Επιμέλεια: Βασίλης Κακαβάς αποκλειστικά για το lisari.blogspot.gr

1. Αποκλειστικά στο http://lisari.blogspot.gr
Επιμέλεια: Βασίλης Κακαβάς
3ΩΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΩΝ
ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΔΙΕΤΗ ΤΜΗΜΑΤΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ
(ΓΘΓΠ)
Επιμέλεια: Βασίλης Κακαβάς
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση |x|ln)x(f  , *
Rx είναι
παραγωγίσιμη στο *
R και ισχύει:  
x
1
|x|ln 
Μονάδες 7
Α2. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό:
« Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.
Αν η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ τότε υποχρεωτικά ισχύει
0)x(f  σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ».
α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο
τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν
είναι ψευδής. (μονάδα 1)
β) Αν ο ισχυρισμός είναι αληθής να δώσετε ένα παράδειγμα, ενώ
αν είναι ψευδής να δώσετε ένα αντιπαράδειγμα. (μονάδες 3)
Μονάδες 4
Α3. Έστω συνάρτηση f και Α(x0,f(x0)) ένα σημείο της Cf. Πώς ορίζεται η
εφαπτομένη της Cf σε ένα σημείο της Α(x0,f(x0)) και ποια είναι η
εξίσωση της;
Μονάδες 4
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο
τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που
αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

2. Αποκλειστικά στο http://lisari.blogspot.gr
Επιμέλεια: Βασίλης Κακαβάς
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση
1x
α
βx)x(f

 , Rβ,α  για την οποία γνωρίζουμε
ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το f(2)  4.
Β1. Να δείξετε ότι α  β  1.
Μονάδες 6
Β2. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα, και να
προσδιορισθεί το σύνολο τιμών της f.
Μονάδες 8
Β3. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα
σημεία καμπής της Cf αν υπάρχουν.
Μονάδες 6
Β4. Αν 1  κ  2  λ να δείξετε ότι ισχύει (λ2)(4f(κ))  (f(λ)4)(2κ).
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Γ
Έστω οι συναρτήσεις f : [1, )  R, g: R  R που είναι συνεχείς στο πεδίο
ορισμού τους και οι γραφικές παραστάσεις των f, fog φαίνονται στο
παρακάτω σχήμα.
α) Αν το πεδίο ορισμού της σύνθεσης των συναρτήσεων f και g είναι το
διάστημα Α(0, ) τότε το πεδίο ορισμού της f είναι το Α(0, ).
β) Ένα τοπικό μέγιστο μίας συνάρτησης f, μπορεί να είναι μικρότερο από ένα
τοπικό ελάχιστο της f.
γ) Αν f: R(0, ) τότε η εξίσωση f(x)  2018 έχει τουλάχιστον μία πραγματική
ρίζα.
δ) Αν
x
lim 5
x
1
f 










 τότε υπάρχει το όριο και είναι 5)x(flim
0x


.
ε) Αν δύο μεταβλητά μεγέθη y,x συνδέονται με τη σχέση )x(fy  , όταν η
συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0x , τότε ονομάζουμε ρυθμό
μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο 0x την παράγωγο )x(f 0
 .

3. Αποκλειστικά στο http://lisari.blogspot.gr
Επιμέλεια: Βασίλης Κακαβάς
Σύμφωνα με το σχήμα:
Γ1. Να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων f, fog και τα
σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων τους με τους άξονες.
Μονάδες 4
Γ2. Να εξηγήσετε γιατί η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη και να
δειχθεί ότι )0(f)2(f)1(f2 111 
 .
Μονάδες 4
Γ3. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνήσια φθίνουσα στο
διάστημα ]3,( και γνήσια αύξουσα στο ),3[  και ότι το σύνολο
τιμών της g είναι το ),1[  .
Μονάδες 8
Γ4. Να βρεθούν αν υπάρχουν τα όρια:
α) )x(flim
2x
β) ))x(g(flim
2x
γ)
)x(f))x(g(f
2017
lim
2x 
δ) )))x(f(g(flim
5x
ε)  )x(glim
5x
στ) )))x(f2(g(lim
2x


Σε κάθε περίπτωση να δικαιολογηθεί η απάντηση.
Μονάδες 9

4. Αποκλειστικά στο http://lisari.blogspot.gr
Επιμέλεια: Βασίλης Κακαβάς
ΘΕΜΑ Δ
Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)  lnx, x  0 και
x
1
)x(g  , 0x  .
Δ1. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f
και g έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο με τετμημένη ),1(x0  .
Μονάδες 8
Δ2. Να βρείτε το πρόσημο των τιμών της συνάρτησης h(x)  f(x)g(x).
Μονάδες 4
Δ3. Να δειχθεί ότι 1)x(flim x
xx 0


(μονάδες 3) ενώ το
1xlnx
x
lim
0xx 
δεν
υπάρχει με ),1(x0  του ερωτήματος (Δ1). (μονάδες 3)
Μονάδες 6
Δ4. Αν συνάρτηση R),x(:h 0  ώστε h(x)(f(x)g(x))  1 να δειχθεί ότι
είναι γνήσια φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της και να βρεθεί το
σύνολο τιμών της.
Μονάδες 7
ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ
ΓΕΜΑΤΗ ΕΠΙΤΥΧΙΕΣ