Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος για το lisari

1. Τι είναι εκτός ύλης.
Σχολικό έτος 2016 - 2017
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

2. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Ε.1 Το Λεξιλόγιο της Λογικής ............................................................................................9
Ε.2 Σύνολα .......................................................................................................................13
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1o: Πιθανότητες
1.1 Δειγματικός Χώρος - Ενδεχόμενα ................................................................................20
1.2 Έννοια της Πιθανότητας .............................................................................................29
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2o: Οι Πραγματικοί Αριθμοί
2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους .................................................................................43
2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών ..................................................................................54
2.3 Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού .........................................................................61
2.4 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών ......................................................................................69
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3o: Εξισώσεις
3.1 Εξισώσεις 1ου Βαθμού ................................................................................................79
3.2 Η Εξίσωση xν
= α .........................................................................................................86
3.3 Εξισώσεις 2ου Βαθμού ................................................................................................88
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4o: Ανισώσεις
4.1 Ανισώσεις 1ου Βαθμού ..............................................................................................101
4.2 Ανισώσεις 2ου Βαθμού ..............................................................................................106
4.3 Ανισώσεις Γινόμενο & Ανισώσεις Πηλίκο .................................................................115
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5o: Πρόοδοι
5.1 Ακολουθίες ................................................................................................................121
5.2 Αριθμητική Πρόοδος..................................................................................................125
5.3 Γεωμετρική Πρόοδος .................................................................................................132
5.4 Ανατοκισμός - Ίσες Καταθέσεις.................................................................................141
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6o: Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων
6.1 Η Έννοια της Συνάρτησης .........................................................................................145
6.2 Γραφική Παράσταση Συνάρτησης .............................................................................152
6.3 Η Συνάρτηση f (x) = αx + β.......................................................................................159
6.4 Κατακόρυφη - Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης ....................................................168
6.5 Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης .......................................................175
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7o: Μελέτη Βασικών Συναρτήσεων
7.1 Μελέτη της Συνάρτησης f (x) = αx2
..........................................................................188
7.2 Μελέτη της Συνάρτησης f (x) =
α
x
..........................................................................194
7.3 Μελέτη της Συνάρτησης f (x) = αx2
+ βx + γ ............................................................199
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ .................................................................................... 207
ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ........................................................ 213
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

3. Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
Στην παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποί-
ες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέ-
στερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων κτλ.
Τα παραδείγματα που θα χρησιμοποιήσουμε αναφέρονται σε έννοιες και ιδιότητες που
είναι γνωστές από το Γυμνάσιο.
Η συνεπαγωγή
Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β. Είναι γνωστό ότι:
Αν οι αριθμοί α και β είναι ίσοι, τότε και τα τετράγωνά τους θα είναι ίσα.
Αυτό σημαίνει ότι:
Αν ο ισχυρισμός «α = β» είναι αληθής, τότε και ο ισχυρισμός «α β2 2
= » θα είναι
αληθής.
Γι’ αυτό λέμε ότι ο ισχυρισμός «α β= » συνεπάγεται τον ισχυρισμό «α β2 2
= » και γρά-
φουμε: α = β ⇒ α2
= β2
.
Γενικά:
Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο P να αληθεύει και
ο Q, τότε λέμε ότι ο P συνεπάγεται τον Q και γράφουμε P Q⇒ .
Ο ισχυρισμός «P Q⇒ » λέγεται συνεπαγωγή και πολλές φορές διαβάζεται «αν P, τότε
Q». Ο P λέγεται υπόθεση της συνεπαγωγής, ενώ ο Q λέγεται συμπέρασμα αυτής(1)
.
(1)
Στην καθημερινή πράξη, συνήθως, δεν χρησιμοποιούμε συνεπαγωγές με ψευδή υπόθεση. Αλλά και η μαθηματική
επιστήμη δεν έχει ανάγκη τέτοιου είδους συνεπαγωγών. Όμως, για τεχνικούς λόγους που συνδέονται με την
ευκολία της έκφρασης μαθηματικών ζητημάτων, θα υιοθετήσουμε τη σύμβαση ότι η συνεπαγωγή «P ⇒ Q» να
είναι αληθής και στην περίπτωση που η υπόθεση P είναι ψευδής. Έτσι, η συνεπαγωγή «P ⇒ Q» είναι ψευδής,
μόνο όταν η υπόθεση P είναι αληθής και το συμπέρασμα Q είναι ψευδές και αληθής σε κάθε άλλη περίπτωση.
Εκ πρώτης όψεως η σύμβαση αυτή φαίνεται περίεργη, αλλά στο πλαίσιο του παρόντος βιβλίου δεν μπορούν να
εξηγηθούν οι λόγοι που οδήγησαν σε αυτή.
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ κεΦαΛαιο
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

4. Εισαγωγή
Υπάρχει σε πολλούς η εντύπωση ότι το κύριο κίνητρο για την ανάπτυξη της Θεω-
ρίας των Πιθανοτήτων προήλθε από το ενδιαφέρον του ανθρώπου για τα τυχερά
παιχνίδια. Σημαντική μάλιστα ώθηση στην ανάπτυξη του κλάδου αυτού των Μαθη-
ματικών αποτέλεσε η γόνιμη αλληλογραφία που αναπτύχθηκε ανάμεσα στους Pascal
και Fermat το 17ο αιώνα με αφορμή διάφορα προβλήματα που προέκυψαν από την
ενασχόληση του ανθρώπου με τα τυχερά παιχνίδια.
Μολονότι όμως τα τυχερά παιχνίδια ήταν ευρέως διαδεδομένα και στους Αρχαίους
Έλληνες και στους Ρωμαίους, η Θεωρία των Πιθανοτήτων δεν αναπτύχθηκε κατά
την αρχαιότητα, όπως συνέβη με άλλους κλάδους των Μαθηματικών, αλλά πολύ
αργότερα, το 16ο και 17ο αιώνα μ.Χ. Γι' αυτό πολλοί απορρίπτουν την άποψη ότι
η Θεωρία των Πιθανοτήτων οφείλει τη γένεσή της στην ενασχόληση του ανθρώπου
με τα τυχερά παιχνίδια και την αποδίδουν στις ανάγκες να λυθούν προβλήματα που
παρουσιάστηκαν με την ανάπτυξη του εμπορίου, των ασφαλίσεων, της συλλογής
εσόδων του κράτους κτλ. Η ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων οφείλεται επί-
σης και στις ανάγκες των Φυσικών Επιστημών όπως η εφαρμογή της Θεωρίας Σφαλ-
μάτων σε αστρονομικές παρατηρήσεις.
Η Θεωρία των Πιθανοτήτων αναπτύχθηκε ακόμα περισσότερο το 18ο αιώνα με τις
αξιοσημείωτες εργασίες των μαθηματικών Bernoulli, Moivre, Laplace και Gauss.
Ιδιαίτερα ο Laplace με τις εργασίες του άνοιξε μια καινούργια εποχή για τη Θεωρία
Πιθανοτήτων. Γιατί ο Laplace δεν περιορίζεται μόνο στη μαθηματική ανάλυση των
τυχερών παιγνιδιών, αλλά εφαρμόζει τα συμπεράσματά του και σε ένα πλήθος από
επιστημονικά και πρακτικά προβλήματα. Έτσι, με αφορμή τη μελέτη των σφαλμάτων
πιθανοτήτεσ
Κεφάλαιο
1ο
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

5. 2. OI ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ56
ΑΠΟΔΕΙΞΗΑΠΟΔΕΙΞΗ
• Έστω α > β . Τότε, από τη (*), για
α1
= α2
= ... = αν
= α > 0 και β1
= β2
= ... = βν
= β > 0,
προκύπτει ότι: αν
> βν
.
• Για την απόδειξη του αντιστρόφου θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της απαγωγής σε
άτοπο. Έστω λοιπόν ότι αν
> βν
και α ≤ β. Τότε:
9 αν ήταν α = β , από τον ορισμό της ισότητας θα είχαμε αν
= βν
(άτοπο), ενώ
9 αν ήταν α < β , θα είχαμε αν
< βν
(άτοπο).
Άρα, α > β .
Με τη βοήθεια της παραπάνω ιδιότητας θα αποδείξουμε τώρα ότι:
Για θετικούς αριθμούς α, β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία:
α = β ⇔ αν
= βν
ΑΠΟΔΕΙΞΗΑΠΟΔΕΙΞΗ
• Έστω α = β. Τότε, από τον ορισμό της ισότητας προκύπτει, όπως είπαμε και προη-
γουμένως, ότι αν
= βν
.
• Για την απόδειξη του αντιστρόφου θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της απαγωγής σε
άτοπο. Έστω λοιπόν ότι αν
= βν
και α ≠ β . Τότε:
9 αν ήταν α > β , λόγω της (4), θα είχαμε αν
> βν
(άτοπο), ενώ
9 αν ήταν α < β, λόγω της (4), θα είχαμε αν
< βν
(άτοπο).
Άρα, α = β.
ΣΧΟΛΙAΣΧΟΛΙA
1ο Σύμφωνα με την ιδιότητα 3, αν δυο ανισότητες της ίδιας φοράς τις προσθέσου-
με κατά μέλη, προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς. Δεν συμβαίνει όμως το
ίδιο με την αφαίρεση. Για παράδειγμα, είναι
10 > 6 και 7 > 2, αλλά 10 ‒ 7 < 6 ‒ 2.
2ο Επίσης, σύμφωνα με την ιδιότητα 3, αν δυο ανισότητες της ίδιας φοράς με θε-
τικούς, όμως, όρους τις πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη, προκύπτει ανισότητα
της ίδιας φοράς. Δεν συμβαίνει όμως το ίδιο με τη διαίρεση. Για παράδειγμα,
είναι
24 > 10 και 6 > 2, αλλά
24
6
10
2
.
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

6. 2. ΡΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚ ΑΡΙΘΜ 71
Για παράδειγμα:
2 266
, ενώ ( ) .− = − =2 2 266
Ισχύουν όμως και οι ακόλουθες ιδιότητες, από τις οποίες οι δύο πρώτες είναι ανάλογες
των ιδιοτήτων της τετραγωνικής ρίζας:
Αν α, β ≥ 0, τότε:
1. α β α βν ν ν⋅ = ⋅
2.
α
β
α
β
ν
ν
ν= (εφόσον β ≠ 0)
3. α ανµ µ ν
=
⋅
4. α αµ ρν ρ µν⋅⋅
=
ΑΠΟΔΕΙΞΗΑΠΟΔΕΙΞΗ
1. Έχουμε:
α β α β α β α βν ν ν ν ν ν ν ν
⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅( ) ( )
⇔ ⋅ = ⋅( ) ( )α β α βν ν ν ν
⇔ ⋅ = ⋅α β α β, που ισχύει.
2. Αποδεικνύεται όπως και η 1.
3. Έχουμε:
α α α ανµ µ ν νµ µ ν µ ν µ ν
= ⇔ =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
( ) ( )
⇔ ⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
=( )α ανµ µ
ν
⇔ =( ) ,α αν ν
που ισχύει.
4. Έχουμε:
α α α αµ ρν ρ µ ρρν µ ρρν µν⋅⋅ ⋅
= = =( ) .
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

7. 4.3 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΗΛΙΚΟ
Πρόσημο γινομένου
Έστω ότι θέλουμε να μελετήσουμε ένα γινόμενο P(x) = Α(x) . Β(x) . … . Φ(x) ως προς
το πρόσημό του, όπου οι παράγοντες Α(x), Β(x) , … , Φ(x) είναι της μορφής αx + β
(πρωτοβάθμιοι) ή της μορφής αx2
+ βx + γ (τριώνυμα).
Βρίσκουμε το πρόσημο κάθε παράγοντα χωριστά και στη συνέχεια το πρόσημο του
P(x), όπως φαίνεται στο παράδειγμα που ακολουθεί.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές του x∈ℝ το πρόσημο του γινομένου
P x x x x x x( ) ( )( )( ).= − + − + +1 6 2 12 2
ΛΥΣΗΛΥΣΗ
Αρχικά βρίσκουμε το πρόσημο του κάθε παράγοντα χωριστά ως εξής:
9 Επειδή
x x− ≥ ⇔ ≥1 0 1,
το x ‒ 1 είναι θετικό για x > 1, μηδέν για x = 1 και αρνητικό για x < 1.
9 Επειδή
x x x x x2
6 0 3 2 0 3+ − ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ ≤ −( )( ) ή x 2,
το x2
+ x ‒ 6 είναι θετικό για x < ‒3 και για x > 2 , μηδέν για x = ‒3 και για x = 2 και
αρνητικό για ‒3 < x < 2.
9 Επειδή το 2x2
+ x +1 έχει διακρίνουσα Δ = 1 ‒ 8 = ‒7 < 0, το τριώνυμο αυτό είναι
θετικό για κάθε x∈ℝ.
Ο προσδιορισμός, τώρα, του προσήμου του γινομένου P(x) γίνεται με τη βοήθεια του
παρακάτω πίνακα, εφαρμόζοντας τον κανόνα των προσήμων.
x ‒ ‒3 1 2 +
x‒1 ‒ ‒ 0 + +
x2
+x‒6 + 0 ‒ ‒ 0 +
2x2
+x+1 + + + +
P(x) ‒ 0 + 0 ‒ 0 +
Ώστε το γινόμενο P(x) είναι θετικό για ‒3 < x < 1 και για x > 2, ενώ είναι αρνητικό για
x < ‒3 και για 1 < x < 2. Τέλος είναι μηδέν για x = ‒3, για x = 1 και για x = 2.
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

8. .2 ΑΡΙΘΜ ΤΙΚ ΠΡΟΟ Ο 127
Άθροισμα ν διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου
Ας θεωρήσουμε την αριθμητική πρόοδο 1, 2, 3, 4, ... και ας βρούμε το άθροισμα των
100 πρώτων όρων της
S100
=1+2+3+...+98+99+100
Αντί να προσθέσουμε τους αριθμούς αυτούς με τον συνήθη τρόπο, μπορούμε να βρούμε
συντομότερα το άθροισμά τους ως εξής:
Γράφουμε δυο φορές το παραπάνω άθροισμα, αλλά με αντίθετη τη σειρά των προσθετέ-
ων και προσθέτουμε τις δυο ισότητες κατά μέλη:
S100 1 2 3 98 99 100= + + + + + +...
S100 100 99 98 3 2 1= + + + + + +...
2 1 100 2 99 3 98 98 3 99 2 100 1100S = + + + + + + + + + + + +( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )
ή 2 101 101 101 101 101 101100S = + + + + + +...
ή 2 100 101100S = ⋅ , άρα S100
100 101
2
5050=
⋅
=
Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τρόπο σε μια οποιαδήποτε αριθμητική πρόοδο, θα απο-
δείξουμε ότι:
Το άθροισμα των πρώτων ν όρων αριθμητικής προόδου (αν
) με διαφορά ω είναι
Sν ν
ν
α α= +
2
1( ).
ΑΠΟΔΕΙΞΗ*ΑΠΟΔΕΙΞΗ*
Έχουμε: Sν α α ω α ω α ν ω α ν ω= + + + + + + + − + + −1 1 1 1 12 2 1( ) ( ) ... [ ( ) ] [ ( ) ]
και Sν ν ν ν ν να α ω α ω α ν ω α ν ω= + − + − + + − − + − −( ) ( ) ... [ ( ) ] [ ( ) ]2 2 1
Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις παραπάνω ισότητες έχουμε:
2 1 1 1 1 1Sν ν ν ν ν να α α α α α α α α α= + + + + + + + + + +( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
ή 2 1Sν νν α α= +( ). Άρα Sν ν
ν
α α= +
2
1( ).
Επειδή α α ν ων = + −1 1( ) , ο τύπος Sν ν
ν
α α= +
2
1( ) γράφεται:
Sν
ν
α ν ω= + −
2
2 11[ ( ) ]
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

9. 133. Γ Μ ΤΡΙΚ ΠΡΟΟ Ο
Έτσι π.χ. στη γεωμετρική πρόοδο 3, ‒6, 12, ‒24, ... η οποία έχει α1
= 3 και λ =
−
= −
6
3
2
ο νos
= όρος της είναι αν
ν
= ⋅ − −
3 2 1
( ) . Επομένως ο 5os
= όρος της είναι α5
= 3 . (‒2)4
= 48, ο
δέκατος όρος της είναι α10
= 3 . (‒2)9
= ‒1536 κτλ.
Γεωμετρικός μέσος
Αν πάρουμε τρεις διαδοχικούς όρους α, β, γ μιας γεωμετρικής προόδου με λόγο λ, τότε
ισχύει
β
α
λ= και
γ
β
λ= , επομένως
β
α
γ
β
= ή β αγ2
=
Αλλά και αντιστρόφως, αν για τρεις αριθμούς α, β, γ ≠ 0 ισχύει β2
= αγ, τότε έχουμε
β
α
γ
β
= , που σημαίνει ότι οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου. Ο
θετικός αριθμός αγ λέγεται γεωμετρικός μέσος των α και γ.
Αποδείξαμε λοιπόν ότι:
Τρεις μη μηδενικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, αν
και μόνο αν ισχύει β2
= αγ.
Άθροισμα ν διαδοχικών όρων γεωμετρικής προόδου
Ας θεωρήσουμε τη γεωμετρική πρόοδο 1, 3, 9, 27, ... στην οποία είναι α1
=1 και λ = 3,
και ας βρούμε το άθροισμα S7
των 7 πρώτων όρων της.
Έχουμε
S7 1 3 9 27 81 243 729= + + + + + + (1)
Αντί να προσθέσουμε τους αριθμούς αυτούς με τον συνήθη τρόπο, μπορούμε να βρούμε
συντομότερα το άθροισμά τους ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της (1) με το λόγο
λ = 3 και έχουμε
3 3 9 27 81 243 729 21877S = + + + + + + (2)
Αφαιρούμε από τα μέλη της (2) τα μέλη της (1) και έχουμε:
3 2187 17 7S S− = −
2 21867S
S7 1093
Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τρόπο σε μια οποιαδήποτε γεωμετρική πρόοδο, θα απο-
δείξουμε ότι:
Το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας γεωμετρικής προόδου (αν
) με λόγο λ≠1
είναι Sν
ν
α
λ
λ
=
−
−
1
1
1
.
.
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

10. 5.4 ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ - ΙΣΕΣ ΚΑΤΑΘΕΣΕΙΣ
Με τη βοήθεια των γεωμετρικών προόδων μπορούμε να λύσουμε προβλήματα οικονομι-
κής φύσεως, που συχνά παρουσιάζονται στις συναλλαγές με πιστωτικούς οργανισμούς.
Ανατοκισμός
ΠΡΟΒΛΗΜΑΠΡΟΒΛΗΜΑ
Καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο α ευρώ με ετήσιο επιτόκιο ε%. Με τη
συμπλήρωση ενός χρόνου οι τόκοι προστίθενται στο κεφάλαιο και το ποσό που προ-
κύπτει είναι το νέο κεφάλαιο που τοκίζεται με το ίδιο επιτόκιο για τον επόμενο
χρόνο. Αν η διαδικασία αυτή επαναληφθεί για ν χρόνια, να βρεθεί πόσα χρήματα θα
εισπράξουμε στο τέλος του νoυ
= χρόνου.
(Το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό ως πρόβλημα ανατοκισμού.)
ΛΥΣΗΛΥΣΗ
Στο τέλος του 1oυ
= χρόνου το κεφάλαιο α θα δώσει τόκο
ε
α
100
⋅ και μαζί με τον τόκο θα
γίνει
.α α
ε
α α
ε
1
100
1
100
= + = +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Στο τέλος του 2oυ
= χρόνου το κεφάλαιο α1
θα δώσει τόκο
ε
α
100
1⋅ και μαζί με τον τόκο
θα γίνει
α α
ε
α α
ε
2 1 1 1
100
1
100
= + = +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ .
Στο τέλος του 3oυ
= χρόνου το κεφάλαιο α2
μαζί με τους τόκους θα γίνει
α α
ε
3 2 1
100
= +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ κτλ.
και γενικά στο τέλος του νoυ
= χρόνου το κεφάλαιο θα γίνει α α
ε
ν ν= +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟−1 1
100
.
Παρατηρούμε ότι τα α1
, α2
, α3
, …, αν
είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου με
α α
ε
και λ
ε
1 1
100
1
100
= +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = + .
Άρα, σύμφωνα με τον τύπο του νoυ
= όρου γεωμετρικής προόδου, στο τέλος του νoυ
= χρόνου
το κεφάλαιο α μαζί με τους τόκους θα γίνει α α
ε ε
ν
ν
= +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
1
100
1
100
1
ή α α
ε
ν
ν
= +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟1
100
.
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

11. . Α ΙΚ ΟΙ Τ ΑΡΤ154
Απόσταση σημείων
Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και Α(x1
,y1
) και B(x2
,y2
) δύο ση-
μεία αυτού. Θα δείξουμε ότι η απόστασή τους δίνεται από τον τύπο:
( ) ( ) ( ) .AB x x y y= − + −2 1
2
2 1
2
ΑΠΟΔΕΙΞΗΑΠΟΔΕΙΞΗ
Από το ορθογώνιο τρίγωνο K AB του διπλανού
σχήματος έχουμε:
( ) ( ) ( )AB KA KB2 2 2
= +
= − + −x x y y2 1
2
2 1
2
= − + −( ) ( )x x y y2 1
2
2 1
2
οπότε:
( ) ( ) ( ) .AB x x y y= − + −2 1
2
2 1
2
Ο παραπάνω τύπος ισχύει και στην περίπτωση που η ΑΒ είναι παράλληλη με τον άξονα
x′x (Σχήμα γ′) ή παράλληλη με τον άξονα y′y (Σχήμα δ′).
B(x ,y )
xx
y
y
y
1 x2
2 2 2
Α(x ,y )1 1
Κ(x ,y )2 11
O
xx
y
y = y
1 x2
Α(x ,y )1 1 B(x ,y )2 2
1 2
Σχήμα γ´ Σχήμα δ´
x
y
x x1 2
Α(x ,y )1 1
B(x ,y )2 22
y
1
y
=OO
Για παράδειγμα, αν Α(3,1), Β(3,5) και Γ(‒1,1) είναι οι κορυφές ενός τριγώνου AΒΓ,
τότε θα είναι:
( ) ( ) ( )AB = − + − = =3 3 5 1 4 42 2 2
( ) ( ) ( )AΓ = − − + − = =1 3 1 1 4 42 2 2
( ) ( ) ( ) .ΒΓ = − − + − = + =1 3 1 5 4 4 4 22 2 2 2
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

12. . Α ΙΚ ΟΙ Τ ΑΡΤ160
Γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = αx + β
Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f (x) = 0,5x + 1. Όπως πρακτικά διαπιστώσαμε στο
Γυμνάσιο, η γραφική παράσταση της ƒ είναι ευθεία γραμμή με εξίσωση y = 0,5x+1 (Σχήμα).
x
y
ω
A(–2,0) O(0,0)
B(0,1)
y = 0,5x + 1
Η ευθεία αυτή:
9 Τέμνει τον άξονα x′x στο σημείο Α(‒2,0), αφού για y = 0 βρίσκουμε x = ‒2, και τον
άξονα y′y στο σημείο Β(0,1), αφού για x = 0 βρίσκουμε y = 1 και
9 Έχει κλίση:
λ εϕω= = = =
( )
( )
,
ΟΒ
ΟΑ
1
2
0 5.
Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι η κλίση λ της ευθείας y = 0,5x+1 είναι ίση με το συντελεστή
του x.
Γενικά, όπως θα αποδείξουμε στη Β′ Λυκείου, η γραφική παράσταση της συνάρτησης
f (x) = αx + β είναι μία ευθεία, με εξίσωση y = αx + β, η οποία τέμνει τον άξονα των y
στο σημείο Β(0,β) και έχει κλίση λ = α . Είναι φανερό ότι:
• αν α > 0, τότε 0° < ω < 90°
• αν α < 0, τότε 90° < ω < 180°
• αν α = 0, τότε ω = 0°.
Στην περίπτωση που είναι α = 0, η συνάρτηση παίρνει τη μορφή f (x) = β και λέγεται
σταθερή συνάρτηση, διότι η τιμή της είναι η ίδια για κάθε x∈ℝ.
Ας θεωρήσουμε τώρα δύο τυχαία σημεία A(x1
,y1
) και B(x2
,y2
) της ευθείας y = αx + β.
x
y
ω
ω
ε
A(x ,y )1 1
K(x ,y )2 1
B(x ,y )2 2
O
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

13. 6.4 ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ - ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ
Κατακόρυφη μετατόπιση καμπύλης
α) Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f ( ) .x x= +1 Επειδή
f ( )
,
,
,x
x x
x x
=
− + <
+ ≥
⎧
⎨
⎩
1 0
1 0
αν
αν
η γραφική παράσταση της συνάρτη-
σης f ( ) ,x x= +1 θα αποτελείται από
τις ημιευθείες
9 y x= − +1, με x ≤ 0 και
9 y x= +1, με x ≥ 0,
που έχουν αρχή το σημείο 1 του άξο-
να y′y και είναι παράλληλες με τις δι-
χοτόμους των γωνιών x'Ôy και xÔy
από τις οποίες, όπως είναι γνωστό,
αποτελείται η γραφική παράσταση
της ϕ( )x x= (Σχήμα).
Επομένως, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της ϕ( )x x= κατακόρυφα(1)
και
προς τα πάνω κατά 1 μονάδα, τότε αυτή θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της
f ( ) .x x= +1 Αυτό, άλλωστε, ήταν αναμενόμενο, αφού ισχύει:
f ( ) ( ) ,x x= +ϕ 1 για κάθε x∈ℝ,
που σημαίνει ότι για κάθε x∈ℝ το ƒ(x) είναι κατά 1 μονάδα μεγαλύτερο του φ(x).
Γενικά:
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ƒ, με:
f ( ) ( )x x c= +ϕ , όπου c > 0,
προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ
κατά c μονάδες προς τα πάνω (Σχήμα α').
(1)
Δηλαδή παράλληλα με τον άξονα y'y.
y
y =
xx´ O 1
1
1
1
1
1
|x| + 1
y =|x|
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

14. 6.5 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Μονοτονία συνάρτησης
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης T = ƒ(t) που εκφρά-
ζει τη θερμοκρασία Τ ενός τόπου συναρτήσει του χρόνου t κατά το χρονικό διάστημα
από τα μεσάνυχτα μιας ημέρας (t = 0) μέχρι τα μεσάνυχτα της επόμενης μέρας (t = 24).
α) Παρατηρούμε ότι στο διάστημα [4,16] η γραφική παράσταση της θερμοκρασίας
ανέρχεται.
O 4 16 24
3
5
11
t(h)
T=f (t)
T( C)o
Ο 4
1
2
t1 2t 16 24 t(h)
T=f (t)
f (t )
f (t )
o
T( C)
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

15. 7.2 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f (x) =1 1
x x
α
x
Η συνάρτηση (x) =
1 1
x x
α
x
Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση g x
x
( )
1
. Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση αυτή έχει
πεδίο ορισμού όλο το ℝ*
= (‒∞,0)∪(0, +∞) και είναι περιττή, διότι για κάθε x∈ℝ*
ισχύει:
g x
x
g x( ) ( )− =
−
= −
1
Επομένως, η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Γι’
αυτό αρχικά θα τη μελετήσουμε και θα την παραστήσουμε γραφικά στο διάστημα (0,
+∞).
Έχουμε λοιπόν:
• Μονοτονία: Έστω τυχαία x x1 2 0, ( , )∈ +∞ με x x1 2. Τότε θα ισχύει
1 1
1 2x x
, οπότε
θα έχουμε g x g x( ) ( ).1 2 Άρα η συνάρτηση g x
x
( )
1
είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, +∞).
• Πρόσημο των τιμών της : Για κάθε x∈(0,+∞) ισχύει g x
x
( ) .= >
1
0
Επομένως, στο διάστημα (0, +∞) η γραφική παράσταση της g θα βρίσκεται πάνω από
τον άξονα των x.
• Συμπεριφορά της για μικρές τιμές του x: Ας θεωρήσουμε τον παρακάτω πίνακα
τιμών της g για "πολύ μικρές" τιμές του x:
Παρατηρούμε ότι, καθώς το x μειώνεται απεριόριστα και παίρνει τιμές οσοδήποτε
κοντά στο 0 ή, όπως λέμε, τείνει στο 0 , το1 1
x x
α
x αυξάνεται απεριόριστα και τείνει
στο + . Αυτό σημαίνει ότι, καθώς το x "πλησιάζει" το 0 από τα δεξιά, η γραφική
παράσταση της g τείνει να συμπέσει με τον ημιάξονα Oy. Γι’αυτό ο άξονας y′y λέγεται
κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της g προς τα πάνω.
x
g(x) =
10
–10
10
–20
10
–50
10
–1000
10
1000
10
–100
10
10
10
20
10
50
10
100
.......
.......
→0
→ ∞+
1
x
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

16. Τι είναι εκτός ύλης.
Σχολικό έτος 2016 - 2017
Α ΛΥΚΕΙΟΥ
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

17. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή στην Ευκλείδεια Γεωµετρία 9
1.1 Το αντικείµενο της Ευκλείδειας Γεωµετρίας....................................................... 10
1.2 Ιστορική αναδροµή στη γένεση και ανάπτυξη της Γεωµετρίας.......................... 12
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Τα βασικά γεωµετρικά σχήµατα 15
2.1 Σηµεία, γραµµές και επιφάνειες ......................................................................... 16
2.2 Το επίπεδο.......................................................................................................... 16
2.3 Η ευθεία.............................................................................................................. 17
2.4 Η ηµιευθεία ........................................................................................................ 17
2.5 Το ευθύγραµµο τµήµα....................................................................................... 17
2.6 Μετατοπίσεις στο επίπεδο.................................................................................. 18
2.7 Σύγκριση ευθύγραµµων τµηµάτων ................................................................... 18
2.8 Πράξεις µεταξύ ευθύγραµµων τµηµάτων.......................................................... 19
2.9 Μήκος ευθύγραµµου τµήµατος - Απόσταση δύο σηµείων............................... 20
2.10 Σηµεία συµµετρικά ως προς κέντρο................................................................... 20
2.11 Ηµιεπίπεδα ......................................................................................................... 21
2.12 Η γωνία............................................................................................................... 22
2.13 Σύγκριση γωνιών ............................................................................................... 22
2.14 Ευθεία κάθετη από σηµείο σε ευθεία ................................................................ 24
2.15 Πράξεις µεταξύ γωνιών...................................................................................... 25
2.16 Απλές σχέσεις γωνιών........................................................................................ 25
2.17 Έννοια και στοιχεία του κύκλου......................................................................... 28
2.18 Επίκεντρη γωνία - Σχέση επίκεντρης γωνίας και τόξου ..................................... 30
2.19 Μέτρο τόξου και γωνίας .................................................................................... 33
2.20 Τεθλασµένη γραµµή - Πολύγωνο - Στοιχεία πολυγώνου................................. 35
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Τρίγωνα 39
3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων ................................................................................ 40
3.2 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων......................................................................... 41
3.3 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων......................................................................... 44
3.4 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων......................................................................... 44
3.5 Ύπαρξη και µοναδικότητα καθέτου ................................................................... 49
3.6 Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων......................................................... 49
3.7 Κύκλος - Μεσοκάθετος - ∆ιχοτόµος.................................................................. 55
3.8 Κεντρική συµµετρία............................................................................................ 56
3.9 Αξονική συµµετρία............................................................................................. 57
3.10 Σχέση εξωτερικής και απέναντι γωνίας .............................................................. 59
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

18. 3.11 Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών........................................................... 60
3.12 Τριγωνική ανισότητα.......................................................................................... 60
3.13 Κάθετες και πλάγιες............................................................................................ 64
3.14 Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου ................................................................... 66
3.15 Εφαπτόµενα τµήµατα ......................................................................................... 68
3.16 Σχετικές θέσεις δυο κύκλων .............................................................................. 69
3.17 Απλές γεωµετρικές κατασκευές ......................................................................... 73
3.18 Βασικές κατασκευές τριγώνων........................................................................... 75
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Παράλληλες ευθείες 79
4.1 Εισαγωγή............................................................................................................ 80
4.2 Τέµνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτηµα ..................................................... 80
4.3 Κατασκευή παράλληλης ευθείας....................................................................... 83
4.4 Γωνίες µε πλευρές παράλληλες......................................................................... 84
4.5 Αξιοσηµείωτοι κύκλοι τριγώνου........................................................................ 85
4.6 Άθροισµα γωνιών τριγώνου.............................................................................. 88
4.7 Γωνίες µε πλευρές κάθετες................................................................................. 89
4.8 Άθροισµα γωνιών κυρτού ν-γώνου .................................................................. 90
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 101
5.1 Εισαγωγή.......................................................................................................... 102
5.2 Παραλληλόγραµµα.......................................................................................... 102
5.3 Ορθογώνιο....................................................................................................... 105
5.4 Ρόµβος.............................................................................................................. 106
5.5 Τετράγωνο........................................................................................................ 107
5.6 Εφαρµογές στα τρίγωνα................................................................................... 109
5.7 Βαρύκεντρο τριγώνου...................................................................................... 112
5.8 Το ορθόκεντρο τριγώνου................................................................................. 113
5.9 Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου......................................................... 114
5.10 Τραπέζιο ........................................................................................................... 117
5.11 Ισοσκελές τραπέζιο........................................................................................... 118
5.12 Αξιοσηµείωτες ευθείες και κύκλοι τριγώνου................................................... 121
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Εγγεγραµµένα σχήµατα 127
6.1 Εισαγωγικά - Ορισµοί....................................................................................... 128
6.2 Σχέση εγγεγραµµένης και αντίστοιχης επίκεντρης........................................... 128
6.3 Γωνία χορδής και εφαπτοµένης ....................................................................... 129
6.4 Βασικοί γεωµετρικοί τόποι στον κύκλο
Τόξο κύκλου που δέχεται γνωστή γωνία ........................................................ 131
6.5 Το εγγεγραµένο τετράπλευρο.......................................................................... 135
6.6 Το εγγράψιµο τετράπλευρο ............................................................................. 136
6.7 Γεωµετρικοί τόποι και γεωµετρικές κατασκευές
µε τη βοήθεια των γεωµετρικών τόπων........................................................... 140
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

19. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Αναλογίες 147
7.1 Εισαγωγή.......................................................................................................... 148
7.2 ∆ιαίρεση ευθύγραµµου τµήµατος σε ν ίσα µέρη ............................................ 148
7.3 Γινόµενο ευθύγραµµου τµήµατος µε αριθµό -
Λόγος ευθύγραµµων τµηµάτων ...................................................................... 148
7.4 Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα - Αναλογίες................................................... 150
7.5 Μήκος ευθύγραµµου τµήµατος....................................................................... 151
7.6 ∆ιαίρεση τµηµάτων εσωτερικά και εξωτερικά ως προς δοσµένο λόγο .......... 151
7.7 Θεώρηµα του Θαλή......................................................................................... 154
7.8 Θεωρήµατα των διχοτόµων τριγώνου............................................................. 160
7.9 Απολλώνιος Κύκλος........................................................................................ 163
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Οµοιότητα 171
8.1 Όµοια ευθύγραµµα σχήµατα...........................................................................172
8.2 Κριτήρια οµοιότητας.................................................................................................... 173
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Μετρικές σχέσεις 183
9.1 Ορθές προβολές .............................................................................................. 184
9.2 Το Πυθαγόρειο θεώρηµα................................................................................. 184
9.3 Γεωµετρικές κατασκευές................................................................................... 188
9.4 Γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήµατος....................................................... 190
9.5 Θεωρήµατα ∆ιαµέσων ..................................................................................... 196
9.6 Βασικοί γεωµετρικοί τόποι ............................................................................... 197
9.7 Τέµνουσες κύκλου........................................................................................... 200
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Εµβαδά 209
10.1 Πολυγωνικά χωρία .......................................................................................... 210
10.2 Εµβαδόν ευθύγραµµου σχήµατος - Ισοδύναµα ευθύγραµµα σχήµατα.......... 210
10.3 Εµβαδόν βασικών ευθύγραµµων σχηµάτων................................................... 211
10.4 Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου ............................................................ 217
10.5 Λόγος εµβαδών όµοιων τριγώνων - πολυγώνων........................................... 220
10.6 Μετασχηµατισµός πολυγώνου σε ισοδύναµό του.......................................... 224
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Μέτρηση κύκλου 229
11.1 Ορισµός κανονικού πολυγώνου ..................................................................... 230
11.2 Ιδιότητες και στοιχεία κανονικών πολυγώνων ................................................ 230
11.3 Εγγραφή βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και στοιχεία τους ........ 235
11.4 Προσέγγιση του µήκους του κύκλου µε κανονικά πολύγωνα ....................... 240
11.5 Μήκος τόξου .................................................................................................... 241
11.6 Προσέγγιση του εµβαδού κύκλου µε κανονικά πολύγωνα............................ 243
11.7 Εµβαδόν κυκλικού τοµέα και κυκλικού τµήµατος .......................................... 243
11.8 Τετραγωνισµός κύκλου.................................................................................... 246
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

20. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 Ευθείες και επίπεδα στο χώρο 255
12.1 Εισαγωγή.......................................................................................................... 256
12.2 Η έννοια του επιπέδου και ο καθορισµός του................................................. 257
12.3 Σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων ............................................................. 259
12.4 Ευθείες και επίπεδα παράλληλα - Θεώρηµα του Θαλή.................................. 263
12.5 Γωνία δύο ευθειών - Ορθογώνιες ευθείες....................................................... 267
12.6 Απόσταση σηµείου από επίπεδο -
Απόσταση δυο παράλληλων επιπέδων.............................................................. 272
12.7 ∆ίεδρη γωνία - Αντίστοιχη επίπεδη µιας δίεδρης - Κάθετα επίπεδα ............... 275
12.8 Προβολή σηµείου και ευθείας σε επίπεδο -
Γωνία ευθείας και επιπέδου ............................................................................. 280
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 Στερεά σχήµατα 285
13.1 Περί πολυέδρων .............................................................................................. 286
13.2 Ορισµός και στοιχεία του πρίσµατος................................................................ 288
13.3 Παραλληλεπίπεδο - κύβος .............................................................................. 289
13.4 Μέτρηση πρίσµατος ......................................................................................... 290
13.5 Ορισµός και στοιχεία πυραµίδας ..................................................................... 296
13.6 Κανονική πυραµίδα - Τετράεδρο..................................................................... 298
13.7 Μέτρηση πυραµίδας ........................................................................................ 298
13.8 Ορισµός και στοιχεία κόλουρης πυραµίδας.................................................... 301
13.9 Μέτρηση κόλουρης ισοσκελούς πυραµίδας................................................... 301
13.10 Στερεά εκ περιστροφής .................................................................................... 304
13.11 Ορισµός και στοιχεία κυλίνδρου ..................................................................... 304
13.12 Μέτρηση κυλίνδρου ........................................................................................ 305
13.13 Ορισµός και στοιχεία κώνου............................................................................ 307
13.14 Μέτρηση του κώνου ........................................................................................ 307
13.15 Κόλουρος κώνος.............................................................................................. 309
13.16 Ορισµός και στοιχεία σφαίρας ......................................................................... 311
13.17 Θέσεις ευθείας και επιπέδου ως προς σφαίρα................................................. 312
13.18 Μέτρηση σφαίρας ............................................................................................ 313
13.19 Κανονικά πολύεδρα......................................................................................... 318
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A΄................................................................................................................... 323
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β΄ ................................................................................................................... 329
ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ............................................................................................ 332
ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ................................................................................................................ 349
ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΝΟΜΑΤΩΝ.................................................................................................... 352
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ..................................................................................................................... 355
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

21. 15
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
TΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ
Στόχος του κεφαλαίου αυτού είναι η εμπέδωση και η συστηματική μελέτη των πρωταρχικών
εννοιών: σημείο, ευθεία, επίπεδο καθώς και των βασικών γεωμετρικών σχημάτων: ευθύγραμ-
μο τμήμα, γωνία, κύκλος, επίπεδο ευθύγραμμο σχήμα. Όπως είδαμε, οι πρωταρχικές έννοιες
σημείο, ευθεία, επίπεδο δίνονται χωρίς ορισμό και με βάση αυτές ορίζονται τα βασικά γεω-
μετρικά σχήματα, τα οποία θα μελετήσουμε στη συνέχεια.
Andrea Mantegna (Ιταλός, περίπου 1431 - 1506).
Οροφή από την "Camera degli Sposi" (Δωμάτιο των Συζύγων),
τοιχογραφία από το Δουκικό Παλάτι, στη Μάντοβα της Ιταλίας.
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

22. 41
Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α
Ύψος τριγώνου λέγεται το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα, που
φέρεται από μια κορυφή προς την ευθεία της απέναντι πλευ-
ράς. Τα ύψη που φέρονται από τις κορυφές Α, Β και Γ συμ-
βολίζονται αντίστοιχα με υα, υβ και υγ.
Στο σχ.10 το ΑΔ είναι το ύψος από την κορυφή Α. Το σημείο
Δ λέγεται προβολή του Α πάνω στην ευθεία ΒΓ ή και ίχνος
της καθέτου, που φέρεται από το Α στην ευθεία ΒΓ.
Οι διάμεσοι, οι διχοτόμοι και τα ύψη ενός τριγώνου λέγο-
νται δευτερεύοντα στοιχεία του.
Κριτήρια ισότητας τριγώνων
Είδαμε ότι δύο ευθύγραμμα σχήματα, επομένως και δύο τρί-
γωνα, είναι ίσα αν μετά από κατάλληλη μετατόπιση ταυτί-
ζονται. Συνεπώς:
• Δύο ίσα τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους και τις γωνίες
τους ίσες μία προς μία.
• Σε δύο ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρί-
σκονται ίσες γωνίες και αντίστροφα.
Οι ίσες πλευρές που βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες
λέγονται αντίστοιχες ή ομόλογες.
Στην ενότητα αυτή θα δώσουμε προτάσεις, που θα μας εξα-
σφαλίζουν την ισότητα δύο τριγώνων από την ισότητα τριών
μόνο κατάλληλων στοιχείων τους.
Οι προτάσεις αυτές αποτελούν τα κριτήρια ισότητας τρι-
γώνων.
3.2 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων
Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και
τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι ίσα.
ΘΕΩΡΗΜΑ Ι (1ο Κριτήριο – ΠΓΠ)
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
Ας υποθέσουμε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ έχουν
ΑΒ = ΑʹΒʹ, ΑΓ = ΑʹΓʹ και Â = Âʹ (σχ.11). Μετατοπίζουμε
το τρίγωνο ΑʹΒʹΓʹ, ώστε το σημείο Αʹ να ταυτιστεί με το Α
και η ημιευθεία ΑʹΒʹ να ταυτιστεί με την ΑΒ. Επειδή Â = Âʹ
και η ημιευθεία ΑʹΓʹ θα ταυτισθεί με την ΑΓ. Τότε, αφού
ΑΒ = ΑʹΒʹ και ΑΓ = ΑʹΓʹ, το σημείο Βʹ ταυτίζεται με το Β
και το Γʹ με το Γ. Επομένως τα δύο τρίγωνα συμπίπτουν,
άρα είναι ίσα.
Σχήµα 8
A
B Γ
Μ
μα
Σχήµα 9
A
B Γ
Δ
δα
Σχήµα 10
(α)
υα
A
B Γ
Δ
(β)
A
BΔ
υα
Γ
ΣΧΟΛΙΟ
Η συντομογραφία ΠΓΠ σημαί-
νει πλευρά, γωνία, πλευρά.
A
B Γ
Aʹ
Bʹ Γʹ
Σχήµα 11
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

23. 44
Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α
3.3 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων
Με τη βοήθεια του 1ου κριτηρίου αποδεικνύουμε το 2ο και
3ο κριτήριο ισότητας τριγώνων.
Αν δύο τρίγωνα έχουν μια πλευρά και τις προσκείμενες σε
αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.
ΘΕΩΡΗΜΑ (2ο Κριτήριο – ΓΠΓ)
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
Έστω ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ (σχ.16) έχουν
ΒΓ = ΒʹΓʹ, B̂ = B̂ ʹ και Γ̂ = Γ̂ ʹ.
Θα αποδείξουμε ότι έχουν και ΑΒ = ΑʹΒʹ. Έστω ότι
ΑΒ ≠ ΑʹΒʹ, π.χ. ΑΒ > ΑʹΒʹ. Τότε υπάρχει σημείο Δ στην
ΑΒ, ώστε να είναι ΒΔ = ΒʹΑʹ. Τα τρίγωνα ΔΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ
έχουν ΒΓ = ΒʹΓʹ, ΒΔ = ΒʹΑʹ και B̂ = B̂ ʹ, επομένως (ΠΓΠ)
είναι ίσα, οπότε ΒΓ̂ Δ = Γ̂ ʹ. Αλλά Γ̂ ʹ = Γ̂ , οπότε ΒΓ̂ Δ = Γ̂ που
είναι άτοπο, γιατί το Δ είναι εσωτερικό σημείο της γωνίας
ΑΓ̂ Β και επομένως ΒΓ̂ Δ < Γ̂ . Οδηγηθήκαμε σε άτοπο γιατί
υποθέσαμε ότι ΑΒ ≠ ΑʹΒʹ, άρα ΑΒ =ΑʹΒʹ. Τα τρίγωνα, λοι-
πόν, ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ έχουν ΒΓ = ΒʹΓʹ, ΑΒ = ΑʹΒʹ και B̂ = B̂ ʹ,
άρα (ΠΓΠ) είναι ίσα.
* Σημείωση: Το παραπάνω θεώρημα μπορεί να αποδειχθεί και με τη
μέθοδο της μετατόπισης, όπως το θεώρημα I (σελ. 41).
3.4 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων
Η ισότητα δύο τριγώνων εξασφαλίζεται και από την ισότητα
των τριών πλευρών τους, μία προς μία, όπως μας βεβαιώνει
το επόμενο θεώρημα.
Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία,
τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.
ΘΕΩΡΗΜΑ (3o Κριτήριο – ΠΠΠ)
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
Θεωρούμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ με ΑΒ = ΑʹΒʹ,
ΒΓ = ΒʹΓʹ, ΓΑ = ΓʹΑʹ (σχ.17). Αρκεί να αποδείξουμε ότι
 = Âʹ. Υποθέτουμε ότι τα τρίγωνα είναι οξυγώνια.
Θεωρούμε την ημιευθεία Βx, ώστε ΓB̂ x = B̂ ʹ (σχ.17) και
σημείο της Δ, ώστε ΒΔ = ΑʹΒʹ. Τα τρίγωνα ΔΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ
είναι ίσα, γιατί έχουν ΒΓ = ΒʹΓʹ, ΒΔ = ΑʹΒʹ και ΓB̂ Δ = B̂ ʹ.
Από την ισότητα αυτή προκύπτει ότι ΓΔ = ΓʹΑʹ και Δ̂ = Âʹ.
ΣΧΟΛΙΟ
Η συντομογραφία ΓΠΓ σημαίνει
γωνία, πλευρά, γωνία.
ΣΧΟΛΙΟ
Η συντομογραφία ΠΠΠ σημαί-
νει πλευρά, πλευρά, πλευρά.
Σχήµα 16
A
B Γ
Aʹ
Bʹ Γʹ
Δ
1
1
2
2
A
B Γ
Δ
Aʹ
Bʹ Γʹ
x
Σχήµα 17
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

24. 49
Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α
3.5 Ύπαρξη και µοναδικότητα καθέτου
Στο 2o κεφάλαιο αναφερθήκαμε στην κάθετη που φέρεται
από σημείο σε ευθεία. Στην παρούσα παράγραφο θα μελε-
τήσουμε τη μοναδικότητα και την ύπαρξή της.
Από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μοναδική κάθετος
στην ευθεία.
ΘΕΩΡΗΜΑ
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
Έστω ευθεία xʹx, σημείο Α εκτός αυτής και σημείο Μ της xʹx
(σχ.23). Αν η ΑΜ είναι κάθετη στην xʹx, τότε το θεώρημα
ισχύει ως προς την ύπαρξη της καθέτου. Έστω ότι η ΑΜ δεν
είναι κάθετη στην xʹx. Στο ημιεπίπεδο που ορίζει η xʹx και
δεν περιέχει το Α θεωρούμε την ημιευθεία Μy, ώστε να είναι
xM̂ y = AM̂ x και πάνω σε αυτή σημείο Β, ώστε ΜΑ = ΜΒ.
Επειδή τα σημεία Α, Β είναι εκατέρωθεν της xʹx, η xʹx τέμνει
την ΑΒ σε ένα εσωτερικό σημείο, έστω Κ. Αφού ΜΑ = ΜΒ
και M̂ 1 = M̂ 2, η ΜΚ είναι διχοτόμος στο ισοσκελές τρίγωνο
ΜΑΒ, άρα είναι και ύψος και επομένως ΑΒ⊥xʹx.
Έστω ότι υπάρχει και άλλη ευθεία ΑΛ κάθετη στην xʹx .
Τότε τα τρίγωνα ΑΜΛ και ΒΜΛ είναι ίσα, γιατί έχουν ΜΛ
κοινή, ΜΑ = ΜΒ και M̂ 1 = M̂ 2, οπότε θα είναι και Λ̂ 1 = Λ̂ 2.
Όμως Λ̂ 1= 90°, άρα και Λ̂ 2 = 90°, οπότε Λ̂ 1 + Λ̂ 2 = 180° το
οποίο σημαίνει ότι τα σημεία Α, Λ, Β είναι συνευθειακά,
δηλαδή η ΑΛ ταυτίζεται με την ΑΚ, που είναι άτοπο.
3.6 Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων
τριγώνων
Επειδή δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μια γωνία ίση, την
ορθή, από το 1ο (ΠΓΠ) και 2ο (ΓΠΓ) κριτήριο ισότητας
τυχαίων τριγώνων προκύπτει άμεσα ότι:
• Δύο ορθογώνια τρίγωνα, που έχουν τις κάθετες πλευ-
ρές τους ίσες μία προς μία, είναι ίσα. (σχ.24)
• Δύο ορθογώνια τρίγωνα, που έχουν μια κάθετη πλευ-
ρά και την προσκείμενη σε αυτή οξεία γωνία ίσες μία
προς μία, είναι ίσα. (σχ.25)
Η ισότητα ορθογώνιων τριγώνων εξασφαλίζεται ακόμη και
από τα επόμενα θεωρήματα.
1 1
2 2
xxʹ
A
B
y
Κ
Γ
ΛΜ
Σχήµα 23
A
Γ
B Aʹ
Γʹ
Bʹ
Σχήµα 24
A
Γ
B Aʹ
Γʹ
Bʹ
Σχήµα 25
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

25. 50
Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α
Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία
οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα.
ΘΕΩΡΗΜΑ Ι
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
Έστω δύο τρίγωναΑΒΓ καιΑʹΒʹΓʹ με Â = Âʹ = 90°, ΒΓ = ΒʹΓʹ
και B̂ = B̂ ʹ (σχ.26). Θα αποδείξουμε ότι είναι και ΑΒ = ΑʹΒʹ.
Έστω ότι ΑΒ ≠ ΑʹΒʹ , π.χ. ΑΒ > ΑʹΒʹ. Τότε στην πλευρά ΒΑ
υπάρχει σημείο Δ, ώστε ΒΔ = ΑʹΒʹ.
Τα τρίγωνα ΔΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ έχουν ΒΓ = ΒʹΓʹ, ΔΒ = ΑʹΒʹ και
B̂ = B̂ ʹ, επομένως είναι ίσα, οπότε θα είναι Δ̂ = Âʹ = 90°, δη-
λαδή ΓΔ⊥ΑΒ. Έτσι έχουμε ΓΑ⊥ΑΒ και ΓΔ⊥ΑΒ που είναι
άτοπο (μοναδικότητα καθέτου). Οδηγηθήκαμε σε άτοπο γιατί
υποθέσαμε ότι ΑΒ ≠ ΑʹΒʹ. Άρα ΑΒ = ΑʹΒʹ, οπότε τα τρίγωνα
ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ είναι ίσα, γιατί έχουν ΒΓ = ΒʹΓʹ, ΒΑ = ΒʹΑʹ
και B̂ = B̂ ʹ (ΠΓΠ).
Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και
μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε
είναι ίσα.
ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
Έστω δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ (σχ.27) με Â = Âʹ = 90°,
ΒΓ = ΒʹΓʹ και ΑΒ = ΑʹΒʹ. Θα αποδείξουμε ότι και B̂ = B̂ ʹ.
Στις προεκτάσεις των ΒΑ και ΒʹΑʹ θεωρούμε αντίστοιχα τα
σημεία Δ και Δʹ, ώστε να είναι ΑΔ = ΑΒ και ΑʹΔʹ = ΑʹΒʹ.
Τότε η ΓΑ είναι μεσοκάθετος του ΔΒ και η ΓʹΑʹ μεσοκά-
θετος του ΔʹΒʹ. Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι ΓΔ = ΓΒ και
ΓʹΔʹ = ΓʹΒʹ. Από τις τελευταίες ισότητες και την ΒΓ = ΒʹΓʹ
προκύπτει ότι ΓΔ = ΓʹΔʹ. Έτσι τα τρίγωνα ΓΔΒ και ΓʹΔʹΒʹ
έχουν ΓΔ = ΓʹΔʹ, ΒΓ = ΒʹΓʹ και ΔΒ = ΔʹΒʹ (ως διπλάσια των
ίσων τμημάτων ΑΒ και ΑʹΒʹ), επομένως είναι ίσα, οπότε
B̂ = B̂ ʹ. Τότε και τα αρχικά τρίγωνα είναι ίσα (ΠΓΠ).
Το ύψος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση
είναι διάμεσος και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής.
ΠΟΡΙΣΜΑ Ι
Η κάθετος που φέρεται από το κέντρο ενός κύκλου προς μια
χορδή του διχοτομεί τη χορδή και το αντίστοιχο τόξο της.
ΠΟΡΙΣΜΑ ΙΙ
Σχήµα 27
A BΔ
Γ
Γʹ
BʹAʹΔʹ
A
Γ
B Aʹ
Γʹ
BʹΔ
Σχήµα 26
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

26. 56
Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α
Συµµετρικά σχήµατα
3.8 Κεντρική συµµετρία
Στην §2.10 είδαμε πότε δύο σημεία Α, Αʹ λέγονται συμμε-
τρικά ως προς κέντρο ένα σημείο Ο (σχ.37).
Γενικότερα δύο σχήματα Σ, Σʹ λέγονται συμμετρικά ως
προς ένα σημείο Ο (σχ.38), αν και μόνο αν κάθε σημείο
του Σʹ είναι συμμετρικό ενός σημείου του Σ ως προς το Ο
και αντίστροφα. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο συμμετρίας
του σχήματος, που αποτελείται από τα συμμετρικά ως προς
το Ο σχήματα Σ και Σʹ. Δηλαδή ένα σημείο Ο λέγεται κέ-
ντρο συμμετρίας ενός σχήματος, όταν για κάθε σημείο Α του
σχήματος το συμμετρικό του Αʹ, ως προς το Ο, είναι επίσης
σημείο του σχήματος. Ένα σχήμα με κέντρο συμμετρίας
λέμε ότι παρουσιάζει κεντρική συμμετρία.
Av στρέψουμε ένα σχήμα Σ, με κέντρο συμμετρίας το Ο
(σχ.39), κατά 180
ο
γύρω από το Ο, θα πάρουμε ένα σχήμα
που θα συμπίπτει με το αρχικό.
A AʹΟ
Σχήµα 37
180ο
Ο
A
Σ
Σʹ
Aʹ
Σχήµα 38
180ο
Ο
A Aʹ
Σχήµα 39
Ερωτήσεις Κατανόησης
1. Συμπληρώστε τα κενά στις επόμενες προ-
τάσεις.
i) Ο γεωμετρικός τόπος των κορυφών
των ισοσκελών τριγώνων με γνωστή
βάση είναι ..........................................
ii) Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων
που ισαπέχουν από δύο τεμνόμενες
ευθείες είναι .......................................
Ασκήσεις Εµπέδωσης
1. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κο-
ρυφών Α των τριγώνων ΑΒΓ, που έχουν
σταθερή την πλευρά ΒΓ = α και τη διάμε-
σο ΑΜ με γνωστό μήκος.
2. Δίνεται κύκλος (Ο, R). Αν Ν τυχαίο ση-
μείο του κύκλου και Μ σημείο στην προέ-
κταση της ΟΝ, ώστε ΟΝ = ΝΜ, να βρεθεί
ο γεωμετρικός τόπος του Μ, όταν το Ν
διαγράφει τον κύκλο.
ΑΣΚΗΣΕΙΣΓΙΑΛΥΣΗ
ΣΧΟΛΙΟ
Από το προηγούμενο παράδειγμα γίνεται φανερό ότι η λύση ενός προβλήματος γεωμετρικού τόπου ακολουθεί
τα εξής στάδια:
Θεωρούμε ένα τυχαίο σημείο Μ του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου και με βάση τη χαρακτηριστική ιδιότητα
που έχει, προσδιορίζουμε τη γραμμή Γ πάνω στην οποία βρίσκεται.
Στη συνέχεια κατασκευάζουμε με τον κανόνα και το διαβήτη τη γραμμή αυτή και εξετάζουμε αν το τυχαίο
σημείο Ν της γραμμής αυτής ικανοποιεί τη χαρακτηριστική ιδιότητα του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου. Αν
αυτό συμβαίνει, τότε η γραμμή Γ είναι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος.
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

27. 57
Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α
Από τα γνωστά μας, μέχρι τώρα σχήματα:
• Το ευθύγραμμο τμήμα έχει κέντρο συμμετρίας το μέσο
του (σχ.40α).
• Η ευθεία έχει κέντρο συμμετρίας οποιοδήποτε σημείο
της (σχ.40β).
• Ο κύκλος έχει κέντρο συμμετρίας το κέντρο του (σχ.40γ).
α
β
γ
A BΟ
AΟAʹ xx΄
A
B
Bʹ
Aʹ
Ο
Σχήµα 40
ε
A
Aʹ
Σχήµα 42
ε
Σ Σʹ
AʹA
Σχήµα 43
Το συμμετρικό ευθύγραμμου τμήματος ως προς σημείο που δεν ανήκει στο φο-
ρέα του, είναι τμήμα ίσο με αυτό.
Απόδειξη
Έστω ένα τμήμα ΑΒ (σχ.41), σημείο Ο που δεν ανήκει
στην ευθεία ΑΒ και Αʹ, Βʹ τα συμμετρικά των Α, Β ως
προς το Ο αντίστοιχα. Επειδή ΟΑʹ = ΟΑ, OBʹ = OB και
ΑʹÔΒʹ =ΑÔΒ, τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΑʹΟΒʹ είναι ίσα, οπό-
τε ΑʹΒʹ = ΑΒ. Αρκεί να αποδείξουμε ότι τα τμήματα ΑΒ
και ΑʹΒʹ είναι συμμετρικά ως προς το Ο. Έστω σημείο Μ του ΑΒ και Μʹ η τομή της
ΜΟ με το ΑʹΒʹ. Από την προηγούμενη ισότητα τριγώνων έχουμε ότι Â = Âʹ, οπότε
τα τρίγωνα ΑΟΜ και ΑʹΟΜʹ είναι ίσα γιατί έχουν ΟΑʹ = ΟΑ, Â = Âʹ και Ô1 = Ô2.
Επομένως ΟΜʹ = ΟΜ, που σημαίνει ότι το Μʹ είναι συμμετρικό του Μ.
Όμοια το συμμετρικό κάθε σημείου Μʹ του ΑʹΒʹ είναι σημείο του ΑΒ. Άρα τα ΑΒ,
ΑʹΒʹ είναι συμμετρικά ως προς το Ο.
ΕΦΑΡΜΟΓΗ
1
2
A BΜ
Bʹ Μʹ Aʹ
Ο
Σχήµα 41
3.9 Αξονική συµµετρία
Στην §2.14 είδαμε πότε δύο σημεία Α, Αʹ λέγονται συμμε-
τρικά ως προς (άξονα) την ευθεία ε (σχ.42).
Γενικότερα δύο σχήματα Σ, Σʹ (σχ.43) λέγονται συμμετρικά
ως προς την ευθεία ε, αν και μόνον αν κάθε σημείο του Σʹ
είναι συμμετρικό ενός σημείου του Σ ως προς την ε και αντί-
στροφα. Η ευθεία ε λέγεται άξονας συμμετρίας του σχήμα-
τος που αποτελείται από τα σχήματα Σ και Σʹ. Δηλαδή μια
ευθεία ε λέγεται άξονας συμμετρίας ενός σχήματος, όταν για
κάθε σημείο Α του σχήματος το συμμετρικό του Αʹ, ως προς
την ε, είναι επίσης σημείο του σχήματος. Ένα σχήμα με
άξονα συμμετρίας λέμε ότι παρουσιάζει αξονική συμμετρία.
Αν ένα σχήμα έχει ως άξονα συμμετρίας μια ευθεία ε, τότε
η ε χωρίζει το σχήμα (σχ.44) σε δύο μέρη με τέτοιο τρόπο,
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

28. 59
Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α
Ανισοτικές σχέσεις
Στην ενότητα αυτή αποδεικνύουμε την ανισοτική σχέση που
ισχύει μεταξύ μιας εξωτερικής γωνίας ενός τριγώνου και
των απέναντι γωνιών του και την ανισοτική σχέση πλευρών
και γωνιών ενός τριγώνου. Επίσης, παρουσιάζουμε την τρι-
γωνική ανισότητα.
3.10 Σχέση εξωτερικής και απέναντι γωνίας
Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη
από καθεμία από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου.
ΘΕΩΡΗΜΑ
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρουμε τη διάμεσο ΒΔ (σχ.47) και
στην προέκτασή της, προς το Δ, θεωρούμε σημείο Ε, ώστε
ΔΕ = ΒΔ. Επειδή το Ε βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνί-
ας ΓÂx έχουμε ΓÂΕ < ΓÂx = Âεξ. Όμως τα τρίγωνα ΒΔΓ
και ΕΔΑ είναι ίσα γιατί έχουν: ΒΔ = ΔΕ, ΑΔ = ΔΓ και
Δ̂ 1 = Δ̂ 2, οπότε Γ̂ = ΓÂΕ. Από την τελευταία ισότητα και την
ΓÂΕ < Âεξ προκύπτει ότι Âεξ >Γ̂ . Όμοια αποδεικνύεται ότι
και Âεξ > B̂ .
i) Κάθε τρίγωνο έχει το πολύ μια γωνία ορθή ή αμβλεία.
ii) Το άθροισμα δύο γωνιών κάθε τριγώνου είναι μικρό-
τερο των 180°.
ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ
Ασκήσεις Εµπέδωσης
1. Να σχεδιάσετε τους άξονες συμμετρίας
των γραμμάτων: Α, Β, Δ, Η, Θ, Τ, Χ, Ψ.
2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Ο. Αν
Αʹ, Βʹ, Γʹ είναι τα συμμετρικά των Α, Β, Γ
ως προς το κέντρο Ο αντίστοιχα, να απο-
δειχθεί ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΑʹΒʹΓʹ είναι
συμμετρικά ως προς το Ο και ίσα.
3. Αν xʹÂʹyʹ είναι η συμμετρική της γωνίας
xÂy, ως προς κέντρο συμμετρίας ένα ση-
μείο Ο, εξωτερικό της xÂy, τότε να απο-
δειχθεί ότι xʹÂʹyʹ = xÂy.
4. Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό ενός τρι-
γώνου ΑΒΓ ως προς την ευθεία ΒΓ είναι
τρίγωνο ίσο με το ΑΒΓ.
5. Να αποδείξετε ότι η διχοτόμος μιας γωνί-
ας είναι άξονας συμμετρίας της.
6. Έστω ε, εʹ δύο κάθετοι που τέμνονται στο
Ο και ένα τυχαίο σημείο Μ. Αν Μʹ είναι
το συμμετρικό του Μ ως προς ε και Μʹʹ
το συμμετρικό του Μʹ ως προς εʹ, τότε να
αποδείξετε ότι:
i) ΟΜ = ΟΜʹʹ,
ii) τα σημεία Μ, Ο, Μʹʹ είναι συνευθεια-
κά.
ΑΣΚΗΣΕΙΣΓΙΑΛΥΣΗ
1
2
x
A Ε
B Γ
Δ
Σχήµα 47
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

29. 60
Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α
3.11 Ανισοτικές σχέσεις πλευρών
και γωνιών
Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται
όμοια άνισες γωνίες και αντίστροφα.
ΘΕΩΡΗΜΑ
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με β > γ (σχ.48). Τότε υπάρχει μοναδι-
κό εσωτερικό σημείο Δ της ΑΓ, ώστε ΑΔ = ΑΒ. Το τρίγωνο
ΑΒΔ είναι ισοσκελές με βάση ΒΔ και επομένως B̂ 1 = Δ̂ 1 = ω.
Επειδή η ΒΔ είναι εσωτερική ημιευθεία της γωνίας B̂ , είναι
B̂ > B̂ 1, ενώ η Δ̂ 1, ως εξωτερική γωνία του τριγώνου ΒΔΓ
είναι μεγαλύτερη από τη Γ̂ , δηλαδή Δ̂ 1 > Γ̂ . Έτσι έχουμε
B̂ > ω και ω > Γ̂ , επομένως B̂ > Γ̂ .
Αντίστροφα. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με B̂ > Γ̂ . Τότε θα είναι
και β > γ, γιατί αν ήταν β = γ ή β < γ θα είχαμε B̂ = Γ̂ ή B̂ < Γ̂
αντίστοιχα, που είναι άτοπο.
i) Αν μια γωνία ενός τριγώνου είναι ορθή ή αμβλεία,
τότε η απέναντι πλευρά της είναι η μεγαλύτερη πλευ-
ρά του τριγώνου.
ii) Αν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες ίσες, τότε είναι ισο-
σκελές.
iii) Αν ένα τρίγωνο έχει και τις τρεις γωνίες του ίσες,
τότε είναι ισόπλευρο.
ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ
3.12 Τριγωνική ανισότητα
Γνωρίζουμε ότι ο συντομότερος δρόμος μεταξύ δύο σημεί-
ων είναι η ευθεία που τα συνδέει. Αυτό εκφράζεται από το
επόμενο θεώρημα.
Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα
των δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους.
ΘΕΩΡΗΜΑ
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Θα αποδείξουμε αρχικά ότι α < β + γ
(σχ.49). Γι’ αυτό προεκτείνουμε την πλευρά ΒΑ, προς το Α,
κατά τμήμα ΑΔ = ΑΓ. Τότε το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ισοσκε-
λές και η ΓΑ εσωτερική ημιευθεία της ΒΓ̂ Δ, οπότε έχουμε
αντίστοιχα Δ̂ = Γ̂ 1 και Γ̂ 1 < ΒΓ̂ Δ. Από τις σχέσεις αυτές προ-
ω
ω
A
B Γ
Δ1
1
Σχήµα 48
1
β
A
β
γ
αB Γ
Δ
Σχήµα 49
ΣΧΟΛΙΟ
Το διπλανό πόρισμα (ii) είναι
το αντίστροφο του πορίσματος I
της §3.2. Τα δύο αυτά πορίσμα-
τα συνοψίζονται στο εξής: ένα
τρίγωνο είναι ισοσκελές αν και
μόνο αν έχει δύο γωνίες ίσες.
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

30. 65
Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α
Αν δύο πλάγια τμήματα είναι ίσα, τότε τα ίχνη τους ισα-
πέχουν από το ίχνος της καθέτου, και αντίστροφα.
ΘΕΩΡΗΜΑ I
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
Έστω ΑΒ και ΑΓ δύο ίσα πλάγια τμήματα και ΑΚ το κά-
θετο τμήμα (σχ.55). To τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές και
το ΑΚ ύψος του, επομένως θα είναι και διάμεσος, δηλαδή
ΚΒ = ΚΓ.
Αντίστροφα. Έστω ότι ΚΒ = ΚΓ. Στο τρίγωνο ΑΒΓ το ΑΚ
είναι ύψος και διάμεσος, άρα (εφαρμογή §3.12) το τρίγωνο
είναι ισοσκελές, δηλαδή ΑΒ = ΑΓ.
Αν από ένα σημείο εκτός ευθείας φέρουμε το κάθετο και
δύο πλάγια ευθύγραμμα τμήματα τότε:
(i) Το κάθετο τμήμα είναι μικρότερο από κάθε πλάγιο.
(ii) Αν δύο πλάγια τμήματα είναι άνισα, τότε και οι απο-
στάσεις των ιχνών τους από το ίχνος της καθέτου
είναι ομοιοτρόπως άνισες και αντίστροφα.
ΘΕΩΡΗΜΑ II
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
i) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΚΒ (σχ.56), η γωνία K̂ είναι
η μεγαλύτερη ως ορθή. Επομένως η πλευρά ΑΒ είναι η
μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου και, άρα, ΑΒ > ΑΚ.
ii) Έστω ευθεία ε και σημείο Α εκτός αυτής. Θεωρούμε
την κάθετο ΑΚ στην ε και δύο πλάγια τμήματα ΑΒ, ΑΓ,
όπου Β, Γ σημεία της ε (σχ.57).
Χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι
και τα δύο ίχνη Β, Γ των πλάγιων τμημάτων ανήκουν στην
ίδια ημιευθεία που ορίζει το σημείο Κ.
Ας υποθέσουμε ότι ΚΓ > ΚΒ (σχ.57). Θα αποδείξουμε ότι
ΑΓ > ΑΒ. Αφού το Β είναι μεταξύ των Κ, Γ, η ΑB̂ Γ εί-
ναι εξωτερική του ορθογώνιου τριγώνου ΚΑΒ, επομένως
ΑB̂ Γ > K̂ = 1⌊, δηλαδή η ΑB̂ Γ είναι αμβλεία. Στο τρίγωνο
ΑΒΓ η πλευράΑΓ βρίσκεται απέναντι από τηνΑB̂ Γ, συνεπώς
είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου, δηλαδή ΑΓ > ΑΒ.
Αντίστροφα. Ας υποθέσουμε ότι ΑΓ > ΑΒ. Αν ήταν
ΚΓ = ΚΒ, τότε θα είχαμε ΑΓ = ΑΒ, που είναι άτοπο. Αν
ΚΓ < ΚΒ, τότε σύμφωνα με το προηγούμενο θα είχαμε ότι
ΑΓ < ΑΒ, που είναι επίσης άτοπο. Επομένως ΚΓ > ΚΒ.
A
B ΓΚ
Σχήµα 55
A
B Κ
Σχήµα 56
A
BΓ Κ
ε
Σχήµα 57
ΣΧΟΛΙΟ
Την ιδιότητα (i) του Θεωρήμα-
τος II, που έχει το κάθετο τμήμα
συνήθως εκφράζουμε και ως: η
απόσταση ενός σημείου Α από
μία ευθεία ε είναι μικρότερη από
την απόσταση του Α από τυχόν
σημείο της ευθείας.
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

31. 67
Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α
κλο και λέγεται εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α.
Το σημείο Α λέγεται σημείο επαφής της ευθείας με τον
κύκλο. Επίσης, στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία
xʹx εφάπτεται του κύκλου (Ο, R) στο σημείο Α. Είναι
φανερό ότι:
Η ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής είναι κάθετη
στην εφαπτομένη.
Η εφαπτομένη του κύκλου σε κάθε σημείο του είναι μο-
ναδική.
• Έστω δ < R (σχ.58γ). Τότε το Α είναι εσωτερικό σημείο
του κύκλου. Πάνω στην ημιευθεία Αx θεωρούμε ένα ση-
μείο Μ, ώστε ΑΜ = R. Τότε το Μ είναι εξωτερικό σημείο
του κύκλου, αφού ΟΜ > ΑΜ = R. Έτσι η ημιευθεία Αx,
αφού διέρχεται από ένα εσωτερικό σημείο, το Α, και ένα
εξωτερικό, το Μ, είναι φανερό ότι έχει ένα μοναδικό κοι-
νό σημείο με τον κύκλο, το Β. Όμοια και η ημιευθεία Αxʹ
έχει ένα κοινό σημείο με τον κύκλο, το Βʹ.
Επομένως, η xʹx έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο. Στην
περίπτωση αυτή η ευθεία xʹx, λέγεται τέμνουσα του κύκλου
και τα κοινά της σημεία με τον κύκλο λέγονται σημεία το-
μής της με τον κύκλο. Επίσης λέμε ότι η ευθεία τέμνει τον
κύκλο.
Ανακεφαλαιώνοντας έχουμε:
• Αν δ > R, η ευθεία δεν έχει κοινά σημεία με τον κύκλο.
• Αν δ = R, η ευθεία έχει ένα μόνο κοινό σημείο με τον
κύκλο.
• Αν δ < R, η ευθεία έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο.
Με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο αποδεικνύονται και
τα αντίστροφα των παραπάνω συμπερασμάτων. Με την ίδια
επίσης μέθοδο αποδεικνύεται και το επόμενο θεώρημα.
Μια ευθεία και ένας κύκλος έχουν το πολύ δύο κοινά
σημεία.
ΘΕΩΡΗΜΑ I
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
Ας υποθέσουμε ότι μια ευθεία ε και ένας κύκλος (Ο, ρ) έχουν
τρία κοινά σημεία, ταΑ, Β, Γ (σχ. 59). Επειδή ΟΑ= ΟΒ (= ρ)
και ΟΒ = ΟΓ (= ρ), οι μεσοκάθετοι ξ, ζ των ΑΒ, ΒΓ αντί-
στοιχα, διέρχονται από το Ο. Έτσι από το σημείο Ο έχουμε
δύο διαφορετικές κάθετες στην ε, τις ξ, ζ, που είναι άτοπο.
ε
ζ ξ
B
Γ
Ο
A
Σχήµα 59
ΣΧΟΛΙΟ
Από το προηγούμενο θεώρημα
προκύπτει ότι τρία οποιαδήπο-
τε σημεία ενός κύκλου δεν είναι
συνευθειακά. Στην §4.5 θα δού-
με ότι από τρία μη συνευθειακά
σημεία διέρχεται ένας κύκλος,
που είναι και μοναδικός.
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

32. 81
Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 4 . Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ε Σ Ε Υ Θ Ε Ι Ε Σ
η εξωτερική γωνία φ του τριγώνου ΑΒΓ θα είναι ίση με την
απέναντι εσωτερική γωνία ω, που είναι άτοπο. (§3.10)
Άρα ε1//ε2.
Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δύο
εντός, εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες ή δύο εντός
και επί τα αυτά μέρη παραπληρωματικές, τότε είναι πα-
ράλληλες.
ΠΟΡΙΣΜΑ Ι
Δύο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία, σε διαφορετικά
σημεία της, είναι μεταξύ τους παράλληλες.
ΠΟΡΙΣΜΑ ΙΙ
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
Πράγματι οι γωνίες ω και φ (σχ.4α) είναι ορθές, οπότε
ω = φ. Άρα ε1//ε2.
Θα εξετάσουμε τώρα αν από σημείο εκτός ευθείας μπορού-
με να φέρουμε παράλληλες ευθείες προς αυτή και πόσες.
Έστω λοιπόν, ευθεία ε και σημείο Α εκτός αυτής (σχ.4β).
Φέρουμε την ΑΒ⊥ε και ονομάζουμε εʹ την ευθεία που είναι
κάθετη στην ΑΒ στο σημείο Α. Τότε εʹ//ε (αφού και οι δύο
είναι κάθετες στην ΑΒ).
Έτσι λοιπόν υπάρχει ευθεία εʹ που διέρχεται από ένα ση-
μείο Α που δεν ανήκει στην ε και είναι παράλληλη προς
την ευθεία ε. Δεχόμαστε ως αξίωμα ότι η ευθεία αυτή είναι
μοναδική, δηλαδή:
Αίτηµα παραλληλίας
Από σημείο εκτός ευθείας άγεται μία μόνο παράλλη-
λη προς αυτή.
Γ
A
ε
B
ω
φ
ε1
ε2
Σχήµα 3
ε1
ε2
ε
ε
ω
φ
A
B
A
B
(α)
(β)
Σχήµα 4
ΣΧΟΛΙΟ
Το παραπάνω αξίωμα είναι ισοδύναμο με το 5ο
αίτημα των “Στοιχεί-
ων” του Ευκλείδη (Ευκλείδειο αίτημα).
Το Ευκλείδειο αίτημα ή κάποιο ισοδύναμό του καθορίζει τη φύση
ολόκληρης της Γεωμετρίας και αποτελεί βάση για τα περισσότερα
θεωρήματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.
(βλ. Ιστορικό σημείωμα, σελ. 96)
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

33. 82
Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α
Ιδιότητες παράλληλων ευθειών
Άμεσες συνέπειες του αιτήματος παραλληλίας είναι οι πα-
ρακάτω προτάσεις.
ΠΡΟΤΑΣΗ Ι
Αν δυο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, σχημα-
τίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες.
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
Έστω ότι ε1//ε2 και ε μια τέμνουσα (σχ.5). Θα αποδείξουμε
π.χ. ότι ω = φ. Αν οι γωνίες ω και φ δεν είναι ίσες, φέρουμε
την Αx ώστε οι γωνίες xÂB και φ να βρίσκονται εκατέρωθεν
της ε και να είναι ίσες. Τότε Αx//ε2 γιατί τεμνόμενες από την
ΑΒ σχηματίζουν δύο εντός και εναλλάξ γωνίες ίσες. Κατά
συνέπεια υπάρχουν δύο παράλληλες από το Α προς την ε2,
που είναι άτοπο. Άρα ω = φ.
Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη σχημα-
τίζουν
i) τις εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες,
ii) τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωμα-
τικές.
ΠΟΡΙΣΜΑ
ΠΡΟΤΑΣΗ ΙΙ
Αν δύο διαφορετικές ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες
προς μία τρίτη ευθεία ε, τότε είναι και μεταξύ τους πα-
ράλληλες, δηλαδή αν ε1//ε και ε2//ε, τότε ε1//ε2.
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
Αν οι ε1 και ε2 τέμνονταν σε σημείο Α, θα είχαμε από το Α
δύο παράλληλες προς την ε, που είναι άτοπο. Άρα ε1//ε2.
ΠΡΟΤΑΣΗ ΙΙΙ
Αν δύο ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες και μία τρίτη
ευθεία ε τέμνει τη μία από αυτές, τότε η ε θα τέμνει και
την άλλη.
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
Υποθέτουμε ότι η ε τέμνει την ε1 στο Α. Αν η ε δεν έτεμνε
την ε2, θα ήταν ε//ε2 και έτσι θα είχαμε από το Α δύο παράλ-
ληλες προς την ε2, πράγμα αδύνατο. Άρα η ε τέμνει την ε2.
ε1
ε
φ
ω
ε2
A
B
x
Σχήµα 5
A
ε1
ε2
ε
Σχήµα 6
ε
A ε1
ε2
Σχήµα 7
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

34. 83
Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 4 . Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ε Σ Ε Υ Θ Ε Ι Ε Σ
Αν μια ευθεία είναι κάθετη σε μια από δύο παράλληλες
ευθείες, τότε είναι κάθετη και στην άλλη.
ΠΟΡΙΣΜΑ
ΠΡΟΤΑΣΗ ΙV
Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν τις
εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες με άθροισμα μικρότε-
ρο από 2 ορθές, τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος
της τέμνουσας που βρίσκονται οι γωνίες.
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
Έστω ότι η ε τέμνει τις ε1, ε2 στα Α και Β (σχ.8) αντίστοιχα
και ότι φ + ω ≠ 2⌊. Τότε οι ε1 και ε2 δεν είναι παράλληλες,
αφού φ + ω ≠ 2⌊ (Πόρισμα σελ. 82). Έστω ότι οι ε1 και ε2
τέμνονται σε σημείο Κ, προς το μέρος της τέμνουσας, που
δεν περιέχει τις γωνίες ω και φ. Τότε, όμως, η εξωτερική
γωνία ω του τριγώνου ΑΚΒ είναι μεγαλύτερη από τη γωνία
Â1, δηλαδή ω > Â1 = 2⌊ – φ ή ω + φ > 2⌊, που είναι άτοπο.
Άρα οι ε1, ε2 τέμνονται προς το μέρος της τέμνουσας που
βρίσκονται οι γωνίες ω και φ.
Η κατασκευή τριγώνου με δοσμένη μία πλευρά και τις
δύο προσκείμενες σε αυτή γωνίες έχει λύση, αν και μόνο
αν το άθροισμα των δύο γωνιών είναι μικρότερο των δύο
ορθών. (βλέπε §3.18 - Πρόβλημα 2)
ΠΟΡΙΣΜΑ
4.3 Κατασκευή παράλληλης ευθείας
Είδαμε παραπάνω ότι υπάρχει ευθεία εʹ, η οποία διέρχεται
από ένα σημείο Α και είναι παράλληλη προς γνωστή ευθεία
ε. Για την κατασκευή της εʹ φέρουμε από το Α ένα πλάγιο
τμήμα ΑΒ προς την ε και ονομάζουμε φ την οξεία γωνία που
σχηματίζει το ΑΒ με την ε. Μεταφέρουμε τη γωνία φ (§2.6)
ώστε να έχει κορυφή το Α, η μια πλευρά της να είναι η ΑΒ
και η άλλη πλευρά της ΑΓ να βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που
δεν ανήκει η γωνία φ. Επειδή ΓÂΒ = φ έχουμε ΑΓ//ε, αφού
τεμνόμενες από την ΑΒ, σχηματίζουν δύο εντός και εναλλάξ
γωνίες ίσες. Έτσι η ευθεία ΑΓ είναι η ζητούμενη ευθεία εʹ.
A
ε
ε1
ε2
ω
φ
B
1
Κ
Σχήµα 8
Γ A ε
ε
φ
φ
B
Σχήµα 9
ΣΧΟΛΙΟ
Η πρόταση IV αποτελεί βασικό
κριτήριο με το οποίο εξετάζου-
με αν δύο ευθείες τέμνονται.
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

35. 86
Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και οι διχοτόμοι ΒΕ και ΓΖ των γωνιών
του B̂ και Γ̂ αντίστοιχα. Οι ΒΕ και ΓΖ τέμνονται σε σημείο I
αφού ΕB̂ Γ + ΖΓ̂ Β =
B̂
2
+
Γ̂
2
< B̂ + Γ̂ < 2⌊. (§4.2 - Πρόταση IV)
Το Ι ως σημείο της διχοτόμου της B̂ θα ισαπέχει από τις πλευ-
ρές της ΒΑκαι ΒΓ, δηλαδή ΙΛ = ΙΘ.Ανάλογα το Ι θα ισαπέχει
από τις πλευρές της Γ̂ , δηλαδή ΙΘ = ΙΝ. Επομένως το Ι ισαπέχει
από τις ΑΒ και ΑΓ και θα ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας Â.
Τελικά, το Ι είναι το σημείο τομής και των τριών διχοτόμων
του τριγώνου. Με κέντρο το Ι και ακτίνα την κοινή από-
σταση του Ι από τις πλευρές του ΑΒΓ, γράφεται κύκλος που
εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του τριγώνου.
Οι παρεγγεγραµµένοι κύκλοι τριγώνου
Η ιδιότητα των εσωτερικών διχοτόμων ενός τριγώνου να διέρχονται από το ίδιο
σημείο ισχύει και όταν θεωρήσουμε δύο εξωτερικές και μία εσωτερική διχοτόμο
του τριγώνου. Οι τρεις αυτές διχοτόμοι τέμνονται σε σημείο το οποίο είναι κέντρο
κύκλου που εφάπτεται στη μία πλευρά του τριγώνου και στις προεκτάσεις των δύο
άλλων. Ο κύκλος αυτός λέγεται παρεγγεγραμμένος και το κέντρο του παράκεντρο
του τριγώνου. Σε κάθε τρίγωνο υπάρχουν τρία παράκεντρα, τα οποία συμβολίζουμε
Ια, Ιβ, Ιγ, και κατά συνέπεια τρεις παρεγγεγραμμένοι κύκλοι (σχ.17α,β).
Οι διχοτόμοι δύο εξωτερικών γωνιών ενός τριγώνου και η ημιευθεία που διχοτο-
μεί την τρίτη γωνία του τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι
κέντρο κύκλου που εφάπτεται στη μία πλευρά του τριγώνου και στις προεκτά-
σεις των δύο άλλων.
Απόδειξη
ΕΦΑΡΜΟΓΗ
A
B Γ
α β
Ιγ
Ιβ
Ια
Ια
x
y
B
Γ
A
Σχήµα 17
A
B ΓΔ
Ε
Ζ
Θ
Λ
Ν
Ι
Σχήµα 16
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος