Ορισμοί, έννοιες, θεωρήματα αποδέιξεις

1. Γραμμική ΄Αλγεβρα
Καθετότητα και Ορθογωνιότητα
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
15 Δεκεμβρίου 2013

2. Μήκος Διανύσματος

3. Μήκος Διανύσματος
x
2
2
2
2
= x1 + x2 + . . . + xn

4. Μήκος Διανύσματος
x
2
2
2
2
= x1 + x2 + . . . + xn
√
x =
xT x

5. Καθετότητα Διανυσμάτων

6. Καθετότητα Διανυσμάτων

7. Καθετότητα Διανυσμάτων
x
2
+ y
2
= x −y
2

8. Καθετότητα Διανυσμάτων
x
2
+ y
2
= x −y
Θεώρημα
x και y είναι κάθετα μεταξύ τους ανν x T y = 0
Ορισμός
Ο αριθμός x T y λέγεται εσωτερικό γινόμενο
2

9. Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία
Θεώρημα
Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους
τότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

10. Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία
Θεώρημα
Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους
τότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
Απόδειξη.
c1 v1 + c2 v2 + . . . + cn vn = 0

11. Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία
Θεώρημα
Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους
τότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
Απόδειξη.
c1 v1 + c2 v2 + . . . + cn vn = 0 ⇒
T
v1 (c1 v1 + c2 v2 + . . . + cn vn ) = 0

12. Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία
Θεώρημα
Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους
τότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
Απόδειξη.
c1 v1 + c2 v2 + . . . + cn vn = 0 ⇒
T
v1 (c1 v1 + c2 v2 + . . . + cn vn ) = 0 ⇒
T
T
T
c1 v1 v1 + c2 v1 v2 + . . . + cn v1 vn = 0

13. Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία
Θεώρημα
Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους
τότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
Απόδειξη.
c1 v1 + c2 v2 + . . . + cn vn = 0 ⇒
T
v1 (c1 v1 + c2 v2 + . . . + cn vn ) = 0 ⇒
T
T
T
c1 v1 v1 + c2 v1 v2 + . . . + cn v1 vn = 0 ⇒
c1 ||v1 || = 0

14. Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία
Θεώρημα
Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους
τότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
Απόδειξη.
c1 v1 + c2 v2 + . . . + cn vn = 0 ⇒
T
v1 (c1 v1 + c2 v2 + . . . + cn vn ) = 0 ⇒
T
T
T
c1 v1 v1 + c2 v1 v2 + . . . + cn v1 vn = 0 ⇒
c1 ||v1 || = 0 ⇒ c1 = 0

15. Ορθογώνιοι Υπόχωροι
Ορισμός
Δύο υπόχωροι V και W του ίδιου διανυσματικού χώρου (πχ του
R n ) είναι ορθογώνιοι εάν κάθε διάνυσμα v ∈ V είναι ορθογώνιο
σε κάθε διάνυσμα w ∈ W .
Παράδειγμα:
  

 
1
−1


4 + c2  7 , c1 , c2 ∈ R
V = c1


0
0
  

0


W = d  0 , d ∈ R


−3

16. Ορθογώνιοι Υπόχωροι - Ορθογώνιο Συμπλήρωμα
Ορισμός
Δύο υπόχωροι V και W του ίδιου διανυσματικού χώρου (πχ του
R n ) είναι ορθογώνιοι εάν κάθε διάνυσμα v ∈ V είναι ορθογώνιο
σε κάθε διάνυσμα w ∈ W .
Ορισμός
Δοθέντος ενός υπόχωρου V ⊂ Rn , ο χώρος όλων των ορθογωνίων
διανυσμάτων στον V λέγεται ορθογώνιο συμπλήρωμα του V και
συμβολίζεται με V ⊥ .

17. Ορθογώνιοι Υπόχωροι - Ορθογώνιο Συμπλήρωμα
Ορισμός
Δύο υπόχωροι V και W του ίδιου διανυσματικού χώρου (πχ του
R n ) είναι ορθογώνιοι εάν κάθε διάνυσμα v ∈ V είναι ορθογώνιο
σε κάθε διάνυσμα w ∈ W .
Ορισμός
Δοθέντος ενός υπόχωρου V ⊂ Rn , ο χώρος όλων των ορθογωνίων
διανυσμάτων στον V λέγεται ορθογώνιο συμπλήρωμα του V και
συμβολίζεται με V ⊥ .
Θεώρημα
W = V ⊥ ⇒ V = W ⊥,

18. Ορθογώνιοι Υπόχωροι - Ορθογώνιο Συμπλήρωμα
Ορισμός
Δύο υπόχωροι V και W του ίδιου διανυσματικού χώρου (πχ του
R n ) είναι ορθογώνιοι εάν κάθε διάνυσμα v ∈ V είναι ορθογώνιο
σε κάθε διάνυσμα w ∈ W .
Ορισμός
Δοθέντος ενός υπόχωρου V ⊂ Rn , ο χώρος όλων των ορθογωνίων
διανυσμάτων στον V λέγεται ορθογώνιο συμπλήρωμα του V και
συμβολίζεται με V ⊥ .
Θεώρημα
W = V ⊥ ⇒ V = W ⊥,
V⊥
⊥
=V

19. Παράδειγμα

20. Θεμελειώδες Θεώρημα Γραμμικής ΄Αλγεβρας (μέρος 2ο)
T
N (A) = R(A )
⊥

21. Θεμελειώδες Θεώρημα Γραμμικής ΄Αλγεβρας (μέρος 2ο)
T
N (A) = R(A )
⊥
R(AT ) = (N (A))⊥

22. Θεμελειώδες Θεώρημα Γραμμικής ΄Αλγεβρας (μέρος 2ο)
T
N (A) = R(A )
⊥
R(AT ) = (N (A))⊥
N (AT ) = (R(A))⊥
T
R(A) = N (A )
⊥

23. Θεμελειώδες Θεώρημα Γραμμικής ΄Αλγεβρας (μέρος 2ο)

24. Πόρισμα
Το Ax = b έχει λύση ανν b T y = 0 οποτεδήποτε
AT y = 0

25. Πόρισμα
Το Ax = b έχει λύση ανν b T y = 0 οποτεδήποτε
AT y = 0
Το Ax = b έχει λύση ανν το b είναι ορθογώνιο σε
κάθε διάνυσμα που είναι ορθογώνιο στις στήλες
του A.

26. Πόρισμα
Το Ax = b έχει λύση ανν b T y = 0 οποτεδήποτε
AT y = 0
Το Ax = b έχει λύση ανν το b είναι ορθογώνιο σε
κάθε διάνυσμα που είναι ορθογώνιο στις στήλες
του A.
Παράδειγμα:
x1 − x2 = b1
x2 − x3 = b2
x3 − x1 = b3

27. Πόρισμα
Η απεικόνιση του χώρου γραμμών
στον χώρο στηλών είναι
αντιστρέψιμη

28. Πόρισμα
Η απεικόνιση του χώρου γραμμών
στον χώρο στηλών είναι
αντιστρέψιμη
Για κάθε b στον χώρο στηλών
υπάρχει μοναδικό xr στον χώρο
γραμμών