1. 23/10/2017 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr
ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ
ΠΡΟΣOΜOΙΩΣΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΠΕΜΠΤΗ 12/10/2017
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών
Μονάδες 10
Α2. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση fείναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα α,β
Μονάδες 5
Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ,γράφοντας στο τετράδιο σας,
δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση ,τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση
είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Αν f : R Rκαι
0x x
f xlim
τότε f x 0 για κάθε x R.
β) Για οποιαδήποτε συνάρτηση f που είναι συνεχής στο διάστημα α,β και έχει μία
τουλάχιστον ρίζα στο α,β ισχύει f α f β 0 .
γ) Η συνάρτηση f είναι «1-1» αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών
της η εξίσωση y f x έχει ακριβώς μία λύση ως προς x .
δ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο 0x ,
τότε η σύνθεση τους g f είναι συνεχής στο 0x .
ε) Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι «1-1», αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες.
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Δίνονται οι συναρτήσεις f x x 1 2 και
2
g(x) x 3 1
B1. Nα βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f, g.
Μονάδες 4
B2. Nα ορίσετε την συνάρτηση f g .
Μονάδες 5
B3. Nα δείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να ορίσετε την 1
f
.
Μονάδες 6
Β4. Να βρείτε τα όρια :
i.
x 1 2
f g x
x 1
lim
ii.
x 2
1
f x 1
x 2
lim
iii.
x 3
1
f x x
g(x) 1
lim
Μονάδες 10 (4 + 3 + 3)
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνάρτηση
2 2
1 x 1
, 1 x 0
x
f x
1
α ln(x e) 2α β ,x 0
2
2. 23/10/2017 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr
όπου α,βR.
Γ1. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x , να βρείτε τις τιμές των α και β .
Μονάδες 8
Γ2. Για α 1 και β 0 τότε :
i) Nα υπολογίσετε το
x 1
f x 1
x 1
lim
Μονάδες 5
ii) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον θετικό ημιάξονα
Οx σε ένα τουλάχιστον σημείο.
Μονάδες 6
iii) Nα υπολογίσετε το
x 0
1
xf(x)ημ .
x
lim
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση
x
e x 1,x 0
f x
2 ln(x 1),x 0
Δ1. Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής .
Μονάδες 5
Δ2. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ,0 ,γνησίως
φθίνουσα στο 0, και να βρείτε το σύνολο τιμών της .
Μονάδες 7
Δ3. Να δείξετε ότι η εξίσωση f x 2 έχει μοναδική ρίζα την x 0 και στη συνέχεια
ότι η εξίσωση f f x 2018 2 έχει δύο ακριβώς ρίζες ετερόσημες .
Μονάδες 6
Δ4. Αν 1 2x ,x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης με 1 2x x να δείξετε ότι
υπάρχει ένα τουλάχιστον 1 2ξ x ,x τέτοιο ώστε :
ξ
1 2x ξ f ξ 2 ξ x 3 f ξ e f ξ 2018 .
Μονάδες 4
Δ5. Να βρείτε τα α,βRγια τα οποία ισχύει α
e 1 α ln(β 1) με α 0 β.
Μονάδες 3