Dokumen tersebut membahas tentang rumus-rumus trigonometri dasar seperti sinus, kosinus dan tangen untuk sudut sendiri, jumlah dan selisih dua sudut, serta sudut ganda. Juga dijelaskan rumus-rumus perkalian dan penjumlahan/pengurangan fungsi trigonometri."

1. Trigonometri
Mabella Nobel
XI IPA 1
SMAN 8 Pekanbaru

2. Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen
Berikut adalah beberapa
rumus-rumus
r perbandingan geometri
y yang akan sangat
berguna dalam
α x mempelajari materi ini :
y x y
sin α = cos α = tan α =
r r x
sin α
tan α =
cos α sin 2 α + cos 2 α = 1

3. A. Rumus Trigonometri Untuk Jumlah dan
Selisih Dua Sudut
Dengan mempelajari rumus trigonometri untuk
jumlah dan selisih dua sudut,kita dapat menentukan
fungsi trigonometri untuk sudut-sudut yang
merupakan jumlah atau selisih dua sudut istimewa.
Namun sebelum kita membahas mengenai rumus-
rumus tersebut, sebaiknya kita pahami terlebih
dahulu pengertian jumlah dua sudut dan selisih dua
sudut.

4. Perhatikan gambar dibawah ini !!
C Misalkan ∠ AOB = a dan BOC = b
∠
,
∠AOC = a + b
B Maka disebut jumlah
dua sudut (a dan b).
a
a+b
b A
O
R
Pada gambar di samping,jikaPOR = a
∠
dan = b
∠QOR Q
b
a
∠POQ = a − b
Maka disebut selisih dua a-b
O P
sudut
(a dan b)

5. Rumus-rumus untuk cos(a+b) dan cos(a-b)
tanda berlawanan
cos (a+b) = cos a cos b – sin a sin b
cos (a-b) = cos a cos b + sin a sin
b
tanda berlawanan

6. Contoh soal :
1) Jabarkanlah cos (4x+3y)!
Answer:
cos (4x+3y) = cos 4x cos 3y – sin 4x sin 3y
2) Buktikan bahwa cos (90°- a) = sin a!
Answer :
cos (90°-a) = cos 90° cos a + sin 90° sin a
= 0 . cos a + 1 . sin a
= 0 + sin a
cos (90°-a) = sin a (proven)

7. 4 3
Diketahui cos A = dan B =
cos . Jika sudut A dan B
5 5
lancip,tentukan nilai cos (A-B)!
3
5
sin A =
5 5
?= ?=
3 4 4
sin B =
A B 5
4 3
Answer:
cos( A − B ) = cos A cos B + sin a sin B
4 3 3 4
= . + .
5 5 5 5
24
=
25

8. cos(a + b)
Buktikan bahwa : a cos b = 1 − tan a tan b
cos !!
cos(a + b) cos a cos b − sin a sin b
=
cos a cos b cos a cos b
cos a cos b sin a sin b
= −
cos a cos b cos a cos b
sin a sin b
= 1− .
cos a cos b
= 1 − tan a tan b (proven)

9. Rumus-rumus untuk sin (a+b) dan sin (a-b)
bertanda sama
sin (a+b) = sin a cos b + cos a sin b
sin (a-b) = sin a cos b - cos a sin b
bertanda sama

10. Contoh soal :
1) Jabarkanlah sin (4x-3y)!
Answer:
sin(4x-3y) = sin 4x cos 3y – cos 4x sin 3y
2) Buktikan bahwa sin (180°-a) = sin a
Answer :
sin (180°-a) = sin 180° cos a – cos 180° sin a
= 0 . cos a – (-1) sin a
= 0 + sin a
sin (180°-a) = sin a (proven)

11. 4 5
Diketahui sin A = dan sin B = . Sudut-sudut A dan B lancip.
5 13
33
Buktikan bahwasin( A − B ) = !
65
3
cos A =
5 13 5
4 5
12
cos B =
A B 13
?= ?=
3 12
Answer:
sin( A − B ) = sin a cos b − cos a sin b
4 12 3 5
= . + .
5 13 5 13
33
sin( A − B ) =
65

12. Rumus-rumus untuk tan (a+b) dan tan (a-b)
bertanda sama
tan a + tan b
tan(a + b) =
1 − tan a tan b
bertanda beda
bertanda sama
tan a − tan b
tan( a − b) =
1 + tan a tan b
bertanda beda

13. Contoh soal :
1) Jabarkanlah tan (4x-3y)!
Answer:
tan 4 x − tan 3 y
tan(4 x − 3 y ) =
1 + tan 4 x tan 3 y
1 + tan A
2) Buktikan bahwa tan(45 + A) =
1 − tan A
Answer : tan 45 + tan A
tan(45 + A) =

1 − tan 45 tan A
1 + tan A
=
1 − 1. tan A
1 + tan A
=
1 − tan A

14. 3 12
Diketahui sin A = dan cos B = . Sudut-sudut A dan B lancip.
5 13
16
Buktikan bahwatan( A − B ) = !
63
4 5
cos A = sin B =
5 13
5 13
3 ?= 3 5
5
tan A = tan B =
4 12
A B
?=4 12
tan A − tan B
Answer: tan( A − B ) =
1 + tan A tan B
3 5
−
= 4 12
3 5
1+ .
4 12
36 20
−
= 48 48 = 16 . 48 = 16 ( proven)
48 15 48 63 63
+
48 48

15. B. Rumus Trigonometri Sudut Ganda
Sebelum membahas rumus trigonometri
D
sudut ganda, sebaiknya kita pahami
C dahulu pengertian sudut ganda
c Pada gambar disamping
B
b diketahui, ∠BOC = b, ∠COD = c,
∠AOB = a
a a= b= c
O A
dan .
Maka ∠AOC = a + b = a + a = 2a
∠AOD = a + b + c = a + a + a = 3a
∠AOC = 2a dan∠AOD = 3a disebut sudut ganda,
yaitu jumlah beberapa sudut yang besarnya sama.

16. Rumus-rumusnya adalah :
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos 2 a − sin 2 a = 2 cos 2 a −1 = 1 − 2 sin 2 a
2 tan a
tan 2a =
1 − tan 2 a

17. Contoh soal :
1) Nyatakansin 6 x dalam sudutx
3 !
Answer:
sin 6 x = sin 2.(3 x) = 2 sin 3 x cos 3 x
3
2) Jika sin A = , maka tentukan nilai 2 A
cos !!
5
Answer : cos 2 A = 1 − 2 sin 2 A
9
= 1 − 2.
25
25 18
= −
25 25
7
=
25

18. Sederhanakanlah!
a) 2 cos
2
3x − 1
Answer :
2 cos 2 3x − 1 = cos(2.(3x)) = cos 6 x
b) 2 tan 2 x
1 − tan 2 2 x
Answer :
2 tan 2 x
= tan(2.(2 x)) = tan 4 x
1 − tan 2 x
2

19. Buktikan bahwa :cos 3a = 4 cos 3 a − 3 cos a
Answer :
cos 3a = cos(2a + a )
= cos 2a cos a − sin 2a sin a
= (2 cos 2 a − 1) cos a − (2 sin a cos a ) sin a
= 2 cos 3 a − cos a − 2 cos a. sin 2 a
= 2 cos 3 a − cos a − 2 cos a (1 − cos 2 a )
= 2 cos 3 a − cos a − 2 cos a + 2 cos 3 a
= 4 cos 3 a − 3 cos a (proven)

20. Dalam menentukan nilai perbandingan trigonometri
untuk sudut pertengahan, kita dapat menggunakan
rumus berikut :
1 + cos 2a
cos a = ±
2
1 − cos 2a
sin a = ±
2
1 − cos 2a
tan a = ±
1 + cos 2a

21. Contoh soal

1
Hitunglah nilai sin 22 !!
2
Answer :
1 − cos 2a
sin a = ±
2

1
sin 22 tidak
2 negatif,maka :
1 − cos 45

1
sin 22 =
2 2
1
1− 2
2 2− 2 1
= = = 2− 2
2 2 2

22. C. Rumus Perkalian
2 cos a cos b = cos(a + b) + cos(a − b)
Sejeni − 2 sin a sin b = cos(a + b) − cos(a − b)
s 2 sin a sin b = cos(a − b) − cos(a + b) atau
2 sin a cos b = sin(a + b) + sin( a − b)
Tidak sejenis
2 cos a sin b = sin( a + b) − sin(a − b)

23. Nyatakan bentuk-bentuk dibawah ini ke bentuk
jumlah atau selisih kosinus!
a) 2 sin( x + y ) sin( x − y )
Answer :
2 sin( x + y ) sin( x − y ) = cos[( x + y ) − ( x − y )] − cos[( x + y ) + ( x − y )]
= cos 2 y − cos 2 x
 
b) sin 65 sin 25
Answer : 1
sin 65 sin 25 = [2 sin 65. sin 25 ]
2
1
= [cos(65 − 25)  − cos(65 + 25)  ]
2
1
= (cos 40 − cos 90 )
2
1 1
= (cos 40 − 0) = cos 40
2 2

24. Nyatakan bentuk-bentuk dibawah ini ke bentuk
jumlah atau selisih sinus!
 
a) 2 sin 50 cos 30
Answer :
2 sin 50 cos 30 = sin(50 + 30 ) + sin(50 − 30 )
= sin 80 + sin 20
b) 2 cos( P + Q ) sin( P − Q )
Answer :
2 cos( P + Q ) sin( P − Q ) = sin[( P + Q ) + ( P − Q )] − sin[( P + Q) − ( P − Q )]
= sin 2 P − sin 2Q

25. Tanpa menggunakan tabel,hitunglah nilai dari :
cos 80 cos 40 cos 20
Answer : 1
cos 80. cos 40. cos 20 = (2 cos 80. cos 40 ). cos 20
2
1
= (cos120 + cos 40 ) cos 20
2
1 1
= (− + cos 40 ) cos 20
2 2
1 1
= − cos 20 + cos 40 cos 20
4 2
1 1 1
= − cos 20 + × (cos 60 + cos 20 )
4 2 2
1 1 1
= − cos 20 + ( + cos 20 )
4 4 2
1 1 1 1
= − cos 20 + + cos 20 =
4 8 4 8

26. D. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan
1 1
cos x + cos y = 2 cos ( x + y ) cos ( x − y )
2 2
1 1
cos x − cos y = −2 sin ( x + y ) sin ( x − y )
2 2
1 1
sin x + sin y = 2 sin ( x + y ) cos ( x − y )
2 2
1 1
sin x − sin y = 2 cos ( x + y ) sin ( x − y )
2 2

27. Nyatakan dalam bentuk perkalian!
a) cos 9 A − cos 7 A
Answer :
1 1
cos 9 A − cos 7 A = −2 sin (9 A + 7 A) sin (9 A − 7 A)
2 2
= −2 sin 8 Asin A
b) sin( 2α + β ) − sin( 2α − β )
Answer :
1 1
sin(2α + β ) − sin( 2α − β ) = 2 cos [(2α + β ) + (2α − β )] sin [(2α + β ) − (2α − β )]
2 2
= 2 cos 2α sin β

28. Buktikan bahwa : sin 4θ + sin 2θ = tan 3θ
cos 4θ + cos θ
Answer :
sin 4θ + sin 2θ 2 sin 1 (4θ + 2θ ) cos 1 (4θ − 2θ )
= 2 2
cos 4θ + cos θ 2 cos 1 (4θ + 2θ ) cos 1 (4θ − 2θ )
2 2
2 sin 3θ cos θ
=
2 cos 3θ cos θ
sin 3θ
=
cos 3θ
= tan 3θ (proven)

29. Jika A + B + C = 180 , maka buktikan bahwa :
2 sin A + 2 sin B + 2 sin C = 4 sin A sin B sin C
Answer :
2 sin A + 2 sin B + 2 sin C
= 2 sin( A + B ) cos( A − B ) + 2 sin C cos C
= 2 sin(180 − C ) cos( A − B ) + 2 sin C cos(180 − ( A + B ))
= 2 sin C cos( A − B) + 2 sin C (− cos( A + B))
= 2 sin C[cos( A − B) − cos( A + B )]
= 2 sin C[−2 sin A sin( − B)]
= 4 sin A sin B sin C (proven)

30. Selesai 