido por
una corriente de intensidad i.
1.- El campo magnético producido por la corriente que recorre el solenoide
suponemos que es uniforme y paralelo a su eje, cuyo valor hemos obtenido
aplicando la ley de Ampère
2.-Este campo atraviesa las espiras el solenoide, el flujo de dicho campo a través
de todas las espiras del solenoide se denomina flujo propio.
( )
3.-Se denomina coeficiente de autoinducción L al cociente entre el flujo propio F y
la intensidad i.

63
Del mismo modo que la capacidad, el coeficiente de autoinducción solamente
depende de la geometría del circuito y de las propiedades magnéticas de la
sustancia que se coloque en el interior del solenoide. La autoinducción de un
solenoide de dimensiones dadas es mucho mayor si tiene un núcleo de hierro que
si se encuentra en el vacío
La unidad de medida de la autoinducción se llama henry, abreviadamente H, en
honor a Joseph Henry.
f.e.m. autoinducida
Cuando la intensidad de la corriente i cambia con el tiempo, se induce una f.e.m.
en el propio circuito (flecha de color rojo) que se opone a los cambios de flujo, es
decir de intensidad.
Derivando respecto al tiempo la expresión del flujo propio
La fem autoinducida VL siempre actúa en el sentido que se opone a la variación de
corriente.
Establecimiento de una corriente en un circuito
Cuando se aplica una fem V0 a un circuito cerrando un interruptor, la corriente no
alcanza instantáneamente el valor V0/R dado por la ley de Ohm, sino que tarda un
cierto tiempo, teóricamente infinito, en la práctica, un intervalo de tiempo que
depende de la resistencia.

64
La razón de este comportamiento hay que buscarla en el papel jugado por la
autoinducción L que genera una fem que se opone al incremento de corriente.
En la figura, se muestra un circuito formado por una batería, una resistencia y una
autoinducción. Se conecta la batería y la intensidad i aumenta con el tiempo.
Para formular la ecuación del circuito sustituimos la autoinducción por una fem
equivalente. Medimos la diferencia de potencial entre los extremos de cada uno de
los tres elementos que forman el circuito. Se cumplirá que
Integrando, hallamos la expresión de i en función del tiempo con las condiciones
iniciales t=0, i=0.
∫ ∫
( ) ( )

65
Si R/L es grande, como sucede en la mayor parte de los casos prácticos, la
intensidad de la corriente alcanza su valor máximo constante V0/R muy
rápidamente.
Caída de la corriente en un circuito
Si se ha establecido la corriente máxima en el circuito y desconectamos la batería,
la corriente no alcanza el valor cero de forma instantánea, sino que tarda cierto
tiempo en desaparecer del circuito. De nuevo, la razón de este comportamiento
hay que buscarla en el papel jugado por la autoinducción L en la que se genera
una fem que se opone a la disminución de corriente.
Para formular la ecuación del circuito sustituimos la autoinducción por una fem
equivalente. Medimos la diferencia de potencial entre los extremos de cada uno de
los dos elementos que forman el circuito. Se ha de tener en cuenta, que i
disminuye con el tiempo por lo que su derivada di/dt<0 es negativa
Integrando, hallamos la expresión de i en función del tiempo con las condiciones
iniciales t=0, i=i0.
∫ ∫
( )

66
La corriente disminuye exponencialmente con el tiempo. En la mayor parte de los
casos, R/L es grande, por lo que la corriente desaparece muy rápidamente.
Energía del campo magnético
Hemos visto que para mantener una corriente en un circuito es necesario
suministrar energía. La energía suministrada por la batería en la unidad de tiempo
es V0· i. Esta energía se disipa, en la resistencia por efecto Joule y se acumula en
la autoinducción en forma de energía magnética. De la ecuación del circuito
Multiplicando ambos miembros por la intensidad i.
El término R·i2
es la energía por unidad de tiempo disipada en la resistencia. El
primer término V0·i es la energía suministrada por la batería. El último término, es
la energía por unidad de tiempo que se necesita para establecer la corriente en la
autoinducción o su campo magnético asociado.
Simplificando dt e integrando entre 0 e i, obtenemos

67
Esta es la energía acumulada en forma de campo magnético, cuando circula por la
bobina una corriente de intensidad i.
Para un solenoide la energía en forma de campo magnético que guarda en su
interior se escribe
( )
La energía EB es el producto de dos términos: la densidad de energía magnética
(energía por unidad de volumen) y el volumen S·l. En general, la energía asociada
a un campo magnético se calcula mediante la siguiente fórmula
∫
La integral se extiende a todo el espacio donde el campo magnético B es no nulo.
Comprobación
 Cuando se cierra el circuito
La energía suministrada por la batería hasta el instante t es
∫ ∫ ( )
La energía disipada en la resistencia es
∫
La energía acumulada en la autoinducción en forma de campo magnético es
Como podemos comprobar E0=ER+EB
 Cuando se abre el circuito y cae la corriente, toda la energía acumulada en
la autoinducción se disipa en la resistencia.
La energía inicial acumulada en la bobina, cuando la intensidad es i0

68
Al abrir el circuito la intensidad disminuye exponencialmente con el tiempo. La
energía por unidad de tiempo disipada en la resistencia por efecto Joule será
Integrando entre cero e infinito obtenemos la energía total disipada.
∫ ∫
Establecimiento y caída de la corriente eléctrica en el circuito
Un circuito RL se conecta a un generador de señales cuadradas, podemos
observar en un osciloscopio el proceso de establecimiento y caída de la corriente
en el circuito. Una experiencia análoga la efectuamos para verificar el proceso de
carga y descarga de un condensador a través de una resistencia.
Como se ve en la figura, durante el primer semiperiodo de la señal, la fem tiene un
valor constante e igual a V0. Se establece la corriente en el circuito durante un
tiempo .

69
La intensidad en el intervalo 0 es
[ ]
Se calcula la intensidad final i1 en el instante t=P/2. En este instante, la fem se
hace cero, la corriente cae en el circuito.
La corriente i en el intervalo P/2<t<P es,
( )
( )
Se calcula la intensidad final i2 en el instante t=P
La corriente en el intervalo , se obtiene integrando no entre los límites
y , sino entre la intensidad remanente e .
∫ ∫ ( ) ( )
( )
Calculamos la intensidad final en el instante . Y así, sucesivamente.

70
3.2.2.2 Ecuación diferencial de Bernoulli.
Demostraremos que la ecuación no lineal
( ) ( )
Puede transformarse en una ecuación lineal usando la sustitución
DEMOSTRACIÓN:
La sustitución sugerida nos permite expresar:
( )
Despejando
Dividiendo por
Reemplazando ahora esto en la EDO original se tiene:
( ) ( )
Dividiendo por
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Y, finalmente, multiplicando todo por (1 - n):
( ) ( ) ( ) ( ) (1)
Ésta es una ecuación lineal, que puede ser resuelta siguiendo el procedimiento
habitual. Luego, revirtiendo el cambio de variables, se puede obtener la expresión
para “y”.

71
EJEMPLO ILUSTRATIVO 1:
Calcular la solución de 2
3
2
x
y
y
x
y 
Solución: La ecuación dada, 2
3
2
x
y
y
x
y  ,es una ecuación diferencial de
Bernoulli ; para transformar esta ecuación en una ecuación lineal es necesario
multiplicar la ecuación por 3
y ; de ahí se obtiene lo siguiente:
2
23 12
x
y
xdx
dy
y  
luego la sustitución que se hace es:
dx
dy
y
dx
du
yxu 32
2)( 

De esta manera, la ecuación puede escribirse, para este caso particular:
2
24
x
u
xdy
du 
 ; 21
2)(4)( 
 xxQxxP
Luego se tiene que la ecuación diferencial es lineal y se puede resolver aplicando
la siguiente fórmula ; es decir:



  

dxxQecexu
dxxPdxxP
)()(
)()(
Reemplazando nos queda de la siguiente manera:












 


dxxecexu
dx
x
dx
x 2
44
2)(
41
5
2
)( xcxxu  
Finalmente se reemplaza la sustitución inicial que se hizo y nos queda de la
siguiente manera:
41
5
2
12
1
xCx
uy





72
TALLER 3.3
ECUACION DIFERENCIAL LINEAL
EJERCICIOS A.
1. Resuelva
(a) 1
x
y
dx
dy
.
(b). 2
3 xyyx 
(c). 12 22
 yxy
dv
dx
y
(d). xsenx
x
y
dx
dy
3
2 2

(e). 5)0(;3 2
 
IeII t
(f). xxyy coscot' 
(g).
yx
y
3
1


(h). 1;1;
3
 



r
r
d
dr
2. La corriente Z, en amperios, en un cierto circuito eléctrico satisface la ecuación
diferencial
t
eI
dt
dI 2
102 

Donde t es el tiempo. Si Z= 0 donde t = 0, encuentre Z como una función de t.
EJERCICIOS B
1. La ecuación, ,/ n
QyPydxdy  donde y son funciones sólo de y es una
constante, se llama la ecuación diferencial de Bernoulli y surge en varias
aplicaciones. Muestre cómo se resuelve con n=0 y n=1.
2. Si 0n , 1, ninguno de los métodos discutidos hasta ahora sirve. Muestre, sin
embargo, que al cambiar la variable dependiente de a de acuerdo a la
transformación la ecuación n
yv 
 1
puede resolverse.
3. Resuelva 2
xyyy  por el método del Ejercicio 2.
4. Resuelva.   032
 dyxxydxy

73
5. Resuelva 2
43 xyyx  (Sugerencia: Haga .)
6. Resuelva el Ejercicio 4 buscando un factor integrante de la forma pp
yx , donde p
y q son constantes apropiadamente escogidas.
7. Resuelva la ecuación ,n
yyay  donde ,, a y 1,0n son constantes,
como (a) una ecuación de Bernoulli; (b) como una ecuación separable.
EJERCICIOS C
1. Muestre que la ecuación diferencial ,ln yyQyPy  , donde P y Q son
funciones de , puede resolverse al hacer. vy ln
2. Resuelva. .ln2 2
yyyxyx 
3. Muestre que una ecuación lineal con variable independiente se transforma en
otra ecuación lineal cuando sufre la transformación ( ), donde es una
nueva variable independiente y es cualquier función diferenciable.
4. Resuelva.   02,43  
yxeyx y

74
3.2.3 EL METODO DE INSPECCION
En el pasaje anterior, se mencionó que un factor integrante de una ecuación
diferencial podía algunas veces encontrarse por inspección, un proceso basado en
el ingenio y la experiencia. En esa sección evitamos usar el método de inspección
para los casos donde el factor integrante involucraba sólo una variable. Sin
embargo, en algunos casos los factores integrantes dependen de ambas variables
y la “inspección” puede ser útil. El método de inspección generalmente se aplica
cuando uno nota ciertos aspectos especiales en la ecuación.
Resuelva:   022
 dyxdxyyx
Solución: Todos los métodos estándar discutidos hasta ahora no funcionan para
esta ecuación. Sin embargo si escribimos la ecuación como
  022
 dyxdxydxyx
y “se nos ocurre notar” que esto puede escribirse
022




yx
ydxxdy
dx ó 0tan 1




 
x
y
ddx
inmediatamente obtenemos por integración la solución c
x
y
x  1
tan
El estudiante observará que un factor integrante para esta ecuación es
 .
1
22
yx 
Resuelva:   022
 dyyxydxx
Solución: Escribiendo esto como
dy
yx
ydyxdx



22
Podemos notar que el lado izquierdo puede escribirse 



  22
yxd la ecuación
puede escribirse dyyxd 



  22
. La integración nos lleva a
cyyx  22
ó 22
2 ccyx 
El estudiante también podría haber resuelto este problema al escribir

75
yyx
x
dx
dy


22
y luego usar la transformación vxy 
Los siguientes resultados fácilmente establecidos pueden ayudar en la solución de
ecuaciones diferenciales por “inspección”.
d
x
ydxxdy


2
,
x
y








y
x
d
y
ydxxdy
2

76
TALLER 3.4
ECUACION DIFERENCIAL POR EL METODO DE
INSPECCION
EJERCICIOS A.
Resuelva cada ecuación por el método de inspección o por cualquier otro método
1. 0)2( 2
 dyxyxydx
2. 0)( 3
 dyxyydx
3. 0)( 23
 xdydxyxyx
4. 0)()( 23
 dyxyxdxyx
5. 0)()( 2222
 dyyxydxyxx
6. 0)()( 2222
 dyxxydxyyx
7. 0)()( 2222
 dyyxydxyxx
8. 0)()( 2332
 dyyxyxdxxyyx
EJERCICIOS B
1. Muestre que 





 2
3
222
)(
3
1
)( yxdydyxdxyx . Ahora, resuelva
0)()( 2222
 dyyxyxdxyxxy
2. Muestre que  3
4
)(
3
1
)(



xyd
xy
ydxxdy
Ahora, resuelva
 dxyxy )( 45
0)( 54
 dyyxx
3. Muestre que  
yx
yx
d
yx
xdyydx





ln
2
1
22
.Ahora, resuelva
0)()( 2323
 dyxyxydxyxyx
EJERCICIOS C
Resuelva.
1. 0)22()2( 3223
 dyyyyxdxxxyx

77
2.
xx
yx
dx
dy


 3
2
2
3. 02)2( 22
 ydydxxsenxsenxy
4. 











 dx
x
y
yxyx tan)( 22
dy
x
y
yxyx 











 tan)( 22

78
3.3 ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR QUE SE RESUELVEN
FÁCILMENTE
Ahora ya hemos aprendido cómo resolver algunas ecuaciones de primer orden.
para resolver ecuaciones de orden superior, es natural preguntar si ellas pueden
de alguna manera ser reducidas a ecuaciones de primer orden, las cuales puedan
luego resolverse. Realmente hay dos tipos importantes de ecuaciones de alto
orden que pueden resolverse fácilmente de esta manera.
3.3.1 ECUACIONES INMEDIATAMENTE INTEGRABLES
Como ya hemos encontrado en el Capítulo uno, la ecuación diferencial más simple
que puede surgir es aquella que puede integrarse directamente. Revisemos esto
brevemente en el siguiente
Resuelva:  
xy IV
 donde que 0,1,0  yyyy cuando .0x
Solución: Con una integración de la ecuación dada tenemos 1
2
2
c
x
y 
Puesto que 0y donde x = 0, implica que 01 c . Así,
2
2
x
y 
Integrando de nuevo, obtenemos 2
3
6
c
x
y 
Usando 0y donde 0x , tenemos 02 c . De donde
6
3
x
y 
Integrando de nuevo, encontramos 3
4
24
c
x
y 
Usando 1y donde 0x , tenemos 13 c así, 1
24
4

x
y
Integrando de nuevo, obtenemos 4
5
120
cx
x
y 
Puesto que 0y donde 0x , 04 c así, x
x
y 
120
5
Note que la ecuación dada se consideró como una de primer orden en y  la
segunda ecuación como una de primer orden en y  , etc. Note también que en el
resultado final hemos evaluado cuatro constantes arbitrarias estando de acuerdo
con el hecho de que empezarnos con una ecuación de cuarto orden.

79
3.3.2 ECUACIONES CON UNA VARIABLE AUSENTE
Este método se aplica cuando una de las variables no aparece en la ecuación. El
método es con frecuencia útil en aplicaciones.
Resolver: xyxy 4'' 
Solución: Aquí una de las variables, y, está ausente de la ecuación. El método en
este caso es hacer . Entonces , y la ecuación puede escriblrse
xvxv 4'  ó   xxv
dx
d
4
La integración da  xcxcxxv /2,2 1
2
 
Remplazando v por y, tenemos
x
c
xy 1
2  ó 21
2
ln cxcxy 
Resolver:  2
12 yyy 
Solución: En este caso falta . Haciendo como antes, encontramos
2
1'2 vyv  ó 2
12 v
dx
dv
y  (1)
Desafortunadamente tenemos ahora tres variables vx, y y . Sin embargo,
podemos escribir v
dy
dx
dx
dy
dy
dv
dx
dv
 .
así (1) se convierte en 2
12 v
dy
dv
vy 
Separando variables e integrando, tenemos
 


,
1
2
2
y
dy
v
dvv
.   cyv  ln1ln 2
así, 1
2
1
c
y
v


o 11  ycv
esto es, 11  yc
dx
dy
o  

dx
yc
dy
11
La integración da 211 12 cxcyc  de donde, y puede obtenerse.

80
Resolver 0 yy .
Solución Haciendo y , podemos escribir la ecuación dada como
,0 y
dx
d
0.  y
dx
dy
dy
d
o 0 y
dy
d

Separando las variables e integrando, encontramos
   cdyyd o cy  22
2
1
2
1

Luego escogiendo 22 cc  , tenemos 22
yc 
esto es, 22
1 yc
dx
dy
 o  

dx
yc
dy
2
1
La integración produce   21
1
/ cxcysen 
o
  senxccxcsenccxsency 212121 coscos 
lo cual puede escribirse xBsenxAy cos

81
TALLER 3.5
ECUACION DIFERENCIAL DE ORDEN SUPERIOR
EJERCICIOS A.
Resolver cada uno de las siguientes ecuaciones sujetas a las condiciones dadas.
1. 10)0('),0(;2  yyxy
2.
3
)( x
y IV

3. 2)0(;0)0(;1)0(;3  yyysenxy
4. 0)0()0()0(;2 )(
 
yyyeey xxIV
5. 3)0(;2)0(;1)( 2
 IIttI
6. 0)0(;1)1(;122
 yyxyx
7. xyx  13
8 1)0(;5)0(;1  yyyy .
9. 2)0(;3)0(;04  yyyy
10. 02  yyx
11. y  0y
12.
13. 1)( 2
 yy
14. )1( yyy 
15. xyxy 
EJERCICIOS B
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones sujetas a las condiciones
indicadas
1. 0)1()1()1(;0)1(;ln)(
 yyyyxy IV
2. 0)0()0()0()0(;)1(;2 )()()(
 IVIVV
yyyyyxyy
3. 1 yy
4. 32
)()( yy 
5. 0 yy
6. 0)(1 2
 yyy
7. 122
 yxyx

82
EJERCICIOS C
1. Si 3
/4 yy  y   42 y ,   02 y , halle  4y
2. Resolver   2
3
2
1 yy  e intérprete geométricamente.
3 . Resolver 12
2
2
2

dy
xd
dx
yd
4. Una curva en el plano xy tiene la propiedad de que su curvatura en cualquier
punto  yx, es siempre igual a senx. Si la curva tiene pendiente cero en el punto,
 0,0 , ¿Cuál es su ecuación?
5. Trabaje el Ejercicio 4 si senx se remplaza por x2 .

83
3.4 LA ECUACIÓN DE CLAIRAUT
Una ecuación de primer orden que presenta propiedades interesantes está dada
por
 yfyxy  ' (1)
Y es conocida como la ecuación diferencial de Clairaut en honor al matemático
quién primero investigó estas propiedades. Supondremos que  yf  define una
función diferenciable de y
Ejemplo.   22
)(1;tan';' yyxyyyxyyyxy  son todas
Ecuaciones De Clairaut.
Para resolver (1), digamos primero y para obtener
)( fxy  (2)
luego diferenciando ambos lados de (2) con respecto a x se obtiene
')(''  fxy  o   0)(   fx .
Dos casos surgen de la última ecuación.
Caso 1. 0 . En este caso tenemos, al integrar, c , donde es cualquier
constante. Luego remplazando  por c en (2) obtenemos.
)(cfcxy  (3)
Es llamativo que (3), la cual se obtiene directamente de la ecuación diferencial
dada (1) al remplazar simplemente por , produzca la solución general de (1),
como se puede verificar por sustitución.
Caso 2. )(' ufx  . En este caso tenemos, usando (2),
0)('  fx )( fxy 
De lo cual )(fx  )()(   fy (4)
Las ecuaciones (4) son ecuaciones paramétricas para una curva donde  es el
parámetro. Esta curva da una solución a (1). Sin embargo, puesto que ésta no es
un caso especial de la solución general (3), es una solución singular.
Para ilustrar el procedimiento y obtener alguna idea concerniente a la relación
entre la solución singular y la general, consideremos el siguiente

84
EJEMPLO ILUSTRATIVO
Resolver:   .' 2
yyxy  .
Solución: Como antes, sea vy  de modo que 2
  xy . Luego derivando con
respecto a x se obtiene
  2xy o 0)2(   x
Entonces hay dos casos.
Caso 1. 0 En este caso c , el cual sustituido en .2
  xy la solución
general
2
ccxy  (5)
Caso 2. 02  x .En este caso obtenemos de 02  x y .2
  xy
las ecuaciones paramétricas
,2x ,2
y o
4
2
x
y  (6)
Eliminando  . Puesto que esto satisface la ecuación diferencial dada y no es un
caso especial de (5), es una solución singular.
La relación entre la solución singular y la solución general puede ser vista en la
Figura 3.4.1. En esta figura hemos mostrado el gráfico de .4/2
xy  , la cual es
una parábola, junto con gráficos de 2
ccxy  para varios valores de c, las cuales
representan líneas tangentes a .4/2
xy  La parábola .4/2
xy  , la cual
“envuelve” todas las tangentes 2
ccxy  es por obvias razones llamada
envolvente de la familia de líneas tangentes.
Por la ecuación general de Clairaut (1), la solución singular (4) representa la
envolvente de la familia de líneas rectas (3), las cuales a su vez son líneas
tangentes a la envolvente. Es posible obtener la envolvente directamente de esta
familia.
El teorema fundamental de existencia-unicidad del Capítulo uno también puede
proporcionar guías a la presencia de soluciones singulares y sus conexiones con
soluciones generales. Refiriéndonos a la ecuación de Clairaut en el Ejemplo
ilustrativo anterior, por ejemplo, vemos al resolver para que hay dos valores,
2
42
yxx
y


2
42
yxx
y

 (7)
Considerando la primera ecuación en (7), notamos que la derivada parcial con
respecto a del lado derecho es yx 4/1 2
 , y es real, simple valorada y continua

85
sí y sólo sí , la cual describe geométricamente la región por encima de la
parábola de la Figura 3.4.2. Dado un punto, digamos (1, 2), en esta región, vemos
de la solución general 2
ccxy  que 022
 cc
Figura 3.4.1 Figura 3.4.2
2-,1c ; esto es, xyxy 24,1  . De éstas, solamente 2,1  xxy ,
satisface la primera ecuación de (7), mientras que , 2,1  xxy satisface la
segunda ecuación de (7) acorde con el teorema de existencia-unicidad.
De manera similar podemos mostrar que 4,24  xxy , es la única solución
de la segunda ecuación en (7) que pasa por (1, 2), mientras,  4y 4,2 xx es
la única solución de la primera ecuación. La situación se indica en la-Figura 3.4.2.
Los conceptos descritos anteriormente para la ecuación de Clairaut sirven para
indicar algunos principios guías en relación a las soluciones para tipos más
generales de ecuaciones. Para las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer
orden, habrá usualmente una solución general en ciertas regiones restringidas
como lo garantiza el teorema de existencia-unicidad. Soluciones singulares, si
ellas ocurren, deben manifestarse ellas mismas en las fronteras de tales regiones.
En algunos casos ellas pueden ser vistas desde ciertos factores que pueden llegar
a ser cero o infinito.

86
TALLER 3.6
ECUACION DIFERENCIAL DE CLAIRAUT
EJERCICIOS A.
Obtenga la solución general y singular para cada uno de los siguientes
1., 2
)(yyxy  2. 2
)(41 yyxy 
3. yyxy  tan 4. 2
)(1 yyxy 
EJERCICIOS B
1. (a) Muestre que la ecuación diferencial para la familia de líneas rectas 3
ccxy 
es 3
)(yyxy  . (b) Muestre que la envolvente de la familia 3
ccxy  es también
una solución de la ecuación diferencial en (a). ¿De qué clase es?
[Sugerencia: La envolvente de una familia de un parámetro 0),,( cyxF , si existe,
se puede encontrar de la solución simultánea de 0),,( cyxF y 0/),,(  ccyxF
Se puede obtener la envolvente directamente de la ecuación diferencial?
2. Use el método del Ejercicio 1 para obtener las envolventes en (a) Ejemplo
ilustrativo de este pasaje. (b) Ejercicio 1A. (c) Ejercicio 2A. (d) Ejercicio 3A. (e)
Ejercicio 4A.
3. Muestre que 2
ccxy  es tangente a 4/2
xy 
4. Muestre que la curva definida por las ecuaciones paramétricas (4) vistas en esta
sección representa una solución de (1). También muestre que las líneas
)(cfcxy  representan líneas tangentes a esta curva; esto es, la curva es la
envolvente de la familia de líneas tangentes.
5. La solución general de 3/2
3yy  está dada por  3
cxy  y la solución singular
es 0y . Examine la relación entre estas soluciones desde el punto de vista de las
envolventes.
6. Encuentre la solución general y singular de yy 

87
EJERCICIOS C
1. Muestre que la ecuación xyxyy 22
sec)(tan  se puede reducir a la ecuación
de Clairaut con el uso de la transformación senxz  , y resuelva así la ecuación.
2. Resolver 






dy
dx
dx
dyx
y
2

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