Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21

Μιχάλης Γιαννόπουλος
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Γ΄ ΕΠΑΛ - Οδηγός Επιβίωσης
ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΗ ΓΕΩΡΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ
2020 – 21
02.09.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 1 of 35

Οδηγός Επιβίωσης 1
Επιμέλεια: Μιχάλης Γιαννόπουλος email: mgiann@afs.edu.gr τηλ.: 6972.610.518
 Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα σε ένα διάστημα Δ του
πεδίου ορισμού της;
(Επαν. ‘16)
Απάντηση:
Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου
ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία 1 2, Δx x  με 1 2x x ισχύει ( ) ( )1 2f x f x .
 Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα σε ένα διάστημα Δ του
πεδίου ορισμού της;
Απάντηση:
Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου
ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία 1 2, Δx x  με 1 2x x ισχύει ( ) ( )1 2f x f x .
Παρατήρηση:
Μια συνάρτηση που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα λέγεται γνησίως
μονότονη.
 Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό
μέγιστο στο 1 Ax  ;
(Επαν. ‘17)
Απάντηση:
Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο
1 Ax  , όταν ( ) ( )1f x f x για κάθε x σε μια περιοχή του 1x .
 Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό
ελάχιστο σε ένα σημείο 2 Ax  ;
Απάντηση:
Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο
2 Ax  , όταν ( ) ( )2f x f x για κάθε x σε μια περιοχή του 2x .
Παρατηρήσεις:
- Ένα τοπικό ελάχιστο μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα τοπικό μέγιστο.
- Τα μέγιστα και τα ελάχιστα μιας συνάρτησης, τοπικά ή ολικά, λέγονται ακρότατα της
συνάρτησης.
ΘΕΩΡΙΑ

2 Μαθηματικά
 Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής;
(Επαν. ’17, Παν. ‘20)
Απάντηση:
Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής, αν για κάθε 0 Ax  ισχύει
( ) ( )0
0lim
x x
f x f x
→
= .
- Το χαρακτηριστικό γνώρισμα μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα κλειστό διάστημα
είναι ότι η γραφική της παράσταση είναι μια συνεχής καμπύλη, δηλαδή για το
σχεδιασμό της δε χρειάζεται να σηκώσουμε το μολύβι από το χαρτί.
- Οι γνωστές μας συναρτήσεις, πολυωνυμικές, τριγωνομετρικές, αλλά και όσες
προκύπτουν από πράξεις μεταξύ αυτών είναι συνεχείς συναρτήσεις.
 Τι ονομάζουμε παράγωγο της f στο 0x και πως συμβολίζεται αυτή;
Απάντηση:
Παράγωγος της f στο 0x ονομάζουμε το όριο
( ) ( )0
0
lim o
h
f x h f x
h→
+ −
και συμβολίζεται με
( )0f x . Δηλ., ( )
( ) ( )0
0
0
lim o
h
f x h f x
f x
h→
+ −
 = .
- Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0x του πεδίου ορισμού, όταν το
όριο
( ) ( )0
0
lim o
h
f x h f x
h→
+ −
υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. (Παν. ‘18, Επαν. ‘19)
- Η παράγωγος της f στο 0x εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του ( )y f x= ως προς x,
όταν 0x x= .
- Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει ( ) 0f x  για
κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.
- Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει ( ) 0f x  για
κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.
- Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν ( )0 0f x = για ( )0 ,x   , ( ) 0f x  στο ( )0,x , και
( ) 0f x  στο ( )0 ,x  , τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα ( ),  για 0x x= μέγιστο.
- Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν ( )0 0f x = για ( )0 ,x   , ( ) 0f x  στο ( )0,x , και
( ) 0f x  στο ( )0 ,x  , τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα ( ),  για 0x x= ελάχιστο.
- Αν για την f ισχύει ( )0 0f x = για ( )0 ,x   και η παράγωγός της f  διατηρεί
πρόσημο εκατέρωθεν του 0x , τότε η f είναι γνησίως μονότονη στο ( ),  και δεν
παρουσιάζει ακρότατο στο διάστημα αυτό.

 Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης ( )f x c= είναι 0,
δηλαδή ( ) 0c  = , για κάθε x  .
(Επαν. ‘19)
Απάντηση:
Έχουμε ( ) ( ) 0f x h f x c c+ − = − =
και για 0h ,
( ) ( ) 0
f x h f x
h
+ −
= .
Επομένως,
( ) ( )
0
lim 0
h
f x h f x
h→
+ −
= .
Άρα ( ) 0c  = .
 Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης ( )f x x= είναι 1,
δηλαδή ( ) 1x  = , για κάθε x  .
(Παν. ‘16, Παν. ‘19)
Απάντηση:
Έχουμε ( ) ( ) ( )f x h f x x h x h+ − = + − =
( ) ( ) 1
f x h f x h
h h
+ −
= = .
Επομένως,
( ) ( )
0 0
lim lim1 1
h h
f x h f x
h→ →
+ −
= = .
Άρα ( ) 1x  = .
 Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης ( ) 2
f x x= είναι 2x, δηλαδή
( )2
2x x = , για κάθε x  .
(Παν. ‘20)
Απάντηση:
Έχουμε ( ) ( ) ( )
2 2
f x h f x x h x+ − = + − = ( )2 2 2
2 2x xh h x x h h= + + − = +
( ) ( ) ( )2
2
f x h f x x h h
x h
h h
+ − +
= = + .
Επομένως,
( ) ( )
( )0 0
lim lim 2 2
h h
f x h f x
x h x
h→ →
+ −
= + = .
Άρα ( )2
2x x = .
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c πραγματική σταθερά, να
αποδείξετε ότι ( )( ) ( )c f x c f x  =  , για κάθε x  .
(Επαν. ‘16, Επαν. ‘18)
Απάντηση:
Έστω η συνάρτηση ( ) ( )F x c f x=  .
Έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )F x h F x c f x h c f x c f x h f x+ − =  + −  =  + −
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )c f x h f xF x h F x f x h f x
c
h h h
 + −+ − + −
= =  .
Επομένως,
( ) ( ) ( ) ( )
( )0 0
lim lim
h h
F x h F x f x h f x
c c f x
h h→ →
 + − + −
=  =  
 
.
Άρα ( )( ) ( )c f x c f x  =  .
 Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι
( ) ( )( ) ( ) ( )f x g x f x g x  + = + , για κάθε x  .
(Παν. ‘17)
Απάντηση:
Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) ( )F x f x g x= + .
Έχουμε ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )F x h F x f x h g x h f x g x+ − = + + + − + =
( ) ( )( ) ( ) ( )( )f x h f x g x h g x= + − + + −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F x h F x f x h f x g x h g x
h h h
+ − + − + −
= + .
Επομένως,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )0 0 0
lim lim lim
h h h
F x h F x f x h f x g x h g x
f x g x
h h h→ → →
+ − + − + −
 = + = + .
Άρα ( ) ( )( ) ( ) ( )f x g x f x g x  + = + .

Πράξεις συναρτήσεων
Αν δύο συναρτήσεις f, g ορίζονται και οι δύο σε ένα σύνολο Α, τότε ορίζονται οι
συναρτήσεις:
 Το άθροισμα S f g= + , με ( ) ( ) ( ), AS x f x g x x= + 
 Η διαφορά D f g= − , με ( ) ( ) ( ), AD x f x g x x= − 
 Το γινόμενο P f g=  , με ( ) ( ) ( ), AP x f x g x x=  
 Το πηλίκο
f
R
g
= , με ( )
( )
( )
( ), A και g 0
f x
R x x x
g x
=  
Γραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων
Μονοτονία
Αν η f είναι γν. αύξουσα (1) στο Δ, τότε 1 2, Δx x  ισχύει: ( ) ( )1 2 1 2x x f x f x  
Αν η f είναι γν. φθίνουσα (2) στο Δ, τότε 1 2, Δx x  ισχύει: ( ) ( )1 2 1 2x x f x f x  
(Ισχύουν και τα αντίστροφα)
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

Ακρότατα
Αν η f παρουσιάζει τοπ. μέγιστο στο 1 Ax  , τότε ( ) ( )1f x f x x σε μια περιοχή του 1x .
Αν η f παρουσιάζει τοπ. μέγιστο στο 2 Ax  , τότε ( ) ( )2f x f x x σε μια περιοχή του 2x .
(Ισχύουν και τα αντίστροφα)
Όρια
Αν ( )0
1lim
x x
f x
→
= και ( )0
2lim
x x
g x
→
= , όπου 1 2,  , τότε:
 ( ) ( )( )→
 = 
0
1 2lim
x x
f x g x 
( )
( )0
1
2
lim
x x
f x
g x→
 
=  
 
 ( )( )0
1lim
x x
k f x k
→
 =   ( )( )0
1lim
v v
x x
f x
→
=
 ( ) ( )( )0
1 2lim
x x
f x g x
→
 =   ( )0
1lim vv
x x
f x
→
=
Συνέχεια
Αν η f είναι συνεχής στο 0 Ax  , τότε ( ) ( )0
0lim
x x
f x f x
→
= (Ισχύει και το αντίστροφο)
Παράγωγος
Αν το
( ) ( )0
0
lim o
h
f x h f x
h→
+ −
υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, τότε η f είναι
παραγωγίσιμη στο σημείο 0x και ισχύει ( )
( ) ( )0
0
0
lim o
h
f x h f x
f x
h→
+ −
 =
Ρυθμός μεταβολής
Παράγωγος της f στο 0x  Ρυθμός μεταβολής της f ως προς x, όταν 0x x= .
Παράγωγος της f στο 0x  Συντελεστής διεύθυνσης (κλίση) της εφαπτομένης της fC στο 0x .
Παράγωγος της f στο 0x  εφω, όπου ω η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της fC
στο 0x με τον ημιάξονα Οx.
Θέση – Ταχύτητα – Επιτάχυνση
Αν τη χρονική στιγμή t, η θέση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση ενός κινητού είναι
( ) ( ) ( ), καιx t t t  αντίστοιχα, τότε ισχύουν: ( ) ( )t x t = και ( ) ( ) ( )t t x t  = =

Τύποι παραγώγισης
Κανόνες παραγώγισης
• ( ) 0 =c
• ( ) =1x
• ( ) 
 − =  1
x x
• ( )ημ συν =x x
• ( )συν ημ = −x x
• ( )
=
1
2
x
x
•
 
= − 
 
2
1 1
x x
• ( )εφ
συν
 = 2
1
x
x
• ( )σφ
ημ
 = − 2
1
x
x
• ( ) ( )( ) ( ) ( )   = f x g x f x g x
• ( )( ) ( )  = c f x c f x
• ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )   =  + f x g x f x g x f x g x
•
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
2
    − 
=  
 
f x f x g x f x g x
g x g x
• ( )( )( ) ( )( ) ( )  = f g x f g x g x

 Σε ποιες κατηγορίες διακρίνονται οι μεταβλητές;
(Παν. ‘19)
Απάντηση:
Τις μεταβλητές τις διακρίνουμε:
1. Σε ποιοτικές ή κατηγορικές μεταβλητές, των οποίων οι τιμές τους δεν είναι αριθμοί.
2. Σε ποσοτικές μεταβλητές, των οποίων οι τιμές είναι αριθμοί και διακρίνονται:
i. Σε διακριτές μεταβλητές, που παίρνουν μόνο ¨μεμονωμένες¨ τιμές.
ii. Σε συνεχείς μεταβλητές, που μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιμή ενός διαστήματος
πραγματικών αριθμών ( ),α β .
 Τι ονομάζεται συχνότητα iv και με τι ισούται το άθροισμα όλων των
συχνοτήτων;
(Παν. ‘18)
Απάντηση:
(Απόλυτη) συχνότητα iv ονομάζεται ο φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές
εμφανίζεται η τιμή ix της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Το
άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το μέγεθος v, του δείγματος, δηλαδή:
1 2 ... κv v v v+ + + = .
 Τι ονομάζεται σχετική συχνότητα if της τιμής ix ; Ποιες είναι οι ιδιότητες της
σχετικής συχνότητας;
(Παν. ‘18)
Απάντηση:
Αν διαιρέσουμε τη συχνότητα iv με το μέγεθος v του δείγματος, προκύπτει η σχετική
συχνότητα if της τιμής ix , δηλαδή i
i
v
f
v
= , 1,2,...,i κ= .
Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:
i) 0 1if  για 1,2,...,i κ=
ii) 1 2 ... 1κf f f+ + + =
Διαγράμματα – Πολύγωνα:
- Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας
ποιοτικής μεταβλητής.
- Το διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποσοτικής
μεταβλητής.
ΘΕΩΡΙΑ

- Ενώνοντας τα σημεία ( ),i ix v σε ένα διάγραμμα συχνοτήτων ή ( ),i ix f σε ένα διάγραμμα
σχετικών συχνοτήτων έχουμε το λεγόμενο πολύγωνο συχνοτήτων ή πολύγωνο
σχετικών συχνοτήτων, αντίστοιχα, που μας δίνουν μια γενική ιδέα για τη μεταβολή
της συχνότητας ή της σχετικής συχνότητας όσο μεγαλώνει η τιμή της μεταβλητής που
εξετάζουμε.
- Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τόσο των
ποιοτικών όσο και των ποσοτικών δεδομένων, όταν οι διαφορετικές τιμές της
μεταβλητής είναι σχετικά λίγες.
- Όταν έχουμε λίγες παρατηρήσεις, η κατανομή τους μπορεί να περιγραφεί με το
σημειόγραμμα, στο οποίο οι τιμές παριστάνονται γραφικά σαν σημεία υπεράνω ενός
οριζόντιου άξονα.
- Το χρονόγραμμα ή χρονολογικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική
απεικόνιση της διαχρονικής εξέλιξης ενός οικονομικού, δημογραφικού ή άλλου
μεγέθους.
- Ιστόγραμμα συχνοτήτων ονομάζεται η γραφική παράσταση ενός πίνακα συχνοτήτων
με ομαδοποιημένα δεδομένα.
- Αν στα ιστογράμματα συχνοτήτων θεωρήσουμε δύο ακόμη υποθετικές κλάσεις, στην
αρχή και στο τέλος, με συχνότητα μηδέν και στη συνέχεια ενώσουμε τα μέσα των άνω
βάσεων των ορθογωνίων με ευθύγραμμα τμήματα, σχηματίζεται το λεγόμενο
πολύγωνο συχνοτήτων. Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο
συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με το άθροισμα των συχνοτήτων, δηλαδή
με το μέγεθος του δείγματος ν. Όμοια κατασκευάζεται από το ιστόγραμμα σχετικών
συχνοτήτων και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων με εμβαδόν ίσο με 1.
- Αν ενώσουμε σε ένα ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων τα δεξιά άκρα (όχι μέσα)
των άνω βάσεων των ορθογωνίων με ευθύγραμμα τμήματα βρίσκουμε το πολύγωνο
αθροιστικών συχνοτήτων της κατανομής.
 Ποιες κατανομές συχνοτήτων γνωρίζετε;
Απάντηση:
Η κατανομή (β), με ¨κωδωνοειδή¨ μορφή λέγεται κανονική κατανομή και παίζει σπουδαίο
ρόλο στη Στατιστική. Όταν οι παρατηρήσεις ¨κατανέμονται¨ ομοιόμορφα σε ένα διάστημα
[α, β], όπως στην κατανομή (α), η κατανομή λέγεται ομοιόμορφη. Όταν οι παρατηρήσεις
δεν είναι συμμετρικά κατανεμημένες, η κατανομή λέγεται ασύμμετρη και θετική
ασυμμετρία όπως στην κατανομή (γ) ή αρνητική ασυμμετρία όπως στην κατανομή (δ).

 Ποια είναι τα ποιο συνηθισμένα μέτρα θέσης;
Απάντηση:
Τα πιο συνηθισμένα μέτρα που χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός
συνόλου δεδομένων πάνω στον οριζόντιο άξονα Ox, εκφράζοντας την ¨κατά μέσο όρο¨
απόστασή τους από την αρχή των αξόνων, είναι ο αριθμητικός μέσος ή μέση τιμή, η
διάμεσος και η κορυφή ή επικρατούσα τιμή.
 Τι ονομάζουμε μέση τιμή;
Απάντηση:
Η μέση τιμή ενός συνόλου ν παρατηρήσεων αποτελεί το σπουδαιότερο και χρησιμότερο
μέτρο της Στατιστικής και ορίζεται ως το άθροισμα των παρατηρήσεων διά του πλήθους
των παρατηρήσεων, δηλ. 1 2 1
1
... 1
v
i v
v i
i
i
t
t t t
x t
v v v
=
=
+ + +
= = =

 .
Σε μια κατανομή συχνοτήτων, αν 1 2, ,..., κx x x είναι οι τιμές της μεταβλητής X με συχνότητες
1 2, ,..., κv v v αντίστοιχα, η μέση τιμή ορίζεται ισοδύναμα από τη σχέση:
1 1 2 2 1
11 2
1
... 1
...
κ
i i κ
κ κ i
i iκ
iκ
i
i
x v
x v x v x v
x x v
v v v v
v
=
=
=
+ + +
= = =
+ + +



.
Η παραπάνω σχέση ισοδύναμα γράφεται:
1 1
κ κ
i
i i i
i i
v
x x x f
v= =
= =  , όπου if οι σχετικές
συχνότητες.
Η μέση τιμή επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις.
 Τι ονομάζουμε σταθμικό μέσο;
(Επαν. ‘19)
Απάντηση:
Στις περιπτώσεις που δίνεται διαφορετική βαρύτητα στις τιμές 1 2, ,..., vx x x ενός συνόλου
δεδομένων, τότε αντί του αριθμητικού μέσου χρησιμοποιούμε τον σταθμισμένο
αριθμητικό μέσο ή σταθμικό μέσο. Εάν σε κάθε τιμή 1 2, ,..., vx x x δώσουμε διαφορετική
βαρύτητα, που εκφράζεται με τους λεγόμενους συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας)
1 2, ,..., vw w w , τότε ο σταθμικός μέσος βρίσκεται από τον τύπο:
1 1 2 2 1
1 2
1
...
...
v
i i
v v i
v
v
i
i
x w
x w x w x w
x
w w w
w
=
=
+ + +
= =
+ + +



 Τι ονομάζουμε διάμεσο (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων οι οποίες έχουν
διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;
(Παν. ‘16, Επαν. ‘18)
Απάντηση:
Διάμεσος (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα
σειρά ορίζεται ως η μεσαία παρατήρηση, όταν το ν είναι περιττός αριθμός, ή ο μέσος όρος
(ημιάθροισμα) των δύο μεσαίων παρατηρήσεων όταν το ν είναι άρτιος αριθμός.
- Η διάμεσος δεν επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις.
- Η διάμεσος είναι η τιμή για την οποία το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι
μικρότερες από αυτήν και το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες από
την τιμή αυτή.
 Τι ονομάζουμε μέτρα διασποράς και ποια είναι τα σπουδαιότερα;
Απάντηση:
Τα μέτρα διασποράς εκφράζουν τις αποκλίσεις των τιμών μιας μεταβλητής γύρω από τα
μέτρα κεντρικής τάσης. Τα σπουδαιότερα μέτρα διασποράς είναι το εύρος, η
ενδοτεταρτημοριακή απόκλιση, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση.
 Τι ονομάζουμε εύρος;
Απάντηση:
Το απλούστερο από τα μέτρα διασποράς είναι το εύρος ή κύμανση (R), που ορίζεται ως η
διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από τη μέγιστη παρατήρηση, δηλαδή:
Εύρος R = Μεγαλύτερη παρατήρηση – Μικρότερη παρατήρηση
Το εύρος είναι ένα αρκετά απλό μέτρο, που υπολογίζεται εύκολα, δε θεωρείται όμως
αξιόπιστο μέτρο διασποράς, γιατί βασίζεται μόνο στις ακραίες παρατηρήσεις.
 Τι ονομάζουμε διακύμανση;
Απάντηση:
Ως ένα μέτρο διασποράς παίρνουμε το μέσο όρο των τετραγώνων των αποκλίσεων των it
από τη μέση τιμή τους x . Το μέτρο αυτό καλείται διακύμανση ή διασπορά (variance) και
ορίζεται από τη σχέση: ( )
22
1
1 v
i
i
s t x
v =
= − .
Ο τύπος αυτός παίρνει την ισοδύναμη μορφή:
2
12 2
1
1
v
iv
i
i
i
t
s t
v v
=
=
  
  
  = − 
 
 
 

 , η οποία διευκολύνει

σημαντικά τους υπολογισμούς κυρίως όταν η μέση τιμή x δεν είναι ακέραιος αριθμός.
Όταν έχουμε πίνακα συχνοτήτων ή ομαδοποιημένα δεδομένα, η διακύμανση ορίζεται από
τη σχέση: ( )
22
1
1 κ
i i
i
s x x v
v =
= − ή την ισοδύναμη μορφή:
2
12 2
1
1
κ
i iκ
i
i i
i
x v
s x v
v v
=
=
  
  
  = − 
 
 
 

 ,
όπου 1 2, ,..., κx x x οι τιμές της μεταβλητής (ή τα κέντρα των κλάσεων) με αντίστοιχες
συχνότητες 1 2, ,..., κv v v .
Η διακύμανση είναι μια αξιόπιστη παράμετρος διασποράς, αλλά έχει ένα μειονέκτημα.
Δεν εκφράζεται με τις μονάδες με τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις. Για
παράδειγμα, αν οι παρατηρήσεις εκφράζονται σε cm, η διακύμανση εκφράζεται σε cm2.
 Τι ονομάζουμε τυπική απόκλιση;
Απάντηση:
Αν πάρουμε τη θετική τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης, έχουμε ένα άλλο μέτρο
διασποράς που ονομάζεται τυπική απόκλιση, συμβολίζεται με s και δίνεται από τη
σχέση: 2
s s= .
Η τυπική απόκλιση εκφράζεται με την ίδια μονάδα μέτρησης του χαρακτηριστικού.
 Τι γνωρίζεται για την κανονική κατανομή;
Απάντηση:
Αν η καμπύλη συχνοτήτων για το χαρακτηριστικό
που εξετάζουμε είναι κανονική ή περίπου κανονική,
τότε η τυπική απόκλιση s έχει τις παρακάτω
ιδιότητες:
i) το 68% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται
στο διάστημα ( ),x s x s− +
ii) το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται
στο διάστημα ( )2 , 2x s x s− +
iii) το 99,7% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται
στο διάστημα ( )3 , 3x s x s− +
iv) το εύρος ισούται περίπου με έξι τυπικές
αποκλίσεις, δηλαδή 6R s

 Τι ονομάζουμε συντελεστή μεταβολής;
Απάντηση:
Ένα μέτρο το οποίο μας βοηθά στη σύγκριση ομάδων τιμών, που είτε εκφράζονται σε
διαφορετικές μονάδες μέτρησης είτε εκφράζονται στην ίδια μονάδα μέτρησης, αλλά έχουν
σημαντικά διαφορετικές μέσες τιμές, είναι ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής
μεταβλητότητας, ο οποίος ορίζεται (για 0x  ) από το λόγο:
τυπική απόκλιση
μέση τιμή
s
CV
x
= =
Αν 0x  τότε αντί της x χρησιμοποιούμε την x .
Ο συντελεστής μεταβολής είναι ανεξάρτητος από τις μονάδες μέτρησης, εκφράζεται επί
τοις εκατό και παριστάνει ένα μέτρο σχετικής διασποράς των τιμών και όχι της
απόλυτης διασποράς.
 Πότε ένα δείγμα είναι ομοιογενές;
Απάντηση:
Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής θα είναι ομοιογενές, εάν ο συντελεστής μεταβολής δεν
ξεπερνά το 10%, δηλ. 10%CV  .
Μεταξύ δύο δειγμάτων μεγαλύτερη ομοιογένεια έχει εκείνο το δείγμα με το μικρότερο
συντελεστή μεταβολής.

 Να αποδείξετε ότι 0 1if  για 1,2,...,i κ= .
Απάντηση:
Από τον τύπο της σχετικής συχνότητας i
i
v
f
v
= , 1,2,...,i κ= ισχύει 0 1if  για 1,2,...,i κ=
αφού 0 iv v  .
 Να αποδείξετε ότι 1 2 ... 1κf f f+ + + = .
(Παν. ‘18)
Απάντηση:
1 21 2
1 2
...
... ... 1κ κ
κ
v v v vv v v
f f f
v v v ν v
+ + +
+ + + = + + + = = =
 Έστω 1 2, ,..., vt t t οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος
μεγέθους ν, που έχουν μέση τιμή x . Να αποδείξετε ότι ο αριθμητικός μέσος των
διαφορών − − −1 2, ,..., vt x t x t x είναι ίσος με μηδέν.
(Επαν. ‘17)
Απάντηση:
( ) ( ) ( )1 2 1 2
... ...
0v v
t x t x t x t t t v x
x x
v v v
− + − + + − + + + 
= − = − =

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Πίνακες κατανομής συχνοτήτων
 1 2 ... κv v v v+ + + =  i
i
v
f
v
=  1 2 ... 1κf f f+ + + =
 1 2 ...i iN v v v= + + +  0 1if   1 2 ...i iF f f f= + + +
 1 1v N=  % 100i if f=   1 1f F=
Τόξο κυκλικού τμήματος σε κυκλικό διάγραμμα
360
360i i iα v f
v

= = 
Μέτρα θέσης
Αναλυτικά Τιμές Πινακάκι Ομαδοποίηση
Μέση τιμή
x
1
v
i
i
t
x
v
=
=
 1
1
κ
i i κ
i
i i
i
x v
x x f
v
=
=
= =


=
=
 
 
 =
 
 
 


1
1
Σταθμικός Μέσος:
v
i i
i
v
i
i
x w
x
w
Διάμεσος
δ
Γράφουμε τις παρατηρήσεις
σε αύξουσα σειρά!
 Αν ν περιττός,
η διάμεσος ισούται
με τη μεσαία παρατήρηση.
 Αν ν άρτιος,
η διάμεσος ισούται
με το ημιάθροισμα των
δύο μεσαίων παρατηρήσεων.
Κατασκευάζουμε το πολύγωνο
αθρ. σχετικών συχνοτήτων % ( )%iF
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

Μέτρα διασποράς
Αναλυτικά Τιμές Πινακάκι Ομαδοποίηση
Εύρος
R max minR t t= −
Ανώτερο όριο τελευταίας τάξης
- –
- κατώτερο όριο πρώτης τάξης
Διακύμανση
2
s
( )
22
1
1 v
i
i
s t x
v =
= −
2
12 2
1
1
v
iv
i
i
i
t
s t
v v
=
=
  
  
  = − 
 
 
 


(δίνεται)
( )
22
1
1 κ
i i
i
s x x v
v =
= −
2
12 2
1
1
κ
i iκ
i
i i
i
x v
s x v
v v
=
=
  
  
  = − 
 
 
 


(δίνεται)
Τυπική απόκλιση
s
2
s s=
Κανονική κατανομή
( )x δ=
( )6R s
Συντελεστής μεταβολής
s
CV
x
= ή
s
CV
x
= (αν 0x  )
(Αν 10%CV  , τότε το δείγμα είναι ομοιογενές)
Βασική εφαρμογή
 Αν yi ix c= + , τότε: y x c= + και y xs s=
 Αν yi ic x=  , τότε: y c x=  και y xs c s= 

Μιχάλης Γιαννόπουλος
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Γ΄ ΕΠΑΛ - Βασικές Ασκήσεις
ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΗ ΓΕΩΡΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ
2020 – 21

Μαθηματικά Γ΄ ΕΠΑΛ (Βασικές Ασκήσεις) 1
ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΗΓΕΩΡΓΙΚΗΣΧΟΛΗΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΓ’ΕΠΑΛΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΗΓΕΩΡΓΙΚΗΣΧΟΛΗ
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Προ Απαιτούμενες Γνώσεις
Εξισώσεις
01 Να λύσετε τις εξισώσεις:
α. ( ) ( )2 3 4 3 1x x− + = −
β.
2 4
1
5
x
x
+
= −
γ.
6 6
1
2 3
x x+ −
− =
δ. ( ) ( )5 2 4 5 2x x− − − =
ε. ( )
1
4 3 2 1 7
7
x x x
 
+ − = + − 
 
02 Να λύσετε τις εξισώσεις:
α. 2
2 3 0x x− − = β. 2
4 4 1 0x x+ + =
γ. 2
2 3 2 0x x− + − = δ. ( )2
3 1 9x − =
ε. ( ) ( )2 1 4x x x− = − − στ. 2
2 4 0x x− =
ζ. ( ) ( )2
1 25 0x x−  − =
Παραγοντοποιήσεις
03 Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:
α. 2
x x− β. 4 8x +
γ. 2
4x − δ. 2
4 1x −
ε. 2
3 2x x− + στ. 3 2
2 2x x x− + −
ζ. 3 2
2 3x x− +
Απλοποιήσεις
04 Να απλοποιήσετε τα κλάσματα:
α.
2
1
x x
x
+
+
β.
2
2
2 18
12
x
x x
−
− − +
γ.
3
3
5 6
x x
x x
−
+ −
Ρητοποίηση παρονομαστών
05 Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα σε
ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή.
α.
2
3 1−
β.
4
2 10+
γ.
2 8
2
x
x
−
−
δ.
2
9
2 1
x
x
−
− +
Πίνακες προσήμων
06 Να κατασκευάσετε τους πίνακες προσήμων
των παραστάσεων:
α. 2 6x − β. 2 3x−
γ. 2
16x − δ. 2
1x +
ε. 2
2 5x− − στ. 2
2x x− −
ζ. 2
6 9x x− + − η. 2
2 4 3x x+ +
θ.
( )
2
2
2
1
1
x
x
−
+
ι. 2
1
9
x
−
Συστήματα
07 Να λύσετε τα συστήματα:
α.
2 3
3 2 8
x y
x y
+ =

− =
β.
2 3 4
5 2 1
x y
x y
− = −

− =

2 Μαθηματικά Γ΄ ΕΠΑΛ (Βασικές Ασκήσεις)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο
Διαφορικός Λογισμός
1.1 Συναρτήσεις
Πεδίο ορισμού
01 Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων
α. ( ) 2
2 3f x x x= − +
β. ( )
3 2
1
3 2 4
x x
f x = + +
γ. ( )
, 1
1
5 , 1
x
x
f x x
x


= −
 =
δ. ( )
1 , 1
5 , 1
x x
f x
x x
+ 
= 

α. ( )
1
2
x
f x
x
−
=
−
β. ( ) 2
3
1
4
f x
x
= +
−
γ. ( ) 2
2
2 5 2
x
f x
x x
=
− +
δ. ( ) 2
2
3
1
f x x
x
= −
+
α. ( ) 3f x x= −
β. ( ) 2 6 3f x x= −
γ. ( ) 2
4 2 8f x x= −
δ. ( ) 2
2 3 1f x x x x= + − + −
α. ( )
2 3
4
f x
x x
= +
−
β. ( ) 2 3f x x x= + − −
γ. ( ) 2
2 4
9
x
f x
x
+
=
−
δ. ( )
2
9
2 4
x
f x
x
−
=
+
Τιμές συναρτήσεων
05 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2
3 2 1f x x x= − +
Να βρείτε τις τιμές ( )1f , ( )2f − και ( )0f
f x x x= −
Να βρείτε την τιμή της παράστασης
( ) ( )Α 2 2 1f f= + −
07 Δίνεται η συνάρτηση ( )
3 , 0
4 , 0
x x
f x
x
+ 
= 
=
Να βρείτε τις τιμές ( )2f , ( )1f − και ( )0f
2
2 1
, 1
3
3 , 1
x
x
f x
x x
−

= 
 
Να δείξετε ότι ( ) ( )3 5 2 3f f− − = −
1f x x= +
Να βρείτε την τιμή του κ ώστε ( )1 2f κ + =
Πράξεις συναρτήσεων
10 Δίνονται οι συναρτήσεις f και g με τύπους
( ) 2
1f x x= + και ( ) 2g x x= −
Να βρείτε τις συναρτήσεις
α. f g+ β. f g−
γ. f g δ.
f
g
Γραφική παράσταση συνάρτησης
2f x x κx= + , κ
Να βρείτε την τιμή του κ, ώστε η γραφική παρά-
σταση της f να διέρχεται από το σημείο:
α. ( )Α 1,4
β. ( )Α 2,6−
12 Δίνεται η συνάρτηση
( ) ( )2
3 2f x x κ λ x λ= + + − , ,κ λ
Να βρείτε τις τιμές των κ, λ, ώστε γραφική παρά-
σταση της f να διέρχεται από τα σημεία:
α. ( )Α 2,0 και ( )Β 1,1
β. ( )Α 2, 10− − και ( )Β 3,5−

13 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2 5f x x= −
Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παρά-
στασης της f με τους άξονες x x και y y .
3 1f x x= +
Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παρά-
στασης της f με τους άξονες x x και y y .
15 Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η γρα-
φική παράσταση της συνάρτησης ( ) 6 8f x x= +
βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x .
Όριο συνάρτησης
16 Αν ( )2
lim 3
x
f x
→
= και ( )2
lim 1
x
g x
→
= − , να υπολογί-
σετε τα όρια:
α. ( ) ( )( )2
lim 2
x
f x g x
→
+
β. ( ) ( ) ( )( )2
2
lim
x
f x f x g x
→
− 
γ. ( ) ( )( )2
lim 1 3
x
f x g x
→
+ +
17 Να υπολογίστε τα όρια:
α. ( )2
1
lim 3 5
x
x x
→
− +
β. ( )2
lim 2 10 3
x
x x
→−
+ −
γ.
2
0
2
lim
5 4x
x
x→
+
−
Απροσδιόριστη μορφή
0
0
 
 
 
18 Να υπολογίσετε τα όρια:
α.
2
1
1
lim
1x
x
x→
−
−
β. 22
3 6
lim
4x
x
x→
−
−
γ.
2
22
3 12
lim
2x
x
x x→−
−
+ −
δ.
3
23
10 3
lim
9x
x x
x→
− +
−
α.
1
1
lim
1x
x
x→
−
−
β.
0
2
lim
4 2x
x
x→
+ −
γ.
2
3 1
lim
2x
x
x→−
+ −
+
δ.
1
2 5 3
lim
1x
x
x→−
+ −
+
α. 22
2 2
lim
4x
x
x→
+ −
−
β. 20
3 16 4
lim
2x
x
x x→
+ −
+
γ. 31
2
lim
1x
x x
x→−
+ +
+
δ.
3 2
2
2
lim
11 1x
x x x
x x→−
+ − +
+ + −
Συνέχεια συνάρτησης
21 Να εξετάσετε αν καθεμία από τις παρακάτω
συναρτήσεις είναι συνεχής στο 0x .
α. ( )
2 2
, 1
1
2 , 1
x
x
f x x
x
−

= −
 =
0 1x =
β. ( )
3 2
3 4
, 2
2 4
3 , 2
x x
x
f x x
x
− + −

= −
 − =
0 2x =
γ. ( )
2
2 3
, 1
1
3
, 1
3
x
x
xf x
x
 + −
 −
 += 

− = −
0 1x = −
22 Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις
είναι συνεχείς στο 0x .
α. ( )
2
6
, 2
2
5 , 2
x x
x
f x x
x
 − −
 −
= +
 − = −
0 2x = −
β. ( ) 3 2
3 3
, 1
2 2
1 , 1
x
x
f x x x x
x
−

= − + −
 − =
0 1x =
γ. ( )
2
2 2
4 4
, 2
12
0 , 2
x x
x
f x x x
x
 − +

=  − +
 =
0 2x =
23 Να βρείτε τις τιμές του α , για τις οποίες οι
παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς στο 0x .
α. ( )
3
2
, 0
2
2 1 , 0
x x
x
f x x
α x
 +

= 
 − =
0 0x =
β. ( )
2
3
18 2
, 3
27
1 , 3
x
x
f x x
α x
 −

= −
 + =
0 3x =

γ. ( )
2
2
3 1 2
, 1
3 3
2 , 1
x
x
f x x
α x
 + −
 −
=  +
 − = −
0 1x = −
δ. ( )
2
3
2
2 3
, 1
2
1 , 1
x x
x
f x x x
α x
 + −

= + −
 + =
0 1x =
1.2 Η Έννοια της Παραγώγου
Ορισμός παραγώγου
01 Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συ-
ναρτήσεων στο 0x .
α. ( )
3 2 , 1
1 , 1
x x
f x
x
− 
= 
=
0 1x =
β. ( )
2
2 , 2
0 , 2
x x x
f x
x
 − 
= 
=
0 2x =
1.3 Παράγωγος Συνάρτησης
Παραγώγιση βασικών συναρτήσεων
01 Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων:
α. ( ) 3f x = β. ( )
1
2
f x = − γ. ( ) 2f x =
α. ( )f x x= β. ( ) 3
f x x= γ. ( ) 2
f x x−
=
α. ( )f x x= β. ( )f x ημχ= γ. ( )f x συνx=
α. ( )
3
2
f x x= β. ( ) 3
f x x= γ. ( ) 3 2
f x x=
Παραγώγιση αθροίσματος
α. ( ) 3f x x= +
β. ( ) 2
f x x x= −
γ. ( ) 3
3f x x x= + −
Παραγώγιση γινομένου (Α’)
α. ( ) 2f x x=
β. ( ) 2
3f x x= −
γ. ( )
3
2
f x ημx=
Παραγώγιση γινομένου (Β’)
α. ( )f x x x= 
β. ( ) 2
f x x ημx= 
γ. ( ) 3
f x x συνx= − 
Παραγώγιση πηλίκου
α. ( )
ημx
f x
x
=
β. ( )
2
x
f x
συνx
=
γ. ( )
x
f x
x
=
Ειδικές περιπτώσεις
α. ( )
3
x
f x = β. ( )
4
2
x
f x =
γ. ( )
2
f x
x
= δ. ( ) 2
3
f x
x
=
Συνδυαστικές
α. ( ) 2
3 5 1f x x x= − +
β. ( ) 3 4f x ημx συνx= −
γ. ( )
6 4
2
3 2
x x
f x x= + −
δ. ( )
2
2
2
2
x
f x
x
= −

α. ( ) ( )2
3 1f x x x= +
β. ( ) 2
3f x x x= +
γ. ( ) 4f x ημx συνx=  −
δ. ( ) 2f x x εφx x= −  +
α. ( )
2 1x
f x
x
−
=
β. ( )
2
1
x
f x
x
=
−
γ. ( )
1
1
x x
f x
x x
+
= +
+
δ. ( )
2
x x
f x
x
+
=
Σύνθετη παραγώγιση
α. ( ) ( )
4
2f x x= +
β. ( ) ( )
3
2
1f x x x= − +
γ. ( ) 2
2f x x= +
δ. ( ) 2 3 1f x x= −
ε. ( ) 2f x ημ x=
στ. ( ) 2
f x ημ x=
Δεύτερη παράγωγος
14 Να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο των συναρ-
τήσεων:
α. ( ) 3 2
4 2 1f x x x x= − + +
β. ( ) 3 21 1
1
6 4
f x x x x= + − −
γ. ( )f x x ημx συνx=  +
δ. ( )
2
1x
f x
x
−
=
Αποδεικτικές
4 2 1f x x x= − + +
Να δείξετε ότι
( ) ( ) 2f x x f x −  = , για κάθε x 
2
1
x
f x
x
=
+
, 1x  −
Να δείξετε ότι
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 1 1 0x f x x f x +  + +  = ,
για κάθε 1x  −
( ) 2 4 2f x x x= − + , 2x 
Να δείξετε ότι ( ) ( )10 4 4 2 10f f − =
18 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( )
3
2 1 4f x x x= − −
Να δείξετε ότι ( ) ( )1 2 0 50f f − =
Εύρεση παραμέτρων
2 1f x αx αx= − +
Να βρείτε την τιμή του α , ώστε:
α. ( ) ( )1 4 2 0f f − + =
β. ( ) ( ) 0f α f α + − =
Εφαπτομένη με γνωστό σημείο επαφής
f x x x= −
Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γρα-
φικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο
( )Α 1,0
1x
f x
x
+
= , 0x 
( )( )Α 1, 1f− −
22 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 4 5f x x= − , 0x 
με τετμημένη 0 4x =
2
1
2 4 2
x x
f x = + −

στο οποίο η fC τέμνει τον άξονα y y .
Εφαπτομένη παράλληλη σε ευθεία
3 1f x x x= − +
φικής παράστασης της συνάρτησης f που είναι
παράλληλη στην ευθεία 5 2y x= +
2 2f x x x= + −
παράλληλη στην ευθεία 2 3y x= −
26 Δίνεται η συνάρτηση ( )f x x= , 0x 
παράλληλη στην ευθεία 2 4 0x y− + =
2
2 1x
f x
x
+
= , 0x 
Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της
γραφικής παράστασης της συνάρτησης f που
είναι παράλληλες στη διχοτόμο της γωνίας ˆxOy .
Εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα x΄x
28 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( )
3
2 4 1f x x= + −
παράλληλη στον άξονα x x .
1
f x x
x
= + , 0x 
γραφικής παράστασης της συνάρτησης f που
είναι παράλληλες στον άξονα x x .
Εφαπτομένη που σχηματίζει γωνία ω
με τον άξονα x΄x
3 1f x x x= − − +
φικής παράστασης της συνάρτησης f που
σχηματίζει γωνία
4
π
με τον άξονα x x .
2
4
4
x
f x = −
φικής παράστασης της συνάρτησης f που
σχηματίζει γωνία 135 με τον άξονα x x .
Εφαπτομένη από γνωστό σημείο
2f x x= +
γραφικής παράστασης της συνάρτησης f οι
οποίες διέρχονται από το σημείο ( )Α 0, 3−
Ρυθμός μεταβολής
2 3 1f x x x= − + +
Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της f ως προς x,
όταν 2x =
( ) 2
2 3f x x αx= + − , 3x  −
Να βρείτε την τιμή του α , για την οποία ο
ρυθμός μεταβολής της f ως προς x, όταν 2x = −
ισούται με 3
Προβλήματα
35 Ένα ορθογώνιο έχει διαστάσεις
α x= και 2β x= +
i. Να εκφράσετε το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου
ως συνάρτηση του x.
ii. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού
του ορθογωνίου, όταν 2x =
36 Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με τετρά-
γωνη βάση μήκους x (σε m) είναι ανοικτό από
πάνω κι έχει επιφάνεια 2
100m .
i. Να εκφράσετε τον όγκο V του ορθογωνίου
παραλληλεπιπέδου ως συνάρτηση του x.
ii. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του όγκου του
ορθογωνίου παραλ/πέδου, όταν 5x m= .

37 Η θέση ενός υλικού σημείου, το οποίο εκτελεί
ευθύγραμμη κίνηση δίνεται από τον τύπο
( ) 3 2
9 15x t t t t= − + ,
όπου το t μετριέται σε δευτερόλεπτα (sec) και
το x σε μέτρα (m).
i. Να βρείτε την ταχύτητα του υλικού σημείου σε
χρόνο t.
ii. Πότε το σημείο είναι στιγμιαία ακίνητο;
iii.Ποια είναι η επιτάχυνση του σημείου σε χρόνο
4sect = ;
1.4 Εφαρμογές των Παραγώγων
Μονοτονία – Ακρότατα
01 Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία και τα
ακρότατα τις συναρτήσεις:
α. ( ) 2 1f x x= −
β. ( ) 3
2f x x x= + −
γ. ( ) 3
2f x x x= − −
α. ( ) 2
4f x x x= −
β. ( ) 2
3 6 1f x x x= + +
γ. ( ) 2
10f x x x= − +
α. ( ) 3
3f x x x= −
β. ( ) 3 2
3 2f x x x= + −
γ. ( )
3 2
5
3 2
x x
f x = − + −
α. ( ) 3 2
3 9f x x x x= − −
β. ( ) 3 2
18 60 2f x x x x= − − − +
γ. ( ) 3 21 1
6 4
3 2
f x x x x= − − +
α. ( ) 3 2
1f x x x x= + + +
β. ( ) 3 2
2 3 2 3f x x x x= − + − +
γ. ( )
3 2
6 2
x x
f x x= − +
α. ( ) 3
10f x x= −
β. ( ) 3 2
3 3 1f x x x x= + + +
γ. ( ) 3 2
6 12f x x x x= − +
α. ( )
2 3
2
x
f x
x
−
=
−
, 2x 
β. ( )
2
2 2
1
x x
f x
x
+ +
=
+
, 1x  −
γ. ( ) 22
1f x x
x
= + − , 0x 
α. ( ) 2 6f x x= − , 3x 
β. ( ) 2
f x x x= − , 0 1x 
γ. ( ) 1f x x x= + + , 1x  −
09 Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία και τις
θέσεις των ακροτάτων τη συνάρτηση f για την
οποία ισχύει:
α. ( ) 2
2 8f x x = −
β. ( ) 2
5 6f x x x = − + −
Αποδεικτικές
10 Να δείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις δεν
παρουσιάζουν ακρότατα.
α. ( ) 3
3 10f x x x= + −
β. ( ) 3 2
3 2f x x x x= − + −
Μονοτονία – Ακρότατα της f ΄
ακρότατα τις συναρτήσεις f , όπου:

α. ( ) 3 2
6f x x x= −
β. ( ) 3 21 1
1
6 2
f x x x= − + +
( )
3
2 1
2 2
3 3
x
f x x x= − + + −
Να βρείτε την τιμή του x για την οποία η f έχει
το μέγιστο ρυθμό μεταβολής ως προς x.
13 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( )2
6 4f x x x= − +
Να βρείτε το σημείο στο οποίο η εφαπτομένη της
γραφικής παράστασης της συνάρτησης f έχει
τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης.
Ανισοτικές σχέσεις
14 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2
5 1f x x x x= + − −
i. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη
μονοτονία.
ii. Να συγκρίνετε τους αριθμούς
( )2019f και ( )2020f
2 1
3
x
f x
x
+
=
−
, 3x 
μονοτονία.
ii. Να συγκρίνετε τους αριθμούς
( )2019f − και ( )2020f −
6 10f x x x= − +
μονοτονία και τα ακρότατα.
ii. Να δείξετε ότι ( ) 1f x  για κάθε x 
32 44f x x x= − + −
i. Να μελετήστε τη συνάρτηση f ως προς τη
μονοτονία και τα ακρότατα.
ii. Να δείξετε ότι ( ) 4f x  για κάθε x 
Προβλήματα
18 Ο Γιάννης Αντετοκούνμπο πετάει μια μπάλα
κατακόρυφα προς τα πάνω. Το ύψος της μπάλας
δίνεται από τη συνάρτηση
( ) 2
6h t t t= − , 0 4t  ,
όπου το h μετριέται σε μέτρα (m) και το t σε
δευτερόλεπτα (sec).
i. Να εκφράσετε την ταχύτητα τη μπάλας ως
συνάρτηση του χρόνου.
ii. Να βρείτε την ταχύτητα της μπάλας στο 2ο
δευτερόλεπτο.
iii.Να βρείτε το μέγιστο ύψος στο οποίο έφτασε
η μπάλα.
19 Το άθροισμα δύο αριθμών x και y ισούται με
είκοσι.
i. Να εκφράσετε το γινόμενο των δύο αριθμών
ως συνάρτηση του x.
ii. Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να
πάρει το γινόμενό τους.
20 Ένα ορθογώνιο χαρτόνι με διαστάσεις x και
y έχει εμβαδόν 2
200cm .
i. Να δείξετε ότι η περίμετρος Π του ορθογωνίου
ως συνάρτηση του x δίνεται από τον τύπο
( )
200
Π 2x x
x
 
= + 
 
, 0x 
ii. Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου που
έχει τη μικρότερη περίμετρο.
21 Μία βιοτεχνία κατασκευάζει ποδήλατα. Το
ημερήσιο κόστος κατασκευής x ποδηλάτων δίνε-
ται από τη συνάρτηση
( ) 2
Κ 30 26x x x= − , 0 30x 
και τα έσοδα από την πώληση x ποδηλάτων από
τη συνάρτηση
( ) 3 2
Ε 150x x x x= − + + , 0 30x 
i. Να βρείτε τη συνάρτηση κέρδους της βιοτε-
χνίας από την πώληση x ποδηλάτων.
ii. Να βρείτε πόσα ποδήλατα πρέπει να
κατασκευάζει την ημέρα η βιοτεχνία, ώστε να
έχει το μέγιστο δυνατό κέρδος.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο
Στατιστική
2.1 Βασικές Έννοιες
Διάκριση μεταβλητών
01 Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω μεταβλη-
τές είναι ποιοτικές ή ποσοτικές. Τις ποσοτικές να
τις διακρίνετε σε διακριτές ή συνεχείς.
α. Το πλήθος αδερφών των μαθητών μιας τάξης.
β. Το χρώμα ματιών μιας ομάδας μαθητών.
γ. Τον αριθμό των πόντων των παικτών μιας
ομάδας μπάσκετ σε έναν αγώνα.
δ. Τα λεπτά συμμετοχής των αθλητών μιας ομά-
δας ποδοσφαίρου σε μια αγωνιστική περίοδο.
ε. Ο χαρακτηρισμός φοίτησης των περσινών
αποφοίτων της Α.Γ.Σ.
στ. Τα νεογέννητα των ζώων ενός ζωολογικού
κήπου κατά το τρέχον έτος.
2.2 Παρουσίαση Στατιστικών
Δεδομένων
Κατασκευή πινάκων κατανομής
συχνοτήτων
01 Ρωτήθηκαν 25 παιδιά ενός νηπιαγωγείου
ποιο είναι το αγαπημένο τους χρώμα και δόθη-
καν οι εξής απαντήσεις:
Κόκκινο, μπλε, μπλε, πράσινο, κόκκινο, πράσινο,
ροζ, κόκκινο, ροζ, πράσινο, πράσινο, πράσινο, ροζ,
κόκκινο, μωβ, μπλε, πράσινο, μωβ, κόκκινο, μπλε,
πράσινο, μπλε, κόκκινο, ροζ, μπλε.
Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής συ-
χνοτήτων ( ), , , %i i i ix v f f .
02 Ρωτήθηκαν 20 μαθητές μιας τάξης πόσα
χάμπουργκερ έφαγαν τον περασμένο μήνα και
δόθηκαν οι εξής απαντήσεις:
2, 3, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 0, 3, 0, 1, 2, 2, 2, 3, 0, 1, 4, 2
Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής συ-
χνοτήτων ( ), , , %, , , %i i i i i i ix v f f N F F .
Συμπλήρωση πινάκων κατανομής
03 Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες:
α.
ix iv if %if iN iF %iF
0 2
1 3
2 3
3 1
4 1
Σύνολο
β.
2− 3
1− 5
0 6
1 4
2 2
Σύνολο
γ.
ix iv iN if iF %if %iF
5 10
6 15
7 20
8
Σύνολο 50
δ.
1 20
2 60
3
4 30
5 40
Σύνολο 200
α.
3 7
4 17
5 20
6 25
Σύνολο

β.
10 20
20 50
30 10
40
Σύνολο 50
γ.
1
2 0,3
3 0,4
4 0,2 100
Σύνολο
δ.
0 0,10
2 0,25
4 0,75
6
Σύνολο 20
α.
0 10
1 4 0,2 6
2 0,6
3 25
4 2
5
Σύνολο
β.
2 0,1
3 15
4 60
5 5
6 20
Σύνολο
γ.
1 15
2 12
3 57
4 3
Σύνολο
δ.
1 8
2 20
3 56
4 0,9
5 80
Σύνολο
Γραφική παράσταση κατανομής
06 Ρωτήθηκαν οι μαθητές της Α.Γ.Σ. για το ποιος
είναι ο νομός καταγωγής του. Οι απαντήσεις που
δόθηκαν φαίνονται στον παρακάτω πίνακα.
Νομός
Αριθμός
μαθητών
%if iα
Ημαθίας 50
Λάρισας 120
Πέλλας 20
Χαλκιδικής 10
Σύνολο
i. Να συμπληρώσετε τον πίνακα.
ii. Πόσοι μαθητές κατάγονται από το νομό
Πέλλας;
iii. Να κατασκευάσετε το ραβδόγραμμα συχνοτή-
των.
iv. Να κατασκευάσετε το κυκλικό διάγραμμα σχε-
τικών συχνοτήτων επί τοις εκατό.
07 Ρωτήθηκαν 20 μαθητές ενός νηπιαγωγείου
για το ποιο είναι το αγαπημένο τους χρώμα. Οι
απαντήσεις που δόθηκαν φαίνονται στον παρα-
κάτω πίνακα.

0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Ποδόσφαιρο Βόλεϊ Μπάσκετ Στίβος
0
5
10
15
20
25
30
1 2 3 4
Χρώμα
Αριθμός
μαθητών if %if iα
Γαλάζιο 36
Πράσινο 3
Κόκκινο 7
Κίτρινο
Καφέ 15
Σύνολο
ii. Ποιο ποσοστό των μαθητών αγαπούν το
κόκκινο;
iii. Να κατασκευάσετε το ραβδόγραμμα σχετικών
συχνοτήτων επί τοις εκατό.
iv. Να κατασκευάσετε το κυκλικό διάγραμμα
συχνοτήτων.
08 Οι ελάχιστες θερμοκρασίες στην πόλη της
Καστοριάς τις πρώτες 18 ημέρες του Δεκεμβρίου
ήταν:
Θερμοκρασία 2− 1− 0 1 2 3
Ημέρες 1 2 4 4 5 2
i. Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής
ii. Πόσες ημέρες η ελάχιστη θερμοκρασία ήταν
πάνω από το 0;
iii. Να κατασκευάσετε το διάγραμμα συχνοτήτων
και το πολύγωνο συχνοτήτων.
iv. Να κατασκευάσετε το κυκλικό διάγραμμα
09 Ο αριθμός των αδερφών 20 μαθητών της
Α.Γ.Σ. φαίνονται στον παρακάτω πίνακα.
Αριθμός
αδερφών
Μαθητές %if iN %iF
0 2 10
1 10
2 6
3
Σύνολο
ii. Πόσοι μαθητές είναι μοναχοπαίδια;
iii. Πόσοι μαθητές έχουν λιγότερα από 3 αδέρφια;
iv. Ποιο ποσοστό των μαθητών έχουν τουλά-
χιστον έναν αδερφό;
10 Στο παρακάτω ραβδόγραμμα σχετικών συ-
χνοτήτων μπορούμε να παρατηρήσουμε το αγα-
πημένο άθλημα 200 μαθητών της Α.Γ.Σ.
0
0if
ix
i. Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής
ii. Πόσοι μαθητές προτιμούν το μπάσκετ;
iii. Ποιο ποσοστό των μαθητών δεν προτιμούν το
στίβο;
11 Το παρακάτω διάγραμμα συχνοτήτων δείχνει
το πλήθος των τραπεζών στις οποίες έχουν
λογαριασμούς 50 πολίτες της Θεσσαλονίκης.
iv
ix
i. Να συμπληρώσετε το διάγραμμα.
ii. Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων.
iii. Πόσοι πολίτες έχουν λογαριασμούς σε τρεις
τουλάχιστον τράπεζες;
iv. Ποιο ποσοστό των πολιτών έχουν λογαρια-
σμούς σε λιγότερες από τρεις τράπεζες;
12 Στο παρακάτω γράφημα δίνεται το πολύγωνο
αθροιστικών συχνοτήτων που παρουσιάζει τον
αριθμό των εκπαιδευτικών εκδρομών που πρα-

0
5
10
15
20
25
30
1 2 3 4
γματοποίησαν τα δημοτικά σχολεία της Λάρισας
κατά τη διάρκεια μιας σχολικής χρονιάς.
iN
ix
i. Πόσα είναι τα δημοτικά σχολεία της Λάρισας;
ii. Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων.
iii. Πόσα σχολεία πραγματοποίησαν το πολύ
τρεις εκδρομές;
iv. Ποιο ποσοστό των σχολείων πραγματοποίη-
σαν τέσσερεις εκδρομές;
Ομαδοποίηση των παρατηρήσεων
13 Τα ύψη (σε cm) των παικτών δύο ομάδων
μπάσκετ μιας αναμέτρησης ήταν:
192, 197, 200, 185, 203, 204, 190, 180, 189, 210,
198, 188, 179, 192, 205, 201, 177, 195, 184, 196
i. Να ομαδοποιήσετε τις παραπάνω παρατηρή-
σεις σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους.
ii. Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής συ-
χνοτήτων.
iii. Πόσοι παίκτες έχουν ύψος μικρότερο από
205cm;
iv. Πόσοι παίκτες έχουν ύψος τουλάχιστον
191cm;
14 Η βαθμολογία 50 μαθητών σε ένα διαγωνισμό
κυμάνθηκε από 10 έως 20. Πέντε μαθητές έγρα-
ψαν κάτω από 12, δεκαπέντε κάτω από 14, πέντε
μεγαλύτερο ή ίσο του 18. Τέλος, δέκα μαθητές
έγραψαν τουλάχιστον 16 και λιγότερο από 18.
i. Να ομαδοποιήσετε τις παρατηρήσεις σε 5
κλάσεις ίσου πλάτους.
ii. Να βρείτε τα κέντρα των κλάσεων.
iii. Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής συ-
χνοτήτων.
iv. Πόσες μαθητές έγραψαν κάτω από 15;
v. Αν στην επόμενη φάση του διαγωνισμού
περνάει το 20% των καλύτερων μαθητών, τι
βαθμό θα έπρεπε να γράψει ένας μαθητής για
να περάσει στην επόμενη φάση;
α. β.
α. β.
γ.
17 i. Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνο-
τήτων των δεδομένων της άσκ.15α, αν επι-
πλέον ισχύουν:
1 3v = , 2 7v = , 3 10v = , 4 25v = και 5 5v =
ii. Να σχεδιάσετε το πολύγωνο συχνοτήτων.
iii.Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται
από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον
οριζόντιο άξονα.
 )− ix
 )10,12
 )12,14
 )14,16
 )16,18
 )18,20
 )− ix
 )0,10
 )..., ...
 )..., ...
 )..., ...
 )..., ...
 )− ix
 )3, ...
 )..., ...
 )..., ...
 )..., ...
 )...,33
 )− ix
 )5, ... 6
 )..., ...
 )..., ...
 )..., ...
 )..., ...
 )− ix
 )4, ...−
 )..., ...
 )..., ...
 )..., ... 10
 )..., ...

18 Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα αθροιστι-
κών συχνοτήτων και το αντίστοιχο πολύγωνο
των δεδομένων της άσκ.15β, αν επιπλέον
ισχύουν:
1 2v = , 2 8v = , 3 16N = , 25v = και 4 52v v=
19 Να κατασκευάσετε τα ιστογράμματα σχετι-
κών συχνοτήτων (επί τοις %) και αθροιστικών
σχετικών συχνοτήτων (επί τοις %) καθώς και τα
αντίστοιχα πολύγωνα των δεδομένων της άσκ.
16α, αν επιπλέον ισχύουν:
1 10v = , 3% 20f = , 4 34N = , % 10iF = και το μέγε-
θος του δείγματος ισούται με 40.
20 Στο παρακάτω γράφημα έχουμε το ιστόγραμ-
μα συχνοτήτων της βαθμολογίας των φοιτητών
της γεωπονικής σχολής σε ένα μάθημα.
iv
30
8
5
2
0 2 4 6 8 10 ix
i. Να βρείτε το πλάτος των κλάσεων.
ii. Να βρείτε το πλήθος των φοιτητών.
iii.Πόσοι φοιτητές πέρασαν το μάθημα;
21 Στο παρακάτω γράφημα έχουμε το πολύγωνο
αθροιστικών συχνοτήτων μιας μεταβλητής Χ.
iv
200
150
100
50
20 30 40 50 ix
i. Να βρείτε το μέγεθος του δείγματος.
ii. Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής συ-
χνοτήτων.
iii.Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα των σχετι-
κών συχνοτήτων (επί τοις %) και το αντίστοι-
χο πολύγωνο.
2.3 Μέτρα Θέσης και Διασποράς
Μέτρα θέσης
01 Ο αριθμός των τεστ που έγραψαν οι μαθητές
μιας τάξης σε επτά μαθήματα κατά τη διάρκεια
μιας σχολικής χρονιάς είναι: 3, 2, 5, 1, 2, 6, 2.
Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των τεστ
που έγραψαν οι μαθητές.
02 Οι πόντοι ενός αθλητή μπάσκετ τις πρώτες δέ-
κα αγωνιστικές είναι: 4, 10, 8, 7, 15, 9, 5, 5, 10, 12
Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των
πόντων του αθλητή.
03 Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των
παρατηρήσεων του δείγματος.
α. β.
γ.
04 Να βρείτε τη μέση τιμή των παρατηρήσεων
του δείγματος.
α. β.
ix iv
0 5
1 2
2 10
3 5
4 2
5 1
ix iv
1 5
2 3
3 3
4 5
5 4
ix iN
5 2
6 5
7 9
8 10
ix if
2 0,1
3 0,4
4
5 0,2
6 0,1
ix iF
1 0,4
2 0,7
3 0,95
4

05 Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των
παρατηρήσεων του δείγματος.
α. β.
06 Να βρείτε τη διάμεσο των παρατηρήσεων του
δείγματος.
α. β.
07 Οι συντελεστές βαρύτητας στα πανελλαδικά
μαθήματα για τους μαθητές των ΕΠΑΛ είναι 1,5
για τη Γλώσσα και τα Μαθηματικά και 3,5 για τα
μαθήματα ειδικότητας. Αν ένας μαθητής έγραψε
70 στη Γλώσσα, 50 στα Μαθηματικά, 90 και 80
στα δύο μαθήματα ειδικότητας, να βρείτε τη
μέση βαθμολογία του μαθητή.
08 Να βρείτε την τιμή του α , αν η μέση τιμή
των παρατηρήσεων:5,10, 2α, 7, 5α + είναι 12x =
09 Να βρείτε τη μέση τιμή του α του
παρακάτω πίνακα, αν γνωρίζετε ότι η μέση τιμή
των παρατηρήσεων είναι 17,2x =
ix 15 16 17 18 19 20
iv 3 2 α 2 3 1
Μέτρα διασποράς
10 Να βρείτε το εύρος, τη διακύμανση και την
τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων:
α. 5, 3, 6, 3, 4, 3, 6, 2
β. 3, 5, 8, 8, 10, 11, 13, 9, 9, 4
τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων του δείγ-
ματος.
α. β.
γ.
τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων του δείγ-
ματος.
α. β.
Συντελεστής μεταβολής
13 Να συγκρίνετε τα δείγματα α. και β. της
άσκ.10 ως προς την ομοιογένεια.
14 Να εξετάσετε ποια από τα δείγματα της
άσκ.11 είναι ομοιογενή.
15 Να βρείτε το συντελεστή μεταβολής των
παρακάτω δειγμάτων με:
α. 10x = και 2s = β. 5x = − και 2
9s =
16 Να βρείτε τη μέση τιμή του δείγματος με
συντελεστή μεταβολής 5%CV = και τυπική
απόκλιση 1s = .
 )− iv
 )0,4 4
 )4,8 6
 )8,12 4
 )12,16 4
 )16,20 2
 )− iv
 )0,2 5
 )2,4 15
 )4,6 10
 )6,8 15
 )8,10 5
 )− %iF
 )3,5 15
 )5,7 50
 )7,9 80
 )9,11
 )− %if
 )10,20 5
 )20,30
 )30,40 20
 )40,50 30
 )50,60 35
ix iv
0 2
1 3
2 8
3 7
ix iv
3 4
5 8
7 2
9 6
ix iv
10 4
20 3
30 2
40 1
 )− iv
 )1,3 1
 )3,5 2
 )5,7 6
 )7,9 8
 )9,11 3
 )− iv
 )0,2 4
 )2,4 4
 )4,6 3
 )6,8 6
 )8,10 3

Μεταβολή παρατηρήσεων
17 Έστω 1 2, , ... , vx x x οι παρατηρήσεις ενός
δείγματος μιας μεταβλητής Χ που έχουν μέση
τιμή 4x = και τυπική απόκλιση 0,2xs = .
Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση
των παρατηρήσεων που προκύπτουν από τις
αρχικές αν:
α. προσθέσουμε σε καθεμία το 2
β. αφαιρέσουμε από καθεμία το 1
γ. πολλαπλασιάσουμε καθεμία με το 4
δ. πολλαπλασιάσουμε καθεμία με το 3−
ε. πολλαπλασιάσουμε καθεμία με το 2 και στη
συνέχεια προσθέσουμε το 1
18 Ένα προϊόν πωλείται σε 10 διαφορετικά κα-
στήματα στις παρακάτω τιμές (χωρίς ΦΠΑ), σε €.
8, 10, 13, 13, 15, 16, 18, 14, 14, 9
i. Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική από-
κλιση των τιμών του προϊόντος.
ii. Αν στις παραπάνω τιμές προσθέσουμε το ΦΠΑ
(20%), να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική
απόκλιση των τελικών τιμών του προϊόντος.
iii.Λόγω Black Friday οι καταστηματάρχες από-
φάσισαν να πουλήσουν το προϊόν με έκπτωση
50% στην τελική τιμή (μετά το ΦΠΑ). Να
βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση
των τιμών του προϊόντος την Black Friday.
19 Έστω η ευθεία : 3 5ε y x= − και τα σημεία της
γραφικής παράστασης
( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 2 2 2 10 10 10Α , , Α , , ... , Α ,x f x x f x x f x .
Αν οι τετμημένες των σημείων 1 2 10Α , Α , ... , Α
έχουν μέση τιμή 4x = και τυπική απόκλιση
3xs = , τότε να βρείτε τη μέση τιμή y και την
τυπική απόκλιση ys των τεταγμένων τους.
20 Σε ένα δείγμα παρατηρήσεων η μέση τιμή
είναι 35x = και η τυπική απόκλιση είναι 4s = .
Να βρείτε το μικρότερο θετικό αριθμό c που
πρέπει να προσθέσουμε σε κάθε παρατήρηση,
ώστε το δείγμα να γίνει ομοιογενές.
Κανονική κατανομή
21 Ο μέσος χρόνος που χρειάζονται οι μαθητές
ενός σχολείου, για να πάνε το πρωί από το σπίτι
στο σχολείο είναι 12x = λεπτά με τυπική από-
κλιση 2s = λεπτά. Αν υποθέσουμε ότι έχουμε
περίπου κανονική κατανομή, τότε να βρείτε το
ποσοστό των μαθητών που χρειάζονται:
i. πάνω από 12λεπτά
ii. από 10 έως 14λεπτά
iii.από 12 έως 14λεπτά
iv. από 8 έως 10λεπτά
22 Οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ ακολου-
θούν περίπου κανονική κατανομή. Αν το 16%
των παρατηρήσεων είναι μικρότερες του 12 και
το 50% των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες
του 15, τότε:
i. να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική από-
κλιση των παρατηρήσεων
ii. να βρείτε το εύρος και τη διάμεσο των παρα-
τηρήσεων
23 Το βάρος ενός δείγματος μαθητών της Α.Γ.Σ.
ακολουθεί περίπου κανονική κατανομή. Το 50%
των μαθητών του δείγματος έχουν βάρος το πολύ
65kg, ενώ περίπου το 47,5% αυτών έχουν βάρος
από 65kg έως 75kg.
i. Να δείξετε ότι το μέσο βάρος των μαθητών
είναι 65x kg= και η τυπική απόκλιση είναι
5s kg= .
ii. Αν 27 μαθητές έχουν βάρος από 55kg έως
60kg, να υπολογίσετε το σύνολο των μαθη-
τών του δείγματος.

Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Similaire à Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21

Similaire à Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21 (20)

Plus de Μάκης Χατζόπουλος

Plus de Μάκης Χατζόπουλος (20)

Dernier

Dernier (20)

Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21