Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου αποκλειστικά για το lisari.bloogspot.com

1. Επαναληπτικές Εξετάσεις 2019
ΘΕΜΑ Δ – Εναλλακτικοί τρόποι επίλυσης
Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου
Ερώτημα Δ2.
Άλλος τρόπος
Από το ερώτημα Δ1 έχουμε τη σχέση f(x) f(1 x) 1   (1) .
Αλλά με x [0,1] είναι 1 x 0  και έτσι f(1 x) 0  . Συνεπώς από την (1) παίρνουμε ότι 0 f(x) 1 
και μάλιστα η ισότητα ισχύει μόνο για x 1 . Από την μονοτονία της f παίρνουμε επίσης ότι
f(x) 0 για κάθε x 0 και έτσι : 2
f (x) f (x) για κάθε x [0,1] . Συνεπώς :
1 1
2
0 0
1
f (x)dx f(x)dx
2
  
Θα μπορούσαμε επίσης να παρατηρήσουμε ότι η συνάρτηση g(x) f(1 x)  είναι γνησίως φθίνουσα
και έτσι να βρούμε το πρόσημό της για x [0,1] .
Άλλος τρόπος
Ισχύει ότι 3
(x 1) 0  για κάθε x [0,1] και έτσι παίρνουμε ότι :
3
3 2 3 2
2
x
x 3x 3x 1 0 x 3x 3x 1 1 f(x) 1
3x 3x 1
           
 
Είναι λοιπόν 0 f(x) 1  για κάθε x [0,1] και συνεχίζουμε όπως πριν.
Άλλος τρόπος
Είδαμε ότι f(1 x) 0  για κάθε x [0,1] και έτσι
2 2 2
f (x) f (1 x) (f (x) f (1 x)) 2f (x)f (1 x) 1 2f (x)f (1 x) 1          
διότι f(x)f(1 x) 0  για κάθε x [0,1] και η ισότητα ισχύει μόνο για x 0,x 1  .
Ολοκληρώνουμε και με αντικατάσταση 1 x u  στο δεύτερο ολοκλήρωμα παίρνουμε το ζητούμενο.
07.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 1