MATRIKS DAN DETERMINAN Pada Matematika Dasar

1. BAB IX
MATRIKS DAN DETERMINAN

2. 9.1 Matriks
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering membuat hubunga
antar dua atau beberapa besaran, seperti mata kuliah yang
diikuti oleh mahasiswa pada suatu program studi tertentu
atau nilai hasil semester mahasiswa seperti yang ditunjukk
pada contoh berikut.
Tek.
Sist.
Tek.
Mtk.
Str.
Pemrogr.
Basis
Diskrit
45
Data
35
(P)
30
Dt.
40
40
42
42
31
29
22
29
37

3. Dari bentuknya, matriks dapat didefinisikan sebagai susunan
elemen-elemen sedemikian rupa sehingga membentuk baris
kolom. Elemen-elemen tersebut diletakkan diantara dua bua
kurung siku.
Bentuk matriks dapat ditunjukkan sebagai berikut.
Misal terdapat matriks A yang terdiri dari m baris
dan n kolom,
maka bentuk matriks tersebut
adalah,

4. Ukuran suatu matriks ditunjukkan oleh jumlah
baris m
dan kolom n.
Pada matriks diatas ukuran matriks A adalah m x
n.
Masing-masing elemen pada matriks disebut entri.
Entri aij adalah elemen matriks yang berada pada
baris ke i
Umumnya ke j.
dan kolom suatu matriks ditunjukkan dengan
huruf kapital yang dicetak tebal.
Selain cara penulisan diatas,
ditulis sebagai A = [a ij ].
matriks dapat juga
Jika m sama dengan n , maka matriks disebut
matriks bujur
sangkar dan entri-entri aij dengan i sama dengan j
disebut
diagonal matriks.

5. 9.2 Matriks Bentuk Khusus
Jika kita identifikasi masing-masing entri dari suatu matrik
maka terdapat beberapa matriks yang dapat dikategorikan
sebagai matriks berbentuk khusus yaitu,
9.2.1 Vektor Kolom
Vektor kolom adalah matriks yang mempunyai m baris
dan satu kolom.
Berikut adalah contoh matriks 4 x 1
(4 baris dan 1 kolom).
40
32
25
12

6. 9.2.2 Vektor Baris
Vektor baris adalah matriks yang mempunyai satu baris
dan n kolom. Contoh matriks 1 x 4 atau 1 baris dan 4 kolo
adalah
[4 2 5 1]
9.2.3 Matriks Persegi
Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai jumlah
baris dan kolom yang sama. Berikut diberikan contoh
matriks persegi yang berukuran 5 x 5 (5 baris dan 5 kolom

7. .2.4 Matriks Segitiga
Matriks segitiga dapat dikelompokkan menjadi dua bagian,
yaitu matriks segitiga atas dan segitiga bawah.
Jika seluruh entri yang berada diatas diagonal
matriks mempunyai nilai 0 dan setidak-tidaknya
ada satu entri yang berada dibawah diagonal ≠
0, maka matriks tersebut adalah matriks segitiga
bawah atau untuk setiap i<j, a ij = 0.
Sedangkan matriks yang mempunyai entri dibawah diagona
dan setidak-tidaknya ada satu entri yang berada diatas
diagonal ≠ 0, maka matriks tersebut adalah matriks segitig
atas atau untuk setiap i> j, a ij = 0

8. 9.2.5 Matriks Diagonal
Jika seluruh entri diatas dan dibawah diagonal sama denga
dan setidak-tidaknya ada satu entri pada diagonal ≠ 0,
maka matriks tersebut adalah matriks diagonal atau untuk
etiap i ≠ j, a ij =0.

9. 9.2.6 Matriks Skalar
Matriks skalar adalah matriks yang mempunyai nilai entri
yang sama pada diagonal. Jika matriks diagonal adalah
matriks D, maka d 11 = d 22 = d.. ..= d nn
9.2.7 Matriks Identitas
Matriks identitas adalah matriks yang mempunyai entri-e
baik diatas maupun dibawah diagonal sama dengan nol d
entri pada diagonal sama dengan 1.

10. 9.2.8 Matriks 0
Matriks 0 adalah matriks yang seluruh entrinya sama deng
.2.9 Matriks Transpose
Contoh 9.1
Jika A =
, maka A T =
.10 Matriks Simetri dan Skew-Simetri
Jika sebuah matriks sama dengan transposenya (A = A T )
maka matriks tersebut adalah matriks simetri.
Contoh 9.2
Jika A =
, maka A T =

11. arena A = A T , maka A adalah matriks simetri.
edangkan matriks skew- simetri adalah matriks yang
memenuhi –A = A T .
Contoh 9.3
Misal A =
,maka A T
=
,
–A =
Karena –A = A T , maka A adalah matriks skew-simetri .

12. 3 Operasi Aritmatika pada Matriks
Operasi aritmatika pada matriks terdiri dari penjumlahan,
erkalian skalar dengan matriks, perkalian matriks dengan
matriks serta kombinasi linier beberapa matriks.
9.3.1 Penjumlahan
Misal terdapat matriks A = [a ij ] dan B = [b ij ] yang
masing-masing berukuran m x n.
Jumlah A dan B, ditulis A+B, adalah C = [c ij ], dengan
[c ij ] = [a ij ] + [b ij ].
Perlu diingat, bahwa dua buah matriks hanya dapat
dijumlahkan jika mempunyai orde yang sama.
Contoh 9.4
Misal A =
B=

13. Maka A + B = C
3.2 Perkalian Skalar dengan Matriks
Jika terdapat sebuah skalar c dan matriks A = [aij], maka
perkalian antara skalar c dengan matriks A adalah cA = [c.a
atau dapat ditulis dalam bentuk:
cA = c

14. Contoh 9.5
Jika A =
maka 3A =
3.3 Perkalian Matriks dengan Matriks
Perkalian dua buah matriks hanya dapat dilakukan jika jum
kolom matriks pertama dan jumlah baris matriks kedua sam
Misal matriks A = [aij] berukuran m x n dan
matriks B = [bij]
berukuran n x p, maka perkalian antara matriks A
matriks B,

15. Nilai dari c ij adalah,
Contoh 9.6
Diketah
A=
ui
B=
ika terdapat matriks C = A.B, maka
C=

16. 3.4 Kombinasi linier matriks
Jika A 1 , A 2 , … , A p adalah matriks yang mempunyai ukuran
Sama, dan k 1 , k 2 , … , k p adalah skalar, maka
k 1 A 1 + k 2 A 2 + … + k p A p disebut kombinasi linier dari
A 1, A 2, … , A p
Contoh 9.7
Jika ,
A1 =
A2 =
tentukan A 1 + 3A 2 – 2A 3
Penyelesaian
A3 =

17. A 1 + 3A 2 –2A 3
3.5 Sifat-sifat Operasi Matriks
Jika a dan b adalah skalar dan A, B, dan C adalah matriks,
maka berlaku:

18. A+B=B+A
) A + (B + C) = (A + B) + C
) A(BC) = (AB)C
) A(B ± C) = AB ± AC
(B ± C)A = BA ± CA
vi) a(B ± C) = aB ± aC
ii) (a ± b)C = aC ± bC
ii) (ab)C = a(bC)
ix)
x)
xi)
xii)
iii)
a(BC) = (aB)C = B(aC)
(A T ) T = A
(A + B) T = A T ± B T
(cA)T =cA T
(AB)T = B T A T
hukum komutatif penjumlaha
hukum asosiatif penjumlahan
hukum asosiatif perkalian
hukum distributif kiri
huklum distributif kanan

19. 9.4 Matriks yang Diperluas ( Augmented
matrix )
Matriks yang diperluas adalah matriks yang berhubungan
dengan penyajian sebuah sistem persamaan linier.
Misal terdapat sistem persamaan linier,
Dari sistem persamaan linier tersebut, dapat disajikan
matriks koeffisien,

20. 5 Matriks dalam bentuk Eselon Baris
atu matriks dikatakan mempunyai bentuk eselon baris jika
emenuhi:
) Setiap baris yang keseluruhan elemennya nol diletakkan
pada bagian bawah matriks
) Elemen pertama dari setiap baris yang bukan nol
(disebut leading coefficient atau pivot ) harus terletak
disebelah kanan leading coefficient pada baris sebelumny

21. Contoh 9.8
Matriks dalam bentuk eselon baris
ontoh 9.9
atriks berikut tidak/belum dalam bentuk eselon baris
Matriks segitiga atas adalah matriks yang termasuk yang
mempunyai bentuk eselon baris.

22. 9.6 Matriks dalam bentuk Eselon Baris
Tereduksi
Suatu matriks dikatakan mempunyai bentuk eselon baris
tereduksi jika:
i) Matriks tersebut sudah dalam bentuk eselon baris
ii) Elemen leading coefficient harus mempunyai nilai 1
(selanjutnya disebut leading 1 ) dan satu-satunya eleme
matriks yang bukan 0 pada kolom yang bersangkutan.
Perlu diketahui bahwa matriks satuan adalah bentuk khusu
dari matriks eselon baris tereduksi
Contoh 9.10
Suatu matriks yang belum dalam bentuk eselon
baris dapat
ditransformasikan kedalam bentuk matriks eselon
tereduksi

23. 7 Operasi Baris Elementer
perasi yang dapat dilakukan terhadap baris dan kolom suatu
atriks adalah:
) Perkalian sembarang baris dengan skalar
) Penukaran posisi suatu baris dengan baris tertentu
) Penjumlahan antara i) dan ii).
etiga operasi diatas disebut Operasi Baris Elementer (OBE)
ontoh penggunaan notasi yang digunakan pada operasi baris
an kolom:
) R 3 → 2R 3 artinya baris ketiga matriks diganti dengan 2 kal
baris ke tiga
) R 1 ↔ R 2 artinya baris pertama dan kedua saling dipertuka
) R 2 → R 2 + 3R 3 artinya baris kedua diganti dengan baris ke
ditambah dengan tiga kali baris ketiga

24. Contoh 9.11
kukan OBE terhadap matriks berikut, sehingga menjadi matr
elon baris tereduksi.
Penyelesian
Elemen
pivot
2
1
–1
5 3
4
7
4
Elemen
dieliminasi
5

25. Langkah pertama
ah elemen pivot menjadi 1 dengan cara mengalikan baris
rtama dengan 1/2.
½ R1
–5R 1 +R 2
2R2
–4R 1 +R 3

26. 9.8 Determinan
eterminan adalah besaran atau nilai yang berhubungan
engan matriks persegi. Jika determinan suatu matriks
ersegi tidak sama dengan nol maka matriks persegi
ersebut mempunyai balikan ( inverse ).
ebaliknya, jika determinan suatu matriks persegi tidak sam
engan nol, maka matriks tersebut tidak mempunyai balikan

27. Jika terdapat matriks
dari matriks A adalah
, maka determina
Contoh 9.12
Tentukan determinan dari
Penyelesaian
9.8.1 Sifat-sifat determinan
i) Setiap matriks dan transposenya mempunyai determin
yang sama atau det A = det A T

28. ) Jika terdapat matriks A dan matriks B, maka berlaku
det(AB)=det (A) det (B)
iii) Determinan dari matriks segitiga adalah
perkalian
dari diagonalnya
a matriks B adalah matriks yang didapat dari
empertukarkan dua buah baris matriks A, maka
determinan matriks B berlawanan dengan determinan
matriks A

29. ka matriks
a)
dan c adalah konstanta, ma
b)
ka seluruh elemen dari salah satu baris suatu matriks sama
engan nol, maka determinan matriks tersebut sama dengan
nol.

30. Misal A = [a ij ] adalah matriks nxn, dan misalkan
M adalah
9.8.2 Kofaktor
matriks (n-1)x(n-1) yang diperoleh dari A
dengan
menghapus baris ke i dan kolomn ke j pada
matriks A.
Determinan dari M disebut minor dari a ij
(selanjutnya
ditulis M ij ).
Sedangkan c ij adalah kofaktor a ij dan
didefinisikan sebagai,
Contoh 9.9
Diketahui
Tentukan minor dan kofaktor dari a 11 dan a 13
Penyelesaian

31. 8.3 Determinan dari matriks n x n
Secara umum untuk menghitung determinan dari matriks
orde n x n adalah sebagai berikut.
Jika A adalah matriks persegi n x n, maka determinan dari
matriks A adalah

32. Contoh 9.10
Tentukan determinan dari
enyelesaian
Karena A adaah matriks 3 x 3, maka nilai i diambil antara
, 2, atau 3. Kita tentukan i=1
Dari rumus 9.4a didapat, det A =

33. = –8
det A =(–4)(2)+(1)(9)+(5)(–6) + 9 – 30 = –29
Kerjakan ulang contoh 9.10 dengan
menggunakan rumus 9.4b dengan nilai j = 2.
Selain menggunakan rumus 9.4, menentukan determinan
matriks orde 3 dapat juga menggunakan cara Sarrus.
Jika terdapat matriks

34. Maka det A =
–( ) –( ) –
( )
+( ) +( ) +
( )
A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 34 +
a 13 a 21 a 32
– a 31 a 22 a 13 – a 32 a 23 a 11 – a 33 a 21 a 12

35. 9.9 Adjoin Matriks
Jika terdapat matriks A = [aij], maka
Contoh 9.11
Penyelesaian
, tentukan adjoin A

37. 0 Balikan Matriks ( Inverse of a Matrix )
Jika matriks A = [a ij ] adalah matriks persegi n x n, maka
balikan ( inverse ) dari A dilambangkan dengan A -1 merupa
matriks n x n sehingga memenuhi
9.10.1 Menentukan balikan matriks dengan rumus

38. ah satu cara untuk menentukan balikan matriks adalah deng
ncari adjoin dan determinan dari matriks yang dicari balikan
ebih dahulu.
Setelah itu gunakan rumus
Contoh 9.12
Penyelesaian
, tentukan

40. 9.10.2 Balikan matriks dengan menggunakan eliminasi
Gauss-Jordan
Untuk menentukan balikan matriks A dengan eliminasi
Gauss-Jordan berarti kita harus melakukan eliminasi
matriks A menjadi bentuk eselon baris tereduksi.
Misal A adalah matriks non-singular n x n.
AB = I jika dan hanya jika B =A-1
Bukti
AB = I → A -1 AB = A -1 I
→ IB = A -1
→ B = A -1 atau A|I → AB |B
→ I|A -1
Berarti, jika kita berhasil mengeliminasi A|I menjadi I|X,
maka kita dapat memastikan bahwa X = A -1

41. Contoh 9.13
ri contoh 9.12, tentukan A -1 dengan metode eliminasi
uss-Jordan
Penyelesaian
R 2 –2/3 R 1
R 3 –R 1
R 3 –6/7 R 2

42. R 1 + 2/3R 2
R 2 +4/7R 3
R 1 –9/7R 3