3. 3
1-Primers intents de descripció de
l’Univers
Els estels formen constel·lacions. Per exemple: Óssa Major que
conté l’estel polar.
4. 4
1-Primers intents de descripció de
l’Univers
El cel sembla que giri al voltant de l’estel polar.
Creien que els estels estaven enganxats a l’interior d’una
esfera celest, centrada en la Terra.
5. 5
Proposa esferes de cristall que
sostenen els planetes i estels.
Però hi ha set astres (Sol,
LLuna, Mercuri, Venus, Mart,
Júpiter i Saturn) que segueixen
moviments irregulars o
erràtics. Se’ls anomena
planetes.
Sistema Ptolemaic.
Trajectòries circulars.
Model geocèntric.
1.1-Ptolomeu
6. 6
Hi ha idees heliocèntriques
però Ptolomeu s’imposa fins
el segle XV, incorporant els
epicicles, cercles petits que
giren al voltant d’un gran
cercle, deferent, que envolta
al Sol.
1.1-Ptolomeu
7. 7
1.2- Nicolàs Copèrnic
Permet explicar el moviment retrògrad
d’alguns planetes de manera simple i el
fet que , planetes com Venus i Mercuri,
tenen brillantor variable en el transcurs
d’un any.
Model
heliocèntric. El
Sol és el centre de
l’univers.
9. 9
1.3- Tycho Brahe
Als 14 anys ja va predir un eclipsi de Sol.
Va comprovar les dades astronòmiques de Copèrnic i va
observar que hi havia errors de dies en predicció de fets
astronòmics.
Va dedicar-se a observar i recollir dades amb molta precisió.
Va construir nous instruments astronòmics.
Proposa un model
geocèntric modificat: El
Sol gira al voltant de la
Terra i la resta de planetes
al voltant del Sol.
10. 10
1.4- Organització de dades. Kepler.
Poc observador, però molt matemàtic.
Les òrbites dels planetes al voltant del Sol són el·líptiques.
Recull totes les dades de Brahe en tres lleis.
Primera llei:
Els planetes es mouen
seguint òrbites el·líptiques.
En un dels seus focus hi ha el
Sol.
Sol
Focus
• Eix menor
Afeli
•
b
a
Eix major
Periheli
•
estacions
11. 11
1.4- Organització de dades. Kepler.
a2
= b2
+ c2
applet
a: semieix major
b: semieix menor
c: semidistància focal
Excentricitat , e a
c
e =
Una circumferència és una el·lipse on e=0, ja que a=b
El·lipse:
Per la Terra: raf= 152.097.701 km
rph=147.098.074 km
e= 0,017
El.lipse
El.lipse
12. 12
1 de gener
r enero1
→
Sol
AA
r julio1
→
30 de
gener
30 de
juliol
1 de
juliol
Segona llei:
El radi que uneix qualsevol
planeta amb el Sol recorre
àrees iguals en temps
iguals.
Quan el planeta passa més a
prop del Sol, es mou més de
pressa.
1.4- Organització de dades. Kepler.
Moment angular, :
Per a un cos de massa m, que es
desplaça al voltant d’un punt P, el
moment angular és el moment del
vector quantitat de moviment:
→
L
)(
→→→→→
⋅×=×= vmrprL
applet
applet
13. 13
1.4- Organització de dades. Kepler.
Tercera llei:
La relació T2
/r3
(entre el quadrat
del període d’un planeta i el cub
de la distància mitjana del
planeta al Sol), és constant.
Moment angular dels planetes, , és constant:→
L
Mòdul: on α, és l’angle que formen
Direcció: perpendicular al pla que formen
Sentit: Regle de la ma dreta.
→→
pr i
→→
pr i
αsin)( ⋅⋅×=×=
→→→→→
vmrprL
Si el moviment és circular, α=90o
, L=r⋅m⋅v
m⋅vaf⋅raf = m⋅vph⋅rph
Distància mitjana= a (semieix major el.lipse)
applet
15. 15
2.1- Isaac Newton
Galileu, va estudiar la caiguda de cossos i el moviment dels projectils.
Principi d’inèrcia.
Hi ha alguna connexió entre les lleis de Galileu a la
Terra i les lleis de Kepler per al moviment dels cossos
celestes?
El Sol exerceix una força atractiva sobre la Terra, sinó es mouria en
línia recta.
Newton: la força que fa la Terra sobre la Lluna és de la mateixa natura
que la que fa caure una poma a la Terra.
Observa una disminució de l’acceleració de caiguda amb l’invers del
quadrat de la distància.
16. 16
2.2- Llei de gravitació universal
Dues masses puntuals m1, m2, separades una distància r s’atrauen amb
una força gravitatòria directament proporcional a les masses i
inversament proporcional al quadrat de la distància que les separa.
2
21
r
mm
GF = G= 6’67. 10-11
Nm2
kg-2
122
12
21
r
mm
GF u
−=
applet
17. 17
2.3- Deducció de les lleis de Kepler a
partir de la llei de Newton
Un planeta de massa mp gira al voltant del Sol amb un període T.
Suposem òrbita circular de radi r.
2
ps
p-s
r
mM
GF =
r
T
r
T
r
r
v
an 2
22
2
2
42 ππ
ω =
===
Si el planeta gira, té acceleració angular:
T
π
ω
2
=
La força que el fa girar és la gravitatòria:
Per la segona llei de Newton: Sol
mp
R
F
→
np-s aF pm=
r
T
mp 2
2
2
ps 4
r
mM
G
π
=
2
2
3
s 4
r
M
G
T
π
=
sGMr
T
3
2 2
4π
=
19. 19
3.1- Concepte de camp gravitatori
Qualsevol massa M, modifica l’espai
que l’envolta.
Si col·loquem una altra massa m,
aquesta pateix una força atractiva
M actua a distància
sobre m.
A l’espai modificat per
M, en diem camp
gravitatori
2
r
mM
GF =
20. 20
3.2- Intensitat de camp gravitatori
Col·loquem una massa m en un punt, dins un camp gravitatori creat per M.
Definim intensitat del camp gravitatori, g, en aquest punt:
m
→
→
=
F
g
Vector
Força sobre unitat de massa
Unitats: N/Kg
Igual direcció i sentit que la força gravitatòria
m
r
Mm
G
m
2F
g ==
Intensitat del camp gravitatori creat per una massa M puntual i esfèrica
2
M
g
r
G=
gm
→→
⋅=FForça gravitatòria sobre una massa m:
u
r
G
2
M
g −=
21. 21
3.3- Línies de camp o de força
Si dibuixem els vectors intensitat de camp en cada
punt de l’espai, tindrem un camp vectorial
(poc pràctic)
Si dibuixem línies contínues amb puntes
de fletxa que marquin el sentit del
camp, tindrem les línies de camp:
• direcció vector intensitat és
tangent a la línia
• Intensitat del camp és
proporcional al nombre de línies per
unitat d’àrea.
m M
22. 22
3.4- Principi de superposició
Quan en una zona de l’espai coexisteixen varies masses, la
intensitat de camp resultant és la suma vectorial de les
intensitats de camps individuals:
gggg nT
→→→→
+++= ...21
r1
→
r2
→
r3
→
g1
→
g2
→g 3
→
g 3
→
g 1
→
g T
→
m
1
m
2m3
P
23. 23
3.5- Camp gravitatori terrestre
Camp gravitatori terrestre en un punt exterior, a una distància r.
r = RT+h
P
A
h
RT
r
M
Gg T
T 2
=
( ) Kg
N
R
M
G
hR
M
G
r
M
Gg
T
T
T
TT
T 81'9
1037'6
1097'5
1067'6
)( 26
24
11
222
=
⋅
⋅
⋅==
+
== −
r>RT
Pes = m·g
g= intensitat de camp gravitatori
Pes= força gravitatòria amb què la Terra
atrau un cos.
Prop de la superfície terrestre, on h<<RT
Es representa per
→
og
Pes= m·a = mgo
go=a= 9’81 m/s2
25. 25
pfpoopFcons EEEEEW pfp −=−−=∆−= )(
Una força és conservativa si existeix una funció matemàtica
anomenada energia potencial, que depèn de la posició, de manera
que el treball que fa la força quan un cos es mou entre dos punts és igual
a l’increment d’energia potencial canviada de signe.
4.1- La força gravitatòria és conservativa
El treball no depèn del camí seguit, sinó només dels punts inicial i final
C1
C2
•A
•
B
26. 26
Suposem objecte de massa m, que es mou d’A a B, allunyant-se de M.
El treball que fa la força gravitatòria és:
rB
rA
rB
rA
o
F
r
GMm
r
dr
MmGdr
r
mM
GW Br
Ar
−−=∫−=∫=
1
180cos 22
A
F
r
Mm
G
r
mM
GW
B
−=
Treball=resta d’una funció que
depèn de la posició
Les forces gravitatòries són conservatives
pBpA
A
F EE
r
Mm
G
r
mM
GW
B
−=−=
4.1- La força gravitatòria és conservativa
27. 27
4.2- L’energia potencial gravitatòria
Energia potencial grav. d’una massa m, a una distància r de M
AA
ppAF
r
Mm
G
r
Mm
G
mM
GEEW −=−
∞
=−= ∞
Treball que fa el camp per moure m des d’A fins ∞ :
Assignem E p ∞=0
r
Mm
GEp −=
EP r
r
mM
GEp −=
Ep en un punt = treball que fa el
camp gravitatori per portar la massa
m des del punt fins a l’infinit a
velocitat constant.
WF<0 el camp no pot allunyar una
massa → cal l’acció d’una força exterior
Ep és sempre
negativa
28. 28
)E(E
r
Mm
G
r
mM
GW pApB
AB
BA −−=−=→
El treball que fan les forces del camp gravitatori per traslladar un cos
de massa m entre els punts A i B:
4.2- L’energia potencial gravitatòria
Diferència d’energia potencial entre A i B:
•Si el cos de massa m s’acosta al cos que crea el camp (rA>rB)
El treball que fan les forces del camp és positiu
El cos perd energia potencial
•Si el cos de massa m s’allunya del cos que crea el camp (rA<rB)
El treball que fan les forces del camp és negatiu. Cal una força
exterior perquè es produeixi el desplaçament
El cos guanya energia potencial
EpB-EpA = treball canviat de signe
que fa el camp gravitatori per portar
la massa m, del punt A al B a
velocitat constant.
29. 29
4.3- L’energia potencial d’un cos de
massa m al camp gravitatori terrestre
hR
mM
G
r
mM
GE
T
TT
p
+
−=−=
• Energia potencial d’un cos de massa m, a una altura h sobre la
superfície de la Terra
Quan E p ∞=0
30. 30
• Si el moviment és prop de la superfície terrestre, és millor
assignar Ep=0 quan r=RT
Si movem un cos de rA fins a RT
A
T
T
T
ppA
r
mM
G
R
mM
GEE −=− superfície
A
T
T
pA
r
mM
G
R
mM
GE
T
−=− 0
r
mM
G
R
mM
GE
TT
T
p −= Quan Ep =0 a la superfície de la Terra
TRr ≅
hgmE op ⋅⋅=
A petites altures
4.3- L’energia potencial d’un cos de
massa m al camp gravitatori terrestre
hmg
r
R
hmg
rR
h
mRg
rR
Rr
mMGE o
T
o
T
To
T
T
Tp ===
−
= 2
2
ToT RgGM =2
T
T
o
R
M
Gg =
31. 31
4.4- Energia potencial gravitatòria d’un
sistema de masses
Principi de superposició: Ep del sistema, suma de totes les Ep
de totes les parelles possibles
23
2 3
13
1 3
12
1 2
231312
r
mm
G
r
mm
G
r
mm
GEEEE ppppT −−−=++=
Aplicació: eclipsis
33. 33
5.1- Potencial gravitatori en un punt.
m
E
V p
=
mVEp =
m
r
Mm
G
m
E
V p
−
== r
M
GV −=
Potencial gravitatori, V, en un punt dins d’un camp gravitatori, és
l’energia potencial que té la unitat de massa que hi hagi en aquest punt.
Escalar
Unitat: J/kg
Energia potencial d’una massa en un punt on coneguem V:
Prenent E p ∞=0
Potencial en un punt: treball que realitza el camp gravitatori
per portar la unitat de massa m des del punt a l’infinit.
34. 34
5.2- Diferència de potencial.
F
pApB
AB W
m
EE
VV −=
−
=−
)Vm(V)Vm(VEEΔEW ABBApBpApF −−=−=−=−=
Diferència de potencial, VB-VA ,entre dos punts A i B:
Diferència de potencial VB-VA : treball canviat de signe, que
realitza el camp gravitatori per portar la unitat de massa m
des del punt A al B.
35. 35
5.3- Potencial gravitatori de diverses
masses
Principi de superposició: Potencial gravitatori resultant és igual
a la suma dels potencials deguts a cadascuna de les masses.
...21 ++=∑= VVVV i
i
37. 37
6.1-Moviment de cossos en un camp
gravitatori: satèl·lits
Un satèl·lit pot seguir 3 tipus de trajectòries:
Una el·lipse (cas concret, cercle) Òrbites tancades
Una paràbola
Una hipèrbole
Sol
Estudiarem el cas
d’òrbites circulars.
Objectes celests que passen prop del planeta 1
cop i no tornen mai més
Primer, cal posar en òrbita la
nau espacial o el satèl·lit
artificial.
38. 38
6.2-Dinàmica d’un satèl·lit en òrbita
circular
r
v
m
2
2
r
mM
GF == 2
r
M
G v=
r
MGv =
Velocitat orbital no depèn de la massa del satèl·lit
Depèn del radi de l’òrbita (h+ RT)
Menor radi Major velocitat
Període de rotació serà:
r
MG
r
v
r
rv
T
πππ
ω
π 22
/
22
====
GM
r
T
3
2π= 2
39. 39
6.3-Satè.lits geostacionaris
Tenen un període de rotació igual que el de la Terra: 23 h, 56 min,
3,5 s
La seva òrbita està situada sobre l’equador terrestre.
Es troben a uns 35800 km per sobre de la superfície de la Terra.
GM
r
T
3
2π=
3
2
T
3
4
GMT
r
π
=
T=23,98 h
MT= 5,98⋅ 1024
kg
r= 4,22 ⋅107
m
h= r-RT = 3,59 ⋅107
m = 35800 km.
Satel.lits
42. 42
m2m1 EE =
6.4-Velocitat de llançament per posar un
satèl·lit en òrbita
Si es llança un satèl·lit des de la superfície de la Terra (posició1)
perquè orbiti a una òrbita determinada (posició 2)
p2c2p1c1 EEEE +=+
Només actuen forces conservatives → l’energia mecànica es conserva
r
Mm
G
2
1
E
r
Mm
Gvm
2
1
R
Mm
Gvm
2
1
m2
2
2
2
1 −==−⋅=−⋅
−⋅=
2r
1
R
1
2GMv
T
1
43. 43
23 EEE −=∆
6.5- Càlcul de l’energia per passar d’una
òrbita a una altra
Si volem que el satèl·lit que orbita a l’òrbita 2 passi a l’òrbita 3, caldrà
donar-li una energia que serà la diferència entre les energies de les
òrbites.
−−−=
23 r
Mm
G
2
1
r
Mm
G
2
1
ΔE
−⋅⋅⋅=
32 r
1
r
1
mMG
2
1
ΔE
r
Mm
GEm
2
1
−=
44. 44
6.6-Velocitat d’escapament
Velocitat d’escapament: mínima velocitat inicial amb què cal
llançar un objecte , des de la superfície d’un planeta perquè l’objecte
no torni a caure: r→∝
Cal que en el punt més alt, Ep=0
Moment del llançament
p
p
p
R
mM
GE −=
Emec=0
Cal llançar-lo amb Ec=-Ep , i així Emec=0
0
2
1 2
=−
p
p
o
R
mM
Gmv
p
p
escapament
R
GM
v
2
=
1
r
Mm
GEp −=
No depèn de la massa del satèl·lit
Si ja està en òrbita, enlloc de Rp cal posar r = h+RT
45. 45
6.7-Forma de les trajectòries en funció
d’Em
Sol
0
2
1
2
1
<−==
r
Mm
GEE pm
Òrbita tancada (el·líptica
i circular)
Condició d’escapament
Òrbita oberta (parabòlica o hiperbòlica)
0=mE
0>mE
46. 46
Com calcular la massa del Sol?
22
3
4
GM
T
r
π
s
=
Coneixent el període d’oscil·lació de la Terra al voltant del Sol
la distància de la Terra al Sol, i G.
Com calcular el radi de la Terra?
4
3
Sagan
47. Lleis Kepler
1ª: Planetes òrbites el·líptiques. Sol en un
dels focus
2ª: Recorren àrees iguals en temps iguals.
3ª: La relació T2
/r3
és constant 22
3
4
GM
T
r
π
=
2
21
r
mm
GF =
Llei gravitació universal
m
→
→
=
F
g 2
M
g
r
G=
Intensitat del camp gravitatori
E p ∞=0
r
Mm
GEp −=
Energia potencial gravitatòria
m
E
V p
= mVEp =
r
M
GV −=
E p ∞=0
Potencial gravitatori
r
r
v
an
2
2
ω==
)V(Vm)V(VmEEΔEW ABBApBpApF −−=−=−=−=
Diferència de potencial
gm
→→
⋅=F
Emec=0
p
p
escapament
R
GM
v
2
=
Velocitat d’escapament
r
Mm
GEc
2
1
=
r
Mm
GEm
2
1
−=
Satèl·lit en òrbita circular
m⋅vaf⋅raf = m⋅vph⋅rph
m2m3 EEE −=∆
Energia per canviar d’òrbita
