Aqui se hara una presentacion del concepto de complejidad

1. Universidad de Caldas Facultad de Ingenieria A A nalisis de lgoritmos

3. Ordenamiento x Insercion 9 7 6 15 16 5 10 11 9 7 6 15 16 5 10 11 9 7 6 15 16 5 10 11 7 9 6 15 16 5 10 11 7 9 6 15 16 5 10 11 7 9 6 15 16 5 10 11 6 7 9 15 16 5 10 11 6 7 9 15 16 5 10 11 6 7 9 15 16 5 10 11 6 7 9 15 16 5 10 11 6 7 9 15 16 5 10 11 5 6 7 9 15 16 10 11 5 6 7 9 15 16 10 11 5 6 7 9 15 16 10 11 5 6 7 9 10 15 16 11 5 6 7 9 10 15 16 11 5 6 7 9 10 15 16 11 5 6 7 9 10 11 15 16 5 6 7 9 10 11 15 16

5. 4 3 5 2 i j i=2 1 3 x A i 3 5 2 i j 1 3 i 4 j = i-1 = 1 j = j-1 = 0 Exit while because j<0

6. 3 5 2 j i=3 1 5 x A i 4 Exit while because x >A[i] j = i-1 = 2

7. 3 2 5 4 j i=4 1 2 i 3 5 j 1 2 i 4 j = i-1 = 3 j = j-1 = 2 5

8. 3 4 4 j 1 2 i 3 j 1 2 i 4 j = j-1 =1 j = j-1 = 0 5 5 2

9. 2 1 4 3 j i=5 5 1 i 2 4 j 1 i 3 j = i-1 = 4 j = j-1 =3 5 5

10. 3 4 4 j 1 2 i 3 j 1 2 i 4 j = j-1 =1 j = j-1 = 0 5 5 2

11. 2 4 j 1 i 3 j = j-1 =2 4 5 2 3 j 1 i 3 j = j-1 =2 4 5 1 3 1 2 4 5

14. Loop Invariante para Insertion-sort En el principio de cada iteracion del loop for el sub-arreglo A[1,..,i-1] consiste de los elementos original/ in A[1,..,i-1] pero en orden.

15. Antes de empezar el loop i=2, el sub-arreglo A[1,..,i-1] consiste unica/ del A[1], el cual es de hecho el elemento original A[1]. Este sub-arreglo es ordenado (trivial/, por supuesto). INICIALIZACION

16. x 1 x 2 x 3 ... i j ... x n Antes de empezar la iteracion i=2 max{x 1 , x 2 } i j ... x n min{x 1 , x 2 } MANTENIMIENTO Antes de empezar la iteracion i=3

17. i j ... x n x i 1 max{x 1 , x 2 } i j ... x n min{x 1 , x 2 } x 3 x i 2 x i 3 {x i 1 ,x i 2 ,x i 3 }= {x 1 ,x 2 ,x 3 } x i 1 < x i 2 < x i 3 Antes de empezar la iteracion i=3 Antes de empezal la iteracion i=4

18. i j i j {x i 1 ,x i 2 ,...,x i k }= {x 1 ,x 2 ,...,x 3 } x i 1 < x i 2 <...< x i 3 Antes de empezar la iteracion i=k Antes de empezar la iteracion i=k+1 ... x n x i 1 x i 2 x i 3 ... x i k-1 x k ... x n x i 1 x i 2 x i 3 ... x i k-1 x i k

19. En la terminacion i=n+1 el sub-arreglo A[1,..,i-1] consiste de los elementos en el arreglo original A[1,..,n] pero de manaera ordenada. Por esto el algoritmo es correcto. TERMINACION

23. Tiempo de Ejecucion: Sobre una entrada particular es el numero de operaciones primitivas (pasos) ejecutados . • Queremos definir los pasos independientes de la maquina . • Suponga que c/linea de pseudocodigo requiere una cantidad constante de tiempo. • Una linea puede tomar una cantidad diferente de tiempo que otra, pero cada ejecucion de la linea i toma la misma cantidad de tiempo ci . • Esto es asumiendo que la linea consiste unica/ de operaciones primitivas • Si la linea es una llamada a subrutina, entonces la llamada actual toma un tiempo constante, pero la ejecucion de la subrutina siendo llamada podria no. • Si la linea especifica operaciones diferentes a las primitivas entonces podria tomar mas que un tiempo constante. Ej: “ordene los puntos por coordenadas x.”

26. El tiempo de ejecucion del algoritmo es la suma de los tiempos de ejecucion para c/sentencia ejecutada.Para computar T(n), el tiempo de ejecucion del algoritmo, nosotros sumamos los productos de COSTO y VECES obteniendo: El tiempo de ejecucion depende de los valores de t j . Estos varian de acuerdo con la entrada.

27. Complejidad de tiempo en el mejor caso t b (n) En este caso t i = 1 entonces t b (n) = c 1 n + (c 2 +c 4 +c 8 ) n-1 + c 5  i=2,..,n 1 + (c 6 +c 7 )  i=2,..,n 0 = (c 1 +c 2 +c 4 +c 8 +c 5 ) n - (c 2 +c 4 +c 8 +c 5 ) = an+b =  (n). Puede expresar T (n) como an + b para constantes a y b (que dependen del costo de la sentencia ci )⇒ T (n) es una funcion lineal de n . Complejidad de tiempo en el peor caso t w (n) En este caso t i = i entonces t w (n) = c 1 n + (c 2 +c 4 +c 8 ) n-1 + c 5  i=2,..,n i + (c 6 +c 7 )  i=2,..,n (i-1) = an 2 +bn+c =  ( n 2 ).

32. Porque hay que buscar la eficiencia Tendra sentido invertir tiempo intentando diseñar algoritmos mas eficientes sabiendo que las computadoras se vuelven mas y mas rápidas? Supongamos que que para resolver un problema disponemos de de un algoritmo exponencial y de una computadora que puede ejecutar este algoritmo para casos de tamaño n en 10 -4 x 2 n segundos. Es decir el programa resuelve un ejemplar de tamaño 10 en aprox. un décimo de seg., uno de tamaño 20 en aprox. Dos minutos y para resolver un ejemplar de tamaño 30 no bastará todo un dia de tiempo de cálculo. Suponiendo que fuera posible hacer funcionar un año seguido la máquina se podría llegar a resolver un ejemplar de tamaño 38. Supongamos que podemos comprar una computadora 100 veces mas rápida que la anterior. Ahora con el mismo algoritmo podemos resolver un ejemplar de tamaño n en _________seg. No mucho, pero cuando determine que la nueva maquina en un año no podrá resolver nisiquiera un ejemplar de tamaño 45. En genral si antes se podía resolver un ejemplar de tamaño n en un tiempo determinado, la nueva máquina resolverá ejemplares de tamaño como máximo ___________ en el mismo tiempo.