Ekfoniseis 1 200

200

επαναληπτικά
θέματα
εκφωνήσεις
Μ Α Ρ Τ Ι Ο Σ 2 0 1 5
Ψ Η Φ Ι Α Κ Ή Ε Π Ε Ξ Ε Ρ Γ Α Σ Ί Α : Δ Η Μ Ή Τ Ρ Η Σ Π Α Π Α Μ Ι Κ Ρ Ο Υ Λ Η Σ
Ε Π Ι Μ Ε Λ Ε Ι Α Λ Υ Σ Ε Ω Ν : Π Α Υ Λ Ο Σ Τ Ρ Υ Φ Ω Ν
στα μαθηματικά κατεύθυνσης
Γ τάξης λυκείου

επίλυση θεµάτων: Παύλος Τρύφων – Μάρτιος 2015
εκφωνήσεις 200 επαναληπτικών θεµάτων - ψηφιακή επεξεργασία αρχείου: ∆ηµήτρης Παπαµικρούλης
1
ΘEMA 1ο
(προτάθηκε από τους Γ.Ησίοδο / Συγκελάκη)
Δίνονται οι µιγαδικοί z, w µε w 2= και
4 w
z .
w 1
−
=
−
i. Να βρείτε την αριθµητική τιµή του z .
ii. Να δείξετε ότι:
a. z w 4− ≤
b. 2
w 4 4 w 1− ≤ −
iii. Να δείξετε ότι: ( )4 2
w 8 2 w 32Re(w) 80+ − + ≤
iv. Να βρείτε του µιγαδικούς z, w ώστε η απόσταση εικόνων τους να είναι µέγιστη.
ΘEMA 2ο
Δίνεται η συνάρτηση )f : 1, ℝ +∞ → η οποία είναι κυρτή µε συνεχή πρώτη παράγωγο και f(1) 1, f (1) 0.′= =
Θεωρούµε επίσης τη συνάρτηση g, µε τύπο
x
1
f(t)dt
, x 1
g(x) .x 1
1 , x 1
∫
 >
=  −
 =
Σας ζητάτε να :
A. Δείξετε ότι η g συνεχής στο )1, +∞ .
B. Βρείτε την παράγωγο της g.
C. Δείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο )1, +∞ .
D. Δείξετε ότι
a
1
b
1
f(t)dt a 1
, 1 α β.
β 1f(t)dt
−∫
< < <
−∫

2
ΘEMA 3ο
Έστω η συνάρτηση f : R R→ µε τύπο x
x ηµx
, x 0
f(x) e 1
0 , x 0
 ⋅ ≠=  − =
i. Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0.
ii. Να βρείτε την ασύµπτωτη της f
C στο +∞ και να δείξετε ότι έχει άπειρα κοινά σηµεία µε την f
C .
iii. Αν x
g(x) e f(x), x= ⋅ ∀ ∈ ℝ τότε:
a. Να υπολογίσετε το εµβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f,g και
τις ευθείες x 0,x π= = .
b. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα
π
π
Ι g(x)dx
−
= ∫ .
ΘEMA 4ο
(προτάθηκε από τον Χ.Λαζαρίδη)
A. Έστω η συνάρτηση ( )h(x) lnx x, x 0, .= + ∈ +∞
i. Να αποδείξετε ότι η h αντιστρέφεται και να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα
1 e
1
1
h (x)dx.
+
−
∫
ii. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση lnx x 0+ = έχει ακριβώς µια λύση, έστω ( )ρ 0, .∈ +∞
iii. Να υπολογίσετε τα όρια
x 0
ηµx
lim
h(x)+
→
και 2x
ηµx
lim .
h (x)→+∞
B. Έστω η συνάρτηση
2
x
f(x) xln x x , x 0.
2
= − + >
i. Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο ( )ρ 0,∈ +∞ του (Α.ii) ερωτήµατος.
ii. Να εξετάσετε αν η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο ( )1,f(1) εφάπτεται και στη γραφική
της g, όπου
3
2x 11
g(x) x .
3 6
= − − −
iii. Να υπολογίσετε το όριο
x ρ
f (x)
lim ,
x ρ→
′
−
όπου ( )ρ 0,∈ +∞ του (Α.ii) ερωτήµατος.

3
ΘΕΜΑ 5ο
Έστω οι µιγαδικοί z,w ∈ ℂ µε τις ιδιότητες z,w 0, z w≠ = και 2
w z zi.= + Να δείξετε οτι:
i. Ο µιγαδικός w δεν είναι φανταστικός.
ii. Οι εικόνες των µιγαδικών z, w ανήκουν σε δυο τεµνόµενους κύκλους.
iii. Οι εικόνες των µιγαδικών z, w δεν ταυτίζονται.
ΘΕΜΑ 6ο
Έστω η παραγωγίσιµη στο ℝ συνάρτηση h, που έχεις τις ιδιότητες: x
h (x) h(x) x e 1, x (1)′ = + + − ∀ ∈ ℝ
και h(0) 0.=
A.
i. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα ( )x x
1 xe e dx− −
+ −∫ .
ii. Να βρείτε τον τύπο της h.
iii. Εάν ( )x
h(x) x e 1 , x ,= − ∀ ∈ ℝ να δείξετε ότι h(x) 0, x .≥ ∀ ∈ ℝ
B. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο 0,1 , 
   για την οποία ισχύουν:
1
0
f(x)dx 1=∫ (2) και
( )
1
f(x)
0
1 f(x) e dx 0−
− ≤∫ (3). Να δείξετε ότι f(x) 1, x 0,1 = ∀ ∈   

4
ΘΕΜΑ 7ο
Δίνεται η συνάρτηση
( )
2x 1
2
0
1
F(x) dt
4 t 1
−
=
− +
∫
a. Να υπολογίσετε το πεδίο ορισµού και την παράγωγο της F.
b. Να αποδείξετε ότι: ( )
π π π
F ηµx x , x , .
6 2 2
  = − ∈ −   
c. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της
συνάρτησης f µε
( )
2
1
f(t) ,
4 t 1
=
− +
τους άξονες και την ευθεία x= 3 1.−
d. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα
3
2
1
1
dx.
4 x−
∫
ΘΕΜΑ 8ο
Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f ορισµένη στο R και η ευθεία που ενώνει τα σηµεία ( )Α α,f(a) και
( )Β β,φ(β) , 0 α β< < της γραφικής παράστασης C της f να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
A. Να δειχτεί ότι:
i. Ισχύει
f(a) f(β)
a β
=
ii. Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο ( )α,β µε ( )f (x) 0, x α,β′′ ≠ ∀ ∈ , τότε υπάρχει
εφαπτοµένη της fC η οποία περνά από την αρχή των αξόνων και η fC να εφάπτεται µια µονο
φορά σε αυτήν.
B. Αν η f έχει τα κοίλα κάτω στο ( ,0−∞  να δειχτεί ότι:
i. αν
x
f (x)
lim L
x→−∞
′
= τότε
( )
x
f x 1 f(x)
lim L
x→−∞
− −
= −
ii. η συνάρτηση
f(x)
g(x) , x 0
x
= < µε f(0) 0= είναι γνησίως φθίνουσα.
C. Αν το σηµείο ( )( )B β,f β ανήκει στην εφαπτόµενη της fC στο ( )( )A α,f a να δείξετε ότι υπάρχει
( )ξ α,β∈ τέτοιο ώστε:
( )( ) ( ) ( ).f f f aξ ξ α ξ′ − = −

5
ΘΕΜΑ 9ο
Δίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : 0,3  →   ℝ µε ( )f 0 0,= για την οποία ισχύει (f (x) f(x),x 0,3 .′ > ∈ 
A. Να δείξετε ότι:
i. ( ) ( ) (
x
0
f x f t dt,x 0,3 .> ∈ ∫
ii. Η συνάρτηση ( ) ( )
x
x
0
h x e f t dt−
= ∫ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα 0,3 . 
  
iii. ( ) (
x
0
f t dt 0,x 0,3 .> ∈ ∫
B. Να δείξετε ότι:
i. Η συνάρτηση ( )
2
x
0
φ x f(t)dt
 =   ∫ είναι κυρτή στο 0,3 . 
  
ii. ( ) ( )
1
1
2
0 0
2f t dt f t dt.<∫ ∫
C. Αν ( )
2
0
f t dt 1=∫ και Ε είναι εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cφ , τον άξονα x'x και
τις κατακόρυφες ευθείες x 2,x 3,= = να αποδείξετε ότι: ( )Ε 1 f 2 .> +
ΘΕΜΑ 10ο
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : α,β  →   ℝ µε
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x
2
a
3
f α 3,f α 2,f x f β κ f t dt,x α,β
8
 ′= = = ⋅ + + ∈   ∫ και κ .∈ ℝ
i. Να βρεθεί το κ.
ii. Να δείξετε ότι ( )f x 0 ,> για κάθε x a,β . ∈   
iii. Να δείξετε ότι ( )
β
a
f x dx 1.=∫
iv. Να δείξετε ότι υπάρχει µοναδικό ( )ξ a,β∈ τέτοιο ώστε ( )
1
f ξ .
β a
=
−

6
ΘEMA 11ο
Έστω η συνάρτηση ) )0, 0, , +∞ → +∞   η οποία είναι παραγωγίσιµη και αντιστρέψιµη µε
( ) ( ) )1
f x f x , x 0, .− ′= ∀ ∈ +∞
i. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
ii. Να υπολογίσετε τα όρια ( )x 0
lim f x
→
και ( )x
lim f x .
→+∞
iii. Να δείξετε ότι ισχύει ( )( ) ( ) )
x
0
f f x tf t dt, x 0, .′= ∀ ∈ +∞∫
iv. Να ελέγξετε εάν για κάθε )x 0,∈ +∞ ισχύει ( )f x x> ή ( )f x x.<
v. Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) ( )f x x,x 0,= ∈ +∞ έχει ακριβώς µία θετική λύση κ .
vi. Να δείξετε ότι ( )f x x, x κ> ∀ > και ( ) ( )f x x, x 0,κ .< ∀ ∈
vii. Να δείξετε ότι ( ) 21
f x x , x κ
2
> ∀ > και ( ) ( )21
f x x , x 0,κ .
2
< ∀ ∈
viii. Εάν ισχύει επιπλέον ( ) ( ) )1
xf x αf x , x 0, ,− = ∀ ∈ +∞ όπου α θετική σταθερά, να βρείτε τον τύπο
της f.
ΘEMA 12ο
Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο ℝ , για την οποία ισχύει:
( )f a 1 a 1,f(a) a− > − < και ( )f a 1 a 1,+ > + για κάποιο α ∈ ℝ .
i. Να αποδείξετε ότι , η γραφική παράσταση της f και η διχοτόµος της 1ης
-3ης
γωνίας των αξόνων έχουν
δυο τουλάχιστον κοινά σηµεία.
ii. Να αποδείξετε ότι, η εξίσωση f (x) 1 f(x) x′ − = − έχει µια τουλάχιστον λύση στο διάστηµα
( )α 1,α 1 .− +
iii. Αν επιπλέον η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη στο ℝ να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον
( )ξ α 1,α 1∈ − + ώστε: ( )f ξ 0.′′ >

7
ΘEMA 13ο
Δίνεται η συνεχής στο ℝ συνάρτηση f για την οποία γνωρίζουµε ότι: f(x) 0≠ για κάθε x ∈ ℝ και
1
2
0
t f(t)dt 1≤∫ . Έστω ακόµη η συνάρτηση ( )
1
2 2 4
0
g(x) f(t) 2xt f(t) 5x t dt,= − +∫ x ∈ ℝ µε g(0) 0.>
a. Να αποδείξετε ότι f(x) 0> για κάθε x ∈ ℝ .
b. Να δείξετε ότι η εξίσωση g(x) 0= δεν έχει πραγµατικές ρίζες.
c. Αν ο αριθµός 1
z είναι ρίζα της εξίσωσης g(x) 0= και ισχύει 1
z 3= τότε:
i. Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της f, τον άξονα x΄x
και τις ευθείες x 0= και x 1=
ii. Να αποδείξετε ότι ( )1
2 Im z 3≤ < .
ΘEMA 14ο
Έστω οι συναρτήσεις
2
x x
g(x) e 1 x , x 0
2
= − − − ≥ και
2
x
f(x) e , x 0= ≥
i. Να µελετήσετε την g ως προς την µονοτονία.
ii. Να δείξετε ότι για κάθε x 0≥ ισχύει g(x) 0.≥ Πότε ισχύει η ισότητα;
iii. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε τον τύπο της αντίστροφης.
iv. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα αξόνων, τις γραφικές παραστάσεις των f στο 0,1 
   και της αντίστροφης
της στο ( )f 0,1 
   .
v. Να δείξετε ότι
2
1 e
x
0 1
e dx ln xdx e+ =∫ ∫
vi. Να δείξετε ότι
2
1
x
0
e
e dx .
2
>∫

8
ΘEMA 15ο
Έστω η συνάρτηση )f : 1, , +∞ → ℝ η οποία είναι παραγωγίσιµη και έχει την ιδιότητα
)
x
3 2
1
f (x) x f(x) 2 tf(t)dt x 1, x 1,+ − = − ∀ ∈ +∞∫ .
i. Να δείξετε ότι f(1) 0=
ii. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
iii. Να δείξετε ότι )
x 1
0 f(x) , x 1,
2
− ≤ ≤ ∀ ∈ +∞ .
iv. Να δείξετε ότι η f είναι κοίλη.
v. Να βρείτε το σύνολο τιµών της f΄.
vi. Να δείξετε ότι
3
1
2 3 f(x)dx− > ∫ .
ΘEMA 16ο
Δίνονται οι συναρτήσεις: f, F µε:
t
e
f(t)
t
= και
x
1
F(x) f(t)dt= ∫ .
Θεωρούµε και τη συνάρτηση:
2
xF(x) , 0 x 1
G(x) 0 , x 0
x f (x), x 1
 < <= =
 ′ ≥
Να αποδείξετε ότι:
i. Η G είναι συνεχής.
ii. Η G έχει ολικό ελάχιστο.
iii. Η G είναι κυρτή.
iv. Για κάθε x 0≥ ισχύει: ( )G(x) e x 1≥ − .

9
ΘEMA 17ο
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f µε
x x x
2 2 2
0 0 0
2tηµtf(t)dt t f (t)dt ηµ tdt≥ +∫ ∫ ∫ για κάθε x 0, ).∈ +∞
a. Να δείξετε ότι xf(x) ηµx= για κάθε x 0, ).∈ +∞
b. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο .ℝ
i. Να δείξετε ότι η f παραγωγίσιµη.
ii. Να βρείτε τα ακρότατα στο 0,π 
   .
iii. Να λυθεί η 2 3 2009
f(x) f(x ) f(x ) f(x )+ = + στο 0,π 
   .
c.Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν µεταξύ των f
C , ψ xηµ1= και του άξονα των x είναι µικρότερο του
π ηµ1.+
d. Nα βρείτε ότι το εµβαδόν µεταξύ των ψ xf(x), ψ χηµ1= = και του άξονα των x.
ΘEMA 18ο
A. Να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα ξ 0> τέτοιο ώστε lnξ ξ 3 0.+ − =
B. Δίνεται η συνάρτηση ( )f : 0, ,+∞ → ℝ µε ( )
1
f(x) 1 lnx 2 .
x
  = − −   
i. Να µελετήσετε τη συνάρτηση f(x) ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα.
ii. Για το ξ του ερωτήµατος Α, να δείξετε ότι:
a.Για κάθε x 0,> ισχύει:
( )
2
ξ 1
f(x) 0.
ξ
−
+ ≥
b.Υπάρχει o
x ξ> τέτοιο ώστε να ισχύει o o
f(x ) f (x ) 0.′+ =

10
ΘEMA 19ο
Δίνεται συνάρτηση 2
f(x) x z 4 3i x 2010, x ,= + − − + ∈ ℝ για τον µιγαδικό αριθµό z ισχύει z 4 3i.≠ +
Αν η γραφική παράσταση της f(x) στο σηµείο της
1 1
Α ,f ,
2 2
    − −        
έχει εφπτοµένη παράλληλη στον άξονα x΄x,
τότε:
i. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών z.
ii. Να βρείτε την µέγιστη και την ελάχιστη τιµή του µέτρου z z .−
iii. Να αποδείξετε ότι 9 z 4 3i 11.≤ + + ≤
ΘEMA 20ο
Έστω συνάρτηση 2009 2007
f(x) x x x, x= + + ∈ ℝ και η γνησίως φθίνουσα στο ℝ συνάρτηση g(x).
a. Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και τα κοίλα και να αποδείξετε ότι η f έχει αντίστροφή
συνάρτηση.
b. Να συγκρίνετε τους αριθµούς ( )( )fog 2009 και ( )( )fog 2008 .
c. Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο (0,0) είναι άξονας
συµµετρίας των γραφικών παραστάσεων της f και της 1
f .−
d. Να δείξετε ότι: 1
f(x) f (x)−
< για κάθε x 0< και 1
f(x) f (x)−
> για κάθε x 0.>
ΘΕΜΑ 21ο
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [0, ) R+∞ → µε f(0)=0 µε την f′ γνήσια αύξουσα στο (0, )+∞ . Θεωρούµε
επίσης τις συναρτήσεις
f(x)
g(x) ,x 0
x
= > και
x
2
F(x) g(t)dt,x 0.= >∫
(α) Να βρεθεί η µονοτονία της συνάρτησης g.
(β) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση F είναι κυρτή.
(γ) Να αποδειχθεί ότι
4
3
F(3) g(x)dx.< ∫
(δ) Αν 1 2 1 2
x ,x 0 µε x x 4,> + = να βρεθεί πότε η παράσταση 1 2
F(x ) F(x )+ έχει ελάχιστη τιµή και να βρεθεί
η τιµή αυτή.

11
ΘΕΜΑ 22ο
x
1
lnt
f(x) dt.
t 1
=
+∫
i. Να υπολογίσετε το όριο
( )
( )
2x 1
f(x)ηµ x 1
lim .
x 1
→
−
−
ii. Να αποδείξετε ότι:
1 1
2 3
1 1
lnt lnt
dt dt.
t 1 t 1
<
+ +∫ ∫
iii. Να υπολογίσετε τη συνάρτηση
1
g(x) f(x) f .
x
  = +    
iv. Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη g
C , τον άξονα x΄x και τις ευθείες x 1= και
x e.=
v. Να αποδείξετε ότι: f(x) x 1,≤ − για κάθε x 1.≥
ΘEMA 23ο
Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο διάστηµα 2,2 −   παραγωγίσιµη δυο φορές στο διάστηµα ( )2,2− για την
οποία επίσης γνωρίζουµε ότι f(0) 3= και f(x)f (x) f (x) x′ ′= − για κάθε ( )x 2,2∈ − .
Έστω και οι µιγαδικοί αριθµοί z για τους οποίους ισχύει z i 2.− =
i. Η f δεν έχει σηµεία καµπής.
ii. 2 2
f (x) 2f(x) x 3 0 x 2,2 − + − = ∀ ∈ −  
iii. Η συνάρτηση g(x) f(x) 1= − διατηρεί πρόσηµο στο ( )2,2− .
iv. Η f είναι κοίλη στο 2,2 −  
v. 2
f(x) 1 4 x , x 2,2 = + − ∈ −  

12
vi. Η γραφική παράσταση της f είναι µέρος του γεωµετρικού τόπου των µιγαδικών z και ότι η εφαπτοµένη
της, στο σηµείο που είναι η εικόνα του z για τον οποίο το µέτρο z γίνεται µέγιστο, είναι παράλληλη στον
άξονα x΄x.
vii. ( )
2
0
f(x) 1 dx π.− =∫
ΘEMA 24ο
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ και ο µιγαδικός
1
z
2
≠ µε 10
z 1≠ για τους οποίους ισχύουν
2 2
f (x) ηµ x 2xf(x)+ = για κάθε x ∈ ℝ και
χ 0
f(x) z 2
lim .
x 2z 1→
−
=
−
i. Να δείξετε ότι z 1=
ii. Να δείξετε ότι ο αριθµός
( )
10
10
z i
w
z 1
+
=
−
είναι πραγµατικός.
iii. Να βρείτε το
( )
2x 0
f ηµx
lim
x x→ −
Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) 3
5 z 3 4i x x 10,+ + − = + έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο 1,2 . 
  
ΘEMA 25ο
Δίνεται η παραγωγίσιµη στο ( )0,+∞ συνάρτηση f, για την οποία ισχύει: xf(x)ln f(x) 1, x 0.  = >  
i. Να δείξετε ότι: f(x) 1> για κάθε x 0.>
ii. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( )0, .+∞
iii. Να δείξετε ότι ισχύει: ( )f(x)f f(x) f(1)> για κάθε x 0.>
iv. Να βρείτε τους 1 2
x ,x 0> για τους οποίους ισχύει: 1
f(x ) e= και 2
2
f(x ) e .=
v. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα
2
1
x
x
f(x)dx.∫

13
ΘEMA 26ο
Δίνεται η συνάρτηση: 2
f(x) 2ln x x 1.= + −
i. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία.
ii. Να µελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και να βρείτε τα σηµεία καµπής.
iii. Να βρείτε το πρόσηµο της συνάρτηση f.
iv. Να βρείτε το σύνολο των τιµών της συνάρτησης f.
v. Να λύσετε την εξίσωση: 2 5 10
f(x) f(x ) f(x ) f(x ).+ = +
vi.Αν
( )( )
2
β α β αα
α,β 0, e ,
β
− +  > =   
να αποδείξετε ότι α β.=
ΘEMA 27ο
Έστω συνάρτηση f ώστε: ( )
3 f(x) 3
f(x) f(x) e 2 x ,+ + + = για κάθε x ∈ ℝ .
i. Να αποδείξετε ότι: η f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .
ii. Να αποδείξετε ότι: η συνάρτηση g µε ( ) ( )g(x) f 2 3x f 3 2x ,= − − + x ∈ ℝ είναι γνησίως φθίνουσα στο
ℝ .
iii. Να λυθεί η ανίσωση: ( )( )( ) ( )( )( )2
f g x x 1 f g x 4 x .− > −
ΘEMA 28ο
A. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο α,β 
   κα ισχύει f(x) g(x),≥ για κάθε x α,β , ∈    να
αποδείξετε ότι:
β β
α α
f(x)dx g(x)dx.≥∫ ∫
B. Έστω f δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση ορισµένη στο ℝ , µε f (x) 0,′′ > για κάθε x ∈ ℝ . Αν α,β ,∈ ℝ
µε α β,< να αποδείξετε ότι:
i.
α β f(a) f(β)
f .
2 2
 + +  <   
ii. ( )f(x) f(a) f (β) x a ,′− ≤ − για κάθε x α,β . ∈   
iii. ( ) ( )
β
2
α
2 f(x)dx f (β) β α 2f(a) β α .′≤ − + −∫

14
ΘEMA 29ο
Έστω η παραγωγίσιµη στο διάστηµα 1,1 −   συνάρτηση f που έχει συνεχή παράγωγο στο (-1,1) και η εξίσωση:
3 2
z f(1)z z f(0) 0 (1)+ − + = . Αν η εξίσωση (1) έχει ρίζα τον αριθµό 1 i,+ να αποδείξετε ότι:
i. Υπάρχει ( )1
ξ 0,1∈ τέτοιο ώστε να ισχύει: 1
f(ξ ) 0.=
ii. Υπάρχει ( )2
ξ 0,1∈ τέτοιο ώστε να ισχύει: 2
2f (ξ ) 7 0.′ + =
iii. Υπάρχουν ( )3 4
ξ ,ξ 0,1∈ τέτοιο ώστε να ισχύει: 3 4 2
1 1
3
f (ξ )f (ξ ) .
2ξ 2ξ
′ ′ =
−
iv. Αν επιπλέον η f ′ είναι περιττή, αποδείξτε ότι η εξίσωση ( ) 0f x′ = έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο (-1,1).
ΘEMA 30ο
A. Να αποδείξετε ότι ( )
x
ln x 1 ,
x 1
+ >
+
για κάθε x 0.>
B. Δίνονται οι συναρτήσεις ( )
1
x1 x , x 0f(x)
e , x 0
 + >= 
 =
και x 2
g(x) e x 1,= − − µε x ∈ ℝ .
i. Δείξτε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σηµείο 0
x 0.=
ii. Να αποδείξετε η f είναι γνήσια φθίνουσα στο πεδίο ορισµού της και να εξετάσετε αν η γραφική
παράσταση παρουσιάζει ακρότατα.
iii. Να αποδείξετε ότι η g είναι γνήσια αύξουσα στο πεδίο ορισµού της.
iv. Θεωρούµε τη συνάρτηση h ορισµένη στο ℝ , µε
f(x) , x 0
h(x) .
g(x) , x 0
 ≥= 
 <
Να αποδείξετε ότι η h είναι “1-1”.

15
ΘΕΜΑ 31ο
Δίνεται µια συνάρτηση f συνεχής στο 0,1 
   και παραγωγίσιµη στο (0,1) για την οποία γνωρίζουµε ότι ισχύουν
τα παρακάτω:
0 f (x) 4,′< ≤ για κάθε x (0,1).∈
f(0) f(1) 0+ =
i. Υπάρχει µοναδικό 0
x (0,1)∈ τέτοιο, ώστε 0
f(x ) 0.=
ii. Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (0,1)∈ τέτοιο, ώστε f (ξ) 2f(1).′ =
iii. Ισχύει 2x 2 f(x) 2x,− < < για κάθε x (0,1).∈
iv. Ισχύει
1
0
f(x)dx 1.<∫
ΘΕΜΑ 32ο
Δίνεται η συνάρτηση ( )f(x) ln 1 x x,= − − µε χ 1.<
i. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνήσια φθίνουσα.
ii. Να αποδείξετε ότι η ευθεία y x= τέµνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( )h(x) ln 1 x= − σε
µοναδικό σηµείο, το Ο(0,0).
iii. Δείξτε ότι η f αντιστρέφεται και να λυθεί η εξίσωση ( )1
f 2008 f (x) 0.−
+ =
iv. Αν x
g(x) 1 e , x ,= − ∈ ℝ να βρείτε τη συνάρτηση της σύνθεσης ( )fog , τη συνάρτηση της σύνθεσης ( )gof
και να αποδείξετε ότι ( ) ( )x
fog (x) e gof (x).=
v. Να υπολογίσετε το εµβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x΄x
και την ευθεία x 1 e.= −

16
ΘΕΜΑ 33ο
Δίνεται µια συνεχής συνάρτηση f η οποία για κάθε ( )x 1,1∈ − ικανοποιεί τις σχέσεις f(x) 0≠ και
x
0
ηµ f(t)dt x.
  =  ∫
A. Να αποδείξετε ότι:
i.
x
0
1
συν f(t) dt .
f(x)
  =  ∫
ii. f(x) 0> για κάθε ( )x 1,1 .∈ −
iii. ( )2
1
f(x) , x 1,1 .
1 x
= ∈ −
−
B. Δίνεται η συνάρτηση αν 4 3 2
g(x) 3x 4x 12x f(0), x .= + − + ∈ ℝ
i. Να µελετήσετε τη µονοτονία της συνάρτησης g.
ii. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης g.
ΘΕΜΑ 34ο
Δίνεται η συνάρτηση F µε
txx
1
e
F(x) dt.
t
= ∫
i. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της F και η F (x).′
ii. Να υπολογιστεί το όριο
x 1
F(x)
lim .
x 1→ −
iii. Να αποδείξετε την ανίσωση x
e ln x F(x) ln x≤ < µε 0 x 1.< <
iv. Να αποδείξετε ότι ο άξονας ψ΄ ψ είναι ασύµπτωτη της F.

17
ΘΕΜΑ 35ο
Δίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση ( )f : 0,+∞ → ℝ για την οποία ισχύει 2
1 1
f (x) f(x) ,
x x
′ + = για κάθε
x 0> και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σηµείο
1
Α e, .
e
     
i. Να βρείτε την συνάρτηση f και να τη µελετήσετε ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα.
ii. Να αποδείξετε ότι
3 3
3 3
x e
2 2
e dx x dx≤∫ ∫
iii. Θεωρούµε την συνάρτηση
x
1
g(x) f(t)dt, x 0.= >∫ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( )h : 0,+∞ → ℝ µε
21
h(x) g(x) g ln x
x
  = + −   
είναι σταθερή στο διάστηµα ( )0, .+∞
Να λύσετε την εξίσωση
1
x x
1 1
lnt 2 ln t
dt 2 2xf(x) dt, x 0.
t x t
+ − = − >∫ ∫
ΘΕΜΑ 36ο
Αν για τις παραγωγίσιµες συναρτήσεις f,g στο 2002,a 
   µε α 2002> ισχύουν ( ) ( )f 2002 g 2002 1= = και
( ) ( ) ( ) ( )
a
2002
f x g x f t g t dt+ = ∫ για κάθε χ 2002,α , ∈    τότε να αποδειχθεί ότι:
i. ( ) ( )g x 2 f x .= −
ii. ( )( )
a
2
2002
f t 1 dt a 2004.− = −∫
iii. a 2004.≥
iv. a) Αν ( ) ( )( )
x
2
2002
h x f t 1 dt,= −∫ τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )0
x 2002,2004∈ ώστε ( )0
h x 0.′ =
β) Η γραφική παράσταση της f ,′ τέµνει τον άξονα x'x σε ένα τουλάχιστον σηµείο.
γ) Η γραφική παράσταση της f δέχεται οριζόντια εφαπτοµένη.

18
ΘΕΜΑ 37ο
Δίνονται οι µιγαδικοί 1 2 3
z ,z ,z µε εικόνες Α,Β,Γ αντίστοιχα. Αν ισχύει ( )2009 2009
3 1 2
z i z 1 i z ,+ = + τότε:
i. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.
ii. Να αποδείξετε ότι ( ) ( )
22 2
3 1 3 1
2 z z z z .+ ≥ +
iii. Αν 2
z 2 2,= να αποδείξετε ότι ( )3 1
Ιm z z 4.≤
iv. Αν
2 2 2
3 1 2
z z 2 z ,+ = όπου ( ) ( )1 3
z a f a i,z β f β i= + = + µε a.β 0> και η
συνάρτηση ( )
( )f x
g x ,x 0,
x
= ≠ είναι παραγωγίσιµη, να αποδείξετε ότι:
α) Ο αριθµός 3 1
z z είναι πραγµατικός.
β) Υπάρχει τουλάχιστον µια εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f η οποία διέρχεται από την αρχή
των αξόνων.
ΘΕΜΑ 38ο
(προτάθηκε από τον Χ.Λαζαρίδη)
Έστω η συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ ώστε: ( ) ( )
x
2
0
f x 1 f t dt,= +∫ για κάθε x .∈ ℝ Να αποδείξετε ότι:
i. Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο .ℝ
ii. ( )
x x
e e
f x ,x .
2
−
−
= ∈ ℝ
iii. Η γραφική παράσταση της f δεν έχει ασύµπτωτες.
iv. Η f είναι αντιστρέψιµη και αν ( ) ( )
x
1
0
f x h t dt,−
= ∫ όπουh µία συνεχής στο ℝ συνάρτηση, να
υπολογίσετε το ολοκλήρωµα
1
2
0
1
Ι dx.
x 1
=
+
∫

19
ΘΕΜΑ 39ο
Έστω συνάρτηση f : →ℝ ℝ τέτοια, ώστε να ισχύει ( )f x 0,′ ≠ για κάθε x .∈ ℝ Αν οι συναρτήσεις 1
f−
και
f′ είναι συνεχείς και ισχύει
( )
( ) ( )
f x x
2 1
3 1
2x 3x f t dt 5 f 1 t dt,−
+ + = + −∫ ∫ για κάθε x ∈ ℝ , τότε να
i. ( ) ( )f 1 x 4x 3 xf x ,′− = + + για κάθε x .∈ ℝ
ii. Υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )ξ 0,1∈ τέτοιο ώστε ( ) ( )f ξ f 1 4.′ ′+ = −
iii. H f είναι γνησίως φθίνουσα.
iv. Το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f και τις ευθείες y 3,x 0= =
και x 1= είναι Ε 1= τ.µ.
ΘΕΜΑ 40ο
Έστω οι συνεχείς στο ℝ συναρτήσεις f,g,φ µε ( ) ( ) ( )f x 0,g x 0,φ x 0≠ ≠ 〉 , για κάθε χ, και η συνάρτηση
( )
( )
( )
x
0
x
0
tφ t dt
h x
φ t dt
=
∫
∫
, 0x ≠ , µε ( )
( )
( )h 1
h 2
f x dx 0.
−
〉∫
i. Να δειχθεί ότι η h είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήµατα ( ),0−∞ και ( )0, .+∞
ii. Αν ( )h 0 0,= να δείξετε ότι η h είναι “1-1” στο .ℝ
iii. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και η g γνησίως φθίνουσα στο ( )a,β , µε ( ) ( )0 a β,f β g β< < > και
( ) ( )
β β
a a
f x dx g x dx,<∫ ∫ τότε να δείξετε ότι:
α) Υπάρχει ένα µόνο ( )0
ξ α,β∈ τέτοιο ώστε ( ) ( )0 0
f ξ g ξ .=
β) Η εξίσωση
( ) ( ) ( )
x
t
x
β
g t dt
f x g x
h h ,
x a β x
           =     − −        
∫
έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο (α,β).

20
ΘΕΜΑ 41ο
Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : 0,1  →  ℝ µε ( )1 f 0 2,< < ώστε να ισχύει ( ) ( ) ( )2
f x f x 4f x 5,′ = − + για
κάθε x 0,1 . ∈  
i. Να µελετηθεί η f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα.
ii. Να δείξετε ότι ( )f 1 2.>
iii. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς ένα σηµείο καµπής.
iv. Αν δίνετε ότι
( )
( )
f 0
a
f 1
= και ( )
1
0
f x dx β,=∫ να υπολογίσετε το
( )
1
0
1
Ι dx.
f x
= ∫
ΘΕΜΑ 42ο
Έστω ο µιγαδικός z µε z 2.<
i. Αν
1
w ,
z 2
=
−
να δειχθεί ότι ( ) 1
Re w .
4
< −
ii. Να δειχθεί ότι η εξίσωση ( ) x
2 x e z 0− − = έχει µοναδική λύση ( )ρ 1,2 .∈
iii. Θεωρούµε τη συνάρτηση ( )
x
x
e z
f x ,x 1.
e z x
−
= ≥
−
Να δειχθεί ότι ( ) 1
f x .
ρ 1
≤
−
ΘΕΜΑ 43ο
Δίνεται η συνεχής στο ℝ συνάρτηση f µε, ( )f x 0≠ για κάθε x ,∈ ℝ ( )f 1 1= και ( )
z
1
f x dx 0.=∫
i. Να δειχθεί ότι ( )f x 0.>
ii. Δείξτε ότι z 1.=
iii. Να βρείτε το όριο
( )
( )
3
x 2
z z 3 x x
lim .
z z 3 x x
→−∞
+ − +
− − +
iv. Αν το εµβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x'x και τις ευθείες
x 0,x 1= = είναι µικρότερο του z 2z+ τότε, να δείξετε ότι η εξίσωση ( )
x
2
0
f t dt 3x 6x 6= + −∫ έχει
τουλάχιστον µια ρίζα στο ( )0,1 .

21
ΘΕΜΑ 44ο
Δίνεται η συνάρτηση ( ) lnx
f x
x
= και ο µιγαδικός z µε την ιδιότητα z 4 2 z 1 .− = − Αν
( )
( )
e
f x
x 1
α lim e ,β f x dx
→+∞
= = ∫ και ( )γ f e z ,′= + τότε:
i. Να συγκρίνετε τους αριθµούς f(3a) και f(10β) .
ii. Να βρείτε το πλήθος λύσεων της εξίσωσης γf(x) 1.=
iii. Να δείξετε ότι
2 2
x
lnxe
t t
0 0
e dt e dt− −
≥∫ ∫ για κάθε x 0.>
ΘΕΜΑ 45ο
Έστω ο µιγαδικός αριθµός z ,∈ ℂ µε Im(z) 1.= Θεωρούµε και την συνάρτηση f : →ℝ ℝ µε
( )x
f(x) x ln e z .= − +
i. Να βρεθεί τα όριο
x
lim f(x).
→+∞
ii. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και τη καµπυλότητα.
iii. Να δειχθεί ότι γα κάθε x ,∈ ℝ ισχύει ότι: ( )x 1 x
z z
f x 1 f(x)
e z e z+
< + − <
+ +
iv. Να βρεθεί ο µιγαδικός z αν ισχύει ότι:
1
2
0
x f (x) 2xf(x) dx ln2. ′ + = −∫  
ΘΕΜΑ 46ο
Έστω η συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία για κάθε x ∈ ℝ ισχύει η σχέση:
x
f(0)
f(t)
0
1
f(x) e dt.
1 e
= − + ∫
+
i. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και την καµπυλότητα.
ii. Να αποδείξετε ότι ισχύει f(x)
f(x) e x+ = για κάθε x .∈ ℝ
iii. Να υπολογισθούν τα όρια:
x
lim f(x)
→−∞
και
x
f(x)
lim .
x→−∞
iv. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: f(β) f(a) β α− ≤ − για κάθε α,β .∈ ℝ
v. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x
x e 1+ = έχει µοναδική ρίζα την x 0.=
vi. Να αποδείξετε ότι f(1) 0.=
vii. Να αποδείξετε ότι
21
0
f (0)
f(x)dx f(0) 1.
2
= − −∫

22
ΘΕΜΑ 47ο
Δίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z και w z i z.= + ⋅
i. Να δείξετε ότι για τις διάφορες τιµές του µιγαδικού z η εικόνα του w κινείται πάνω στη δχοτόµο του 1ου
και 3ου
τεταρτηµορίου των αξόνων του µιγαδικού επιπέδου.
ii. Αν z α β i,= + ⋅ µε a β ,≠ να δείξετε ότι η αρχή των αξόνων Ο(0,0) και εικόνες των z,w,i z⋅ είναι
κορυφές ρόµβου.
iii. Να δείξετε ότι i w w.⋅ =
iv. Να υπολογίσετε τη δύναµη
2006
w
,
w
 
 
 
 
εφόσον w 0.≠
ΘΕΜΑ 48ο
Έστω µια συνάρτηση f, παραγωγίσιµη στο ℝ µε τις ιδιότητες: f(π) 1, f(x) 0= ≠ για κάθε x ∈ ℝ και
2
2f (x) f (x) ηµx′ = ⋅ για κάθε x ∈ ℝ .
α. Να δείξετε ότι ο τύπος της συνάρτηση f είναι :
2
f(x)
συνx 3
=
+
και να βρεθεί το σύνολο τιµών της.
β.Αν g είναι µια παραγωγίσιµη στο ℝ συνάρτηση µε g(x) 0> και
g (x)
f(x)
g(x)
′
= για κάθε x ∈ ℝ , να δείξετε ότι:
i.
2
a
β
g(β) e
0 ln β α,
g(α) e
  
 ≤ ≤ − 
   
για κάθε α,β ∈ ℝ µε α β.<
ii. 1 Ε 2,≤ ≤ όπου Ε το εµβαδό του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τους
άξονες συντεταγµένων και την ευθεία x 2.=

23
ΘΕΜΑ 49ο
Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιµη στο ℝ µε f(0) 1= και οι µιγαδικοί 1 2
z ,z .∈ ℂ Ορίζουµε τη
συνάρτηση ( )
1 2z z x χ
1 2
0 0
h,h(x) f(t)dt f(t)dt 1 1 z z x,
−
= − + − −∫ ∫ για κάθε x ∈ ℝ .
i. Να αποδείξετε ότι η h είναι παραγωγίσιµη στο ℝ και να βρεθεί η παράγωγος h΄.
ii. Αν για την h ισχύει h(x) 0≥ για κάθε x ∈ ℝ , τότε να δείξετε ότι 1
z 1= ή 2
z 1.=
iii.
α. Αν θεωρήσουµε ότι οι µιγαδικοί 1 2
z ,z κινούνται συγχρόνως σε κύκλο κέντρου Κ(0,0) και ακτίνας ρ 1=
και ισχύει 1 2
z ,z Ι∈ µε 1 2
z z ,≠ τότε να δείξετε ότι: h (x) 2f(2x) f(x) 1.′ = − −
β.Αν ισχύει f(0) f(1),= να αποδείξετε ότι υπάρχουν 1
ξ (0,1)∈ και 2
ξ (1,2)∈ τέτοια ώστε:
1 2
h (ξ ) 2f (ξ ).′′ ′=
ΘΕΜΑ 50ο
x
e
f(x) lnx, x 0.
2
= − >
i. Να εξετάσετε αν υπάρχει σηµείο της γραφικής παράστασης της f στο οποίο η εφαπτοµένη της γραφικής
παράστασης να είναι παράλληλη στον άξονα x΄x.
ii. Να αποδειχθεί ότι: f(x) 0> για x 1.>
iii. Να αποδείξετε ότι 3 2 9
e e ln .
4
− >
iv. Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f έχει ασύµπτωτες.
v. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης F αν ισχύει 2
F (x) f(x)F (x), x 1′ = − > και F(1) 1= όπου
( )F x 0 x 1.≠ ∀ >
ΘΕΜΑ 51ο
Έστω η συνεχής συνάρτηση f: →ℝ ℝ , ώστε για κάθε x ∈ ℝ να ισχύει f(x) 0≠ και
x
0
t
f(x) 2010 dt
f(t)
= + ∫
i. Να βρείτε το πρόσηµο της f για κάθε x ∈ ℝ .
ii. Να βρείτε τον τύπο της f.

24
iii. Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιµών της συνάρτησης
( )
( )2
2
1
h(x) f x
2010x
=
iv. Να υπολογίσετε το
x 1
x
x
lim h(t)dt
+
→+∞ ∫ .
ΘΕΜΑ 52ο
Δίνονται οι συναρτήσεις f : (0, ) R+∞ → µε ( )
2
e x
1 x
1
f(x) lnxln t dt και g(x) dt.
f(t)
= =∫ ∫
(α) Να αποδειχθεί ότι f(x) lnx,x 0= > . Στη συνέχεια να βρεθεί η εφαπτοµένη της συνάρτησης f στο χ=e και
να διαπιστωθεί ότι elnx x,γιακάθεx 0.≤ >
(β) Να αποδειχθεί ότι
( )1
1 2
2
1 2
x
ln ln x x
x 2
,
x x e
 
 
  ≤
−
για κάθε 1 2 1 2
x ,x 0 µε x x .> ≠
(γ) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτηση g και η µονοτονία της.
(δ) Να βρεθεί το όριο
( )
2
x 1
g(x)
lim .
x 1
+
→
−
ΘΕΜΑ 53ο
Δίνεται η συνάρτηση f: →ℝ ℝ µε 5 1 x
f(x) x 2010 −
= −
ii. Να λυθεί η εξίσωση f(x) 0=
iii. Αν z µιγαδικός αριθµός για τον οποίο ισχύει:
z 15
z 2010 1
−
⋅ = − , τότε να βρεθεί το z .
iv. Μια µέλισσα κινείται στις εικόνες του µιγαδικού z. Καθώς περνάει από το σηµείο
1 3
Α ,
2 2
      
, η
τεταγµένη y ελαττώνεται µε ρυθµό 5 µονάδες/sec. Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής της τετµηµένης x, τη
χρονική στιγµή που η µέλισσα περνάει από το σηµείο Α.

25
ΘΕΜΑ 54ο
Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο ℝ µε ( )
f(x)
t
0
e 1 dt x 1+ = −∫ (1) για κάθε x ∈ ℝ .
i. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται, να βρείτε την 1
f−
και να αποδείξετε ότι f(1) 0=
ii. Να µελετηθεί η f ως προς τη µονοτονία, τα κοίλα και βρείτε το πρόσηµο της.
iii. Να υπολογισθεί το εµβαδό του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της f, τον άξονα x΄x
και τις ευθείες x 1= και x e 1= + .
iv. Να δείξετε ότι ( )
x 1
x 1 f (x) f(x) , x 1
2
−
′− < < >
ΘΕΜΑ 55ο
Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο ℝ για την οποία ισχύει f (x) 0′ > για κάθε x ∈ ℝ και f(1) 2= . Σας
ζητάτε να δείξετε ότι:
i. Η συνάρτηση
x
1
g,g(x) f(t)dt= ∫ είναι κυρτή στο ℝ και να βρείτε την εφαπτοµένη της γραφικής
παράστασης στο σηµείο της ( )Α 1,g(1) .
ii. Αν Ε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της g, τον άξονα x΄x και τις
ευθείες x 1= και x 2006= τότε Ε 2006 2004 1≥ ⋅ +
iii. Αν α 1> , τότε ( )
1 a
0 1
α 1 f(t)dt f(t)dt− <∫ ∫
iv. ( )
2
x u
1 1
f(t)dt du x 1
   ≥ −   
∫ ∫ , για κάθε x 1≥

26
ΘΕΜΑ 56ο
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: )0, +∞ → ℝ µε f(0) 1= και x
2x f (x) e′< < , για κάθε x 0>
i. Να δείξετε ότι: 2 x
x 1 f(x) e+ < < , για κάθε x 0> .
ii. Να βρείτε το σύνολο τιµών της f.
iii. Να δείξετε ότι η εξίσωση 2
f(x) 2x= , έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο ( )1,2 .
iv. Αν Ε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τους άξονες
συντεταγµένων κ την ευθεία x 1= , να δείξετε ότι:
4
Ε e
3
< < .
ΘΕΜΑ 57ο
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f στο ℝ , παραγωγίσιµη στο 0 µε f(x) 0≠ για κάθε x 0≠ , f(0) 0= και
f (0) 0′ ≠ . Δίνεται επίσης η συνάρτηση ( )
x
0
g,g(x) tf x t dt, x .= − ∈∫ ℝ
i. Να αποδείξετε ότι η g
C εφάπτεται του άξονα x΄x.
ii. Να αποδείξετε ότι g (x) f(x)′′ = για κάθε x ∈ ℝ .
iii. Αποδείξτε ότι υπάρχει ( )ξ 0,1∈ τέτοιο ώστε να ισχύει
1
0
f(ξ) f(t)dt= ∫ .
iv. Να αποδείξετε ότι
x 0
g(x)
lim 0
f(x)→
= .
ΘΕΜΑ 58ο
Έστω στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών ℂ η εξίσωση 2
z 2z 2 0 (1)+ + = .
i. Αν 1 2
z ,z είναι οι ρίζες της εξίσωσης (1), να αποδείξετε ότι: 2008 2008
1 2
z z 0− = .
ii. Αν 1
z είναι η ρίζα της εξίσωσης του i. ερωτήµατος, µε φανταστικό µέρος θετικό αριθµό, να βρείτε την
µικρότερη τιµή του θετικού ακεραίου v για την οποία ο v
1
z είναι πραγµατικός αριθµός.

27
iii. Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών z, για τους οποίους ισχύει
1 2
2z z z z− = − , όπου 1
z είναι η ρίζα της εξίσωσης του i. ερωτήµατος, µε φανταστικό µέρος θετικό
αριθµό και 2
z η άλλη ρίζα της εξίσωσης του i. ερωτήµατος.
iv. Να βρείτε, ποιος από τους µιγαδικούς του iii ερωτήµατος, έχει το ελάχιστο µέτρο.
v. Έστω και η παραγωγίσιµη συνάρτηση f στο 0,2006 
   , για την οποία ισχύουν
1 2
1 1
f(0)
z z
= + ,
2 2
1 2
f(2006) z z= + , τότε να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )ξ 0,2006∈ τέτοιο ώστε
1
f (ξ)
2006
′ = .
ΘΕΜΑ 59ο
Δίνονται οι συναρτήσεις f και g, δύο φορές παραγωγίσιµες στο ℝ και τέτοιες ώστε: f (x) g (x) 2′ ′− = για
κάθε x ∈ ℝ και f(1) g(1)= .
A. Έστω ότι η εξίσωση f(x) 0= έχει δυο λύσεις 1 2
ρ ,ρ µε 1 2
ρ 1 ρ< < .
i. Να αποδείξετε ότι:
a) η εξίσωση g(x) 0= έχει µια τουλάχιστον λύση στο διάστηµα ( )1 2
ρ ,ρ .
b) Υπάρχει ένας τουλάχιστον ( )1 2
ξ ρ ,ρ∈ τέτοιος ώστε να ισχύει ( )g ξ 2′ = − .
ii. Αν g (x) 0′′ ≠ για κάθε x ∈ ℝ και η g
C στρέφει τα κοίλα άνω στο ℝ , να αποδείξετε ότι:
a) η συνάρτηση f΄ είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .
b) η συνάρτηση f έχει ολικό ελάχιστο στο σηµείο o
x ξ= του ερωτήµατος i.b.
B. Έστω ότι η ευθεία µε εξίσωση y 3x 7= − είναι ασύµπτωτη της γραφικής της γραφικής παράστασης της f
στο +∞ .
i. Να βρείτε τα όριa:
a)
x
g(x)
lim
x→+∞
b) 2x
g(x) 3x ηµ2x
lim
xf(x) 3x 1→+∞
+ +
− +
ii. Na αποδείξετε ότι η ευθεία µε εξίσωση y x 5= − είναι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της g
στο +∞ .

28
ΘΕΜΑ 60ο
2006
1
f, µε τύπο f(x) 2, x
1 x
= + ∈
+
ℝ .
i. Να µελετηθεί η f ως προς τη µονοτονία, τα ακρότατα και να βρεθεί το σύνολο τιµών της.
ii. Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x) a= , για τις διάφορες τιµές του α ∈ ℝ .
iii. Να αποδείξετε ότι για κάθε x 0> και t x,x 1 ∈ +   ισχύει: ( )f x 1 f(t) f(x)+ ≤ ≤ .
iv. Να υπολογίσετε το:
x 1
x
x
lim f(t)dt
+
→+∞ ∫ .
ΘΕΜΑ 61ο
Δίνεται η παραγωγίσιµη στο ℝ συνάρτηση f, για τη οποία ισχύουν f(1) f(2)= και
1 2
0 1
f(t)dt f(t)dt=∫ ∫ . Να
i.
1 2
0 1
1
f(t)dt f(t)dt
2
=∫ ∫ .
ii.Για την συνάρτηση
x
0
1
φ(x) f(t)dt
x
= ∫ , ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος Rolle στο διάστηµα
1,2 
   .
iii.Η εξίσωση
1
0
f(x) f(xt)dt= ∫ έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα ( )1,2 .
iv.Υπάρχει τουλάχιστον ένα c 1,2 ∈    τέτοιο ώστε:
c 2
1 c
f(c) f(t)dt f(c) f(t)dt=∫ ∫
v.Αν g συνεχής συνάρτηση στο ℝ , τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )ξ 1,2∈ τέτοιο ώστε:
ξ1
ξ 2
f(ξ) g(t)dt g(ξ) f(t)dt=∫ ∫ .

29
ΘΕΜΑ 62ο
Δίνεται η συνάρτηση f, µε
( )
2
o
x t
x
f(x) e dt
− +
−
= ∫ .
i. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη και γνησίως αύξουσα στο ℝ .
ii. Να δείξετε ότι η εξίσωση
f(x)
2 x
0
t dt 1 e= −∫ , έχει µοναδική ρίζα στο ℝ .
iii. Για κάθε x 0> , να δείξετε ότι:
2 2
x
ln xe
t t
0 0
e dt e dt− −
≥∫ ∫ .
iv. Να βρείτε την εικόνα του µιγαδικούz για τον οποίο ισχύει ( ) ( ) ( )1 z i3
2 f z i 3f 1 e 6 f 0
+ +
′′ ′⋅ + − ⋅ = ⋅
ΘΕΜΑ 63ο
Έστω f µια παραγωγίσιµη και γνήσια φθίνουσα συνάρτηση στο ℝ και η
( )
1
x
x
1 1
h,h(x) x f xt dt f(t)dt x, x 0= − + >∫ ∫ .
i. Να αποδείξετε ότι
x
1
h(x) 2 f(t)dt x= − +∫
ii. Αν
2
1
1
f(t)dt
2
=∫ , να αποδείξετε ότι η εξίσωση
1
f(x)
2
= έχει ακριβώς µια ρίζα στο διάστηµα ( )1,2 .
iii. Αν f(1) 1= τότε:
a) Να µελετήσετε την h ως προς τα κοίλα.
b) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της h στο σηµείο ( )Κ 1,h(1) .
c) Αν ( )a 1,3 ,∈ να αποδείξετε ότι 2
2E a 3 4a+ + < όπου E το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται
από την h
C , τον άξονα xx' και τις ευθείες x 1,x a.= =
iv. Να αποδείξετε ότι
2007 2006 2008 2005
1 1 1 1
f(t)dt f(t)dt f(t)dt f(t)dt+ > +∫ ∫ ∫ ∫ .

30
ΘΕΜΑ 64ο
Δίνεται η συνάρτηση ( )
x
2
5
F,F(x) ln t 4 dt
−
= −∫ .
i. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της F.
ii. Να µελετηθεί η F΄ ως προς τη µονοτονία.
iii. Να µελετηθεί η F ως προς τη µονοτονία.
iv. Να δείξετε ότι F(x) 0< για κάθε ( )x , 5∈ −∞ − .
v. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )ξ 2005, 5∈ − − τέτοιο ώστε:
( )
( )
2005
2
2 5
ln t 4 dt
ln ξ 4
2000
−
−
− −
− =
∫
.
ΘΕΜΑ 65ο
Έστω η δύο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση g στο )0, +∞ , µε g(0) 0= και g (0) 0′ = .
i. Να µελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση f: )0, +∞ → ℝ µε:
x
2 0
1
g(t)dt, x 0
f(x) x e
0 , x 0
 >= 
 =
∫
ii. Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο 0.
iii. Αν υποθέσουµε ότι: ( ) ( ) ( )
2
1 1 2
0 0 1
g t dt g t dt g t dt,
  < −  ∫ ∫ ∫
α) να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )ξ 1,2∈ τέτοιο ώστε: ( )f ξ 0.=
β) να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )ρ 0, ,∈ +∞ τέτοιο ώστε: ( )f ρ 0.′ =

31
ΘΕΜΑ 66ο
Δίνεται η συνάρτηση f: →ℝ ℝ , συνεχής στο ℝ , µε σύνολο τιµών το ℝ , για την οποία ισχύει
x
2
0
10
f(x) dt
1 3f (t)
=
+
∫ , για κάθε x ∈ ℝ .
i. Να αποδείξετε ότι 3
f (x) f(x) 10x,+ = για κάθε x .∈ ℝ
ii. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα
1
2
0
10
Ι .
1 3f (t)
=
+
∫
iii. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )ξ 0,1∈ τέτοιο ώστε f (ξ) 4ξ.′ =
iv. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και να βρείτε το πρόσηµο της f.
v. Να µελετηθεί η f ως προς τα κοίλα και να βρείτε αν υπάρχει σηµεία καµπής.
vi. Να βρεθεί εξίσωση εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f, στο σηµείο της ( )Μ 0,f(0) .
vii. Να αποδείξετε ότι για κάθε x ,∈ ℝ ισχύει
x
2
0
f(t)dt 5x≤∫ .
viii. Να βρείτε τα όρια
a) 2x
2009f(x) 2010
lim
f (x) 2008→+∞
+
−
b)
f(x)
x
2009e 2010
lim
ηµx 1
xηµ
x x
→−∞
+
−
c)
x 0
f(x)
lim
x→
ix. Να λύσετε την εξίσωση 2
f(ln x) f(1 x )= − .
x. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ( )3
f x 3x 1 0− − =
xi. Να δείξετε ότι
2009 2010
2 2
0 0
10 10
dt dt.
3f (t) 1 3f (t) 1
<
+ +
∫ ∫
xii. Να δείξετε ότι για κάθε x, y ∈ ℝ ισχύει
x y
y2
x x y
2
f(t)dt f(t)dt
+
+
≤∫ ∫ .
xiii. Να δείξετε ότι
1
0
7
f(t)dt .
5
=∫

32
ΘEMA 67ο
Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f: α,β  →   ℝ µε f(β) 2f(α)= ώστε να ισχύει:
2
f (x) 2f (x) 4f(x) 4,′ = − + για κάθε x a,β . ∈    Σας ζητάτε να δείξετε ότι:
i. Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.
ii. f(a) 0.>
iii. Ισχύει
β
α
f(x)dx ln2.<∫
iv. Αν f(a) 1,> ισχύουν:
a. Η f είναι κυρτή
b. Δεν υπάρχουν στη γραφική παράσταση της f τρία διαφορετικά σηµεία τα οποία να είναι συνευθειακά.
ΘΕΜΑ 68ο
Έστω συνάρτηση f η οποία είναι δυο φορές παραγωγίσιµη στο διάστηµα 2,π 
   µε f(2) 3= και
f(π) π 1.= + Αν η f έχει σύνολο τιµών το διάστηµα 2,5 −   , τότε να δείξετε ότι:
i. Υπάρχουν τουλάχιστον δύο τιµές ( )1, 2
x x ε 2,π µε 1 2
x x≠ τέτοιες ώστε ( ) ( )1 2
f x f x 0′ ′= = .
ii. Υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )ξε 2,π ώστε ( )f ξ 0.′′ =
iii. Υπάρχει στο διάστηµα ( )2,π τουλάχιστον µια ρίζα της εξίσωσης ( ) ( ) ( )( )2
f x f x f x x.′ − =
iv. Η ευθεία y x π 3,= − + + τέµνει την γραφική παράσταση της f σε ένα τουλάχιστον σηµείο µε τετµηµένη
( )0
x ε 2,π .
v. Υπάρχουν δύο τουλάχιστον τιµές ( )1, 2
ξ ξ ε 2,π µε 1 2
ξ ξ≠ τέτοια ώστε ( ) ( )1 2
f ξ f ξ 1.′ ′ =

33
ΘΕΜΑ 69ο
Έστω η συνάρτηση f : ,→ℝ ℝ ώστε για κάθε x ∈ ℝ να ισχύουν οι σχέσεις: ( )f x 0> και
( ) ( )f x lnf x x.+ =
i. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
ii. Να δείξετε ότι η εξίσωση ( )f x x= έχει µοναδική λύση τη x 1.=
iii. Έστω ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο ℝ .
a. Να εκφράσετε την f′ συναρτήσει της f.
b. Να δείξετε ότι η f είναι κυρτή στο .ℝ
c. Να δείξετε ότι: ( )
( ) ( )21
0
f 0 2f 0 3
f x dx .
2
+ −
= −∫
ΘΕΜΑ 70ο
Έστω συνάρτηση f ορισµένη και δύο φορές παραγωγίσιµη στο ( ),4−∞ για την οποία ισχύουν:
( )
( ) ( )( )f x
e 3f x f x 1′ ′′= για κάθε ( )x 4,f x 0′< ≠ για κάθε x 4< και ( ) ( )f 1 0,f 1 1′= =
a. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( ),4 ,−∞ να βρείτε το πρόσηµο της f και να
αποδείξετε ότι η f
C τέµνει τον x'x σε ένα µόνο σηµείο.
b. Να δείξετε ότι ( ) ( )( )
2
3f x f x′′ ′= και κατόπιν να δείξετε ότι η f στρέφει τα κοίλα άνω στο ( ),4 .−∞
c. Να αποδείξετε ότι υπάρχει µοναδικός ( )
( )
( )
( )0
0 0
0
f x
x 0,1 : x 3
f x
∈ = −
′
d. Να βρείτε τον τύπο της ( )f x για x 4.<
e. Να βρείτε το σύνολο των τιµών της f και να δειχθεί ότι η εξίσωση ( )f x κ= έχει µία µόνο λύση στο
( ),4−∞ για κάθε κ .∈ ℝ
f. Να βρείτε την κατακόρυφη ασύµπτωτη της f.
g. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f.

34
ΘΕΜΑ 71ο
Έστω συνεχής συνάρτηση f : 0,2 ,  →   ℝ δύο φορές παραγωγίσιµη στο ( )0,2 για την οποία ισχύουν
( ) ( )f 1 1,f 1 0′= = και ( )( ) ( ) ( )
2
f x f x f x 1 0,′ ′′+ + = για κάθε ( )x 0,2 .∈
i. Αποδείξτε ότι:
a. ( )f x 0> για κάθε ( )x 0,2 .∈
b. Ο τύπος της συνάρτησης f είναι ( ) 2
f x 2x x .= −
ii. Θεωρούµε τον µιγαδικό z, για τον οποίο ισχύουν Im(z) 0≥ και z 1 1.− =
a. Αποδείξτε ότι η εικόνα του z κινείται στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f.
b. Αν Α, Β είναι δυο τυχαίες εικόνες του z, αποδείξτε ότι (ΑΒ) 2≤ .
iii. Να υπολογίσετε το
2
0
f(x)dx∫ .
ΘΕΜΑ 72ο
Δίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση ( )f : 0,+∞ → ℝ τέτοια ώστε
1 1
f
e e
   = −   
και ο µιγαδικός αριθµός z, η
εικόνα του οποίου κινείται πάνω στην γραφική παράσταση της f. Το µέτρο του z, z g(x),= γίνεται ελάχιστο
όταν η εικόνα του βρίσκεται στο σηµείο
1 1
A , .
e e
  −   
Να δείξετε ότι:
i. g (x)g(x) f (x)f(x) x,′ ′− = για κάθε x 0.>
ii. Η εφαπτοµένη ευθεία (ε) της γραφικής παράστασης της f στο Α είναι κάθετη στην ευθεία ΟΑ, όπου Ο η
αρχή των αξόνων.
iii. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) του (ii) ερωτήµατος.
iv. Αν επιπλέον ισχύει ef(x) 1
f (x)e c,+
′ = για κάθε x 0> και c κάποιο σταθερό πραγµατικό αριθµό τοτε:
a. Να δείξετε ότι
ln x
f(x)
e
= .
b. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f την ευθεία
(ε) του (ii) ερωτήµατος και τον x΄x.

35
ΘΕΜΑ 73ο
Έστω η συνάρτηση f : α,β ,  →   ℝ παραγωγίσιµη στο α,β 
   µε f (a) f (β) 0′ ′= = και f(a) f(β).<
i. Να δείξετε ότι η συνάρτηση
f(x) f(a)
, a x β
g(x) x a
0 , x a
 − < ≤=  −
 =
είναι συνεχής στο α,β . 
  
ii. Να δείξετε ότι η g(x) είναι παραγωγίσιµη στο (α,β
 µε g (β) 0.′ <
iii.
a. Αν g(x) g(β) 0,> > να δείξετε ότι η g(x) παίρνει µέγιστη τιµή σε ένα εσωτερικό σηµείο του
διαστήµατος α,β . 
  
b. Να δείξετε ότι υπάρχει ( )ξ α,β∈ τέτοιο ώστε να ισχύει: ( )
f(ξ) f(α)
f ξ .
ξ α
−
′ =
−
iv. Αν
f(β) f(a)
0 µ ,
β α
−
< <
−
να δείξετε ότι υπάρχει ( )ξ α,β∈ τέτοιο ώστε να ισχύει:
( )f(ξ) f(a) µ ξ α .− = ⋅ −
v. Αν η συνάρτηση f(x) είναι δυο φορές παραγωγίσιµη και κυρτή στο διάστηµα ( )α,β να δείξετε ότι η
συνάρτηση g(x) είναι γνησίως αύξουσα στο ( )α,β .
ΘΕΜΑ 74ο
Δίνεται η συνάρτηση )f : 0, +∞ → ℝ συνεχής στο ℝ µε f γνησίως φθίνουσα και η g µε
( )
1
0
g(x) f xt dt, x 0.= ≥∫
i. Να δειχτεί ότι η g γράφεται
x
0
f(t)dt
, x 0g(x)
x
f(0) , x 0
 >= 
 =
∫
ii. Να δειχτεί ότι η g είναι συνεχής
iii. Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο 0 αποδείξτε ότι η g είναι παραγωγίσιµη στο )0, . +∞

36
iv. Να δειχτεί ότι για κάθε χ 0> υπάρχει ξ 0> τέτοιο ώστε
x
0
f(t)
f(ξ) dt
x
= ∫
v. Να µελετηθεί η g ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα.
vi. Να δειχτεί ότι υπάρχει ( )ξ 0,1∈ τέτοιο ώστε
1
ξ
f(t)
f(ξ) dt
ξ
= ∫
ΘΕΜΑ 75ο
Έστω συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιµη στο ,ℝ τέτοια ώστε:
• 2x 1
f(x) x 2
lim 1
x 1→
+ +
=
−
• f (x) 1′ > για κάθε x 1≠ και
• Η f′′ είναι γνησίως αύξουσα.
i. f(1) 3= − και f (1) 1.′ =
ii. Το o
x 1= είναι θέση σηµείου καµπής της f.
iii. Η εξίσωση f(x) 0= έχει µοναδική ρίζα που βρίσκεται στο διάστηµα ( )1,4 .
iv. Για κάθε x 1> ισχύει ( )
x 2
1 3
f f(t) t dt f( 4) x f(1) 2 f (1)dt .
−
−
 
 ′− > − + + 
  
∫ ∫
ΘΕΜΑ 76ο
Για τις συνεχείς συναρτήσεις f,g : →ℝ ℝ και τον µιγαδικό z 0≠ ισχύουν για κάθε x ∈ ℝ οι σχέσεις:
g(x) 0≠ και
x x
1 0
f(t)dt z x g(t)dt.− =∫ ∫ Να αποδείξετε ότι:
i. Η εικόνα του z ανήκει σε κύκλο Ο(0,0) και ακτίνα
0 0
1 1
ρ f(t)dt g(t)dt.= =∫ ∫
ii. f(0) 0= και f (0) 2g(0).′ =

37
iii. Για κάθε x ∈ ℝ ισχύουν:
a. g(x) 0<
b.
x 0
1 1
f(t)dt f(t)dt≤∫ ∫
iv. Η εξίσωση f(x) 2g(x) ρ,= + έχει τουλάχιστον µια ρίζα στο ( )0,1 .
ΘΕΜΑ 77ο
x
2
1
dt
g(x) , x
z t
= ∈
+
∫ ℝ όπου z α βi, a,β= + ∈ ℝ και για κάθε x ∈ ℝ ισχύει ότι
2
x 1 x
g(x) 1.
1 2
+ +
≤ −
+
i. Να εξεταστεί η συνάρτηση g ως προς τη µονοτονία και να λυθεί η εξίσωση g(x) 0.=
ii. Να δείξετε ότι z 1.=
iii. Να βρείτε το εµβαδό του χωρίου που περικλείεται από το διάγραµµα της g, τους άξονες xx΄, yy΄ και την
ευθεία x 1.=
iv. Αν επιπλέον δοθεί και η συνεχής συνάρτηση f στο ℝ , για την οποία ισχύει
1
1
1
x f(x)dx f(x) g (x),
g (x)−
′= −
′∫ τότε:
a. Να βρεθεί ο τύπος της f.
b. Να δειχθεί ότι f(t) f(x)≤ για κάθε t x,x 1 ,x 0. ∈ + >  
c. Να υπολογισθεί το :
x 1
x
x
lim f(t)dt.
+
→+∞ ∫

38
ΘΕΜΑ 78ο
Δίνεται η συνάρτηση ( )
x 2
2
3
f,f(x) 2 t t dt.
−
= − +∫
i. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f και να δείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη σε αυτό.
ii. Να αποδείξετε ότι:
a. Η συνάρτηση f έχει μέγιστο (ολικό) στο πεδίο ορισμού της.
b. Ισχύει η σχέση:
3
2
1
t tdt f(x) 2 2+ ≥ +∫ για κάθε f
x A .∈
iii. Να δείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 3,5∈ τέτοιο ώστε: 2 f(x)
ξ 3ξ 2 2 , x Af.
2
− + − ≥ ∀ ∈
ΘΕΜΑ 79ο
Δίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z, w, u που έχουν µέτρο 1 και άθροισµα διάφορο του µηδενός. Αν ισχύει
2 2 2
z w u 0,+ + = να αποδείξετε ότι:
i. 2 2 2 2 2 2
z w w u u z+ = + = +
ii. 2 2 2
1 1 1
0
z w u
+ + =
iii. Οι εικόνες των αριθµών
zw wu uz
z, w, u, zwu,
z w u
+ +
+ +
είναι οµοκυκλικά σηµεία.
iv. z w u 2+ + =

39
ΘΕΜΑ 80ο
Δίνονται οι συναρτήσεις f, g οι οποίες είναι παραγωγίσιµες και «1-1» στο ,ℝ για τις οποίες ισχύουν:
•
( )
( )
f f(x)
f g(x)
f(x)
e
e
e
= για κάθε x ,∈ ℝ
• ( )f x ψ f(x) f(ψ),+ = +
• Η συνάρτηση g έχει δυο ετερόσηµες ρίζες 1 2
ρ ,ρ µε 1 2
ρ ρ .<
A.
i. Δείξτε ότι f(x) g(x) x− = για κάθε x .∈ ℝ
ii. Δείξτε ότι η εξίσωση f(x) 0= έχει µοναδική ρίζα στο διάστηµα ( )1 2
ρ ,ρ .
B. Δείξτε ότι υπάρχει σηµείο ( )Κ ξ,f(ξ) µε ( )1 2
ξ ρ ,ρ∈ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ώστε
η εφαπτοµένη στο Κ να έιναι παράλληλη στη διχοτόµο της 1ης
και 3ης
γωνίας των αξόνων.
C. Εάν η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ , δείξτε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο
ℝ .
D. Δείξτε ότι εάν η συνάρτηση g είναι κυρτή στο ℝ , τότε η f δεν έχει σηµεία καµπής.
E. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f, g , την
ευθεία x 2= και τους άξονες xx', yy'.
ΘEMA 81ο
Έστω συνάρτηση f µε f (x) 0,′′ < x ∈ ℝ και η συνάρτηση g µε
2x 3
2
g(x) f(x t)dt, x .
−
−
= − ∈∫ ℝ
i. Να βρείτε την g (x).′
ii. Να αποδείξετε ότι ( ) ( )g 3 5x g 5x 2 .′ ′− = −
iii. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) ( )
3 x
x 2
1
f 3 x f x 2 f(t)dt,
x
−
+
− + + = ∫ έχει λύση στο διάστηµα
1
0,
2
     
.
iv. Να µελετήσετε την κυρτότητα της g και να αποδείξετε ότι η γραφική της παράσταση έχει ένα σηµείο
καµπής, το οποίο και να προσδιορίσετε.

40
ΘEMA 82ο
1
x
xe 2002x 2001, x 0f(x)
a , x 0
 + + ≠= 
 =
i. Να υπολογίσετε την τιµή του α ώστε η f να είναι συνεχής στο διάστηµα ( ,0 .−∞ 
ii. Για a 2001= εξετάστε αν η f είναι παραγωγίσιµη στο 0
iii. Εξετάστε αν υπάρχει τιµή του a για την οποία η f είναι παραγωγίσιµη στο 0.
iv. Να υπολογίσετε τα λ, β για τα οποία η ευθεία ψ λχ β= + είναι πλάγια ασύµπτωτη της γραφικής
παράστασης της f όταν x → +∞ και όταν x .→ −∞
v. Για a 2001= να µελετήσετε την γραφική παράσταση της f ως προς τα κοίλα. Έχει σηµεία καµπής;
ΘΕΜΑ 83ο
Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση ( )f : 0, ,+∞ → ℝ η συνάρτηση
x
1
x
f
t
F(x) dt, x 0
t
     
= >∫ και οι µιγαδικοί
αριθµοί z a if(a), w f(β) iβ,= + = + όπου α, β θετικοί πραγµατικοί αριθµοί.
i. Να δείξετε ότι η συνάρτηση F είναι παραγωγίσιµη για κάθε θετικό πραγµατικό αριθµό x και να
υπολογίσετε την F΄(x).
ii. Αν
β
α
F (x)dx 0′′ =∫ να δείξετε ότι: ( )Re zw 0.=
iii. Αν
e 1
1 e
f (x)ln xdx F (x)dx′ ′=∫ ∫ και η F είναι κυρτή στο ( )0, ,+∞ να δείξετε:
a. f(e) 0=
b. F(x) F(e)≥ για κάθε ( )x 0,∈ +∞
c. ( ) ( )2F 2 F 3<

41
ΘΕΜΑ 84ο
Έστω συνάρτηση 2
f,f(x) x x 1, x .= + + ∈ ℝ
i. Να δείξετε ότι f(x) 0,> για κάθε x .∈ ℝ
ii. Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία τη συνάρτηση
f (x)
.
f(x)
′
iii. Να υπολογίσετε το:
2
2
0
1
I dx.
x 1
=
+
∫
ΘΕΜΑ 85ο
Έστω η συνάρτηση f ορισµένη στο διάστηµα ( )0,+∞ µε f(x) 0> για κάθε ( )x 0,∈ +∞ και a 0≠
A. Η εφαπτοµένη σε τυχαίο σηµείο Μ του γραφήµατος της f, τέµνει τον ηµιάξονα Οψ σε σηµείο Β έτσι ώστε
το τραπέζιο ΟΒΜΑ να έχει σταθερό εµβαδόν ίσον µε
2
α , όπου Α σηµείο του θετικού ηµιάξονα Οχ µε την
ίδια τετµηµένη µε αυτήν του Μ. Αν είναι γνωστό ότι το σηµείο ( )2
1,α ανήκει στην γραφική παράσταση της
f, να αποδείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f είναι:
2
2a 2
f(x) x .
3 x
  = +   
B. Θεωρούµε και την συνάρτηση
f(x)
φ(x) x 0.
x
= >
i. Να βρεθούν οι ασύµπτωτες της φ
C
ii. Να βρεθεί το εµβαδόν Ω(t) του χωρίου που περικλείεται από την φ
C , την ασύµπτωτη του γραφήµατος
της φ στο +∞ της και τις ευθείες x 1= και x t 1.= >
iii. Να βρεθούν τα όρια ( )t
lim t
→+∞
,
( )
t
ηµt t
lim
t 1→+∞
⋅
−
iv. Να βρείτε το εµβαδόν ( )E t του χωρίου που περικλείεται από την φ
C , από τη τις ευθείες
( )x t, x 1, 0 t 1= = < < και y 0.=
v. Να βρείτε το όριο ( )( )t 0
lim ln t E t+
→
⋅

42
ΘΕΜΑ 86ο
Δίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : ,→ℝ ℝ για την οποία ισχύουν: f( x)f (x) x′− = για κάθε x ∈ ℝ και
f(0) 1.=
i. Να δείξετε ότι: f(x) 0,> για κάθε x .∈ ℝ
ii. Να δείξετε ότι η συνάρτηση
f( x)
g, µε g(x)
f(x)
−
= είναι σταθερή στο ℝ .
iii. Να δείξετε ότι 2
f(x) x 1, x .= + ∈ ℝ
iv. Να βρείτε το
( )x
συνχ
L lim
f x→+∞
=
v. Να λύσετε την εξίσωση: f(3x) f(8x) f(5x) f(10x)+ = + στο R
vi. Αν
x
1
F(x) f(t)dt,= ∫ να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της
F και τους άξονες συντεταγµένων.
Αν E είναι το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την f
C και τις ευθείες x 0, x 1, y 0= = =
αποδείξτε ότι ( )
1
0
0 f ηµχ dx E< <∫
ΘEMA 87ο
Έστω α, β θετικοί πραγµατικοί και η συνάρτηση
( )
1 1
f(x) ,
ax β x 1
= +
−
η οποία είναι ορισµένη στο ( )0,1 .
i. Να αποδείξετε ότι η f είναι “1-1”.
ii. Να αποδείξετε ότι κάθε πραγµατικός αριθµός είναι τιµή της f.
iii. Να αποδείξετε ότι 1 β
f (0) .
β α
−
=
+
iv. Έστω ( )t 0,1 ,∈ το σηµείο ( )Α t,f(t) και Β το σηµείο τοµής της ευθείας ΟΑ µε την ευθεία x 1.=
a. Να εκφράσετε συναρτήσει των α, β, t την απόσταση d(t) του Β από τον x x.′
b. Να αποδείξετε ότι
t 0
limd(t)
→
= +∞ .

43
ΘEMA 88ο
Δίνεται η δυο φορές παραγωγίσιµη στο ℝ συνάρτηση f για την οποία ισχύουν f (x) 1′ ≠ και
2 x
f (x) 2f (x) e f (x) 1 ′ ′ ′′− + = −   για κάθε x .∈ ℝ Αν η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο
σηµείο ( )0,f(0) έχει κλίση
1
2
και ευθεία y x ln2= + είναι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο
,−∞ τότε:
A.
i. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f στρέφει τα κοίλα κάτω.
ii. Να βρείτε τον τύπο της f.
B. Έστω ότι
x
x
2e
f(x) ln , x
e 1
  = ∈   + 
ℝ
i. Να υπολογίσετε το ( )x
x
lim e f(x)
→−∞
ii. Αν Ω το χωρίο που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τον άξονα x x′ κα τις ευθείες
x 0, x 1,= = να δείξετε ότι
1
Ε(Ω) .
4
<
ΘEMA 89ο
Δίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί ηµx
z 1 a i= + και w 1 ηµx i, x a 0= + + ∈ >ℝ για τους οποίους ισχύει
z w z w .− ≥ +
i. Να δείξετε ότι Re(zw) 0 , x≤ ∀ ∈ ℝ
ii. Να βρεθεί ο α
iii. Αν για την παραγωγίσιµη συνάρτηση: f : →ℝ ℝ ισχύει η σχέση
x
t x
0
a f(t)dt a f(x) x 1= + −∫ για κάθε
x ,∈ ℝ να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f για το α του προηγούµενου ερωτήµατος.
iv. Να υπολογίσετε το εµβαδόν Ε(t) του χωρίου που περικλείεται µεταξύ της γραφικής παράστασης της f,
του άξονα x x′ , του άξονα y y′ και της ευθείας x t, t 0.= >
v. Να υπολογίσετε τα όρια ( )( )
( )
t t t 0
E ln t
lim E(t) , lim ηµt E t , lim
ηµt→+∞ →+∞ →
′⋅

44
ΘEMA 90ο
Θεωρούµε τους µιγαδικούς z, w τέτοιους ώστε
2 35
w z 4, w 3, w 6Re(w)
4
− = ≠ < − και τη συνάρτηση
x
x
e x z 1
f(x) ,x 1.
e 2 z 1
− +
= ≥ −
+ +
Να δείξετε ότι:
i. Για τη γραφική παράσταση της f ορίζεται ασύµπτωτη στην περιοχή του +∞ , την οποία και να
προσδιορίσετε.
ii.
1
z 1
2
+ <
iii. Η εξίσωση ( ) x
x 1 e 2 z 1 ,+ = + έχει µοναδική ρίζα 0χ στο διάστηµα ( )1, .− +∞
iv. 0
1 χ
f(x) ,
2
−
≥ για κάθε x 1.≥ −
ΘEMA 91ο
Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : 0,2  →   ℝ µε f(2) 4f(0)= για την οποία ισχύει
2
f (x) 4 6f(x) 5f (x)′ + = − για κάθε x 0,2 . ∈   
A. Να δείξετε ότι:
i. Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0,2 
   και ( )f 0 0.<
ii. a) ( ) ( )2
f x f x ln2 0′ + < β) ( )
2
0
2 f x dx 0− < <∫
Β. Έστω z µιγαδικός αριθµός για τον οποίο οι αριθµοί
3
z 8− και
2
12 z 6 z− + ανήκουν στο 0,2 . 
   Αν
ισχύει ( )
2
3
12z 6z
z 8
f x dx 0
− +
−
=∫ , αποδείξτε ότι z 2.=

45
ΘEMA 92ο
Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2
x
f x 2x ,x .
x 4
= + ∈
+
ℝ
i. Να δείξετε ότι η ευθεία ε : y 2x= είναι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο .−∞
ii. Να βρείτε το εµβαδόν ( )E t του χωρίου Ω που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f,
την ευθεία ε, τον άξονα y'y και την ευθεία x t,t 0.= <
iii. Να υπολογίσετε το ( )( ) t
t
lim E t ln2 e .
→−∞
 +  
iv. Έστω 1 2
z ,z µιγαδικοί αριθµοί µε ( ) 1 2
1 i z z 1.+ = − Αν ισχύει ( )1
1
f z f ,
2
  >    
να δείξετε ότι
2
2
z 1 .
2
− >
v. Αν ( ) ( )
x t
0 2
F x f u du dt,x 0,
  = >   
∫ ∫ να βρείτε τη θέση και το είδος του ακροτάτου της F.
ΘEMA 93ο
Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) ( )( )
222
f x x z x zz x lm z ,x ,z .= + + − + ∈ ∈ℝ ℂ
Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο πεδίο ορισµού της και η γραφική παράσταση της f έχει οριζόντια ασύµπτωτη
στο +∞ τον άξονα x'x, τότε:
i. Να δείξετε ότι η εικόνα του z στο µιγαδικό επίπεδο είναι σηµείο κύκλου, κέντρου ( )K 0,1 και
ακτίνας ρ=1 µε εξαίρεση το σηµείο ( )O 0,0 .
ii. Να βρείτε το µιγαδικό 0
z που έχει το µέγιστο µέτρο και να δείξετε ότι 4 z 3 3i 6.≤ + + ≤
iii. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο .ℝ
iv. Για z 2i= να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της
συνάρτησης ( ) ( ) ( )g x x 2 f x ,= + τους άξονες x'x, y'y και την ευθεία x 4.=

46
ΘEMA 94ο
Έστω η συνάρτηση f , για την οποία ισχύει: ( )( ) ( )f f x x f x= + για κάθε x .∈ ℝ Σας ζητάνε να δείξετε ότι:
i. Η συνάρτηση f είναι “1-1”.
ii. ( )f 0 0.=
iii. Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο 0, τότε ( )
1 5
f 0
2
+
′ = ή ( )
1 5
f 0 .
2
−
′ =
iv. ( ) ( )1
f x f x x, x−
= − ∈ ℝ
v. Αν η f είναι συνεχής και επιπλέον ισχύει ( ) ( )
2 2
1
0 0
f x dx f x dx 4014,−
+ =∫ ∫ τότε υπάρχει
ένα µοναδικό ( )ξ 0,2 ,∈ τέτοιο ώστε: ( )f ξ 1004.=
ΘEMA 95ο
Έστω η συνεχής συνάρτηση g : 2,3  →   ℝ µε ( )
4
g 2 ,
5
= για την οποία ισχύει η σχέση:
( )( ) ( )( )2
g x 1 x 2x 1 g x 0′ + − − = για κάθε x 2,3 . ∈   
i. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης g.
ii. Να µελετηθεί η συνάρτηση g ως προς τη µονοτονία και τα κοίλα.
iii. Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : α,β ,  →   ℝ που είναι γνησίως αύξουσα και κοίλη στο α,β . 
  
Να δειχθεί: ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
β
α
f a f β
β α f x dx β a f β .
2
+
− < < −∫
iv. Να αποδειχθεί ότι: ( )
3
2
0,85 g x dx 0,9.< <∫

47
ΘEMA 96ο
Δίνεται η συνάρτηση f : α,β ,α 0,  → >   ℝ που είναι παραγωγίσιµη και γνησίως αύξουσα και οι µιγαδικοί
( ) ( )
1 1
z if β ,w β i α
α a
= + = − τέτοιοι ώστε
w
Ι
z
∈ . Να δείξετε ότι:
i. zw κ zw κ ,− = + για κάθε κ .∈ ℝ
ii. α) η εξίσωση ( )f x 0,= έχει µοναδική ρίζα ( )ρ α,β∈
b)
w
Ιm 0
z
   <   
iii. Υπάρχουν ( )1 2
ξ ,ξ α,β∈ τέτοιοι, ώστε ( ) ( )1 2
f ξ f ξ 0.′ ′ >
iv.
( )β
x β
x
f u β ρ
lim du 0
β x→
− +
=
−∫
ΘEMA 97ο
Δίνεται η συνάρτηση f : →ℝ ℝ µε ( )f ,=ℝ ℝ συνεχής και τέτοια ώστε ( ) ( )
x
f t
4
4
f x dt,x .
e 3
= ∈
+
∫ ℝ
i. Να εξετάσετε την f ως προς τη µονοτονία και να βρείτε το πρόσηµό της.
ii. Να αποδείξετε ότι η f είναι κοίλη στο ℝ καθώς και ότι ισχύει:
( )
x
f t
4
1 1
1 dt x,
4e 3
+ <
+
∫ για
κάθε x 4.≠
iii. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται, να προσδιορίσετε την 1
f−
και να βρείτε την τιµή ( )1
f 1 .−
−
iv. Να βρείτε το εµβαδόν Ε του χωρίου Ω που ορίζεται από την γραφική παράσταση της f, τον
άξονα x'x και τις ευθείες
1
x 4,x 3.
4e
= = +

48
ΘEMA 98ο
Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο( )0, ,∞ µε ( )f x 0≠ για κάθε x 0> και ( )f 1 1.′ = Αν για
κάθε x 0> , για την συνάρτηση f ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( )f x2
x f x f x lnx ,′ = − τότε:
Α) Να αποδείξετε ότι:
i. ( )f x 0,> για κάθε x 0.>
ii. Υπάρχει ( )0
x ε 1,e τέτοιο ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο
σηµείο ( )( )o 0
Α x ,f x να διέρχεται από το σηµείο ( )Β 1,0 .−
Β)
i. Αφού αποδείξετε ότι ( )
ln x
x
f x e ,x 0,= > να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και τα
ακρότατα.
ii. Αν
e
a e ,> να αποδείξετε ότι( ) ( ) ( )
11
ln a 1ln aln a ln a 1 .+ > +  
iii. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 3
3 x= έχει ακριβώς δύο λύσεις στο ℝ , τις 1 2
x ,x µε 1 2
x x> και
( )2
x 2,e .∈
ΘEMA 99ο
Δίνεται ο µιγαδικόςz a βi,a,β= + ∈ ℝ µε z 2= και η συνάρτηση ( ) ( )
2
f x 2z i x z ,x .= + − ∈ ℝ Να
δείξετε ότι:
i. ( ) ( )2 2
f x 4x 4Re x i z 20. = − + +  
ii. ( )Im z 2,= όταν για κάθε x ∈ ℝ ισχύει ( )f x 8aβ 20.≥ +
iii. Υπάρχει ( )ξ 0,1 ,∈ τέτοιο ώστε ( ) ( )2
f ξ 4 5 2a .′ = −
iv. Αν 0
z z= ο µιγαδικός για τον οποίο z 2= και το z 3− γίνεται ελάχιστο, τότε το εµβαδόν του
χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της f , τους άξονες και την
ευθεία x ξ,= είναι
49
6
τ.µ .

49
ΘEMA 100ο
Έστω η συνάρτηση f : 0,4  →   ℝ για την οποία ισχύει ότι ( )f 2 1= και ( )f x 0′′ < για κάθε x 0,4 . ∈    Να
δείξετε ότι:
i. Υπάρχει ( )ξ 0,4∈ τέτοιο ώστε ( ) ( ) ( )
x x
f x f ξ f , x 0,4
2 2
 ′ = + ∀ ∈   
ii. Η συνάρτηση ( ) ( )
x
0
x
g x f t dt xf
2
  = −    
∫ είναι γνησίως φθίνουσα στο 0,4 . 
  
iii. ( )
4
0
f t dt 4.<∫
iv. Η εξίσωση ( )
x
g x 3x 8 xf ,
2
  = − −    
έχει τουλάχιστον µια λύση το ( )0,4 .

50
ΘΕΜΑ 101ο
Αν για κάθε x ∈ ℝ ισχύει ( )
x
t 1 2
1
2 z ie dt z 2 3i x 1−
− ≥ − + −∫
i.Να δείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος του z είναι η ευθεία (ε) : x 2y 3 0.− − =
ii.Δίνεται ο µιγαδικός w, µε w 2z 12= + Να δείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος του w είναι η ευθεία
(ζ) : x 2ψ 18 0− − =
iii.Να βρεθεί η ελάχιστη τιµή του z w .−
iv.Αν η ευθεία (ε) του i ερωτήµατος είναι πλάγια ασύµπτωτη της συνάρτησης f στο ,+∞ να αποδείξετε
ότι
2
x 0
1
xf 5x 1
x 1
lim
21 1
2f
x x
+
→
  − +   
= −
  −   
ΘΕΜΑ 102ο
2 2
x a
f(x) ln x ln a,a 0, x 0.
2ax
−
= − + > >
ii. Να λυθεί η εξίσωση ( )2 2
x a 2ax ln x ln a .− = −
iii. Να βρεθούν οι ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της f.
iv. Να βρεθεί το σύνολο τιµών της συνάρτησης f.
v. Να µελετηθεί η f ως προς την κυρτότητα και τα σηµεία καµπής.
vi. Αν α, β είναι θετικοί πραγµατικοί αριθµοί µε α β,< να δείξετε ότι:
2 2
α α β
ln .
β 2αβ
−
>
vii. Για α 1,=
a. Να κάνετε µια πρόχειρη γραφική παράσταση της f.
b. Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης 2
x 1 2λx 2xln x, λ .− − = ∈ ℝ

Ekfoniseis 1 200

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (10)

Similaire à Ekfoniseis 1 200

Similaire à Ekfoniseis 1 200 (20)

Plus de Μάκης Χατζόπουλος

Plus de Μάκης Χατζόπουλος (20)

Dernier

Dernier (9)

Ekfoniseis 1 200