(νέο) 9 Μαθήματα Ανάλυσης 2018 (15 έκδοση)

Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηματικών
http://lisari.blogspot.gr lisari.blogspot@gmail.com
Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου
Προσανατολισμού
Θετικών Σπουδών και Οικονομίας και Πληροφορικής
Α΄ Μέρος – Ανάλυση
• 35 Ερωτήσεις θεωρίας
• 96 Άλυτες Ασκήσεις - Παραδείγματα
• 29 Μεθοδολογία – κατηγορίες ασκήσεων
• 9 Μαθήματα θεωρίας
15η έκδοση: 26/09/2017
Αθήνα 2017 – 18

http://lisari.blogspot.gr mac190604@gmail.com
- Ανάλυση: Συναρτήσεις - Κεφάλαιο 1ο Σελίδα 2
Περιεχόμενα
• Μάθημα 1ο : Ορισμός συνάρτησης – Πεδίο ορισμού
• Μάθημα 2ο : Γραφική παράσταση συνάρτησης
• Μάθημα 3ο: Ισότητα και πράξεις συναρτήσεων – Σύνθεση συναρτήσεων
• Μάθημα 4ο: Μονοτονία και ακρότατα συνάρτησης
• Μάθημα 5ο: Συνάρτηση «1 – 1» και αντίστροφη
• Μάθημα 6ο: Όριο συνάρτησης στον πραγματικό αριθμό x0 (Μορφή: 0/0)
• Μάθημα 7ο: Μη πεπερασμένο όριο στο x0 (α/0, με α0)
• Μάθημα 8ο: Όρια συνάρτησης το x να τείνει στο άπειρο 
• Μάθημα 9ο: Συνέχεια – Βασικά θεωρήματα συνέχειας
• Επαναληπτικό μάθημα: Επαναληπτικές ασκήσεις και μεθοδολογίες

… αφιερωμένο στους αναγνώστες του lisari.blogspot.gr

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο
– ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.2
Μάθημα 1ο
– Ορισμός συνάρτησης – Πεδίο ορισμού
Ερώτηση 1η
α) Έστω Α υποσύνολο των πραγματικών αριθμών. Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση f :A  R ;
β) Πως ονομάζονται τα x, y, f, A και f(A);
γ) Έστω x1, x2 σημεία του συνόλου Α. Αν x1 = x2 τι ισχύει για τα f(x1), f(x2) αν η f
i. Είναι συνάρτηση;
ii. Δεν είναι συνάρτηση;
Άσκηση 1η
Κάθε αντιστοίχιση τιμών μεταξύ δύο συνόλων είναι συνάρτηση; Πότε μια αντιστοίχιση δεν θα είναι συνάρτηση;
Δώστε παραδείγματα αντιστοιχίσεων μεταξύ δύο συνόλων που να μην ορίζουν συνάρτηση.
Άσκηση 2η
Εξηγήστε ποιες από τις παρακάτω ισότητες, το y δεν είναι συνάρτηση του x και δικαιολογήστε την απάντησή
σας:
i.  
3
y 1 x ,x  R ii.  
3
y 1 x , x   R iii. 2
y x 1  iv.
x 3 x 1
y
x 2 x 1
 
 
 
v.  
x x 2
y , x 1,
x 1 x 1
 
   
  
vi. 2 2
y x 1, x   vii. y x viii. y x, x R
Άσκηση 3η
Δίνεται η συνάρτηση f τέτοια ώστε:   21
2 f x 3f x , x 0
x
 
    
 
. Να υπολογίστε:
α)  f 1 β)  f 2 και
1
f
2
 
 
 
γ) f (x)
Άσκηση 4η
Βρείτε μία συνάρτηση f : R R στις παρακάτω περιπτώσεις:
α)   2
f x 1 x 3x 2, x    R
β)   3 2
f 2x 3 x , x  R
γ)  
x
f ημ 3x , x
2
 
  
 
R
δ)   2
x 1
f 3x , x
2x 1

 

R

Ερώτηση 2η
α. Τί λέγεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης; Πώς το συμβολίζουμε; Να το γράψετε σε μορφή τύπου.
β. Πώς βρίσκουμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης αν γνωρίζουμε τον τύπο της; Αναφέρετε διάφορες μορφές
συναρτήσεων.
γ. Τί πρέπει να γνωρίζουμε για να ορίσουμε μια συνάρτηση;
δ. Τί σημαίνει ότι η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο διάστημα Δ;
Άσκηση 1η
Δίνονται οι συναρτήσεις:  
2
2
x 1
f x
x x



και  
1
g x 1
x
 
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g
γ) Τί παρατηρείτε;
Άσκηση 2η
Δίνονται οι συναρτήσεις:  
x 1
f x
x 2



και  
x 1
g x
x 2



γ) Τί παρατηρείτε;
Άσκηση 3η
Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:
4
2
x 12
a. h(x)
x 5x 6


 
3 2
b. h(x) x 5x 6  
2x x
c. g(x) ln(e 3e )   
x 3 , x 0
d. f x x ,0 x 3
2x , x 3
 

  
 
Άσκηση 4η
Δίνονται οι συναρτήσεις:     f x x 1 x 2   και  g x x 1 x 2   
γ) Τι παρατηρείτε;
Η άσκηση που ξεχωρίζει
Να βρεθεί ο ακέραιος κ ώστε να ορίζει συνάρτηση η σχέση  
2
2 2
3x 1 , x k k 3
f x
x 1 , x 2k k 2
    
 
   

Μάθημα 2ο
– Γραφική παράσταση συνάρτησης
Ερώτηση 1η
α) Τί ονομάζουμε γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f;
β) Σχεδιάστε τις γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων (ευθεία, παραβολή, υπερβολή, κυβική
παραβολή, τριγωνομετρικές, εκθετική, λογαριθμική κτλ.)
γ) Πώς ελέγχουμε αν μια γραφική παράσταση ανήκει σε συνάρτηση; Δικαιολογήστε την απάντησή σας και να
δώσετε παραδείγματα.
Άσκηση 1η
Θεωρούμε τη συνάρτηση f με τύπο  
2
x 5x 6
f x
x 2
 


α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β. Να απλοποιήσετε τον τύπο της
γ. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f
Άσκηση 2η
Να σχεδιάστε τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις
α.  
2
2x , x 1
f x 2
, x 1
x
 

 


β.  f x 2x x 1   γ.   x
f x e
   x
δ) g x e e 
Ερώτηση 2η
α) Πότε κάνουμε κατακόρυφη ή οριζόντια μετατόπιση των γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων; Δώστε
παραδείγματα.
β) Αν γνωρίζουμε την γραφική παράσταση της f, πως σχεδιάζουμε τις συναρτήσεις i. – f, ii. f ;
γ) Να δώσετε τον ορισμό της άρτιας και περιττής συνάρτησης όπως και την γεωμετρική τους ερμηνεία.
Άσκηση 3η
α) Να σχεδιάστε την γραφική παράσταση των συναρτήσεων:
           
2 22 2
1 2 3f x x , f x x 1 , f x x 2 , f x x 3      
β) Να σχεδιάστε τις γραφικές παραστάσεις:
α)   3
f x x β)   3
g x x 1  γ)   3
h x x 1   δ)   3
r x x 1 
Άσκηση 4η
Έστω η συνάρτηση f : R R η οποία για κάθε x,yRικανοποιεί τη σχέση:      f x y f x f y   .
Να αποδείξετε ότι:
α) Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων
β) Η f είναι περιττή
γ) f (vx) = v f(x) για κάθε v φυσικό αριθμό.

Ερώτηση 3η
α) Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίνακα που περιέχει τις σχέσεις που προκύπτουν από τις διάφορες εκφράσεις
των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων.
β) Πώς μέσα από την γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκουμε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών
μιας συνάρτησης; Να δώστε παραδείγματα.
Έκφραση Σχήμα Σχέση
Η Cf τέμνει τον
άξονα x΄x
Η Cf τέμνει τον
άξονα y΄y
Η Cf τέμνει την Cg
στο σημείο x0 (σημεία τομής
δύο γρ. παραστάσεων)
Η Cf βρίσκεται υψηλότερα από
την Cg
Η Cf βρίσκεται υψηλότερα από
άξονα x΄x
Η Cf βρίσκεται χαμηλότερα από
άξονα x΄x
Η Cf βρίσκεται στο 1ο ή στο 2ο ή
στο 3ο ή στο 4ο τεταρτημόριο
Η Cf διέρχεται από το σημείο
(α, β)
Άσκηση 5η
α. Για ποιες τιμές του x  R η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x ,
όταν: i) 4 2
f(x) x 3x 4   , ii)
x
f(x)
1 x


, iii) 2x
f (x) e 1  iv)    f x ln 2x 3ln 2 
β. Για ποιες τιμές του x  R η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τη γραφική
παράσταση της συνάρτησης g, όταν:
i) 3
f (x) x 2x 1   και g(x) x 1  ii) 3
f (x) x x 2   και 2
g(x) x x 2  

Άσκηση 6η
α) Να σχεδιάσετε γραφικά τις συναρτήσεις των συναρτήσεων:
i)
| x |
f(x) 1
x
  , ii)  f x x iii)
2
f(x) x | x | ,
iv)
x 3 , x 2
f(x)
x 1 , x 2
  
 
 
v) f(x) lnx vi)  f x ημx
β) Στη συνέχεια από τη γραφική παράσταση τους να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της f σε κάθε περίπτωση
χωριστά.
Άσκηση 7η
Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
(σχήμα από τις Επαναληπτικές Εξετάσεις 2016)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f
β) Να υπολογίσετε τις τιμές       f 3 ,f 4 ,f f 9
γ) Να λύσετε την εξίσωση  f x 0
δ) Να λύσετε την ανίσωση  f x 0
ε) Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης  f x μ για τις διάφορες πραγματικές τιμές του μ.
Η άσκηση που ξεχωρίζει
1) Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στα παρακάτω σχήματα:

Μάθημα 3ο
– Ισότητα και πράξεις συναρτήσεων – Σύνθεση συναρτήσεων
Ερώτηση 1η
α) Πότε δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες; Πώς θα συμβολίζουμε τις ίσες συναρτήσεις; Ποια είναι η γεωμετρική
ερμηνεία δύο ίσων συναρτήσεων;
β) Αν οι συναρτήσεις έχουν τον ίδιο τύπο (ίδιες τιμές για κάθε x που ανήκει σε ένα διάστημα) αλλά διαφέρουν τα
πεδία ορισμούς τους, τότε είναι ίσες; Σε αυτή την περίπτωση ποια είναι η γεωμετρική τους ερμηνεία;
Άσκηση 1η
Να βρείτε το μέγιστο υποσύνολο του R ώστε οι παρακάτω συναρτήσεις να είναι ίσες.
α.    2
f x x , g x x  β.    
2
f x x , g x x  γ)  
2
2
x 1
f x
x x



και  
1
g x 1
x
 
δ)
2 2
ln(x 1)
233 3
f(x) (x 1) , g(x) (x 1) , h(x) e

     (Προσοχή σε αυτή την άσκηση)
Ερώτηση 2η
α) Πώς ορίζεται το άθροισμα, η διαφορά και το γινόμενο δύο συναρτήσεων;
β) Πώς ορίζεται το πηλίκο δύο συναρτήσεων f και g;
γ) Αν οι συναρτήσεις δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού θα μπορούμε να κάνουμε πράξεις; Σε ποιο σύνολο;
δ) Έστω η συνάρτηση f :A  R τότε να ορίσετε την συνάρτηση  v
f , v v 2 n .
Άσκηση 2η
Δίνονται οι συναρτήσεις:    f x x 1, g x 4 x   
α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων
β. Σε ποιο διάστημα μπορούμε να κάνουμε πρόσθεση, αφαίρεση και και πολ/σμό συναρτήσεων;
γ. Να ορίστε τις συναρτήσεις: f g,f g,f g  
δ. Να ορίστε την συνάρτηση
f
g
Ερώτηση 3η
α. Έστω οι συναρτήσεις f, g με πεδία ορισμού τα σύνολα Α και Β αντίστοιχα. Ποια συνάρτηση ορίζεται ως
σύνθεση της g με την f; Πως συμβολίζεται; Δώστε σχηματική παράσταση.
β. Ποια συνάρτηση ορίζεται ως σύνθεση της f με την g; Πώς συμβολίζεται;
γ. Σωστό ή Λάθος; gof = fog για οποιεσδήποτε συναρτήσεις f,g:A  R.

Άσκηση 3η
Έστω οι συναρτήσεις με τύπους:    2
f x x 1, g x x 2   
α. Να ορίστε την συνάρτηση gof
β. Να ορίστε την συνάρτηση fog
γ. Είναι ίσες οι συναρτήσεις fog και gof; Να δικαιολογήστε την απάντησή σας.
δ. Να εξετάσετε, αν υπάρχει πραγματικός αριθμός α, τέτοιος ώστε      fog α gof α
Άσκηση 4η
Δίνονται οι συναρτήσεις
 f x 2x 1   ,x ,4  και g (x) =
2
x
3x 1



,
,
x 1
x 1


.
Nα βρεθεί η fog.
Άσκηση 5η
Έστω οι συναρτήσεις   2
x 2, x 1
f x
x 1, x 1
 
 
 
και g(x)= x . Να ορίσετε την συνάρτηση fog.
Άσκηση 6η
Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=
x
x
e 1
e 1


και g(x)=ln
1 x
1 x
 
 
 
. Να ορίσετε τη gof και να αποδείξετε ότι
είναι ταυτοτική στο R . [Υπόδειξη: (gof)(x)=x ]
Άσκηση 7η
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=
kx 1
x

. Να βρεθεί ο kR αν   f f x x για κάθε *
x R .
Άσκηση 8η
Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης      g x f f f x , όπου  
1
f x
1 x


.
Άσκηση 9η
Δίνονται οι συναρτήσεις:      2 2
g x 1 x 1, x , 1 1,       και    f x 2 x 1, x 2,    
α) Να βρείτε την συνάρτηση f
β) Να βρείτε την συνάρτηση g
γ) Να βρείτε τις συναρτήσεις fog, gof.

Άσκηση που ξεχωρίζει
Δίνονται οι ίσες συναρτήσεις
2
2
x λ
f(x)
x | x |



και g(x) , λ
| x |

   R.
α) Να βρείτε την τιμή του λ.
β) Για λ = 1 να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και να βρείτε το σύνολο τιμών
της.
Επαναληπτική άσκηση
Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g στο παρακάτω σχήμα. Με δεδομένο το σχήμα
να απαντήσετε στα εξής:
1. Να γράψετε τα πεδία ορισμού και τα σύνολα τιμών των συναρτήσεων f, g.
2. Να βρείτε τους αριθμούς            f g 3 , g f 6 , f g 7 , f f 3  .
3. Να λύσετε την εξίσωση α)  f x 0 και β)    f x g x
4. Να λύσετε την ανίσωση  f x 0 .
5. Να λύσετε την ανίσωση
f
(x) 1
g
 
 
 
.
6. Να βρείτε το πλήθος των λύσεων τις εξίσωσης  g x κ, κ R για τις διάφορες τιμές του κ.
(σχήμα: Νίκος Μιχαλόπουλος)

Μάθημα 4ο
– Μονοτονία – Ακρότατα συνάρτησης
Ερώτηση 1η
- Μονοτονία
α) Έστω μια συνάρτηση f :AR. Πότε η συνάρτηση f λέγεται
• γνησίως αύξουσα και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Α;
• αύξουσα και φθίνουσα στο διάστημα Α;
• γνησίως μονότονη στο διάστημα Α;
β) Να δώστε γεωμετρική ερμηνεία σε κάθε περίπτωση ξεχωριστά.
γ) Να διατυπώστε την άρνηση της γνησίως αύξουσας συνάρτησης στο διάστημα Δ.
Βασική άσκηση 1η
: Μονοτονία - Ανισώσεις
α. Αν η f είναι (γνησίως) μονότονη να αποδείξετε την ισοδυναμία:    f α f β α β  
β. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα να αποδείξετε την ισοδυναμία:    α β f α f β  
γ. Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα να αποδείξετε την ισοδυναμία:    α β f α f β  
δ. Αν f: γνησίως αύξουσα και g: γνησίως φθίνουσα στο R ,λύστε τις ανισώσεις:
   
2
x
i)f e f 1    2
ii)f x x f x   2
2
iii) g g 1
x 1
 
 
 
     iv) fog x 1 fog 0 
: Μονοτονία - Εξισώσεις
α) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ, τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) = 0 έχει
το πολύ μια ρίζα στο διάστημα Δ.
β) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σε διάστημα Δ, τότε να αποδείξετε ότι η fC τέμνει τον άξονα x’x το
πολύ μια φορά
: Μονοτονία – Αντίθετη συνάρτηση
Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ, τότε τι συμπεραίνουμε για την συνάρτηση –f ;
: Μονοτονία - Συμμετρίες
Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ=[-α, α], τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν
είναι άρτια στο Δ.
: Πράξεις μεταξύ μονότονων συναρτήσεων
Αν η συνάρτηση f, g είναι γνησίως φθίνουσες στο R , τότε να αποδείξετε ότι:
α. f + g είναι γνησίως φθίνουσα στο R
β. fg είναι γνησίως φθίνουσα στο R , αν f, g είναι θετικές στο R
γ. fog είναι γνησίως αύξουσα στο R
δ. gοf είναι γνησίως αύξουσα στο R
Άσκηση 6η
- Μονοτονίας
Έστω η συνάρτηση f : R R . Να διατάξετε τους αριθμούς f(3), f(-3), f(0), f(π), f(e) αν f είναι:
α. γνησίως αύξουσα
β. γνησίως φθίνουσα.

Άσκηση 7η
(Ορισμός – Εξίσωση – Ανίσωση μονοτονίας)
Α. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες στο πεδίο ορισμούς τους.
α.   3
f x x 2x 3   β.  f x 2 1 x   γ.   x
f x 1 x e
   δ.  f x x 1 lnx  
Β. Με την βοήθεια μονοτονίας και της προφανής λύσης, να λύσετε τις εξισώσεις:
α. 3
x 2x 3 0   β. 2 1 x 0   γ. x
1 x e 0
   δ. x 1 ln x 2  
Γ. Με την βοήθεια μονοτονίας και της προφανής λύσης, να λύσετε τις ανισώσεις:
α. 3
x 2x 3 0   β. 2 1 x 0   γ. x
e 1 x
  δ.
1
x ln x x ln x
2
  
Άσκηση 8η
- Μονοτονίας
Έστω οι γνησίως αύξουσες συναρτήσεις  f,g: 0, R , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση:
      h x ln f x g x  είναι γνησίως αύξουσα στο R .
Ερώτηση 2η - Ακρότατα
α) Έστω μια συνάρτηση f :AR. Πότε η συνάρτηση f έχει:
• (ολικό) μέγιστο και πότε (ολικό) ελάχιστο στο x0;
• τοπικό μέγιστο και πότε τοπικό ελάχιστο στο x0;
• ακρότατα;
β) Να δώσετε γεωμετρική ερμηνεία σε κάθε περίπτωση ξεχωριστά.
Βασική άσκηση 9η - Ακροτάτων
α. Ποια είναι τα πιθανά σημεία ακροτάτων;
β. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο ανοικτό διάστημα Δ = (α, β) τότε έχει ακρότατα;
γ. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο κλειστό διάστημα Δ = [α, β] τότε έχει ακρότατα;
Βασική άσκηση 10η - Ακροτάτων
Πώς ονομάζεται ο πίνακας που παρουσιάζει τις πληροφορίες για την μονοτονία και τα ακρότατα μιας
συνάρτησης; Να δώσετε παραδείγματα με ανάλογα πινακάκια.
Άσκηση 11η - Ακροτάτων
Δίνεται η συνάρτηση f : R R με τύπο   2
f x x 2x 2  
α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και στην συνέχεια το  f 1
β. Να δείξετε ότι  f x 1 για κάθε x  R
γ. Να βρείτε τα ακρότατα της f.
Άσκηση 12η - Ακροτάτων
Δίνεται η συνάρτηση   x x
f x e e
 
α. Να αποδείξετε ότι:  f 0 2 και  f x 2 για κάθε x  R
β. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης

Εργασία 1η
Να σχεδιάσετε τις βασικές γραφικές παραστάσεις από το σχολικό βιβλίο (σελ. 136 – 139) σε ένα
μεγάλο χαρτόνι έτσι ώστε:
Στην πρώτη στήλη να είναι οι γραφικές παραστάσεις, στη δεύτερη το πεδίο ορισμού, στην τρίτη το
σύνολο τιμών, στην τέταρτη και πέμπτη η μονοτονία και τα ακρότατα των συναρτήσεων και στην
τελευταία γράφουμε αν είναι άρτια ή περιττή.
Είναι στη κρίση του διδάσκοντα – μαθητή αν επιθυμεί να συμπληρώσει και με άλλες
πληροφορίες τα σχήματα όπως είναι πχ. ένα προς ένα, όρια στο άπειρο, ασύμπτωτες, κυρτή,
κοίλη, σημεία καμπής. Προφανώς αυτή η εργασία μπορεί να γίνει στο τέλος του δεύτερου
τετράμηνου και να περιέχει όλες τις παραπάνω πληροφορίες.
Σημείωση: Δίνεται ως ξεχωριστό φύλλο εργασίας (και αρχείο στο lisari.blogspot.gr) οι βασικές γρ.
παραστάσεις συναρτήσεων που απαιτείται συμπλήρωση των παραπάνω στοιχείων.

Μάθημα 5ο
– Συνάρτηση «ένα προς ένα» – Αντίστροφη
Ερώτηση 1η
– «Συνάρτηση 1 -1»
α) Έστω η συνάρτηση f :A  R . Πότε η f λέγεται ένα προς ένα (1 – 1); Να δώσετε βελοδιάγραμμα και τύπο.
β) Αν η συνάρτηση f :A  R είναι 1 – 1, τότε να αποδείξετε την ισοδυναμία:
   1 2 1 2f x f x x x   (αντιθεταντίστροφη πρόταση του ορισμού).
Πότε χρησιμοποιούμε την παραπάνω σχέση; Να δώστε παραδείγματα.
γ) Πότε μια συνάρτηση f δεν θα είναι 1 – 1 ; Να δώστε το βελοδιάγραμμα, την σχέση και παραδείγματα όχι
1 – 1 συναρτήσεων.
Ερώτηση 2η
– «Συνάρτηση 1 -1»
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας στις παρακάτω ερωτήσεις και να δοθεί σχήμα σε κάθε περίπτωση χωριστά:
α. Πώς ελέγχουμε αν μια γραφική παράσταση συνάρτησης είναι 1 – 1 ;
β. Αν η f είναι άρτια συνάρτηση στο [-α, α] τότε είναι 1 – 1;
γ. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα x΄x τουλάχιστον 2 φορές είναι 1 – 1 ;
δ. Αν η εξίσωση f (x) =0 έχει τουλάχιστον 2 ρίζες τότε είναι 1 – 1;
– Μονοτονία και 1 – 1 συνάρτηση
α. Αν η f είναι (γνησίως) μονότονη, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι 1 – 1
β. Το αντίστροφο της πρότασης (α) ισχύει; Αν ισχύει να το αποδείξετε. Αν δεν ισχύει να αναφέρετε ένα
παράδειγμα (αντιπαράδειγμα).
– Συνάρτηση 1 – 1
Αν η συνάρτηση f και g είναι 1 – 1 τότε να δείξετε ότι και οι επόμενες συναρτήσεις είναι 1 – 1 :
α. fog β.gof γ. fof δ. gog ε. – f
– Συνάρτηση 1 – 1
Έστω οι συναρτήσεις f,g: R Rτέτοιες ώστε η σύνθεση fog είναι 1 – 1. Να αποδείξετε ότι και η g είναι 1 – 1
Άσκηση 4η
– Συνάρτηση 1 – 1 (εξίσωση)
Έστω η συνάρτηση f : R R , η οποία για κάθε x  R ικανοποιεί τη σχέση:  fof x 4x 3 
α. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1 – 1
β. Να λύσετε την εξίσωση    f 2x f x 1 
Άσκηση 5η
– Συνάρτηση όχι 1 – 1
Να εξετάστε αν υπάρχουν 1 – 1 συναρτήσεις f,g: R R τέτοιες ώστε να ισχύουν:
         2 2 2
8f x f x 16, g x g x g 1 x    για κάθε x  R
Ερώτηση 3η – Αντίστροφη συνάρτηση
α) Έστω μια 1-1 συνάρτηση f :AR. Ποια συνάρτηση ονομάζεται αντίστροφη; Να δώσετε συμβολισμό,
τύπο και βελοδιάγραμμα.
β) Πότε δεν ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση;

γ) Να δώσετε τα βήματα που ακολουθούμε στις ασκήσεις για να βρούμε την αντίστροφη μιας «ένας προς
ένα» συνάρτησης f (με γνωστό τύπο).
α. Πώς βρίσκουμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f, αν γνωρίζουμε το τύπο της;
β. Να βρείτε το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων
1.   3
f x 1 x  2.    x
g x ln e 1  3.  h x 2 4 x   4.   3
k x x 1 
α. Ποιες είναι οι ιδιότητες της αντίστροφης συνάρτησης f;
β. Ποια είναι η σχηματική ερμηνεία μεταξύ των γραφικών παραστάσεων 1
f,f 
; Σε ποιες ασκήσεις μας
βοηθάει αυτή η πληροφορία;
Βασική άσκηση 6η – Αντίστροφη συνάρτηση (κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και 1
f 
)
Έστω η συνάρτηση f : R R με τύπο:   3
f x x 3x 3  
i. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη
ii. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και 1
f 
με την ευθεία y = x.
iii. Να λύσετε την εξίσωση   1
f f x 1 1,
    R
iv. Να λύσετε την ανίσωση   1
f f 2x μ 4 0, μ
   R
Βασική άσκηση 7η – Αντίστροφη συνάρτηση
Για την συνάρτηση f : R R να αποδείξετε ότι
α. Αν είναι 1 – 1 τότε και η αντίστροφη συνάρτηση είναι 1 – 1
β. Αν είναι γνησίως αύξουσα στο R και η αντίστροφη συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο R
γ. Αν είναι γνησίως φθίνουσα στο R και η αντίστροφη συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο R
Άσκηση 8η – Αντίστροφη συνάρτηση
Θεωρούμε την συνάρτηση   3
f x 2x 3x 6  
α. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται
β. Να λύσετε τις εξισώσεις: 1.  f x 11  και 2.  1
f x 2

γ. Να λύσετε την ανίσωση: 1.  f x 1  και 2.  1
f x 2
 

Δίνεται η συνάρτηση   x
f x 2 x 8, x   R
α. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη
β. Να λύσετε την εξίσωση  f x x
γ. Να λύσετε την εξίσωση:  1
f x x

Έστω η συνάρτηση   3
f x x x 1, x   R
α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R
β. Να δείξετε ότι ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της f και να βρείτε τον αριθμό  1
f 1

γ. Να λύσετε την εξίσωση:    1
f x f x

δ. Να λύσετε την ανίσωση:   fof x 1
Έστω η συνάρτηση f : R R, οποία για κάθε x  R ικανοποιεί τη σχέση   f f x 1 x 
Να αποδείξετε ότι:
α. Η f είναι 1 – 1
β. Το σύνολο τιμών της f είναι το R
γ.    1
f x f x 1
  για κάθε x  R
Έστω οι συναρτήσεις    f x x 4, g x 1 x   
α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f, g
β. Να ορίσετε τις συναρτήσεις: 1. 1
g
2. 1
fog
και 3.
f
g
Ένα ιδιαίτερο επαναληπτικό θέμα από 1 – 1 και αντίστροφη συνάρτηση
Έστω η συνάρτηση  
x
f x
1 x


α. Βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1 – 1
γ. Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της f
δ. Βρείτε την συνάρτηση:
2018
fofo...of

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.4 - 1.5
Μάθημα 6ο
– Όριο συνάρτησης στον πραγματικό αριθμό x0 (Μορφή: 0/0)
Ερώτηση 1η
– «Όριο συνάρτησης»
α) Τι ονομάζουμε όριο της f(x) όταν το x τείνει στο x0; Να δώσετε διατύπωση, συμβολισμό και σχήμα.
β) Τι ονομάζουμε πλευρικά όρια της f στο x0; Να δώσετε διατύπωση, συμβολισμό και σχήμα.
γ) Πότε υπάρχει το όριο της f(x) όταν το x τείνει στο x0 και πότε δεν υπάρχει; Δώστε τύπο και παραδείγματα και
στις δύο περιπτώσεις.
δ) Αν P(x) και Q(x) είναι πολυώνυμα του x, τότε να αποδείξετε ότι:
   
 
 
 
 0 0
0
0 0x x x x
0
P x P x
lim P x P x , lim , x 0
Q x Q x 
  
Ερώτηση 2η
– «Ιδιότητες ορίων»
Να γράψετε και να περιγράψετε τις ιδιότητες των ορίων και να δώσετε σε κάθε περίπτωση και από ένα
παράδειγμα.
– Ύπαρξη ορίων
Να σημειώσετε τις παρακάτω προτάσεις αν είναι Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ). Στην περίπτωση που είναι Σωστή, να
γίνει απόδειξη της πρότασης ενώ στην περίπτωση που είναι Λάθος να δώσετε ένα αντιπαράδειγμα.
α. Αν τα όρια    
o ox x x x
f x , g xlim lim
 
υπάρχουν και είναι πραγματικοί αριθμοί τότε πάντα και το     ox x
f x g xlim


υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός.
β. Αν το     ox x
f x g xlim

 υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός τότε πάντα και τα όρια    
o ox x x x
f x , g xlim lim
 
υπάρχουν και είναι πραγματικοί αριθμοί.
γ. Αν το  
ox x
f xlim

υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός και το  
ox x
g xlim

δεν υπάρχει, τότε πάντα και το
    ox x
f x g xlim

 δεν υπάρχει.
δ. Αν τα  
ox x
f xlim

,  
ox x
g xlim

δεν υπάρχουν, τότε πάντα και το     ox x
f x g xlim

 δεν υπάρχει.
ε. Αν για τις συναρτήσεις f,g : R R και α πραγματικό αριθμό ισχύει ότι:     x α
f x g x 0lim

  και
    x α
f x g x 0lim

  τότε πάντα θα ισχύει:    x α x α
f x g x 0lim lim
 
 
Ερώτηση 3η
– Κριτήριο παρεμβολής (Κ. Π)
α) Να διατυπώστε το κριτήριο παρεμβολής. Να δοθεί και η γεωμετρική του ερμηνεία. Πότε και πως θα το
εφαρμόζουμε;
β) Αν για κάθε x κοντά στο x0 ισχύει    f x g x και  
ox x
f xlim

  να δείξετε ότι  
ox x
g xlim

 

γ) Αν για κάθε x κοντά στο x0 ισχύει    f x g x και  
ox x
g xlim

  να δείξετε ότι  
ox x
f xlim

 
Σημείωση: Για το σχολικό έτος 2016 – 18 οι προτάσεις (β) και (γ) χρησιμοποιούνται ΧΩΡΙΣ απόδειξη.
Υπενθύμιση: Ιδιότητες απολύτων
x x , ά
x x x , ά x
      
  
     
   
R
R
Άσκηση 2η
Έστω συνάρτηση f τέτοια ώστε   2
6x f x x 9   για κάθε x R . Να υπολογίσετε τα εξής:
α)  3f β)  x 3
f xlim

γ)
 
x 3
f x 18
x 3
lim



δ)
 
 x 3
2
f x 2x
f x 18
lim



Άσκηση 3η
A) Έστω συνάρτηση f τέτοια ώστε   2
f x 2x x  για κάθε x  R . Να υπολογίσετε τα εξής:
α)  f 0 β)  x 0
f xlim

γ)
   
x 0
f x f 0
x 0
lim



Άσκηση 4η
Έστω συνάρτηση f τέτοια ώστε
 f x 1
x x 1
x

   για κάθε *
xR . Να υπολογίσετε το όριο  x 0
f xlim

Άσκηση 5η
Αν  x 0
f x 0lim

 τότε με την βοήθεια του Κριτηρίου Παρεμβολής να αποδείξετε ότι  x 0
f x 0lim

 .
Ερώτηση 4η
– Τριγωνομετρικά όρια
α. Να συμπληρώσετε τα κενά:
ox x
ημx ..............lim

 και
ox x
συνx .......lim


β. Να συμπληρώσετε τα κενά:
x 0
x
lim
x

= ………. και
x 0
x 1
lim
x
 
=………..
γ. Σωστό ή Λάθος: ημx x , για κάθε x R . Πότε ισχύει η ισότητα; Άρα τι συμπεραίνετε αν
    ημ f x x f x x   ή     ημ 2f 1 3 3 2f 1   ;
Ερώτηση 5η
– Όριο σύνθετης συνάρτησης – Αλλαγή μεταβλητής
Πως βρίσκουμε το όριο μιας σύνθετης συνάρτησης; Να δοθεί ο τύπος, τα βήματα και να λυθούν τα επόμενα
παραδείγματα.
Άσκηση 6η
Να βρεθούν, αν υπάρχουν, τα όρια: 1)  ημ x 1
x 1
lim 

2) 3 x
e
x 3
lim 


Άσκηση 7η
Αν
 f x
2
x 0 x
lim 

να υπολογίσετε τα όρια:
α)
 f x 1
x 1 x 1
lim

 
β)
 f 2x
x 0 x
lim


γ)
 
 x 0
f x ημx
lim
f x 1 x

  
Μεθοδολογία 1η – Πολλαπλού τύπου εύρεση ορίων
Πώς βρίσκουμε τα όρια σε συναρτήσεις πολλαπλού τύπου;
Άσκηση 8η
Υπολογίστε τα παρακάτω όρια, αν υπάρχουν:
1)        
2
x 1
, x 1
f x , f x , f x , αν f x x 1
x 0 x 2 x 1
ln x , x 1
lim lim lim
 

 
    
2)    
4
3
x 16
, x 2
x 8
f x , αν f x
x 2 x 7 3
, x 2
x 2
lim
 

 
 
    
3)    
3
x x 2
, x 1
f x , αν f x x 1
x 1
4 , x 1
lim
  

 
  
Μεθοδολογία 2η – Απροσδιόριστη μορφή 0/0
Ποια βήματα ακολουθούμε όταν το όριο είναι της μορφής 0/0;
Άσκηση 9η
Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια:
1)
3 2
2
x 5x 3x 1
x 1 x x 2
lim
  
  
2)
x 3 2
x 1 x 1
lim
 
 
Μεθοδολογία 3η – Απόλυτη τιμή
Τι κάνουμε όταν στο όριο που θέλουμε να υπολογίσουμε υπάρχει απόλυτη τιμή;
Άσκηση 10η
Να βρείτε τα παρακάτω όρια:
i)
2
x 2 3 x 3
x 1 2x 3 1
lim
    
 
   
 
ii)
x
x 0 x
lim

iii)
x 1
x 1 x 1
lim

 
iv)
2
x 1 x 1 3 x x 4
x 1 x 5 2
lim
      
 
    

Μεθοδολογία 4η – Τριγωνομετρικά όρια
Πώς υπολογίζουμε όρια που περιέχουν τριγωνομετρικούς αριθμούς;
Άσκηση 11η
Να υπολογίστε τα παρακάτω όρια.
1) (Τριγωνομετρικές ταυτότητες – Βασικά τριγωνομετρικά όρια)
i)
ημx xσυνx
x 0 x
lim


ii)
συνx 1
x 0 ημx
lim


iii)
2013
ημ x
x 0 x
lim

iv)
x 0 2
1 συνx
x
lim


(βασική άσκηση)
2) (Αλλαγή μεταβλητής – τριγωνομετρικά όρια)
i)
 ημ αx
, α 0
x 0 x
lim 

ii)
 
x 0
συν αx 1
x
lim


iii)
 ημ πx
x 1 x 1
lim
 
3) (Κριτήριο παρεμβολής και τριγωνομετρικά όρια )
i)
 
 
 
 0 0
f x ημx f x
, όπου 0
x x x xg x g x
lim lim
 
   
 
ii) v *1
x ημ , v
x 0 x
lim
  
      
n (Βασική άσκηση)
Μεθοδολογία 5η – Βοηθητική συνάρτηση
Όταν γνωρίζουμε ένα όριο και αναζητούμε κάποιο άλλο όριο τι κάνουμε; Πότε θέτουμε βοηθητική συνάρτηση;
Άσκηση 12η
Αν για την συνάρτηση f : R R ισχύει 2
x 1
f(x) x
lim
x 1
 
 
  


να βρεθούν τα εξής όρια:
α)  f x
x 1
lim

β)
 
 
f x x
x 1 f x 1
lim

 
γ)
2
2x 1
f (x) f(x) 2
lim
f (x) 3 2
 
 
   
 
 
 
Μεθοδολογία 6η – Παραμετρικά όρια
Ποια όρια ονομάζουμε παραμετρικά;
Άσκηση 13η
Για την συνάρτηση f : R R με  
ax 3 ,x 1
f x ,a
2ax 3 x 1
 
 
 
R γνωρίζουμε ότι υπάρχει το  x 1
f xlim

,
τότε να υπολογισθούν:
α) a και β)  x 1
f xlim

Άσκηση 14η
Αν για την συνάρτηση f : R R με

 
ax b ,x 1
f x
2ax 3b 1 x 1
 
 
  
γνωρίζουμε ότι  x 1
f x 4lim

 να βρεθούν και οι πραγματικοί αριθμοί a,b.
Άσκηση 15η
Αν
4 3
2
x ax 2b
1
x 1 x 1
lim
 
 
 
να υπολογίσετε τους πραγματικούς αριθμούς a,b
Άσκηση 16η
2
2
(λ 1)x x 2
f(x)
x 1
  


και
2
x 2x μ
g(x)
x
 
 . Να βρείτε τις τιμές των λ,μR για
τις οποίες υπάρχουν στο R τα όρια
x 1 x 0
limf(x) και limg(x)
 
και στη συνέχεια να τα υπολογίσετε.

Μάθημα 7ο
– Μη πεπερασμένο όριο στο x0 (α/0, με α 0)
Ερώτηση 1η
– « Μη πεπερασμένο όριο »
α) Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f έχει στο x0 όριο το + ή -; Να δοθεί και σχήμα
β) Αν  
ox x
f xlim

 +  ή -  τότε το όριο υπάρχει στο x0 ;
Ερώτηση 2η
– «Ιδιότητες μη πεπερασμένων ορίων»
Γράψτε και περιγράψτε τις ιδιότητες των μη πεπερασμένων ορίων και δώστε παραδείγματα στο καθένα
ξεχωριστά.
Ερώτηση 3η
– «Απροσδιόριστη μορφή»
α. Τι ονομάζουμε απροσδιόριστη μορφή (ΑΜ);
β. Τι κάνουμε όταν σ’ ένα όριο προκύψει απροσδιόριστη μορφή;
γ. Να αναφέρετε τις κυριότερες απροσδιόριστες μορφές
Ερώτηση 4η
–«Άθροισμα - διαφορά μη πεπερασμένων ορίων»
Αν γνωρίζουμε ότι τα όρια    
o ox x x x
f x , g xlim lim
 
υπάρχουν και είναι πραγματικοί αριθμοί ή άπειρο τότε τι ισχύει
για τα όρια: α)     ox x
f x g xlim

 β)     ox x
f x g xlim

 ;
Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα.
Ερώτηση 5η
– «Γινόμενο – πηλίκο – δύναμη μη πεπερασμένων ορίων»
Αν γνωρίζουμε ότι τα όρια    
o ox x x x
f x , g xlim lim
 
υπάρχουν και είναι πραγματικοί αριθμοί ή άπειρο τότε τι ισχύει
για τα όρια: α)     ox x
f x g xlim

 β)
 
 ox x
f x
g x
lim

 
  
 
γ)   ox x
ν
f xlim

;
Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.
Αν στο x0 R ,
το όριο της f είναι:
α>0 α<0 α>0 α<0 0 0 + + - - + -
και το όριο της g είναι:
+ + - - + - + - + - 0 0
τότε το όριο της f·g είναι:
το όριο της f / g είναι:
το όριο της f n
, n∈N*
- - -
Αν στο x0 R
το όριο της f είναι: α R α R  -  -
και το όριο της g είναι:  -  - - 
τότε το όριο της f + g είναι:
τότε το όριο της f – g είναι:

Κατηγορία 1η
Ασκήσεων α/0 «σχήμα»
Άσκηση 1η
Να βρείτε τα όρια (αν υπάρχουν)    
o ox x x x
+ -
f x , f xlim lim
 
, στα παρακάτω σχήματα
α. x0 = 0
β. x0 = 0 γ) x0
y
x

1
2
O x
y
Ασκήσεων α/0 – «Σταθερό πρόσημο παρονομαστή κοντά στο x0»
Άσκηση 2η
α.
2
x 1
x 5x 6
lim
x 1
 

β. 2x 3
3x 2
lim
(x 3)
 

γ.
x 0
x
4 2
e 5ημx
x 2011x
lim



δ.
 
x 0 4
συν 2x 3
4 (x 1) x
lim


  
ε.
x 0
x 1
x
lim


Ασκήσεων α/0 – «Μη σταθερό πρόσημο παρονομαστή κοντά στο x0»
Άσκηση 3η
α.
x 1
2
x x 2
x 1
lim

 

β.
x 1 2
2 1
1 x x 1
lim

 
 
  
γ.
x 0
2
3
1
x 2
x
lim

  
  
  
Ασκήσεων α/0 – «Τριγωνομετρικά όρια»
Άσκηση 4η
Να βρείτε τα όρια:
α.
x 0
x 1
ημx
lim


β.
x
π
2
x 2
συνx
lim


γ.
x 0
x 1
συνx 1
lim



δ.
x
π
2
εφxlim

ε.
x 0
σφxlim

στ.
x
3π
2
συνx 1
ημx 1
lim



O
x0 xx
f(x)
x
y
O x
y
α>0
O
x
y
α<0

Ασκήσεων α/0 – «Παραμετρικά όρια»
Άσκηση 5η – Παραμετρικά όρια
Να βρείτε τα παρακάτω όρια για τις διάφορες τιμές των πραγματικών αριθμών λ και μ:
α.
 x 1 4
λx
x 1
lim


β.
x 1
2
λx 1
x 1
lim



γ.
x 1
λx
x 1
lim
 
ε.
 x 1 2
λx μ
x 1
lim



Άσκηση 6η – Παραμετρικά όρια
2
2
(λ 1)x x 2
f(x)
x 1
  


και
2
x 2x μ
g(x)
x
 

α. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ, αν υπάρχει το όριο
x 1
limf (x)

β. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού μ, αν υπάρχει το όριο
x 0
limg(x)

γ. Στη συνέχεια να υπολογίσετε τα παραπάνω όρια
δ. Να βρείτε τα όρια
x 1
limf (x)

και
x 0
limg(x)

για τις διάφορες τιμές των πραγματικών αριθμών λ, μ.
Ασκήσεων α/0 – «Βοηθητική συνάρτηση»
Άσκηση 7η
Να βρείτε το
x 1
limf (x)

, όταν:
α.
3
x 1
x 2
lim
f(x)

  β.
x 1
f (x) 3
lim
x 1
 
  
 
γ. 3
x 1
lim[f(x)(3x 5)]

  
Άσκηση 8η
(γενική με σχήμα)
Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Να υπολογίσετε, αν
υπάρχουν τα όρια:
 
 
 
 
x 0
x 0
x 1
1
x
2
) limf x
1
)lim
f x
ημx
)lim
f x
2x
)lim
2f x 3









Η άσκηση που ξεχωρίζει (Θέμα εξετάσεων 2017)
Να υπολογίζετε τα όρια
α)
x 0 x
1
e x 1
lim
  
β)
x 1
x 1
ln x x 1
lim


 
γ)
x
2
1 x
ημx
lim


 
δ)
x 0
x x
x ημx
lim




Μάθημα 8ο
– Όρια συνάρτησης στο άπειρο
Ερώτηση 1η
– « Όρια συνάρτησης στο άπειρο »
α) Έστω συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη στο διάστημα  α, . Πότε θα λέμε ότι η συνάρτηση f έχει όριο:
1. R 2.  3.  όταν το x τείνει  ;
β) Να διατυπώσετε τα ανάλογα συμπεράσματα όταν το x τείνει στο 
Ερώτηση 2η
– «Ιδιότητες ορίων όταν το x τείνει στο άπειρο»
Να γράψετε και να περιγράψετε τις ιδιότητες των ορίων όταν το x τείνει στο άπειρο και να δοθεί σε κάθε
περίπτωση και ένα παράδειγμα.
(σχήμα)
Άσκηση 1η
Βρείτε τα όρια (αν υπάρχουν)    x x
f x , f xlim lim
 
, στα παρακάτω σχήματα
 xfy 
O x
y
Cf
f(x)
(a)
O

+x
x
y
O x
y
y=f(x)

f(x)
(α)
O x
x
y
Cf
( Πολυωνυμική συνάρτηση)
Πώς βρίσκουμε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση είναι πολυωνυμική; Να δώσετε τον τύπο και να τον
αποδείξετε.
O x
y
α>0
O
x
y
α<0

Άσκηση 2η
α.  2
x
lim x 5x 3

  β.  4
x
lim 1 x x

 
γ.  x
3 2
x 5λx 6μx 2011ρ , λ,μ,ρlim

   R δ.  x
2
x λx 1 ,λlim

  R
(Ρητή συνάρτηση)
Πώς βρίσκουμε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση είναι ρητή; Δώστε τον τύπο και αποδείξτε το.
Άσκηση 3η
Βρείτε τα όρια:
α.
x
2
x x 2
x 1
lim

 

β.
x 2
4x 3
x x 1
lim

 
 
  
γ.
x
5
3 5
3x x 2
1 x x
lim

 
 
Άσκηση 4η (Βασική άσκηση)
Έστω οι πολυωνυμικές συναρτήσεις P(x), Q(x) με βαθμό ν, μ αντίστοιχα, τότε να αποδείξετε τα εξής:
1.
 
 x
*
0 ,ν μ
P x
,ν μ
Q x
,ν μ
lim



  
  
R 2.
 
 x
,ν μP x
,ν μQ x
lim

 
 
 
R
(απόλυτη τιμή)
Πώς βρίσκουμε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση έχει απόλυτες τιμές;
Άσκηση 5η
α.
x x
x και xlim lim
 
β.  x
x 1 2 x 3 7lim

   
γ.  x
x 1 2 x 3 7lim

    δ
2
2x
| x 5x | x
lim
x x 2
 
 
ε.
2
x
| x x | 3
lim
x 2011
 

(άρρητες συναρτήσεις)
Πώς βρίσκουμε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση είναι άρρητη; Δικαιολογήστε τα παρακάτω βασικά όρια
1.
x
xlim

  και 2.
x
xlim

 
Άσκηση 6η
α.
2
x
lim 4x x 1

  β.
2
x
lim 9 10x x

 
γ.
2 2
x
lim x 1 x x( )
   δ.
2 2
x
lim x 1 x x( )
  

ε.
2
x
lim ( x 5 x)

  στ.
2
x
x 12x 1
lim
x 3
 

ζ.
2
2x
x x 1
lim
x x 1
 
 
η.
2
2x
x x 1
lim
x x 1
 
 
θ.
2
2x
x 1 5 x
lim
3x 1 2x
  
 
1ος
ισχυρισμός: Δεν υπάρχει περίπτωση το όριο
x x
lim f x ή lim f x να βγάζει μείον άπειρο! Συμφωνείτε; Να
δικαιολογήσετε την απάντησή σας!
2ος
ισχυρισμός: Αν στα παραπάνω όρια η συνάρτηση f είναι πολυωνυμική τότε σε κάθε περίπτωση το όριο θα ισούται με  .
Συμφωνείτε; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας!
(Πολλαπλού τύπου)
Πώς βρίσκουμε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση είναι πολλαπλού τύπου;
Άσκηση 7η
Να βρείτε τα όρια    x x
lim f x , lim f x
 
για τις παρακάτω περιπτώσεις:
α.
2
x , x 1
f (x)
5x, x 1
 
 

β. 2
2x, x 1
f(x)
x 1, x 1
  
 
  
γ.  
x 3
,x 2
f x x 2
1 ,x 2


 
  
(εκθετικές συναρτήσεις)
Πώς βρίσκουμε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση είναι εκθετική; Να δικαιολογήσετε τα παρακάτω βασικά
όρια:
x x
x x
α , α 0lim lim
 
   για α > 1 και
x x
x x
α 0, αlim lim
 
   για 0 < α < 1
Άσκηση 8η
α. x
x
lim 3

και x
x
lim 3

β. x
x
lim e

και x
x
lim e

γ.
x
x
2
lim
e
 
 
 
στ.
x x
x xx
3 4
lim
3 4
 
 
 
ζ.
x x
x xx
3 4
lim
3 4
 
 
 
(λογαριθμικές συναρτήσεις)
Πώς βρίσκουμε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση είναι λογαριθμική; Να δικαιολογήσετε τα παρακάτω όρια:
1.
x x
ln x , log xlim lim
 
    και 2.    x 0 x 0
ln x , log xlim lim
 
   
Γιατί δεν υπάρχουν τα όρια στο  ; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Άσκηση 9η

α.
x
1
lim
lnx
β.
x 0
1
lim
ln x

γ.
x
2ln x 1
lim
ln x 1


(Τριγωνομετρικά όρια) – (σε συνδυασμό με τις κατηγορίες 11 και 12)
Πώς βρίσκουμε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση είναι τριγωνομετρική; Να δικαιολογήσετε γεωμετρικά
γιατί τα όρια
x
ημxlim

και
x
συνxlim

δεν υπάρχουν.
Άσκηση 10η
α.
x
ημx
lim
x
β.
x
συνx
lim
x
γ. νx
ημx
lim
x
δ.
ν
x
ημ x
lim
x
ε. 2x
xημx 1
lim
x συνx


(παραμετρικά όρια)
Πώς βρίσκουμε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση έχει παραμέτρους; Να δικαιολογήσετε τα παρακάτω
βασικά όρια:
1.  x
,λ 0
λx Α.Μ ,λ 0
,λ 0
lim

 

 
  
και 2.  x
,λ 0
λx Α.Μ ,λ 0
,λ 0
lim

 

 
  
Άσκηση 11η
α.
2
x
lim ( x x 3 μx)

   β.
3 2
2x
(μ 1)x 2μx 10x 3 μ
lim
μx 5x 6 μ
    
  
γ.
2
x
lim ( x 5x 7 λx)

  
Άσκηση 12η
Αν
2
x 1
f(x) αx β
x 1

  

να βρείτε τις τιμές των α,βR για τις οποίες ισχύει
x
lim f(x) 0


Άσκηση 13η
α) Να προσδιορίσετε το R, ώστε το
2
x
lim ( x 5x 10 x 1)

    να υπάρχει στο R . Στη συνέχεια
να βρείτε και το όριο.
β) Για τις διάφορες τιμές του R να υπολογίσετε το
2
x
lim ( x 5x 10 x 1)

   
Άσκηση 14η
Για α, β πραγματικούς αριθμού να βρείτε τα όρια    x x
f x , f xlim lim
 
όπου
2αx β, x 3
f(x)
αx 3β, x 3
 
 
 
(αλλαγή μεταβλητή)
Πώς αλλάζουμε μεταβλητή στα όρια όταν το x τείνει στο άπειρο;

Άσκηση 15η
α.
x
1
lim xημ
x
 
 
 
β.  x
lim ημ x 1 x , x 0

   γ.
2
x x
x
lim e 

δ.  2
x
lim ln x x

 ε.   2x
x
lim ln x 1 ln
x 1
  
      
στ.    2
x
lim ln x ln x 1

   
(Κριτήριο παρεμβολής)
Ισχύει το κριτήριο παρεμβολής στα όρια όταν το x τείνει στο άπειρο; Δώστε τον τύπο. Σε ποια κατηγορία
ασκήσεων θα το εφαρμόζουμε κυρίως;
Άσκηση 16η
Δίνεται συνάρτηση   2
xημx
f x , x
x 1
 

R
α. Να αποδείξετε ότι:  2 2
x x
f x
x 1 x 1
  
 
για κάθε x  R
β. Να βρείτε το όριο:  x
lim f x

και  x
f xlim

γ. Να βρείτε το όριο
 
x
f x
lim
x
 
  
 
Άσκηση 17η
Έστω η συνάρτηση f : R R με    2 2
f x x 1 x ημ x   
α. Να αποδείξετε ότι:   2
1
f x
x 1 x

 
β. Να υπολογίσετε το όριο:  x
f xlim

(Βοηθητική συνάρτηση)
Πότε παίρνουμε βοηθητική συνάρτηση; Ποια συνάρτηση θέτουμε ;
Άσκηση 18η
Έστω η συνάρτηση f : R Rγια την οποία ισχύει   x
2
f x x 1 1lim

   .
Να υπολογίσετε τα όρια:
α.  x
f xlim

β.
 
x
f x
x
lim

γ.
 
 x
2f x x
f x 3x
lim




Μάθημα 9ο
– Συνέχεια – Βασικά θεωρήματα συνέχειας
Ερώτηση 1η
– « Ορισμός συνέχειας στο x0»
α) Έστω συνάρτηση f :AR, πότε θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού της;
β) Θα αναζητάμε συνέχεια σε σημεία εκτός του πεδίου ορισμού της;
γ) Πότε μια συνάρτηση f : R R δεν θα είναι συνεχής στο 0x A ;
Ερώτηση 2η
– «Συνεχής συνάρτησης – βασικές συνεχείς συναρτήσεις»
α) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής (στο πεδίο ορισμού της);
β) Αναφέρετε βασικές συναρτήσεις που είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού της.
γ) Τι ισχύει για τις πράξεις συνεχών συναρτήσεων; Αναφέρετε την ανάλογη πρόταση.
Ερώτηση 3η
– «Συνέχεια σε διάστημα»
α) Πότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ανοικτό διάστημα (α, β) ;
β) Πότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β];
πχ. Δίνεται η συνάρτηση  
2x 3, x 1
f x 1
,x 1
x
 

 

.
Σωστό ή Λάθος;
α) Η f είναι συνεχής στα διαστήματα  ,1 και στο  1, .
β) Δεν είναι συνεχής συνάρτηση.
Δικαιολογήστε την απάντησή σας.
Ερώτηση 4η
– «Πράξεις συνεχών συναρτήσεων – Σύνθεση συνεχών συναρτήσεων»
α) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο 0x τότε γράψτε και ποιες πράξεις των f, g είναι συνεχείς στο 0x ;
Με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το 0x .
β) Πότε θα λέμε ότι η συνάρτηση g o f είναι συνεχής στο 0x ;
Άσκηση 1η
Δίνεται η συνάρτηση  
x x 1
,0 x 1
x 1f x
x 2 2
x 1
x 1
 
 
  
   

α) Να υπολογίσετε, αν υπάρχει, το όριο  x 1
f xlim

β) Να υπολογίσετε την τιμή  f 1 και να εξετάστε αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x 1
γ) Να εξετάστε αν η f είναι συνεχής συνάρτηση.
Άσκηση 2η
Να εξηγήσετε γιατί είναι συνεχείς οι παρακάτω συναρτήσεις:
α.   3 2 2
f x ln x 3ln x ln x 2, x 0    
β.   2
2 x 3
f x , x
x 1
 
 
 
R
γ.   3 2
f x 2 x 3 x x 2, x       R
δ.   x
f x x , x 0
 
ε.   2 x 3
f x e , x 
 R
Άσκηση 3η
Αν για τη συνάρτηση f : R R ισχύει:   2
f x x για κάθε x  R τότε:
α. Να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο 0x 0 .
β. Να εξεταστεί αν η συνάρτηση  
 f x
,x 0
g x x
0 ,x 0


 
 
είναι συνεχής στο 0x 0
Άσκηση 4η
Δίνεται η συνάρτηση f : R R με
 f 1 3  και
 2
x 1
x 2x f x
lim 2017
x 1
 


Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0
x 1 .
Άσκηση 5η
Αν η f είναι συνεχής στο 0
x 0 και ισχύει
   
2x 0
xf x ημ 2017x
lim 1
x 2ημx



να βρείτε το σημείο τομής της
γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τον άξονα y.
Άσκηση 6η
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση

 
     
2
2 2 5 x
x 8x 16 ,0 x 5
f x
β ln x 5 e 2 1 e ,x 5
    
 
       
α. Να υπολογιστούν τα ,β R
β. Να υπολογίζετε το όριο  x
lim f x

Άσκηση 7η
Έστω   2
f x αx βx, αβ 0   και    g x f ημx
α. Να βρείτε τη συνάρτηση g
β. Είναι η συνάρτηση g συνεχής; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
γ. Να βρείτε το όριο
 
x 0
g x
lim
x
δ. Να δείξετε ότι
 
 x 0
f 3x
lim 3
f x

Άσκηση 8η
Έστω η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει:
    2
x 1 f x x x 2     για κάθε x  R
και η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο  A 1,3 .
α. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς ,β
β. Να δείξετε ότι  f x x 2, x  R
γ. Να βρείτε το όριο  
 
2
x
1
lim f x
f x
 
  
 
Άσκηση 9η
Δείτε η συνάρτηση  
4 3
2
x αx 2β
, x 1
f x x 1
1, x 1
  

  
  
, όπου α, β πραγματικοί αριθμοί. Αν η f είναι συνεχής
συνάρτηση, να βρείτε τα α, β.
Ερώτηση 5η
– « Θεώρημα Bolzano»
α) Να διατυπώσετε το Θεώρημα Bolzano. Δώστε την γεωμετρική ερμηνεία.
β) Το θεώρημα Bolzano είναι θεώρημα ύπαρξης ή εύρεσης ρίζας εξίσωσης; Πόσες ρίζες μας εξασφαλίζει;
γ) Γράψτε ισοδύναμες εκφράσεις που μας παραπέμπουν στο Θεώρημα Bolzano
δ) Το αντίστροφο του Θεωρήματος Bolzano ισχύει;
Ανέκδοτο: Πόσα παιδιά έχει ο Βοlzano?

– « Μία τουλάχιστον λύση στο (α, β) - [α, β]»
α) Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον λύση στο (α, β) ποια βήματα
ακολουθούμε;
πχ. Έστω η συνεχής συνάρτηση  f : α,β  R , ώστε:        f α f β αβ αf β βf α    . Να αποδείξετε ότι:
1.      f α α f β β 0   2. Η εξίσωση  f x x έχει μία τουλάχιστον λύση στο  α,β
β) Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον λύση στο [α, β] ποια βήματα
πχ. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει    f ημx f συνx 1  για κάθε x  R .
Να αποδείξετε ότι: 1.    f 0 f 1 1  2. Η εξίσωση  f x x έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο  0,1
– « Μία το πολύ λύση – Μία ακριβώς λύση στο (α, β)»
α) Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει μία το πολύ λύση στο (α, β) ποια βήματα ακολουθούμε;
β) Βασική άσκηση: Έστω συνάρτηση f γνησίως μονότονη στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) = 0
έχει μία το πολύ λύση στο (α, β).
πχ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = x5
+3x +1 έχει μία το πολύ λύση στο R .
γ) Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει μία ακριβώς λύση στο (α, β) ή [α, β] ποια βήματα
πχ. Δίνεται η συνάρτηση   3
f x x 3x λ   με x  όπου λ πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε: λ 4 . Να
αποδείξετε ότι, η εξίσωση  f x 0 έχει μία ακριβώς λύση στο διάστημα  1,1
– « Δύο τουλάχιστον ή το πολύ ή ακριβώς λύσεις στο (α, β)»
α) Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει δύο τουλάχιστον λύσεις στο (α, β) ποια βήματα
πχ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2
συνx xημx x  έχει δύο τουλάχιστον λύσεις στο  π,π
β) Αν θέλουμε να αποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει δύο το πολύ λύσεις στο (α, β) τότε τι κάνουμε;
πχ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση         α x μ x ν β x λ x ν γ x λ x μ 0         όπου α, β, γ, λ, μ, ν
πραγματικοί αριθμοί, έχει το πολύ δύο λύσεις.
γ) Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει δύο ακριβώς λύσεις στο (α, β) ποια βήματα ακολουθούμε;
πχ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση         α x μ x ν β x λ x ν γ x λ x μ 0        
όπου α, β, γ > 0 και λ < μ < ν έχει δύο ακριβώς άνισες λύσεις στο διάστημα (λ, ν)

– « Διατηρεί σταθερό πρόσημο»
α) Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο ποια μέθοδο ακολουθούμε και
ποιο Θεώρημα;
β) Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα Δ και  f x 0 για κάθε x , τότε η f διατηρεί σταθερό
πρόσημο στο διάστημα Δ.
γ) Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα Δ και 1 2,  διαδοχικές ρίζες της εξίσωσης f(x) = 0, τότε η
συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα  1 2,  .
πχ. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει    2 2
f x 2f x x  για κάθε x  R και είναι
 f 0 2 .
Α) 1. Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R
2. Να βρείτε το πρόσημο της f
Β) Έστω η συνάρτηση    g x f x 1 ,x  R τότε
1. Να αποδείξετε ότι  g x 0 ά x    R
2. Βρείτε το πρόσημο της g
3. Βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f και g.
πχ. Έστω η συνάρτηση f : R Rμε  f x 0 για κάθε x  R και ισχύει      f f f 0      για
οποιοσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α , β, γ. Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι συνεχής στο R
β) Πως βρίσκουμε το πλήθος ριζών μιας εξίσωσης f(x) = 0 και πως την μελετάμε ως προς τα πρόσημα;
πχ. Έστω συνάρτηση  
π
f x ημ2x 2συνx, x 0,
2
 
   
 
1) Να λύσετε την εξίσωση  f x 0
2) Να μελετήσετε το πρόσημο της συνάρτησης f
Άσκηση 10η
(Θέμα Γ / Πανελλαδικές εξετάσεις 2016)
α) Να λύσετε την εξίσωση   
2x 2
e x 1= 0, x R
Μονάδες 4
β) Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f : R R που ικανοποιούν την σχέση   
2
2 2x 2
f (x) = e x 1
για κάθε x R και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
Μονάδες 8

Άσκηση 11η
2
2
x 2x 1 , 1 x 1
f x
3x 6x 1 ,1 x 2
     
 
   
α. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο διάστημα [-1, 2]
β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει δύο ακριβώς λύσεις στο (-1, 2)
Άσκηση 12η
Έστω η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει  2 2
f x x 5x  για κάθε xΔ = (0,5).
Να αποδείξετε ότι η f:
α) Δεν έχει ρίζες στο διάστημα Δ
β) Έχει σταθερό πρόσημο στο διάστημα Δ
γ) Να βρεθεί ο τύπος της f στο Δ, αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι  f 1 2  .
Ερώτηση 6η
– « Θεώρημα Ενδιαμέσων τιμών (Θ.Ε.Τ)»
α) Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών.
β) Να δώσετε την γεωμετρική ερμηνεία του ΘΕΤ.
γ) Ποια είναι η σχέση του ΘΕΤ με το Θεώρημα του Bolzano;
δ) Αν ισχύει το Θ.Ε.Τ για την συνάρτηση f στο διάστημα [α, β] και είναι γνησίως μονότονη σ’ αυτό τότε τι
συμπεραίνουμε;
ε) Αν στο Θ.Ε.Τ ισχύει    η f α ,f β   τότε η ρίζα x0 τέτοια ώστε f(x0) = η ανήκει στο κλειστό διάστημα [α, β];
στ) Ποια είναι τα συμπεράσματα του Θ.Ε.Τ; Δηλαδή,
α) Τι ισχύει για την εικόνα μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης;
β) Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής και 1 – 1 τι συμπεραίνουμε;
πχ. Έστω η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο [α, β] με f (α) =0 και f (β) =1. Να αποδείξετε ότι:
1)    f α ln 2 f β  2) Υπάρχει ένα τουλάχιστον  0x α,β ώστε  0f x ln 2
πχ. Έστω συνάρτηση f : R ; ώστε να είναι  f 1 1 και  f 2 2 . Να αποδείξετε ότι:
1)    f 1 2 f 2  2) Η f δεν είναι συνεχής
Ερώτηση 7η
– Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής (ΘΜΕΤ)
α) Να διατυπώσετε και το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής.
β) Να δώσετε την γεωμετρική ερμηνεία του ΘΜΕΤ.
γ) Με ποιο θεώρημα «συνεργάζεται» καλύτερα το ΘΜΕΤ; (Δείτε παρακάτω την βασική άσκηση)
δ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β], τότε ποιο είναι το σύνολο τιμών της; Να δώσετε
γεωμετρική ερμηνεία.

Βασική άσκηση: Έστω η συνεχής συνάρτηση  f : α,β  R με 0 α β  . Αν m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη
τιμή της f, να αποδείξετε ότι:
1)
   αf α βf β
m Μ
α β

 

2) Υπάρχει ένα τουλάχιστον  ξ α,β τέτοιο ώστε:  
   αf α βf β
f ξ
α β



Ερώτηση 8η
– « Σύνολο τιμών συνεχούς συνάρτηση – Εύρεση σύνολο τιμών (γ΄ μέθοδος)»
α) Αν μια συνεχής συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο [α, β] τότε ποιο είναι σύνολο τιμών της;
β) Αν μια συνεχής συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο [α, β] τότε ποιο είναι σύνολο τιμών της;
γ) Αν μια συνεχής συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, β) τότε ποιο είναι σύνολο τιμών της;
δ) Αν μια συνεχής συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο (α, β) τότε ποιο είναι σύνολο τιμών της;
ε) Τελικά πως βρίσκουμε το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα διάστημα ή σε ένωση διαστημάτων;
Να δοθούν σχήματα
πχ. Να βρείτε το σύνολο τιμών για τις παρακάτω συναρτήσεις:
1)   2
f x x ημx 1   στο
π
0,
2
 
 
 
2)   συνx
f x e ημx  στο
π
0,
2
 
 
 
3)   2
f x x xln x 1   στο  1, 4)    f x ln 1 ln x  στο πεδίο ορισμού της
Άσκηση 13η
   
 
2 2
2
2
ημ αx ημ 5x
,x 0
f x με α 0,x
α 25 ,x 0
 

  
  
Α. Να βρεθούν τα όρια  x
f xlim

και  x
f xlim

Β. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο R .
Γ. Αν επί πλέον για κάθε x  R ισχύει f(x) ≤ 10α , τότε:
i. Να αποδείξετε ότι α = 5 .
ii. Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x΄x και y΄y (αν υπάρχει).
iii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f και
iv. Να αποδείξτε ότι η εξίσωση f(x) = 49 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο
π
0,
2
 
 
 
Άσκηση 14η
Δίνεται η συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύουν:
f(x) f(3 x), για κάθε x   R και
x
f(x) ,lim

 R

α. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό  0x 0,3 τέτοιο ώστε: 0f (x ) 0
β. Να δείξετε ότι 0
γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f
Άσκηση 15η
Δίνεται η συνάρτηση,    2
f(x) ln αx x 1 ln (1 α)x α      κα0x 0ι α 
Α. Για τις διάφορες τιμές του α , να βρείτε
x
f(x)lim

Β. Έστω ότι α = 0
α. Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία
β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f
γ. Να ορίσετε την αντίστροφή της
Άσκηση 16η
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R R,για την οποία ισχύει
x 0
f(x) 2
lim 0
x


Α. α. Να βρείτε το f(0) .
β. Να βρείτε το όριο:
2
2x 0
x f (x)
lim
ημ x

Β. Αν επιπλέον για την f ισχύει 2 x 2x
f (x) e f (x) e 1, x
   R
α. Να δείξετε ότι: x x
f(x) e e , x
  R
β. Να υπολογίσετε τα όρια  x x
f(x), f xlim lim
 
γ. Να χρησιμοποιήσετε δεδομένο ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο  ,0 και γνησίως αύξουσα
στο  0, για να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = k έχει δύο ακριβώς ρίζες για κάθε τιμή του k με k > 2 .
Άσκηση 17η
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση  f : 0,  R τέτοια ώστε:
• γνησίως φθίνουσα στο  0,
•    f A 0, 
α) Να υπολογίστε το όριο
 
 x
f x x
lim
f x x


β) Να υπολογίστε το όριο
 
 x 0
f x x
lim
f x x


γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης  
 
 
x f x
g x ,x 0
f x x

 


(νέο) 9 Μαθήματα Ανάλυσης 2018 (15 έκδοση)

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (20)

Similaire à (νέο) 9 Μαθήματα Ανάλυσης 2018 (15 έκδοση)

Similaire à (νέο) 9 Μαθήματα Ανάλυσης 2018 (15 έκδοση) (20)

Plus de Μάκης Χατζόπουλος

Plus de Μάκης Χατζόπουλος (20)

Dernier

Dernier (20)

(νέο) 9 Μαθήματα Ανάλυσης 2018 (15 έκδοση)