4. Άνω κλιµακωτός πίνακας
Ένας πίνακας είναι σε άνω κλιμακωτή μορφή αν
∙ όλες οι μηδενικές σειρές του βρίσκονται στον κάτω μέρος
του, και
2
5. Άνω κλιµακωτός πίνακας
Ένας πίνακας είναι σε άνω κλιμακωτή μορφή αν
∙ όλες οι μηδενικές σειρές του βρίσκονται στον κάτω μέρος
του, και
∙ το πρώτο μη-μηδενικό στοιχείο κάθε γραμμής, το οποίο
λέγεται οδηγό στοιχείο, βρίσκεται στα δεξιά του οδηγού
στοιχείου της προηγούμενης γραμμής.
2
6. Άνω κλιµακωτός πίνακας
Ένας πίνακας είναι σε άνω κλιμακωτή μορφή αν
∙ όλες οι μηδενικές σειρές του βρίσκονται στον κάτω μέρος
του, και
∙ το πρώτο μη-μηδενικό στοιχείο κάθε γραμμής, το οποίο
λέγεται οδηγό στοιχείο, βρίσκεται στα δεξιά του οδηγού
στοιχείου της προηγούμενης γραμμής.
Παράδειγμα:
$ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
0 $ ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 0 $ ∗ ∗
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
2
12. Παραγοντοποίηση A = PLU (n ̸= m)
Κάθε n × m πίνακας A μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο
ενός πίνακα αντιμετάθεσης P, ενός κάτω τριγωνικού
πίνακα L με μονάδες στην διαγώνιο και ενός άνω
κλιμακωτού πίνακα U.
∙ Ο P καθορίζεται απο τις εναλλαγές γραμμών που
απαιτεί η διαδικασία της απαλοιφής με οδήγηση.
∙ Ο L έχει τους πολλαπλασιαστές της απαλοιφής κάτω
απο την διαγώνιο.
∙ Ο U τα στοιχεία του A όπως αυτά προκύπτουν μετά την
απαλοιφή.
4
15. Ορισµοί
xγϵνικη: όλες οι λύσεις του Ax = b
xoµoγϵνoυς: όλες οι λύσεις του Ax = 0
xειδικη: μια οποιαδήποτε λύση του Ax = b
5
16. Ορισµοί
xγϵνικη: όλες οι λύσεις του Ax = b
xoµoγϵνoυς: όλες οι λύσεις του Ax = 0
xειδικη: μια οποιαδήποτε λύση του Ax = b
Ελεύθερες μεταβλητές: όλες οι συνιστώσες της
λύσης που δεν αντιστοιχούν σε στήλη
με οδηγό.
5
17. Σχέσεις Μεταξύ Λύσεων
Η διαφορά δύο οποιονδήποτε λύσεων του μη-ομογενούς
συστήματος Ax = b ισούται με μία λύση του ομογενούς
συστήματος Ax = 0.
Έστω x1
, x2
δύο οποιεσδήποτε λύσεις του ομογενούς.
Τότε έχουμε Ax1
= b και Ax2
= b
Συνεπώς A(x1
− x2
) = 0
Άρα x1
− x2
είναι λύση του ομογενούς.
6
19. Υπολογισµός Γενικευµένης Λύσης Ax = b
1. Aπαλοιφή στο Ax = b (Ax = b ⇒ Ux = c)
2. Μηδένισε τις ελεύθερες μεταβλητές και λύσε
(xειδικη)
7
20. Υπολογισµός Γενικευµένης Λύσης Ax = b
1. Aπαλοιφή στο Ax = b (Ax = b ⇒ Ux = c)
2. Μηδένισε τις ελεύθερες μεταβλητές και λύσε
(xειδικη)
3. Θέσε b = 0 και διαδοχικά, σε κάθε ελεύθερη
μεταβλητή 1 θέτοντας ταυτόχρονα τις
υπόλοιπες μεταβλητές ίσες με 0 και βρες μια
ομογενή λύση (xoµoγϵνoυς)
7
21. Υπολογισµός Γενικευµένης Λύσης Ax = b
1. Aπαλοιφή στο Ax = b (Ax = b ⇒ Ux = c)
2. Μηδένισε τις ελεύθερες μεταβλητές και λύσε
(xειδικη)
3. Θέσε b = 0 και διαδοχικά, σε κάθε ελεύθερη
μεταβλητή 1 θέτοντας ταυτόχρονα τις
υπόλοιπες μεταβλητές ίσες με 0 και βρες μια
ομογενή λύση (xoµoγϵνoυς)
4. xγϵνικη = xειδικη + xoµoγϵνoυς
7
31. Επίλυση οµογενούς m × n
Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1
0 ⇒ Ux = 0
1 3 3 2
0 0 3 1
0 0 0 0
u
v
w
y
=
0
0
0
x =
−3v − y
v
−1
3
y
y
10
32. Επίλυση οµογενούς m × n
Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1
0 ⇒ Ux = 0
1 3 3 2
0 0 3 1
0 0 0 0
u
v
w
y
=
0
0
0
x =
−3v − y
v
−1
3
y
y
= v
−3
1
0
0
+ y
−1
0
−1
3
1
10
33. Ερωτήµατα
∙ Είναι τα διανύσματα του xγϵνικη όλα λύσεις του συστήματος?
∙ Είναι τα διανύσματα του xγϵνικη όλες οι λύσεις του
συστήματος?
∙ Υπάρχει και άλλος τρόπος αναπαράστασης του xγϵνικη?
∙ Κάτω απο ποιές συνθήκες ένα σύστημα έχει λύση?
11
34. Ύπαρξη λύσεων
∙ Αν ένα ομογενές σύστημα Ax = 0 έχει περισσότερους
αγνώστους απο εξισώσεις (n > m) τότε έχει μια
τουλάχιστον μη-τετριμένη λύση.
12
35. Ύπαρξη λύσεων
∙ Αν ένα ομογενές σύστημα Ax = 0 έχει περισσότερους
αγνώστους απο εξισώσεις (n > m) τότε έχει μια
τουλάχιστον μη-τετριμένη λύση.
∙ Το σύνολο των μη-τετριμένων λύσεων του ομογενούς
συστήματος Ax = 0 είναι ίσο με το σύνολο των
μη-τετριμένων λύσεων του ομογενούς συστήματος
Ux = 0 όπου U ο άνω κλιμακωτός πίνακας που
προκύπτει απο τον A με απαλοιφή.
12
36. Ύπαρξη λύσεων
Έστω ότι η απαλοιφή μετατρέπει το σύστημα Ax = b στο
σύστημα Ux = c. Έστω επίσης ότι υπάρχουν r (μη-μηδενικοί)
οδηγοί τότε
∙ r = min{m, n}.
∙ Οι τελευταίες m − r γραμμές του U είναι μηδενικές.
∙ Υπάρχει λύση μόνον αν οι τελευταίες m − r συνίστώσες του c
είναι και αυτές μηδενικές.
∙ Αν r = m υπάρχει πάντα λύση
∙ An r = n το ομογενές σύστημα έχει μόνον την τετριμένη λύση
13
38. Τέσσερα σηµαντικά σύνολα
∙ Μηδενόχωρος N(A)
∙ Χώρος Στηλών R(A)
∙ Χώρος Γραμμών R
(
AT
)
∙ Αριστερός Μηδενόχωρος N
(
AT
)
15
39. Μηδενόχωρος N(A) ενός Πίνακα A ∈ Rm×n
είναι
το σύνολο όλων των διανυσμάτων x για τα
οποία ισχύει ότι Ax = 0.
16
40. Μηδενόχωρος N(A) ενός Πίνακα A ∈ Rm×n
είναι
το σύνολο όλων των διανυσμάτων x για τα
οποία ισχύει ότι Ax = 0.
N(A) = {x ∈ Rn
: Ax = 0}
16
41. Χώρος Στηλών R(A) ενός πίνακα A ∈ Rm×n
είναι
το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών
των στηλών του A.
17
42. Χώρος Στηλών R(A) ενός πίνακα A ∈ Rm×n
είναι
το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών
των στηλών του A.
R(A) =
{
x ∈ Rm
: x =
n∑
k=1
ckA∗,k, ∀ck ∈ R
}
17
43. Χώρος Γραμμών R
(
AT
)
ενός πίνακα A ∈ Rm×n
είναι το σύνολο όλων των γραμμικών
συνδυασμών των γραμμών του A.
18
44. Χώρος Γραμμών R
(
AT
)
ενός πίνακα A ∈ Rm×n
είναι το σύνολο όλων των γραμμικών
συνδυασμών των γραμμών του A.
R
(
AT
)
=
{
x ∈ Rn
: x =
m∑
k=1
ckAk,∗, ∀ck ∈ R
}
18
46. Αριστερός Μηδενόχωρος N
(
AT
)
ενός πίνακα A
είναι το σύνολο όλων των διανυσμάτων x για τα
οποία ισχύει ότι xT
A = 0.
N(AT
) =
{
x ∈ Rm
: xT
A = 0
}
19
47. Αριστερός Μηδενόχωρος N
(
AT
)
ενός πίνακα A
είναι το σύνολο όλων των διανυσμάτων x για τα
οποία ισχύει ότι xT
A = 0.
N(AT
) =
{
x ∈ Rm
: xT
A = 0
}
N(AT
) =
{
x ∈ Rm
: AT
x = 0
}
19
48. Θεωρήµατα
Έστω ότι η απαλοιφή μετατρέπει το σύστημα
Ax = b στο σύστημα Ux = c.
∙ N(A) = N(U).
20
49. Θεωρήµατα
Έστω ότι η απαλοιφή μετατρέπει το σύστημα
Ax = b στο σύστημα Ux = c.
∙ N(A) = N(U).
∙ x λύση του Ax = b ⇔ b ∈ R(A).
20
51. Ορισµός
Διανυσματικός χώρος είναι ένα σύνολο αντικειμένων (που
συνήθως ονομάζουμε διανύσματα) για τα οποία έχουμε
ορίσει τις πράξεις
∙ άθροισμα δύο διανυσμάτων και
∙ πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με αριθμό.
22
52. Ορισµός
Διανυσματικός χώρος είναι ένα σύνολο αντικειμένων (που
συνήθως ονομάζουμε διανύσματα) για τα οποία έχουμε
ορίσει τις πράξεις
∙ άθροισμα δύο διανυσμάτων και
∙ πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με αριθμό.
Παραδείγματα: Το σύνολο των πραγματικών αριθμών, το
σύνολο των διανυσμάτων στο επίπεδο (στον τρισδιάστατο
χώρο), το σύνολο των πραγματικών συναρτήσεων, . . .
22
53. Ορισµός
Διανυσματικός υποχώρος Y ενός διανυσματικού χώρου V
είναι ένα υποσύνολο του V τέτοιο ώστε
∙ το άθροισμα δύο οποιονδήποτε διανυσμάτων του Y να
ανήκει και αυτό στο Y και
∙ ο πολλαπλασιασμός οποιουδήποτε διανύσματος Y με
έναν αριθμό να ανήκει και αυτό στο Y.
23
54. Ορισµός
Διανυσματικός υποχώρος Y ενός διανυσματικού χώρου V
είναι ένα υποσύνολο του V τέτοιο ώστε
∙ το άθροισμα δύο οποιονδήποτε διανυσμάτων του Y να
ανήκει και αυτό στο Y και
∙ ο πολλαπλασιασμός οποιουδήποτε διανύσματος Y με
έναν αριθμό να ανήκει και αυτό στο Y.
Παραδείγματα: Το σύνολο των διανυσμάτων του Rn
, το
σύνολο των συμμετρικών n × n πινάκων, το σύνολο των
συνεχών πραγματικών συναρτήσεων, . . .
23
55. Εναλακτικός Ορισµός
Διανυσματικός υποχώρος Y ενός διανυσματικού χώρου V
είναι ένα υποσύνολο του V τέτοιο ώστε κάθε γραμμικός
συνδοιασμός των στοιχείων του Y ανήκει στο Y.
Διανυσματικός υποχώρος Y ενός διανυσματικού χώρου V
είναι ένα υποσύνολο του V τέτοιο ώστε ∀x, y ∈ Y και
∀α, β ∈ R, αx + βy ∈ Y.
24
56. Άσκηση
Ποιά απο τα παρακάτω σύνολα είναι διανυσματικοί
υπόχωροι
1. Οι n × n άνω τριγωνικοί πίνακες.
25
57. Άσκηση
Ποιά απο τα παρακάτω σύνολα είναι διανυσματικοί
υπόχωροι
1. Οι n × n άνω τριγωνικοί πίνακες.
2. Οι n × n αντιστρέψιμοι πίνακες.
25
58. Άσκηση
Ποιά απο τα παρακάτω σύνολα είναι διανυσματικοί
υπόχωροι
1. Οι n × n άνω τριγωνικοί πίνακες.
2. Οι n × n αντιστρέψιμοι πίνακες.
3. Οι λύσεις του συστήματος Ax = b.
25
59. Άσκηση
Ποιά απο τα παρακάτω σύνολα είναι διανυσματικοί
υπόχωροι
1. Οι n × n άνω τριγωνικοί πίνακες.
2. Οι n × n αντιστρέψιμοι πίνακες.
3. Οι λύσεις του συστήματος Ax = b.
4. Οι λύσεις του ομογενούς συστήματος Ax = 0.
25
60. Άσκηση
Ποιά απο τα παρακάτω σύνολα είναι διανυσματικοί
υπόχωροι
1. Οι n × n άνω τριγωνικοί πίνακες.
2. Οι n × n αντιστρέψιμοι πίνακες.
3. Οι λύσεις του συστήματος Ax = b.
4. Οι λύσεις του ομογενούς συστήματος Ax = 0.
5. Το σύνολο των διανυσμάτων (x, y, z) που ανήκουν στο
επίπεδο z = 2.
25