Ορισμοί παραδείγματα

1. Γραμμική ΄Αλγεβρα
Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
15 Νοεμβρίου 2013

2. Διανυσματικός Χώρος
Ορισμός
Διανυσματικός χώρος είναι ένα σύνολο ‘διανυσμάτων’
εξοπλισμένο με πρόσθεση διανυσμάτων και πολλαπλασιασμό
διανύσματος με αριθμό.
Παραδείγματα
R, R 2 , R 3 , . . .
Πίνακες 2-επι-3
Πολυώνυμα βαθμού το πολύ 4
...

3. Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον
Rn

4. Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον
Rn
Παράδειγμα: Συναρτήσεις f : R → R συμπεριφέρονται σαν
στοιχεία του Rn :

5. Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον
Rn
Παράδειγμα: Συναρτήσεις f : R → R συμπεριφέρονται σαν
στοιχεία του Rn :
Μπορώ να προσθέσω δύο συναρτήσεις f και g :

6. Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον
Rn
Παράδειγμα: Συναρτήσεις f : R → R συμπεριφέρονται σαν
στοιχεία του Rn :
Μπορώ να προσθέσω δύο συναρτήσεις f και g : f + g είναι
μια συνάρτηση
(f + g )(t) = f (t) + g (t)
∀t∈R

7. Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον
Rn
Παράδειγμα: Συναρτήσεις f : R → R συμπεριφέρονται σαν
στοιχεία του Rn :
Μπορώ να προσθέσω δύο συναρτήσεις f και g : f + g είναι
μια συνάρτηση
∀t∈R
(f + g )(t) = f (t) + g (t)
παράδειγμα: ΄Εστω f (t) =
t 2 , g (t)
=
et .
(f + g )(t) = t 2 + e t .
Τότε

8. Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον
Rn
Παράδειγμα: Συναρτήσεις f : R → R συμπεριφέρονται σαν
στοιχεία του Rn :
Μπορώ να προσθέσω δύο συναρτήσεις f και g : f + g είναι
μια συνάρτηση
∀t∈R
(f + g )(t) = f (t) + g (t)
παράδειγμα: ΄Εστω f (t) =
t 2 , g (t)
=
et .
Τότε
(f + g )(t) = t 2 + e t .
Μπορώ να πολλαπλασιάσω μια συνάρτηση f με έναν
αριθμό c:

9. Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον
Rn
Παράδειγμα: Συναρτήσεις f : R → R συμπεριφέρονται σαν
στοιχεία του Rn :
Μπορώ να προσθέσω δύο συναρτήσεις f και g : f + g είναι
μια συνάρτηση
∀t∈R
(f + g )(t) = f (t) + g (t)
παράδειγμα: ΄Εστω f (t) =
t 2 , g (t)
=
et .
Τότε
(f + g )(t) = t 2 + e t .
Μπορώ να πολλαπλασιάσω μια συνάρτηση f με έναν
αριθμό c: cf είναι η συνάρτηση
(cf )(t) = c(f (t))
for all t ∈ R
Παράδειγμα: ΄Εστω f (t) = sin(t). Τότε (5f )(t) = 5sin(t).

10. Δεν είναι απαραίτητο τα ‘διανύσματα’ να ανήκουν στον
Rn
Παράδειγμα: Συναρτήσεις f : R → R συμπεριφέρονται σαν
στοιχεία του Rn :
Μπορώ να προσθέσω δύο συναρτήσεις f και g : f + g είναι
μια συνάρτηση
∀t∈R
(f + g )(t) = f (t) + g (t)
παράδειγμα: ΄Εστω f (t) =
t 2 , g (t)
=
et .
Τότε
(f + g )(t) = t 2 + e t .
Μπορώ να πολλαπλασιάσω μια συνάρτηση f με έναν
αριθμό c: cf είναι η συνάρτηση
(cf )(t) = c(f (t))
for all t ∈ R
Παράδειγμα: ΄Εστω f (t) = sin(t). Τότε (5f )(t) = 5sin(t).

11. Διανυσματικός Υπόχωρος
Ορισμός
Ο U ⊂ V είναι ένας υποχώρος του διανυσματικού χώρου V αν
0 ∈ U,

12. Διανυσματικός Υπόχωρος
Ορισμός
Ο U ⊂ V είναι ένας υποχώρος του διανυσματικού χώρου V αν
0 ∈ U,
∀x, y ∈ U, x + y ∈ U

13. Διανυσματικός Υπόχωρος
Ορισμός
Ο U ⊂ V είναι ένας υποχώρος του διανυσματικού χώρου V αν
0 ∈ U,
∀x, y ∈ U, x + y ∈ U
∀c ∈ R και ∀x ∈ U, cx ∈ U

14. Μηδενόχωρος
Θεώρημα
Το σύνολο των λύσεων ενός ομογενούς συστήματος είναι
διανυσματικός υπόχωρος (λέγεται μηδενόχωρος του A και
συμβολίζεται με N (A)).
Απόδειξη.
΄Εστω δύο τυχαίες λύσεις v , w του ομογενούς συστήματος
Ax = 0.

15. Μηδενόχωρος
Θεώρημα
Το σύνολο των λύσεων ενός ομογενούς συστήματος είναι
διανυσματικός υπόχωρος (λέγεται μηδενόχωρος του A και
συμβολίζεται με N (A)).
Απόδειξη.
΄Εστω δύο τυχαίες λύσεις v , w του ομογενούς συστήματος
Ax = 0.
Av = 0, Aw = 0 ⇒ Av + Aw = 0 ⇒ A(v + w ) = 0 ⇒ v + w είναι
λύση του ομογενούς.

16. Μηδενόχωρος
Θεώρημα
Το σύνολο των λύσεων ενός ομογενούς συστήματος είναι
διανυσματικός υπόχωρος (λέγεται μηδενόχωρος του A και
συμβολίζεται με N (A)).
Απόδειξη.
΄Εστω δύο τυχαίες λύσεις v , w του ομογενούς συστήματος
Ax = 0.
Av = 0, Aw = 0 ⇒ Av + Aw = 0 ⇒ A(v + w ) = 0 ⇒ v + w είναι
λύση του ομογενούς.
Av = 0, ⇒ λAv = 0 ⇒ A(λv ) = 0 ⇒ λv είναι λύση του
ομογενούς.

17. ΄Ασκηση
Αν ο A είναι ένας m × n πίνακας τότε ο N (A) είναι υπόχωρος
του
1
Rn
2
Rm
3
R n και του R m
4
δεν μπορούμε να αποφανθούμε

18. ΄Ασκηση
Αν ο A είναι ένας m × n πίνακας τότε είναι το σύνολο των
λύσεων του μη-ομογενούς συστήματος Ax = b = 0
διανυσματικός υπόχωρος;

19. ΄Ασκηση
Ποιός είναι N (A) αν ο A είναι ένας n × n αντιστρέψιμος πίνακας;

20. Χώρος στηλών
Ορισμός
Χώρος στηλών ενός m × n πίνακα A είναι όλα τα διανύσματα
που μπορούν να γραφθούν σαν γραμμικός συνδυασμός των
στηλών του πίνακα A και συμβολίζεται με R(A).

21. Χώρος στηλών
Ορισμός
Χώρος στηλών ενός m × n πίνακα A είναι όλα τα διανύσματα
που μπορούν να γραφθούν σαν γραμμικός συνδυασμός των
στηλών του πίνακα A και συμβολίζεται με R(A).
Παρατήρηση - Ο R(A) είναι διανυσματικός υπόχωρος του R m .

22. Χώρος γραμμών
Ορισμός
Χώρος γραμμών ενός m × n πίνακα A είναι όλα τα διανύσματα
που μπορούν να γραφθούν σαν γραμμικός συνδυασμός των
γραμμών του πίνακα A και συμβολίζεται με R(AT ).

23. Χώρος γραμμών
Ορισμός
Χώρος γραμμών ενός m × n πίνακα A είναι όλα τα διανύσματα
που μπορούν να γραφθούν σαν γραμμικός συνδυασμός των
γραμμών του πίνακα A και συμβολίζεται με R(AT ).
Παρατήρηση - Ο R(AT ) είναι διανυσματικός υπόχωρος του R n .

24. Αριστερός μηδενόχωρος
Ορισμός
Αριστερός μηδενόχωρος ενός m × n πίνακα A είναι όλα τα
διανύσματα x που ικανοποιούν την εξίσωση x T A = 0T και
συμβολίζεται με N (AT ).

25. Αριστερός μηδενόχωρος
Ορισμός
Αριστερός μηδενόχωρος ενός m × n πίνακα A είναι όλα τα
διανύσματα x που ικανοποιούν την εξίσωση x T A = 0T και
συμβολίζεται με N (AT ).
Παρατήρηση - Ο N (AT ) είναι διανυσματικός υπόχωρος του R ? .