Frações e percentagens

1. Luís Veiga/2014

2. História das frações
As frações tiveram origem no Egito,
quando
os
geômetras
dos
faraós
precisaram utilizar cordas para demarcar
áreas de plantio ao longo do Nilo. Como as
áreas nem sempre podiam ser medidas
com o comprimento total da corda
mestra, eles sentiram necessidade de
dividir essa corda em pedaços menores
de mesmo tamanho.

3. O QUE QUER
DIZER FRAÇÃO?
A palavra fração vem do
latim fractione e quer dizer
“dividir, quebrar, rasgar”.
Fração, no quotidiano,
também quer dizer
“porção”, “parte de um
todo”.

4. Os números fracionários surgiram da
necessidade de representar uma medida
que não tem uma quantidade inteira de
unidades, isto é, da necessidade de se
repartir a unidade de medida.
Os Egípcios conheciam as frações de
numerador 1 e esta era a forma que eles
usavam para representá-las.
1
3
1
6
1
20

5. Fração é uma forma de se representar uma
quantidade a partir de um valor, que é dividido
por um determinado número de partes iguais.
Como é que se representaria a quantidade
referente ao número 1 que foi dividida em 8
partes iguais?
Simplesmente através da seguinte fração:
podemos dizer que o 1 corresponde
ao numerador da fração e que o 8
corresponde ao seu denominador

6. Componentes das Frações
O número que está embaixo – indica em quantas partes
iguais o numerador será dividido – é o
.
O número que está em cima – total a ser dividido/ número
de partes escolhidas – é o
Barra: indica a divisão

7. 4/16
12/16
Podemos dizer que o 4 corresponde ao numerador
da fração e que o 16 corresponde ao seu
denominador.
A fração 4/16 pode significar que das 16 partes que
compõe a figura, estamos a considerar apenas 4
delas, ou seja, estamos a considerar apenas quatro
dezasseis avos da figura.
Temos 12 das 16 partes em laranja, que podemos
então representar por 12/16.
Neste caso estamos a considerar doze dezasseis
avos da figura.
16/16
Nela temos 16 das 16 partes em laranja, que
podemos então representar por 16/16.
Se estiveres atento, já percebeste que 16/16 equivale
a 1, ou seja, a figura toda em laranja.

8. A partir do número
, dizemos o
número em cardinal seguido da palavra
exemplos:
Três Quinze Avos
Oito Trinta e Dois Avos
,

9. Números Fracionários
Números de
Partes
Nome da Parte
Números de Partes
Nome da Parte
2
Meio
9
Nono
3
Terço
10
Décimo
4
Quarto
11
Onze Avos
5
Quinto
12
Doze Avos
6
Sexto
13
Treze Avos
7
Sétimo
100
Centésimo
8
Oitavo
1000
Milésimo

10. 1
2
um meio
1
3
3
4
12
5
cinco
sextos
3
10
três
décimas
dois
sétimos
4
11
quatro
avos
5
6
um
terço
2
7
três
quartos
7 sete
8 oitavos
doze
quintos
21
9
vinte e
nonos
um
onze

11. FRAÇÕES
NÚMEROS INTEIROS!!!!
A fração 8/4 é um número inteiro, uma vez que
representa
um
quociente
exato
entre
o
numerador e o denominador (8 : 4 = 2).
Sempre
que
o
numerador
é
múltiplo
do
denominador a fração representa um número
inteiro.
São também exemplos de números inteiros as
frações 4/4, 4/1
e 16/8 , que representam,
respetivamente, os números inteiros 1, 4 e 2

12. Assim 12 é múltiplo de 4, pelo que é um número natural.

13. Uma fração é maior que um,
quando o numerador é maior que o
denominador.
Uma fração é menor que um,
quando o numerador é menor que
o denominador.
Uma fração é igual a um, quando o
numerador e o denominador são
iguais

14. O
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS É UM CONJUNTO
REPRESENTADO PELA LETRA ℚ E QUE É COMPOSTO PELOS
NÚMEROS INTEIROS E PELOS NÚMEROS FRACIONÁRIOS.
UM NÚMERO RACIONAL INTEIRO, OU FRACIONÁRIO,
É UM NÚMERO QUE PODE SER ESCRITO NA FORMA

15. Número racional fracionário, porque o
numerador não é múltiplo do denominador.
Exemplos
Dois não é
múltiplo de 8
Pode ser
representado por:
ou
2:8= 0,25

16. Um NÚMERO FRACIONÁRIO é um número que pode
ser representado por uma fração, mas que não é um
número inteiro.

17. O conjunto dos NÚMEROS RACIONAIS é formado
pelos
números
fracionários
inteiros
e
pelos
números
.
Todo o número racional pode ser representado

18. NÚMEROS FRACIONÁRIOS E DÍZIMAS……
Na fração 10/4, o numerador não é múltiplo do
denominador.
Neste caso, 10/4 é um número fracionário.
A sua representação decimal (2,5) corresponde à
divisão exata entre o numerador e o denominador
(10 : 4 = 2,5). Trata-se de uma dízima finita.

19. NÚMEROS FRACIONÁRIOS E DÍZIMAS……
Dízima é a representação decimal de um número.
Dízima é composta por uma parte inteira e uma
parte decimal.
Ex.: 3/8
representação de um número decimal
em forma de fração.
3/8=0,375 – representação do número decimal na
Exemplos
forma de dízima.
3
10
0,3
49
100
19
0, 49
1000
1
0, 019
10 000
0, 0001

20. FRAÇÕES DECIMAIS
Frações decimais são todas as frações cujo
denominador está representado por 10, 100,
1000, 10000,…
Exemplos
3
10
7
100
49
100
19
1000
3
1000
1
10 000
4
10

21. Para se transformar uma fração decimal num
número decimal, basta dividir o numerador pelo
denominador. E, esse quociente possui tantas
casas decimais iguais quanto o número de zeros
do denominador.

22. Todos
os
números
decimais
podem
representados na forma de fração decimal.
ser
Exemplos

23. O numerador é menor que o denominador;
O numerador é maior que o denominador;
O
denominador;
numerador
é
múltiplo
do

24. FRAÇÕES EQUIVALENTES:
Quando duas ou mais frações
representam a mesma quantidade,
estamos
a
falar
de
frações
equivalentes:
Em amarelo, a parte que
tomamos.
Comprovará que é a metade
do pastel, que em forma de
fração escreveremos:

25. O mesmo pastel, está
agora dividido em quatro
partes.
Dessas 4 partes
tomamos
duas
(em
amarelo). A verdade é que
a parte amarela (as partes
tomadas)
representa
a
metade do pastel. Estas
duas partes que tomamos
podem ser escritas
Vemos que
e
representam a mesma
quantidade (a metade do pastel), são iguais ou
também chamadas equivalentes.

26. O
pastel está dividido
em 6 partes, das quais
tomamos 3.
Esta quantidade é
representada por
Podemos dizer que
representam a
mesma quantidade
de pastel.
Estas frações, por representarem o mesmo valor
(a metade do pastel) chamam-se
frações equivalentes.

27. podemos
calcular,
a
partir
da
primeira fração, multiplicando o
numerador e o denominador pelo
mesmo número; por 2 para a segunda
fração e por 3 para conseguir a
terceira.
http://www.portalcursos.com/CursoFracoes/curso/Lecc-2.htm
FRAÇÕES EQUIVALENTES
:2
2
12
=
:2
1
6

28. 1 4
3 12
×2
×2
2
1
4
=
=
6
3
12
×2
×2
:2
:2
1
2
4
=
=
3
6
12
:2
:2

29. FRAÇÕES EQUIVALENTES
=
x3
2
5
=
x3
6
15

30. COMO
SABER
SE
DUAS
FRAÇÕES
EQUIVALENTES DE MANEIRA RÁPIDA?
SÃO
Basta multiplicar os números em forma cruzada.
Os termos são multiplicados em cruz
Se 72x10 = 8x90 as frações são equivalentes.
Vemos que em ambos os casos os produtos valem
720, então
e
são equivalentes.

31. Temos duas frações:
Se os produtos de 3x20 e 5x12 têm o mesmo
resultado, as frações são equivalentes. Caso
os resultados dos produtos fossem diferentes,
as frações não seriam equivalentes.
Para obtermos frações equivalentes temos de
multiplicar ou dividir por um mesmo número o
numerador e o denominador.
Temos a fração
Se fizermos a divisão,
obtemos como quociente
0,66.

32. Se o numerador é dividido por 3 obtenho:
Como
podes
perceber
os
quocientes
encontrados, 0,66 e 0,22, não são iguais, então,
a operação que fizemos é errada.
É preciso multiplicar ou dividir o numerador e o
denominador pelo mesmo número:

33. Como se vê
são equivalentes. Os seus
quocientes são iguais a 0,66.
Exemplos:
Vamos transformar
numa fração equivalente,
mas com numerador igual
a 15.
Para que o numerador seja igual a 15, será
preciso multiplicá-lo por 5 e também por esta
quantidade terá que ser multiplicado o
denominador.
O resultado é

34. Exemplos:
em outras frações
equivalentes, mas
com numeradores
iguais.
Vamos transformar
Se são multiplicados os dois termos de
por 2:
e
São
equivalentes
Se são multiplicados os dois termos de
por 6:
e
São
equivalentes

35. Percentagem

36. NOÇÃO DE PERCENTAGEM
Percentagem pode ser definida como a centésima
parte de uma grandeza, ou o cálculo baseado em
100 unidades, ou seja:
Percentagem é uma parte de um todo de cem
partes, ou seja, uma fração cujo denominador é
100.
Significado do sinal de percentagem: %
O sinal % é uma mera abreviação da expressão:
dividido por 100. De modo que, 800 % é a mesma
coisa que 800/100, que é o mesmo que 8 por 1.
Ou seja, é a mesma coisa dizermos:
800 % ou 800 por 100, ou 80 por 10, ou 8 por 1,
etc.
É visto com frequência as pessoas ou o próprio
mercado usar expressões de acréscimo ou
redução nos preços de produtos ou serviços.

37. Como transformamos uma fração em percentagem?
Vimos
que
razões
centesimais
são
um
tipo
especial de fração, cujo denominador é igual a
cem e podem facilmente ser expressas na forma
de percentagem, eliminando-se simplesmente
denominador
cem
e
inserindo
o
símbolo
percentagem após o numerador. Por exemplo:
o
de

38. Como transformar a fração 3/15 ou 3 : 15 em
percentagem?
Simplesmente realizando a divisão, encontrando assim o
valor da fração, multiplicando-o por 100 e inserindo o símbolo
de percentagem à sua direita, ou seja, multiplicamos por
100%:
Talvez
não
tenha
percebido,
mas
podemos
utilizar
a
transformação de uma razão em percentagem para calcular
quantos por cento um número é de outro. Neste nosso
exemplo 3 é 20% de 15.
Dezoito é quantos por cento de quarenta e cinco?

39. TANGRAN E PERCENTAGENS

40. As frações que possuem denominadores (o número de baixo
da fração) iguais a 100, são conhecidas por frações
centesimais e podem ser representadas pelo símbolo "%".
O símbolo "%" é lido como "por cento". "5%" lê-se "5 por
cento". "25%" lê-se "25 por cento".
O símbolo "%" significa centésimos, assim "5%" é uma outra
forma de se escrever 0,05,
Vê as seguintes frações.
Podemos representá-las na sua
forma decimal por:
E também na sua forma de
percentagens por:
ou
por exemplo.

41. Alguns exemplos:
Exemplo 1 - O Leite teve um aumento de 25% Quer dizer que
de cada €100,00 teve um acréscimo de € 25,00
Exemplo 2- O cliente teve um desconto de 15% na compra de
uma calça jeans Quer dizer que em cada € 100,00 a loja deu
um desconto de € 15,00
Exemplo 3 - Significa que de cada 100 funcionários, 75 são
dedicados ao trabalho ou a empresa- Dos funcionários que
trabalham na empresa, 75% são dedicados.
Exemplo 4. Em um grupo de 100 garotos, 75 deles gostam
de futebol. A fração que representa a quantidade de
meninos desse grupo que aprecia futebol é: 75/100
Como essa fração representa uma parte do total de 100
garotos, ela representa uma percentagem desse grupo.
Toda fração com denominador 100 pode ser escrita na
forma de percentagem.
Observa:
Podemos afirmar que 75% desses garotos gostam de futebol.

42. Exemplo 5. De cada 100 crianças nascidas no Brasil, 46 são
do sexo feminino. A fração que representa a quantidade de
crianças do sexo feminino é: 46/100
Dessa forma, podemos afirmar que:
46% das crianças nascidas no Brasil são do sexo feminino.
Como foi dito, toda e qualquer fração com denominador 100
pode ser escrita na forma de percentagem. Essa
característica facilita o cálculo da percentagem de um
número. Veja o próximo exemplo.
Exemplo 6. Numa sorveteria, 30% dos 250 sorvetes vendidos
por dia são de sabor morango. Quantos sorvetes de morango
são vendidos por dia nessa sorveteria?
Solução: O problema afirma que 30% de 250 sorvetes são
de morango. Portanto devemos saber quanto é 30% de 250
para responder ao problema.

43. Na matemática, a palavra “de” representa a operação de
multiplicação. Assim, podemos reescrever a afirmação da
seguinte forma:
30% de 250 = 30% x 250
Vimos nos exemplos anteriores que:
Assim, podemos melhorar a escrita da afirmação mais uma
vez:
Logo, a sorveteria vende 75 sorvetes de morango por dia.
Vimos que percentagem é uma forma diferente de
escrever uma fração cujo denominador é 100.
Como toda fração pode ser escrita na forma de um
número decimal, a percentagem também pode ser
escrita. Vejamos como isso ocorre.
Escrever a percentagem na forma decimal pode
facilitar os cálculos na resolução de alguns
problemas. Observe:

44. Exemplo 7. Pedro guardou 12% de seu salário na poupança.
Sabendo que o salário de Pedro é de €1500,00, quanto
aplicou ele na poupança?
Solução: Segundo o problema, Pedro guardou 12% de 1500
na poupança.
Assim, teremos:
12% de 1500 = 12% × 1500
Mas,
O cálculo fica da seguinte forma:
12% × 1500 = 0,12 × 1500 = 180
Portanto, Pedro guardou 180 euros na poupança.

45. Exemplo 8. Quanto é 23% de 500?
Solução: Sabemos que:
23% = 0,23
Assim, teremos: 23% de 500 = 0,23 x 500=115