Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

1. Χatzopoulos ΜΑ(ΚΗ)S
Ιδιότητες + ασκήσεις του αριθμού 2021
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Ευτυχισμένο το νέο έτος!
Αποκλειστικά στο http://lisari.blogspot.com

2. Αποκλειστικά στο http://lisari.blogspot.com
Πρόλογος
Αισίως θα ασχοληθούμε με τον αριθμό 2021! Το blog και οι αντοχές μας έχουν μετρήσει
πάνω δέκα χρόνια συνεχής παρουσίας στο διαδίκτυο και αυτό από μόνο του μας ωθεί να
ανακαλύψουμε νέα μονοπάτια!
Μια ανάρτηση που με κεντρίζει με αποτέλεσμα κάθε χρόνο να προσθέτω και κάτι
διαφορετικό. Είναι μια συνήθεια που έχει ξεκινήσει εντατικά το 2014 και συνεχίζεται
μέχρι και σήμερα!
Αρχικά θα δούμε τις ιδιότητες και πώς μπορούμε να εισάγουμε τον αριθμό 2021 στις
ασκήσεις μας.
Στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε τα στατιστικά του blog κατά τη διάρκεια του έτους 2020.
Θα κλείσουμε, με 21 ασκήσεις από την Α΄ Γυμνασίου μέχρι το Πανεπιστήμιο!
Μια συνήθεια που έγινε θεσμός!
Δείτε τις ιδιότητες των προηγούμενων ετών:
2020, 2019, 2018, 2017, 2016, 2015, 2014

3. Αποκλειστικά στο http://lisari.blogspot.com
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ 2021
1) Δημιουργείται μόνο από τρία ψηφία: 0, 1 και 2!!
2) Δεν είναι δίσεκτο έτος, ούτε κάποιος γνωστός αριθμός πχ. αριθμός Fibonacci, αριθμός
Bell, κανονικός αριθμός.
3) 2021 43 47=  άρα έχει διαιρέτες τους αριθμούς 1 , 43, 47 , 2021.
4) Το άθροισμα των διαιρετών του είναι 2.112. Το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του
είναι: s(2021) = 1 + 43 + 47 = 91 < 2.021, που σημαίνει ότι το 2021 δεν είναι «τέλειος»
αριθμός, αφού s(2021) ≠ 2021.
5) 2 111111001012021 = δηλαδή
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
0
1
2 2 21 2 2 2 2 21
1 0
0
0
2
1
1
1
2 2 21 1
1
2 1
1 0
0
1
11 1 0
1
=  +  +  +  +  +  +  +  +  +  + 
=
6) 2
2021 4.084.441= άρα 4.084.441 2021=
3
2021 8.254.655.261= άρα 3
8.254.655.261 2021=
7) 2021 44,9555336= και 3
2020 12,6431542=
8) 7,6113477ln 2021= και 3,30556631log 2021=
9) Η γωνία 20210
γράφεται 0 0 0
2021 5 360 221=  + άρα βρίσκεται στο τρίτο τεταρτημόριο,
όπως και η γωνία 2021 rad βρίσκεται στο τρίτο τεταρτημόριο (!), διότι
2.020,044
2.021,614
3π
321 2π π 2021 321 2π
2
 +    + .
Επίσης, ημ2021 0,81684695= − και συν2021 0,57685444844= −
10) 2021 στα Αγγλικά: two thousand twenty-one
2021 στα Γαλλικά: deux mille vingt-et-un
2021 στα Ισπανικά: dos mil veintiuno
2021 στα Πορτογαλικά: dois mil e vinte e um
2021 στα Γερμανικά: zwei­tausend­ein­und­zwanzig
2021 στα Ιταλικά: due­mila­vent­uno
11) 2 + 0 + 2 + 1 = 5 άρα ο πυθμενικός αριθμός είναι το 5.
12) MMXXΙ2021= (σε Ρωμαϊκή αρίθμηση)
13) Παράσταση με τετράγωνους αριθμούς: 2 2 2 2 2 2
2021 42 16 1 38 24 1= + + = + + .
14) Η μέση τιμή (ή κεντρική τιμή ή διάμεσος ή μέσος όρος) των αριθμών

4. Αποκλειστικά στο http://lisari.blogspot.com
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 2 4 6 6 8 10 2017, 1 2 4 5 6 7 8 9 2025+ + + + + + = + + + + + + + =
ισούται με 2021!
15) Ως άθροισμα διαδοχικών φυσικών αριθμών:
68
i 26
60
i 20
2021 i 26 27 28 ... 67 68
i 20 21 22 ... 59 60
1010 1011
=
=
= = + + + + +
= = + + + + +
= +


16) ln 2021
e 2021= ή iπ 0
e 2021 0+ =
17) Παράσταση μόνο με τον αριθμό 1:
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
11 1 1 1 1 1
1 1
2021 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 11 11 11 11 1 1 1
1111 1 1 111 1 1 11 1 1 1 1 1
+ + + +
+
= + − + + + + + +
= + + + + +   − − + + +
=  + −  + + + − + +
Σημείωση: Ενδιαφέρον παρουσιάζει να εμφανίσουμε το 2021 με όσο γίνεται λιγότερα ψηφία
του «1».
Παράσταση μόνο με τον αριθμό 2
22
2
2 2 2
2021 2222 222 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
= − + − + = −     + +  +
18) (Γιώργος Χασάπης)
Το 2021 δεν γράφεται στη μορφή 2 2
x y 2021+ = ή 3 3
x y 2021+ = με x, y ακέραιους
αριθμούς.
Όμως,
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2021 1 16 42
2 9 44
6 7 44
= + +
= + +
= + +
19) Με εκθέτη τον αριθμό 4 ή 5:
4 4 4 4 4 4 4
1 1 1 2 3 5 6 2021+ + + + + + =
και
5 5 5 5 5 5 5 5
4 4 1 1 1 1 1 2 2021+ + + + + + − =
20) Με παραγοντικό: 2021 6! 5! 6! 4! 6! 2! 3! 1!= − + − + − + +
21) (Θεώρημα του Lagrange) Κάθε φυσικός n μπορεί να παρασταθεί ως άθροισμα
τεσσάρων τετραγώνων µη αρνητικών ακεραίων, δηλαδή κάθε θετικός ακέραιος γράφεται στη
μορφή 2 2 2 2
α β γ δ+ + + (δεν είναι μονοσήμαντη η γραφή) με α, β, γ, δ μη αρνητικούς
ακέραιους. Είναι, 2 2 2 2
2021 10 12 16 39= + + +

5. Αποκλειστικά στο http://lisari.blogspot.com
Ευχαριστώ πολύ το μέλος της lisari team Πάνο Γκριμπαβιώτη από την Άρτα
για την εικαστική παρέμβαση!

6. Αποκλειστικά στο http://lisari.blogspot.com
# Λυμένες ασκήσεις
1) Να ερμηνεύσετε – αποδείξετε το τελευταίο σχήμα (δες προηγούμενη σελίδα).
Απάντηση
Έστω x, y οι πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα το τετράγωνο με εμβαδόν
2021 όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
τότε με διαδοχικά Πυθαγόρεια Θεωρήματα σε τρία ορθογώνια τρίγωνα έχουμε:
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
x y 16 39 12 10 2021 2021+ = + + + = =
που προφανώς ισχύει:
2) Αν x ένας ακέραιος αριθμός από το 1 έως το 9, τότε να αποδείξετε ότι:
xxxxx x x x x
2021
xx x x
− +
 + =
Απόδειξη
Έχουμε,
( )
( )
5 4 3 2
5 4 3 2
5 4 3 2
5 4 3 2
xxxxx x x x x x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x x 2x
1
xx x x x 10 x x
x 10 x 10 x 10 x 10 x 10
2 1
x 10 x
x 10 10 10 10 10
2 1
x 10 1
10 10 10 10 10
2 1
11
100.000 10.000 1.000 100 10
2 1
11
11.110
2
11
− +  +  +  +  +  + −
 + =  +
 +
 +  +  +  + 
=  +
 +
+ + + +
=  +
+
+ + + +
=  +
+ + + +
=  +
=  1
1.010 2 1 2021
+
=  + =

7. Αποκλειστικά στο http://lisari.blogspot.com
# Στατιστικά από το lisari.blogspot.com
από 1/1/2020 έως 31/12/2020
1) Αναρτήσεις: 208 / 2.029 (συνολικά)
2) Επισκέψεις: 1.250.000 / 16.429.556 (συνολικά)
3) Σχόλια: 2.340 / 17.857 (συνολικά)
4) Ακόλουθοι: 1.202
5) Οι πιο προβεβλημένες αναρτήσεις (σε φθίνουσα σειρά):
- Νέα αρχεία μαθηματικών για το σχολικό έτος 2019 - 20
- Αρχεία για τη Γ Λυκείου σύμφωνα με τη νέα αναμορφωμένη ύλη [2020]
- Σχολική χρονιά 2020 - 21: Υλικό Γυμνάσιο - Λύκειο
- Πανελλαδικές εξετάσεις ΓΕΛ 2020 - Online ενημέρωση ΛΥΣΕΙΣ
- Διαγωνισμός "Θαλής" για το σχ. έτος 2020-2021 [θέματα - λύσεις]
6) Οι πιο προβεβλημένες σελίδες (σε φθίνουσα σειρά):
- Γ΄ Λυκείου (όχι ενημερωμένη)
- ΕΠΑΛ (ενημερωμένη)
- Γυμνάσιο (ενημερωμένη)
7) Η μέρα που δεν χωρούσαμε (μέρα με τους περισσότερους επισκέπτες):
Στις 17/6/2020 μας επισκέφτηκαν σε μία ημέρα 20.043 άτομα (και πάνω από 300 άτομα
ταυτόχρονα)!

8. Αποκλειστικά στο http://lisari.blogspot.com
# 21 Ασκήσεις για X – maths για Δευτερεβάθμια και
Τριτοβάθμια Εκπαίδευση
Α΄ Γυμνασίου
1) Να στρογγυλοποιήσετε τον αριθμό 2021,2021 στα εξής ψηφία:
α) χιλιοστά β) εκατοστά γ) δέκατα δ) μονάδες
Β΄ Γυμνασίου
2) Να υπολογίσεις την τιμή της αριθμητικής παράστασης:
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
17 16 31 31
0
16 3115 31
6 12 8 20
Β 2 2021
6 43 10
   − − − −
= + +  + +   
− −      
Γ΄ Γυμνασίου
3) Να υπολογίσετε την τιμή της αριθμητικής παράστασης:
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
7 8 35 35
0
6 357 35
3 6 10 22
Γ 2021 2021
12 56 11
− − − −
− −− −
   − − − −
= + +  + +   
− −      
Α΄ Λυκείου
4) Να αποδείξετε ότι:
2020 2022 1 2021 + = και 1 2022 2019 2021 1 2021+   + =
5) i) Αν α, β ομόσημοι αριθμοί να αποδείξετε ότι: ( )
1 1
α β 4
α β
 
+ +  
 
ii) Αν α, β, γ θετικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: ( ) 9
1 1 1
α β γ
α β γ
 
+ + + +  
 
iii) Nα γενικεύσετε την άσκηση για 2021 όρους;
6) Να αποδείξετε ότι: 2021 2021 2021
3 5 8+ 
7) Αν
1
α 2
α
+ = . Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων:
i) 2
2
1
α
α
+ ii) 3
3
1
α
α
+ iii) 2021
2021
1
α
α
+ iv) 2021
α 2021α 1+ −
8) Να αποδείξετε ότι:
2021 2022
2022 2021 2022 2021
+ 
− +
n

9. Αποκλειστικά στο http://lisari.blogspot.com
9) Δίνονται οι τρεις διαφορετικές ακολουθίες:
• 1,3,5,7,...
• 0,2,4,6,....
•  0α 2021= και ν 1 να 2α− =
Να βρείτε τον 2021ο όρο των παραπάνω ακολουθιών.
Β΄ Λυκείου
10) Να αποδείξετε ότι:
x x
ημ συν 2
2021 2021
   
+    
   
για κάθε xR . Για ποια τιμή του x
ισχύει η ισότητα;
11) Δίνεται η εξίσωση ( )2021 2021
ημ x συν x, x 1= R
α) Να αποδείξετε ότι x x 0   .
β) Να λύσετε την εξίσωση (1).
12) Δίνεται το πολυώνυμο ( ) 3 2
P x x 2022x 2020x 2021= + + − . Να βρείτε την αριθμητική
τιμή ( )P 2021 χωρίς υπολογιστή τσέπης.
13) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Μ μέσο της ΒΓ. Αν ισχύει
( ) ( )2021 ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΜ ΒΓ ΑΓ 0  −   =
να βρείτε τα μέτρα των γωνιών του τριγώνου ΑΒΓ.
14) Να λύσετε την εκθετική εξίσωση ( )2021x 1011x
e e 1 e e 0− + + =
15) Να αποδείξετε ότι: ln2021 ln2022
2022 2021=
Γ΄ Λυκείου
16) Να βρείτε τα όρια
( ) ( ) ( )
( )x 0 x 0 x 02
ημ 2021x συν 2021x 1 ημ 2021x x
, ,
x x συν 2021x 1
lim lim lim
→ → →
− −
−
17) Δίνεται συνάρτηση f : →R R τέτοια ώστε:
( ) ( )2021 2021
f x 2021f x x x 2020+ = + + για κάθε xR
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R
β) Να αποδείξετε ότι ( )f 1 1=
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( )f x 1=

10. Αποκλειστικά στο http://lisari.blogspot.com
18) Δίνεται η συνάρτηση ( )
x
f x
1 x
=
+
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.
β) Να αποδείξετε ότι ένα προς ένα.
γ) Να βρείτε τα όρια ( ) ( )x x
lim f x , lim f x
→+ →−
δ) Να υπολογίσετε το σύνολο τιμών της f
ε) Να υπολογίσετε τη συνάρτηση ( )
2021 φορές
f f ... f x
 
  
 
19) Αν
( )
x 0
f x 1
1
x
lim
→
+
= − , τότε να βρείτε το όριο
( )
( )x 0
f x 2021
f x
lim
→
+
.
20) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ( ) x
f x 2021= και
( ) 2
g x x 2021x 1= − + + έχουν ακριβώς δυο κοινά σημεία τα οποία να υπολογίσετε.
# Ανώτερα Μαθηματικά
21) Να αποδείξετε ότι:
1
2021 44
1
1
1
21
1
2
1
21
1
88
1
1
1
21
1
2
1
21
1
1
1
88
1
1
1
21
1
2
1
21
.....
= +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
δηλαδή 44;1,21,2,21,1,88 
  . (Γιώργος Χασάπης + Wolfram)