Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Εξισώσεις

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Ε ξ ι ς ώ ς ε ι σ
Αναλυτικό Θεωρύα
250 Αςκόςεισ
Επιμϋλεια
Νύκοσ Κ. Ρϊπτησ
27.11.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 24

ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢ 2
Ε Ξ Ι ΢ Ω ΢ Ε Ι ΢
Εξιςώςεισ 1ου Βαθμού
Η λύςη τησ εξύςωςησ
αx + β = 0 λϋγεται
και ρύζα αυτόσ
Βαςικϋσ Εξιςώςεισ 1ου Βαθμού
Η Εξύςωςη 𝛂𝐱 + 𝛃 = 𝟎
Θα δούμε πωσ με την βοόθεια των ιδιοτότων των πρϊξεων , επιλύουμε την εξύςωςη αx + β = 0 , οποιοιδόποτε
και να εύναι οι αριθμού α , β .
Έχουμε : αx + β = 0 ⇔ αx + β − β = −β ⇔ αx = −β
Επειδό πρϋπει να διαιρϋςουμε με τον ςυντελεςτό του αγνώςτου , το α , διακρύνουμε περιπτώςεισ :
1η Περύπτωςη : Αν α ≠ 0 τότε ϋχουμε αx = −β ⇔ x = −
β
α
Επομϋνωσ ςτην περύπτωςη αυτό η εξύςωςη ϋχει μοναδικό λύςη
την x = −
β
α
2η Περύπτωςη : Αν α = 0 τότε ϋχουμε αx = −β ⇔ 0x = −β η οπούα :
∎ αν εύναι β ≠ 0 , η εξύςωςη δεν ϋχει λύςη και για αυτό θα λϋμε ότι εύναι αδύνατη .
∎ αν εύναι β = 0 , η εξύςωςη ϋχει την μορφό 0x = 0 και αληθεύει για κϊθε πραγματικό αριθμό x ,
δηλαδό εύναι ταυτότητα
1. Να λυθούν οι εξιςώςεισ :
α) 4x − 3 = 2x + 5 β) 9 − 7x = −2x + 34 γ) 11x − 3 − 8x = 7x + 5
α) 5 − 4 2 − x) = 2(3 − x) β) 3 − 2 x + 1) = 7 − 4(x + 2) γ) 8 − 3 x + 3) − 5 + x) = −2
α) 5x − 3 3 − x) = −6 − 3(−x − 1) β) −2 −4 + x) + 3 = − 3 − x) − 2(1 + 2x)
γ) 4 5 − x) − 2 x − 3) = x − 4 − 3(x + 2) δ) 2 x + 2) − 8 x − 3) = 5 5 − x) − 2(3 − x)
α) 5 x − 3) + 10 2 − 5x) + 10x = −(15 + 10x) β) 9 8 − x) − 10 9 − x) − 4 x − 1) = 1 − 8x
5. Να βρεύτε την τιμό του α , ώςτε η εξύςωςη 2αx − 3 x − α) = x α − 1) να ϋχει ρύζα το −2

Εξιςώςεισ με Κλϊςματα
Αδύνατη Εξύςωςη ό Σαυτότητα
α) 4x − 3 2x − 1) = 7x − 42 β)
1 − 4x
5
−
x + 1
4
=
x – 4
20
+
5
4
γ)
x
2
−
x
3
=
x
4
−
x
5
−
49
60
΢χολικό / 1 / Α / ς.83 )
α)
x – 4
3
= 2 β)
x – 2
5
=
x – 3
3
γ) −
3 + x
5
=
−3x – 1
10
δ)
2 3x + 4)
7
=
x + 5
3
ε)
−3 x – 1
8
= −
x – 3
2
α)
x
6
−
x – 6
3
= 1 −
x – 8
4
β) –
x + 1
2
−
3x – 1
4
= 1 γ)
2x + 3
10
−
x – 2
2
= −
x – 3
5
α) 5 −
10x + 1
27
−
x
8
=
13x + 4
18
−
5 x – 4
4
β)
3
4
x − 1) −
5
3
x − 4) =
8
5
x − 6) +
5
12
α) 2x − 5 −
x + 1
2
= x −
x – 1
3
+ 2 β)
4x – 1
6
= −
4
3
−1 −
9x + 1
18
α)
2 1 − 3x)
5
−
3
2
x − 1) = −x + 2 β) 1 −
3
2
x −
2x – 3
9
= −x + 1
α)
x – 2
3
2−
3
4
=
1
2
β)
x +
1
2
3 −
1
4
=
2x + 3
6
13. Αν η εξύςωςη
x−α
2
−
3α−x
3
= −x + α ϋχει ρύζα το −1 , να βρεύτε το α
14. Δύνεται η εξύςωςη
x + 3α
6
− x = 5 + α −
x
12
. Να βρεύτε τον αριθμό α , αν η εξύςωςη ϋχει λύςη το −6
15. Δύνονται οι εξιςώςεισ : 3 −
x – 4
2
=
3
4
− 2 x − 1) και 2α − 6)x − 5 = 1 − α −4x − 2). Να βρεύτε τον
αριθμό α ώςτε οι εξιςώςεισ να ϋχουν κοινό λύςη .
16. Δύνονται οι εξιςώςεισ :
4
3
−
x – 7
2
= −
x + 9
9
και
μ – x
2
−
x – 1
7
=
3x – μ
2
. Να βρεύτε τον αριθμό μ ώςτε οι δύο
εξιςώςεισ να ϋχουν κοινό λύςη .
17. Δύνονται οι πραγματικού αριθμού α , β για τουσ οπούουσ ιςχύει α2
+ β2
+ 25 = 2 3α + 4β) .
α) Να βρεύτε τουσ αριθμούσ α και β .
β) Να λύςετε την εξύςωςη
12x + 1
α
− x =
15x + β
α
− β
1
2 ∙ x + 1
α) 2 3x − 1) − 3 2x − 1) = 7x − 42 β) 2x −
5 – x
3
= −
5
3
+
7x
3
΢χολικό / 2 / Α / ς.83 )
α) 3 5 + 2x) − 2 3 + 2x) = 23 − 2(1 − x) β) 3 x − 2) − 2 1 + 3x) = −2 x − 4) − x − 16

Εξιςώςεισ που ανϊγονται ςε Εξιςώςεισ 1ου Βαθμού
α)
2x – 1
2
=
3x – 1
3
β)
x + 2
6
−
5 – x
2
= −
7 − 2x
6
+
x – 3
3
α) x 2x − 1) = 2x2
− x + 3) β) 4x2
− 2x − 1) 2x + 1) = 3x + 1 γ) 1 − x − 2)2
= 4x − x − 3) x + 3)
α) x2
− 3x = 0 β) x3
− 4x = 0 γ) x x − 2) − x + 1) 2 − x) = 0
α) 3x2
− 4x = x2
− 2x β) 4x3
− 5x = 2x3
+ 3x γ) x + 1)2
− x − 3) x + 3) = 0
α) x2
x − 4) + 2x x − 4) + x − 4) = 0 β) x − 2)2
− 2 − x) x + 4) = 0 ΢χολικό / 7 / Α / ς.84 )
α) x x2
− 1) − x3
+ x2
= 0 β) x + 1)2
+ x2
− 1 = 0 ΢χολικό / 8 / Α / ς.84 )
α) x x − 2)2
= x2
− 4x + 4 β) x2
− 4) x − 1) = x2
− 1) x − 2) ΢χολικό / 9 / Α / ς.84 )
α) x3
− 2x2
− x + 2 = 0 β) x3
− 2x2
− 2x − 1) x − 2) = 0 ΢χολικό / 10 / Α / ς.84 )
α) x3
+ 4 = x 4x + 1) β) x3
+ 8 = x + 2)3
− 6x x + 2) γ) x − 3)3
= x − 3
α)
x
x – 1
=
1
x2 − x
β)
x + 1
x2 − 1
+
2
x2 − 2x + 1
= 0 ΢χολικό / 11 / Α / ς.84 )
α)
1
x + 1
+
1
x – 1
=
2
x2 – 1
β)
3
x + 2
−
2
x
=
x − 4
x2 + 2x
γ)
1
x + 2
=
x
x2 – 4
δ)
x2 – x
x2 − 1
=
x
x + 1
΢χολικό / 12 / Α / ς.84 )
α)
1
x2 + x
=
x
x + 1
β) 2 −
x2 + 7x
x2 − 1
=
2x – 1
x + 1
+
3
1 – x
γ)
x2 − 1
x2 – x
= 1 +
1
x
α)
x + 4
x − 3
=
2x + 5
2x
β)
15
x – 2
−
4
x + 2
=
5
x2 – 4
γ)
4
x + 2
−
3x
2 – x
=
3x2 – 8
x2 − 4
α) 1 −
x + 2
x − 2
=
x − 10
x2 − 2x
–
x + 2
x
β)
1
x + 5
−
2x
x2 + 5x
=
1
25 − x2 γ)
4
2
x – 1
− 1
= 2
34. Να λύςετε την εξύςωςη
x
x – 1
3
− 4 =
4x
x – 1
−
x
x – 1
2

Επύλυςη Σύπων
Επύλυςη Παραμετρικών Εξιςώςεων
Εύρεςη Παραμϋτρων
35. Για τουσ αριθμούσ α και β ιςχύει α2
− 6α + β2
− 4β + 13 = 0
α) Να βρεύτε τουσ αριθμούσ α και β
4
βx – α
+
3
αx − βx2 =
5
x
36. Δύνονται οι αριθμού α =
8
6 − 2
+
24
6 + 2
και β = 3
3
∙ 4 + 7
3
∙ 4 − 7
3
αβ
2x + 4
+
x + 2
2 − x
=
x2
α − x2
37. Να λύςετε τουσ παρακϊτω τύπουσ ωσ προσ την αναφερόμενη μεταβλητό :
α) v = v0 + α ∙ t , α ≠ 0 ( ωσ προσ t )
β)
1
R
=
1
R1
+
1
R2
, ωσ προσ R1) ΢χολικό / 6 / Α / ς.84 )
38. Να λυθεύ ο τύποσ Δ = β2
− 4αγ ωσ προσ α .
39. Να λυθεύ ο τύποσ Ε =
β + Β
2
∙ υ ωσ προσ β .
40. Αν S = υ0 ∙ t +
1
2
∙ a ∙ t2
και υ = υ0 + a ∙ t να δεύξετε ότι S =
υ+ υ0
2
∙ t .
41. Να λύςετε τισ παρακϊτω εξιςώςεισ για τισ διϊφορεσ τιμϋσ του λ ∈ ℝ
α) λ − 1)x = λ − 1 β) λ − 2)x = λ γ) λ λ − 1)x = λ − 1 δ) λ λ − 1)x = λ2
+ λ
΢χολικό / 3 / Α / ς.83 )
42. Να λύςετε την εξύςωςη λx = x + λ2
− 1 για τισ διϊφορεσ τιμϋσ του λ ∈ ℝ Σρϊπεζα Θεμϊτων )
α) λ2
x − 4λ = 16x − λ2
β) 4 − λ λ − 2x) = −λ2
x
α) λ λx + 6) = λ2
− 9 −1 − x) β) 2(λ2
+ 2x) − λ 4 + λx) = 0
α) λ2
λx − λ + 2) − λ x + 1) = 0 β) λ2
x − 2) λ − 2) + λx − λ − 1)2
= 2
46. Δύνεται η εξύςωςη λ2
x + 4) − 5λ x + λ) = −25 . Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του λ η εξύςωςη εύναι :
α) ταυτότητα β) αδύνατη
− 1)x = λ + 1) λ + 2) με λ ∈ ℝ
α) Να λύςετε την εξύςωςη για λ = 1 και λ = −1
β) Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του λ η εξύςωςη ϋχει μοναδικό λύςη Σρϊπεζα Θεμϊτων )
48. Δύνεται η εξύςωςη α + 3)x = α2
− 9 με α ∈ ℝ
α) Να λύςετε την εξύςωςη για α = 1 και α = −3
β) Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του α η εξύςωςη ϋχει μοναδικό λύςη και να την προςδιορύςετε Σρϊπεζα Θεμϊτων )

Εξιςώςεισ με Απόλυτα
49. Δύνεται η εξύςωςη λ x + 2λ) − 3 λ2
− x − 3) = 0 . Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του λ η εξύςωςη ϋχει :
α) λύςη το −3 β) μοναδικό λύςη το −3
50. Δύνεται η εξύςωςη λ λ − 1)x = 2 − 2λ . Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του λ η εξύςωςη ϋχει :
α) λύςη το 2 β) μοναδικό λύςη το 2
51. Δύνεται η εξύςωςη λ x − 5) = −2 μ − x − 2). Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ των λ , μ η εξύςωςη εύναι :
52. Δύνεται η εξύςωςη 3 λ + μ)x − 8 = x − 1) 2λ + 3μ). Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ των λ , μ η εξύςωςη εύναι :
53. Δύνεται η εξύςωςη λ − 2)2
− 6 x + 1) = 2 − 2x) λ − 1) λ + 1) − 2λ . Αν η εξύςωςη αυτό εύναι ταυτότητα ,
να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη λ2
x + 1) = 2 x + λ) − 1 − 2x) εύναι αδύνατη .
54. Αν η εξύςωςη λ2
− 2λ)x = λ2
− 4 εύναι αδύνατη , να δεύξετε ότι η εξύςωςη λ + 3)x = λ2
ϋχει μοναδικό λύςη
55. Αν η εξύςωςη λ + 1)x = μ − 2 ϋχει τουλϊχιςτον δύο λύςεισ , να δεύξετε ότι η εξύςωςη μα2
− λ)x = λ − 1
ϋχει μοναδικό λύςη για κϊθε α∈ ℝ
56. Δύνεται η εξύςωςη λ x − 1) − 3 x −
3
λ
= 0
α) Να δεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει μια τουλϊχιςτον λύςη για οποιαδόποτε τιμό τησ παραμϋτρου λ που ορύζεται .
β) Για την τιμό του λ που η παραπϊνω εξύςωςη ϋχει τουλϊχιςτον δύο λύςεισ , να λύςετε την εξύςωςη
μ x − λ + 2) − μ − 2)2
= λ − 1) x − 1) για τισ διϊφορεσ τιμϋσ του μ .
57. Δύνονται οι εξιςώςεισ : λ − 1) λ + 1)x − μ = 3 x + 1) και μ − 1)2
x = λ − 2 1 − x 5 − μ)
α) Να βρεύτε τουσ αριθμούσ λ και μ , ώςτε οι εξιςώςεισ να εύναι αδύνατεσ .
β) Να λυθεύ η εξύςωςη
λ + μ
x2 – μ
+
2
x2 – μ – λ
=
x − 1
x2 + x
− μ2016
+ 2)x = λ2
+ μ2
+ 2 λ − μ) + 2
α) Να βρεύτε τουσ αριθμούσ λ και μ , ώςτε η παραπϊνω εξύςωςη να εύναι ταυτότητα
β) Να λυθεύ η εξύςωςη
4
x2 – x + λ – μ
+
x + 5
2x + μ – λ
=
2x
3x – 6
59. Δύνονται οι εξιςώςεισ : λ2
x + 1) = 2 λ − 1)2
− 1 + 8x και μ x − 1) μ − 10) = 5μ 5 3μ + x) − 2 5x + 6μ)
α) Να βρεύτε τουσ αριθμούσ λ και μ , ώςτε η 1) να εύναι ταυτότητα και η 2) αδύνατη .
3x + λ
μ
−
λx – 1
10
+
μx – 2
λ23 =
x + 1
4
60. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ :
α) 2x − 3 = 5 β) 5 − 3x = 1 γ) 5x − 1 − 4 = 0 δ) 3 2x − 5 − 21 = 0
α) 2 x − 1) = x − 2 β)
x + 1 – 4
3
= 2 γ)
2 5 − 3x – 1
9
= 1
α)
x + 4
3
−
x + 4
5
=
2
3
β)
2 x + 1
3
−
x – 1
2
=
1
2
΢χολικό / 15 / Α / ς.85 )
α) 2x − 4 − 7 = 8 − x − 2 β) 5x − 20 − 3 = 12 − 3x + 11 γ) 10 − 5 − 5x = −20 + 4x − 4 + 6 − 6x

α) 2 +
3x − 4 – 1
3
= 3 −
3x − 4
3
β)
3 x − 3
4
= 2 +
3 − x
2
γ)
x − 3
2
+
6 − 2x
3
= 8 −
3 − x
6
α)
3 2x − 5 + 1
2
− 2x − 5 =
6 2x − 5 – 4
7
β)
x + 4
3
−
2
3
=
−x + 4
5
Θϋματα Εξετϊςεων )
α) 3 2x − 1 − 8 = 2x − 1 β)
3 x − 2 + 1
4
−
2 − x – 1
2
= x − 2 Θϋματα Εξετϊςεων )
α) 2x − 4 = x + 1 β) 2x − 3 = 3x − 2 γ)
2x − 1
3
=
x − 2
2
α) 3 2 − x − 2 x + 1 = 0 β)
x+1
4
−
3x−2
6
= 0 γ) x2
− 3x + 2 = x2
+ 3x − 20
α) x − 4 ∙ x + 3 = x − 2 ∙ x − 6 β) x2
− 6x + 9 − −x2
− 3 = 12 γ) 8 − 2x − x2
− 1 = − 4x − x2
− 4
α) x − 2 = 2x − 1 β) 2x − 1 = x − 2 ΢χολικό / 14 / Α / ς.84 )
α) 2x − 3 − x = −1 β) d 3x , −1) = 3 + 5x γ) d x , 5) − 5 = −x
α) x − 2 x + 2 − 4 = 0 β) x − d 2x , −6) = 4 γ) 1 − 3x − 3 = 2x δ) 7 − x = 7 − x
α) x2
− 4x + x2
− 16 = 0 β) x3
− x + x2
+ x = 0 γ) x2
− 9 + x2
+ 6x + 9 = 0
74. Να λύςετε την εξύςωςη x2 − 2x + 1 = 3x − 5 ΢χολικό / 8 / Β / ς.85 )
α) x2 − 4x + 1 = 3 β) 4x2 − 4x + 1 − x2 − 10x + 25 = 0 γ) 5 + x2 − 6x + 9 = 3x
α) x2 − 6x + 9 = 1 β) 25x2 − 10x + 1 − 3x − 5 = 0
α)
2 – x
x + 2
= 3 β)
2x + 1
1 − 2x
= 3
α)
3 – x
x + 3
= 4 β) x − 1 ∙ x − 2 = x − 1 ΢χολικό / 16 / Α / ς.85 )
79. Να λύςετε την εξύςωςη 2 ∙ x − 1 = 3 ΢χολικό / 7 / Β / ς.85 )
α) x + 3 − 2 = 4 β) 5 − 2x − 1 = 4
α) x − 2 − x = 3 β) x − 2x − 6 = x − 8

α) 2 x + 1 − 5 − x = x β) x − 1 − 2 x − 2 = 3 − x
α) x2 − 6x + 9 + 2 x2 + 2x + 1 = 4 β) d x , 1) + d 2 , x) = 2x + 1
α) x2
− 2 x = 0 β) x3
− 5x2
= 0 γ) x2
− 4 x + 4 = 0 δ) x3
− 6x2
+ 9 x = 0
α) 2 x − 2 + 4x − 8 = 1 − 2x − 4)2 β) 2x2 − 2 = x + 1 Θϋμα Εξετϊςεων )
86. Δύνονται οι πραγματικού αριθμού α και β για τουσ οπούουσ ιςχύει : α − 3 + 3α − 2β + 1 = 0
α) Να βρεύτε τουσ αριθμούσ α , β
β) Να λύςετε την εξύςωςη :
2 − x + 4
α
−
αx − 6 – 1
αβ
=
x − 2 – 4
5
+ 2
87. Δύνεται η παρϊςταςη Α =
3
5 – 3
+
5
5 + 3
α) Να δεύξετε ότι Α = 4
β) Να λύςετε την εξύςωςη x + Α = 1 Σρϊπεζα Θεμϊτων )
88. Για τον πραγματικό αριθμό x ιςχύει : d 2x , 3) = 3 − 2x
α) Να δεύξετε ότι x ≤
3
2
β) Αν x ≤
3
2
, να αποδεύξετε ότι η παρϊςταςη Κ = 2x − 3 − 2 3 − x εύναι ανεξϊρτητη του x .
Σρϊπεζα Θεμϊτων )
x + 1) − 2 λ − 1) λ + 1) = 2 λx − 1) . Αν η εξύςωςη εύναι ταυτότητα , τότε :
α) να βρεύτε την τιμό του λ
β) να λύςετε την εξύςωςη
x – λ
x − 1
= λ
1 − x − 2x2 + 4x – 2
x − 1
α) Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του x ορύζεται η παρϊςταςη Α
β) Να απλοποιόςετε την παρϊςταςη Α
γ) Να λύςετε την εξύςωςη Α = −1
x2 − 9
x2 + 3𝑥 + 3x + 9
α) Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του x ορύζεται η παρϊςταςη Α
β) Να απλοποιόςετε την παρϊςταςη Α
γ) Να λύςετε την εξύςωςη Α = 1
92. Δύνεται η παρϊςταςη Α = 2 x − 3 − x − 5 − x + 1 . Αν 3 < x < 5 τότε :
α) Να δεύξετε ότι A = 2x − 12
β) Να λύςετε την εξύςωςη Α = 4 ( 3ο ΓΕΛ ΚΟΖΑΝΗ΢ 2016 )

Αςκόςεισ
Η Εξύςωςη 𝐱 𝛎
= 𝛂
∎ Θεωρούμε την εξύςωςη xν
= α . Διακρύνουμε τισ περιπτώςεισ :
1η) Αν ν ϊρτιοσ και α > 0 , τότε η εξύςωςη xν
= α ϋχει δύο λύςεισ : xν
= α ⇔ x = ± αν
Για παρϊδειγμα : x4
= 16 ⇔ x = ± 16
4
⇔ x = ± 2
2η) Αν ν ϊρτιοσ και α < 0 , τότε η εξύςωςη xν
= α εύναι αδύνατη
= −32 , αδύνατη
3η) Αν ν περιττόσ και α > 0 , τότε η εξύςωςη xν
= α ϋχει μια λύςη : xν
= α ⇔ x = αν
= 32 ⇔ x = 32
5
⇔ x = 2
4η) Αν ν περιττόσ και α < 0 , τότε η εξύςωςη xν
= α ϋχει μια λύςη : xν
= α ⇔ x = − α
ν
= −8 ⇔ x = − −8
3
⇔ x = − 8
3
⇔ x = −2
∎ Θεωρούμε την εξύςωςη xν
= αν
. Διακρύνουμε τισ περιπτώςεισ :
1η) Αν ν ϊρτιοσ , τότε η εξύςωςη ϋχει δύο λύςεισ : xν
= αν
⇔ x = ± α
2η) Αν ν περιττόσ , τότε η εξύςωςη ϋχει μια λύςη : xν
= αν
⇔ x = α
α) x3
− 125 = 0 β) x5
− 243 = 0 γ) x7
− 1 = 0 ΢χολικό / 1 / Α / ς.87 )
α) x3
+ 125 = 0 β) x5
+ 243 = 0 γ) x7
+ 1 = 0 ΢χολικό / 2 / Α / ς.87 )
α) x2
− 64 = 0 β) x4
− 81 = 0 γ) x6
− 64 = 0 ΢χολικό / 3 / Α / ς.87 )
4. Ένα ορθογώνιο παραλληλεπύπεδο ϋχει όγκο 81 m3
και διαςτϊςεισ x , x και 3x . Να βρεύτε τισ διαςτϊςεισ
του παραλληλεπιπϋδου . ΢χολικό / 5 / Α / ς.87 )
α) x5
− 8x2
= 0 β) x4
+ x = 0 γ) x5
+ 16x = 0 ΢χολικό / 4 / Α / ς.87 )
α) 2x5
= 8x3
β) 5x6
+ 4x2
= 0 γ) x4
− 8x = 0 δ) x6
− 16x2
= 0 ε) 2x5
+ 16x2
= 0
α) x3
+ 27) x4
− 54) = 0 β) x6
= 81x2
γ) 3x10
− 331) 4x9
− 220) = 0 δ) 27x4
+ x = 0
α) x5
+ x2
= 0 β) 81x5
− 16x = 0 γ) x5
+ x3
= 0
α) x + 1)3
= 64 β) 1 + 125x3
= 0 γ) x − 1)4
− 27 x − 1) = 0 ΢χολικό / 6 / Α / ς.87 )

α) 3x − 1)2
= 2 β) x + 1)3
+ 27 = 0 γ) x − 3)3
= 8 δ) 3 − 2x)4
− 81 = 0
α) x − 1 − 2)5
− 1 = 0 β) x − 3 − 1)4
− 81 = 0 γ) x − 2)6
− 32d x , 2) = 0
α) x − 2 − 3)3
= 8 β) 3 − x − 5)4
− 16 = 0 γ) 2x − 1 − 6)3
+ 27 = 0
α) 3x4
− 46)3
= 8 β) 2x2
− 10)4
− 212
= 0 γ) 2x + 1)5
= 81 2x + 1)
α) x9
− 3x5
+ 2x4
− 6 = 0 β) x7
+ 2x3
= 8x4
+ 16 γ) x8
− 27 = 27x5
− x3
15. Δύνεται η εξύςωςη 3x − 2 + 3 2 − 3x = 6x − 4 + 8
α) Να λυθεύ η παραπϊνω εξύςωςη
β) Αν α η θετικό ρύζα τησ εξύςωςησ , να λύςετε την εξύςωςη x − α)3
+ 1 = 0
γ) Αν β η αρνητικό ρύζα τησ εξύςωςησ , να λύςετε την εξύςωςη 81 x + β)4
− 16 = 0
16. Δύνονται οι πραγματικού αριθμού α και β ώςτε να ιςχύει α10
+ β6
+ 65 = 2 α5
− 8β3)
β) Να λύςετε την εξύςωςη βx + 3 − 4)4
= 16
17. Δύνεται η εξύςωςη 2x − 1 − x + 4 = 0
α) Να λυθεύ η παραπϊνω εξύςωςη
β) Αν α η θετικό ρύζα τησ εξύςωςησ , να λύςετε την εξύςωςη x − α − 7 = 0
γ) Αν β η αρνητικό ρύζα τησ εξύςωςησ , να λύςετε την εξύςωςη 3x − 1 2017
− β4034
= 0
x − λ2) − 8x = 8 x − 4λ). Αν η εξύςωςη εύναι ταυτότητα , τότε :
α) να βρεύτε την τιμό του πραγματικού αριθμού λ
β) να λύςετε την εξύςωςη λ2
x3
+ 3) x3
− 3) − λx3
+ 1)2
= −5

Μια εξύςωςη λϋγεται
2ου βαθμού
αν ϋχει την μορφό
αx2
+ βx + γ = 0 , α ≠ 0
Έςτω ότι η εξύςωςη 𝛂𝐱 𝟐
+ 𝛃𝐱 + 𝛄 = 𝟎 , 𝛂 ≠ 𝟎 ϋχει ρύζεσ τουσ αριθμούσ 𝐱 𝟏 , 𝐱 𝟐 .
Αν ςυμβολύςουμε με 𝐒 = 𝐱 𝟏 + 𝐱 𝟐 το ϊθροιςμα των ριζών και με 𝐏 = 𝐱 𝟏 ∙ 𝐱 𝟐 το γινόμενο των ριζών τότε :
𝐒 = −
𝛃
𝛂
Εξιςώςεισ 2ου Βαθμού
∎ Για να βρούμε τισ ρύζεσ μιασ εξύςωςησ 2ου βαθμού
αx2
+ βx + γ = 0 , α ≠ 0 πρώτα υπολογύζουμε
την αλγεβρικό παρϊςταςη Δ = β2
− 4αγ ,
από την τιμό τησ οπούασ εξαρτϊται το πλόθοσ
των ριζών τησ εξύςωςησ .
Η αλγεβρικό παρϊςταςη αυτό ονομϊζεται διακρύνουςα .
Δ= 𝛃 𝟐
− 𝟒𝛂𝛄 Η εξύςωςη 𝛂𝐱 𝟐
+ 𝛃𝐱 + 𝛄 = 𝟎 , 𝛂 ≠ 𝟎
Δ > 0 Έχει δύο ρύζεσ ϊνιςεσ τισ 𝐱 𝟏 ,𝟐 =
−𝛃± 𝚫
𝟐𝛂
Δ < 0 Έχει μια διπλό ρύζα την 𝐱 = −
𝛃
𝟐𝛂
Δ= 𝟎 Η εξύςωςη εύναι αδύνατη ςτο ℝ
Άθροιςμα και Γινόμενο Ριζών – Σύποι VIETA
Α) Θα αποδεύξουμε ότι S = −
β
α
Πρϊγματι : S = x1 + x2 =
−β + Δ
2α
+
−β – Δ
2α
=
−β + Δ – β – Δ
2α
=
−2β
2α
= −
β
α
Β) Θα αποδεύξουμε ότι P =
γ
α
Πρϊγματι : P = x1 ∙ x2 =
−β + Δ
2α
∙
−β – Δ
2α
=
−β + Δ ∙ −β – Δ
4α2
=
−β)2− Δ
2
4α2
=
β2− Δ
4α2
=
=
β2− β2+ 4αγ
4α2
=
4αγ
4α2
=
γ
α
𝐏 =
𝛄
𝛂

Επύλυςη Εξύςωςησ 2ου Βαθμού
Καταςκευό εξύςωςησ 2ου Βαθμού
∎ Μπορούμε να καταςκευϊςουμε μια εξύςωςη 2ου βαθμού , όταν γνωρύζουμε το ϊθροιςμα και το γινόμενο
των ριζών τησ . Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ αx2
+ βx + γ = 0 , α ≠ 0 τότε :
αx2
+ βx + γ = 0 ⇔ x2
+
β
α
x +
γ
α
x = 0 ⇔ x2
− x1 + x2)x + x1 ∙ x2) = 0 ⇔ x2
− Sx + P = 0 .
α) 2x2
− 5x + 3 = 0 β) x2
− 6x + 9 = 0 γ) 3x2
+ 4x + 2 = 0 ΢χολικό / 1 / Α / ς.93 )
α) x2
− x − 2 = 0 β) −2x2
− 5x + 3 = 0 γ) 6x2
+ x − 1 = 0
α) x2
− 4x + 4 = 0 β) x2
− 10x + 25 = 0 γ) 9x2
− 6x + 1 = 0
α) 2x2
− 3x + 6 = 0 β) x2
+ 5x + 7 = 0 γ) 3x2
+ 4x + 2 = 0
5. Δύνεται η εξύςωςη x2
− λ − 1)x + 6 = 0 με λ∈ ℝ
α) Αν η παραπϊνω εξύςωςη ϋχει λύςη το 1 , να βρεύτε το λ .
β) Για λ = 2 , να λύςετε την εξύςωςη Σρϊπεζα Θεμϊτων )
6. α) Να λύςετε την εξύςωςη 2x − 1 = 3
β) Αν α , β με α < β εύναι οι ρύζεσ τησ παραπϊνω εξύςωςησ , να λύςετε την αx2
+ βx + γ = 0 Σρϊπεζα Θεμϊτων )
7. α) Να λύςετε την εξύςωςη −2x2
+ 10x = 12
−2x2 + 10x – 12
x − 2
= 0 Σρϊπεζα Θεμϊτων )
α) x2
− 25 = 0 β) 2x2
− 32 = 0 γ) − 3x2
+ 48 = 0 δ) − 3x2
− 27 = 0
α) x2
+ 2x = 0 β)5x2
− 30x = 0 γ) 3x2
+ 9x = 0 δ) − 4x2
− 16x = 0
α) x2
− 5 + 3 x + 15 = 0 β) x2
+ 2 − 1 x − 2 = 0 ΢χολικό / 8 / Α / ς.94 )
α) x2
+ 3 + 1 x + 3 = 0 β) 2x2
+ 2 − 3 x − 3 = 0
12. Να λυθεύ η εξύςωςη x2
− 3x + 2Δ = 0 , όπου Δ η διακρύνουςα τησ εξύςωςησ .
13. Να λυθεύ η εξύςωςη x2
+ Δ − 2)x +
Δ – 5
x
= 0 , όπου Δ η διακρύνουςα τησ εξύςωςησ .
α) x2
+ 4x) x2
− 7x + 6) = 0 β) 2x2
− 32) −x2
+ x + 2) = 0 γ) x2
+ 5x − 6) 3x2
− 5x + 4) = 0
α) x x + 4) − 6 = x − 2 β) 3x − 1) 2x + 1) = 6 γ) x 3x + 10) = 3 x + 2)

Εξιςώςεισ που ανϊγονται ςε Εξιςώςεισ 2ου Βαθμού
α) 4 x + 2) = 4 − x − 3) x + 3) β) x − 1)2
= 4x − 5 2x + 1) γ) x − 1)3
− x x + 2) x − 2) = 1
α)
2x
3
−
10 − 3x
4
=
x2
6
β)
5
6
−
x + 1) x − 1)
2
=
2 – x
3
−
x − 4)2
6
α) x2
− 5x + 5 = 1 β) x2
+ 3x − 5 = 2x2
− 4x + 5 γ) x − 3 = x2
− x − 6
19. Να βρεύτε τα μόκη των πλευρών του παρακϊτω ορθογωνύου τριγώνου ΑΒΓ
20. Αν το εμβαδό του παρακϊτω ορθογωνύου εύναι 24 τ.μ. , να βρεύτε τισ διαςτϊςεισ του .
α) x2
− 7 x + 12 = 0 β) x2
+ 2 x − 35 = 0 γ) x2
− 8 x + 12 = 0 ΢χολικό / 11 / Α / ς.94 )
α) x2
+ x − 2 = 0 β) x2
− 4 = 3 x γ) 2 x − 3) x + 3) + 9 x = 0
α) x2
— −3x + 2 = 0 β) 3x2
− 2 x2 = 1 γ) x − 2)2
= 7 x + 1 − x x + 4)
α) x4
+ 6x2
− 40 = 0 β) 4x4
+ 11x2
− 3 = 0 γ) 2x4
+ 7x2
+ 3 = 0 ΢χολικό / 15 / Α / ς.94 )
α) 3x4
+ x2
− 4 = 0 β) x6
+ 7x3
− 8 = 0 γ) 2x4
− 2 2x2
+ 1 = 0
α) x4
+ 7x2
+ 10 = 0 β) − 8x6
+ 7x3
+ 1 = 0 γ) x8
− 17x4
+ 16 = 0
α) x − 6 x + 8 = 0 β) x − 4 x + 3 = 0 γ) x − x = 20

28. Η εξύςωςη x + 1)4
− α2
+ 3α) x2
+ 2x + 1) + 2α2
− α + 3 = 0 ϋχει ρύζα το −2 .
α) Να βρεύτε το α
β) Να λύςετε την παραπϊνω εξύςωςη
− 6x2
+ λ2
+ μ2
− 6λ + 4μ + 13)x − μλ
= 0 .
α) Να βρεύτε τουσ αριθμούσ λ και μ ώςτε η παραπϊνω εξύςωςη να εύναι διτετρϊγωνη
β) Να λύςετε την παραπϊνω εξύςωςη .
α) 2x − 1)2
− 3 2x − 1) − 4 = 0 β) x2
− 1)2
+ 2 x2
− 1) − 3 = 0
α) x − 4)2
− 3 4 − x) − 10 = 0 β)
x – 3
2
2
−3∙
x – 3
2
−18= 0
α) x2
+ x − 1)2
− 6 x2
+ x − 1) + 5 = 0 β) x2
− 4x)2
+ 2 4x − x2) − 15 = 0
33. Να λύςετε την εξύςωςη x +
1
x
2
− 5 x +
1
x
+ 6 = 0 ΢χολικό / 13 / Α / ς.94 )
α) x +
6
x
2
− 12 x +
6
x
= 35 = 0 β) 4
x + 1
x − 1
2
−
8x + 8
x − 1
+ 3 = 0
35. Να λύςετε την εξύςωςη x − 1)2
+ 4 x − 1 − 5 = 0 ΢χολικό / 12 / Α / ς.94 )
α) 2x − 1)2
+ 3 2x − 1 − 4 = 0 β) 5 − 2x − 1)2
= 4 1 − 2x γ) x − 3)2
+ x2 − 6x + 9 = 6
α)
x
x + 1
+
x + 1
x
=
13
6
β)
2
x
+
2x – 3
x − 2
+
2 − x2
x2 − 2x
= 0 ΢χολικό / 14 / Α / ς.94 )
α)
4
x − 5
=
3
x − 6
− 1 β)
4
x2 − 1
=
x − 1
x + 1
−
1
x − 1
α)
x + 2
x − 3
−
3 − x
x
=
x2 + 6
x2 − 3x
β)
4x
x2 − x
=
4
x2 − 1
−
x
x + 1
α)
x
x + 2
−
5x − 20
x2 − 4x
= −
14
x2 + 2x
β)
1
1 −
1
x
+
4
x −
1
x
=
5
4
α)
1 + x
1 − x
=
2
x2 − x
β)
2x2 − 1
x2 − x
+
1
1 − x
α) 2x4
+
7
x4
= 9 β) x2
+
1
x2
+ x +
1
x
= 4 γ) x2
+ x − 6 +
8
x2 + x
= 0

Σύποι Vieta
43. Να βρεύτε το ϊθροιςμα και το γινόμενο των ριζών των παρακϊτω εξιςώςεων :
α) 2x2
− 7x + 4 = 0 β) − 3x2
+ 12x + 15 = 0 γ) − 3 ∙ x2
+ 8 ∙ x + 12 = 0
44. Σο ϊθροιςμα των ριζών τησ εξύςωςησ αx2
− 18x + 21 = 0 , α ≠ 0 εύναι 6 . Να βρεύτε :
α) τον αριθμό α
β) το γινόμενο των ριζών τησ παραπϊνω εξύςωςησ .
45. Σο γινόμενο των ριζών τησ εξύςωςησ αx2
+ 16x − 20 = 0 , α ≠ 0 εύναι 10 . Να βρεύτε :
α) τον αριθμό α
β) το ϊθροιςμα των ριζών τησ παραπϊνω εξύςωςησ .
46. Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ x2
− 3x + 1 = 0 να βρεύτε τισ τιμϋσ των παρακϊτω παραςτϊςεων :
α) x1 + x2 β) x1 ∙ x2 γ) x1
2
+ x2
2
δ) x1
3
+ x2
3
ε)
1
x1
+
1
x2
ζ)
x1
x2
+
x1
x2
− x − 3 = 0 να βρεύτε τισ τιμϋσ των παρακϊτω παραςτϊςεων :
α) x1 + x2 β) x1 ∙ x2 γ) x1
2
+ x2
2
δ) x1
3
+ x2
3
ε) x1
4
+ x2
4
+ 5x − 4 = 0 να βρεύτε τισ τιμϋσ των παρακϊτω παραςτϊςεων :
α) x1 + x2 β) x1 ∙ x2 γ) x1
2
+ x2
2
δ) x1
3
x2 + x1x2
3
ε)
1
x1
2 +
1
x2
2 ζ) x1 − x2)2
− 5x + 3 = 0 να βρεύτε τισ τιμϋσ των παρακϊτω παραςτϊςεων :
α) x1 + x2 β) x1 ∙ x2 γ) x1
2
+ x2
2
δ) x1
3
+ x2
3
ε)
1
x1
+
1
x2
ζ)
x1
x2
+
x1
x2
η) x1
4
+ x2
4
θ) 2x1
3
− 3x1
2
x2 + 2x2
3
− 3x1x2
2
ι)
2
1 + 3x1
+
2
1 + 3x2
50. Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ 2x2
− x − 5 = 0 να βρεύτε τισ τιμϋσ των παρακϊτω παραςτϊςεων :
α) x1 + x2 β) x1 ∙ x2 γ) x1 − 1) ∙ x2 − 1) δ) x1
2
∙ x2 + x1 ∙ x2
2
ε) 2x1
2
x2 − 3x1 + 1 + 2x1x2
2
− 3x2
51. Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ 2x2
α) x1 + x2 β) x1 ∙ x2 γ) x1
2
+ x2
2
δ) x1 + 1) ∙ x2 + 1)
ε) 2x1 − 3) 2x2 − 3) ζ) x1
2
− x1x2) x1x2 − x2
2)
− 2x − 1 = 0 να βρεύτε τισ τιμϋσ των παρακϊτω παραςτϊςεων :
α) x1 + x2 β) x1 ∙ x2 γ) x1
2
+ x2
2
δ) x1 − x2)2
ε) x1 − x2
ζ) x1
2
− x2
2
η) x1 − 1 ∙ x2 − 1
− 3x − 1 = 0 να βρεύτε τισ τιμϋσ των παρακϊτω παραςτϊςεων :
α) x1 + x2 β) x1 ∙ x2 γ)
3
x1
+
3
x2
δ)
x1
x2
+
x1
x2
ε)
x1
x2
2 +
x2
x1
2 ζ)
1
x1 − 2
+
1
x2 − 2
54. Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ −x2
α) x1 + x2 β) x1 ∙ x2 γ) x1
2
+ x2
2
δ)
x1
x2
+
x2
x1
ε) x1 + x2 ζ) x1 − x2
η) x1 + 2)2
+ x2 + 2)2

Καταςκευό Εξύςωςησ 2ου Βαθμού
55. Να καταςκευϊςετε εξύςωςη 2ου βαθμού που να ϋχει ρύζεσ τουσ αριθμούσ : α) −6 και 1 β) −4 και − 1
− 3x − 1 = 0 να βρεύτε εξύςωςη 2ου βαθμού που να ϋχει ρύζεσ
τουσ αριθμούσ :
α) 2x1 και 2x2 β) x1
2
και x2
2
γ)
1
x1
και
1
x2
δ)
x1
2
και
x2
2
57. Δύνονται οι αριθμού Α=
1
3 − 7
και Β =
1
3+ 7
.
α) Να αποδεύξετε ότι Α + Β = 3 και Α ∙ Β =
1
2
β) Να καταςκευϊςετε εξύςωςη 2ου βαθμού που να ϋχει ρύζεσ τουσ αριθμούσ Α και Β . Σρϊπεζα Θεμϊτων )
58. Δύνονται οι αριθμού Α=
1
5 + 5
και Β =
1
5 − 5
.
α) Να αποδεύξετε ότι Α + Β =
1
2
και Α ∙ Β =
1
20
β) Να καταςκευϊςετε εξύςωςη 2ου βαθμού που να ϋχει ρύζεσ τουσ αριθμούσ Α και Β . Σρϊπεζα Θεμϊτων )
59. α) Να λύςετε την εξύςωςη x − 2 = 3
β) Να καταςκευϊςετε εξύςωςη 2ου βαθμού που να ϋχει ρύζεσ τισ λύςεισ του ερωτόματοσ α) Σρϊπεζα Θεμϊτων )
60. Δύνεται ορθογώνιο με περύμετρο 20 cm και εμβαδόν 24 cm2
α) Να καταςκευϊςετε εξύςωςη 2ου βαθμού που να ϋχει ρύζεσ τα μόκη των πλευρών αυτού του ορθογωνύου
β) Να βρεύτε τα μόκη των πλευρών του ορθογωνύου Σρϊπεζα Θεμϊτων )
61. Έςτω α , β πραγματικού αριθμού για τουσ οπούουσ ιςχύουν α ∙ β = 4 και α2
β + αβ2
= 20 .
α) Να αποδεύξετε ότι α + β = 5
β) Να καταςκευϊςετε εξύςωςη 2ου βαθμού που να ϋχει ρύζεσ τα α , β και να τουσ βρεύτε Σρϊπεζα Θεμϊτων )
62. Δύνεται το τριώνυμο 2x2
+ 5x − 1
α) Να αποδεύξετε ότι το τριώνυμο ϋχει δύο ϊνιςεσ πραγματικϋσ ρύζεσ x1 , x2
β) Να βρεύτε την τιμό των παραςτϊςεων x1 + x2 , x1 ∙ x2 ,
1
x1
+
1
x2
γ) Να βρεύτε εξύςωςη 2ου βαθμού που να ϋχει ρύζεσ τουσ αριθμούσ :
1
x1
και
1
x2
63. Δύνεται το τριώνυμο x2
− κx − 2 , με κ πραγματικό αριθμό .
α) Να αποδεύξετε ότι Δ > 0 για οποιαδόποτε τιμό του πραγματικού κ
β) Αν x1 , x2 εύναι οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ x2
− 3x − 2 = 0 , να βρεύτε :
β1) το ϊθροιςμα x1 + x2 και το γινόμενο x1 ∙ x2
β2)Να βρεύτε εξύςωςη 2ου βαθμού που να ϋχει ρύζεσ τουσ αριθμούσ ∶ 2x1 , 2x2 Σρϊπεζα Θεμϊτων )
− x − 3 = 0 να βρεύτε εξύςωςη 2ου βαθμού που να ϋχει ρύζεσ
α) x1 + 2 και x2 + 2 β) x1
2
και x2
2
γ)
1
x1
και
1
x2
δ) 2x1 και 2x2
ε) x1
3
και x2
3
ζ)
x1
x2
και
x2
x1
α) x1
2
x2 , x1x2
2
β) 2x1 − 3x2 , 2x2 − 3x1 γ)
x1
x2−1
,
x2
x1−1

Παραμετρικϋσ Εξιςώςεισ
Εύρεςη Παραμϋτρων
α)
1
x1
2 ,
1
x2
2 β)
x1
2
x2
,
x2
2
x1
γ) x1
2
− x1x2 , x2
2
− x1x2 δ)
3x1 + 1
x1 − 3
,
3x2 + 1
x2 − 3
67. Να βρεύτε δύο αριθμούσ , εφόςον υπϊρχουν , που να ϋχουν :
α) ϊθροιςμα 2 και γινόμενο −15
β) ϊθροιςμα 9 και γινόμενο 10 ΢χολικό / 7 / Α / ς.94 )
68. Να δεύξετε ότι οι παρακϊτω εξιςώςεισ ϋχουν πραγματικϋσ ρύζεσ , τισ οπούεσ και να βρεύτε :
α) x2
− λ − 2)x − λ + 1 = 0 β) αx2
− 1 − 2αβ)x − 2β = 0
69. Να δεύξετε ότι οι παρακϊτω εξιςώςεισ ϋχουν πραγματικϋσ ρύζεσ , τισ οπούεσ και να βρεύτε :
α) x2
− 2αx + α2
− β2
+ 2β − 1 = 0 β) αx2
− 3 α + β)x + 9β = 0 , με α ≠ 0
70. Να βρεύτε το πλόθοσ των ριζών των παρακϊτω εξιςώςεων για τισ διϊφορεσ τιμϋσ του πραγματικού λ :
α) x2
− 2x + λ = 0 β) x2
− x − λ + 1 = 0
71. Να βρεύτε το πλόθοσ των ριζών των παρακϊτω εξιςώςεων
α) x2
+ α − 2)x − α = 0 β)
1
2
x2
+ α + 1)x + α2
+ α + 1 = 0
72. Να βρεύτε το πλόθοσ των ριζών των παρακϊτω εξιςώςεων για τισ διϊφορεσ τιμϋσ του πραγματικού λ :
α) x2
− 2λ − 4)x − λ 3 − λ) = 0 β) λ − 3)x2
+ 2 λ − 1)x + λ + 3 = 0
73. Αν η εξύςωςη x2
+ αx + β = 0 ϋχει μια διπλό ρύζα , να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη x2
+ β + 1)x +
α2
4
= 0
ϋχει πραγματικϋσ ρύζεσ .
74. Να δεύξετε ότι η εξύςωςη x2
− βx + Δ = 0 , όπου Δ η διακρύνουςϊ τησ , ϋχει πραγματικϋσ ρύζεσ .
75. Να δεύξετε ότι οι παρακϊτω εξιςώςεισ ϋχουν πραγματικϋσ ρύζεσ :
α) λx2
+ 2x − λ − 2) = 0 , λ ≠ 0 β) αx2
+ α + β)x + β = 0 , α ≠ 0 ΢χολικό / 3 / Α / ς.93 )
76. Αν α ≠ β να δεύξετε ότι εύναι αδύνατη ςτο ℝ η εξύςωςη α2
+ β2)x2
+ 2 α + β)x + 2 = 0 . Να εξετϊςετε την
περύπτωςη που εύναι α = β ΢χολικό / 5 / Α / ς.94 )
77. Να βρεύτε τισ τιμϋσ του πραγματικού αριθμού λ ώςτε οι παρακϊτω εξιςώςεισ να εύναι 2ου βαθμού :
α) λ2
− 5λ + 6)x2
+ λx − 3 = 0 β) 4λ2
− 7λ + 5)x2
+ λ + 1)x − 1 = 0
78. Να βρεύτε τισ τιμϋσ του πραγματικού αριθμού λ ώςτε η εξύςωςη λ − 1)x2
+ λ x − λ = 0 να εύναι
εξύςωςη 2ου βαθμού και να ϋχει ρύζα το 1 .
79. Να βρεύτε τισ τιμϋσ του πραγματικού αριθμού μ για τισ οπούεσ η εξύςωςη μx2
+ 2x + μ = 0 , μ ≠ 0
ϋχει διπλό ρύζα . ΢χολικό / 4 / Α / ς.93 )

80. Να βρεύτε τισ τιμϋσ του πραγματικού αριθμού α για τισ οπούεσ η εξύςωςη 2x2
+ α − 9)x + α2
+ 3α + 4 = 0
ϋχει διπλό ρύζα . ΢χολικό / 3 / Β / ς.95 )
81. Η εξύςωςη x2
+ 2λ − 1)x + λ2
− 3 = 0 ϋχει ρύζα το −3 . Να βρεύτε :
α) τον αριθμό λ β) την ϊλλη ρύζα τησ εξύςωςησ
82. Να βρεύτε το λ ώςτε η εξύςωςη x2
+ 2λ − 1)x + 1 − 2λ = 0 να ϋχει διπλό ρύζα και μετϊ να βρεύτε
τη διπλό ρύζα
+ λ − 3)x − λ + 6 = 0 ϋχει μια διπλό ρύζα . Να βρεύτε :
α) τισ τιμϋσ του λ
β) για κϊθε τιμό του λ που βρόκατε , τη διπλό ρύζα τησ εξύςωςησ .
84. Η εξύςωςη λ2
− 1)x2
+ λ − 1)x + 1 = 0 ϋχει μια διπλό ρύζα . Να βρεύτε :
α) τον αριθμό λ
β) τη διπλό ρύζα τησ εξύςωςησ .
85. Να βρεύτε τουσ α , β ώςτε η εξύςωςη x2
− 2 2α − β)x − α − 1 = 0 να ϋχει μια διπλό ρύζα .
86. Να βρεύτε τουσ λ , μ ώςτε η εξύςωςη x x − 2λ) − λ + 2 = 2μx να ϋχει μια διπλό ρύζα .
87. Θεωρούμε την εξύςωςη x2
+ 2λ + 1)x + 6 − 3λ = 0
α) Να βρεύτε το λ αν η εξύςωςη ϋχει ρύζα το −1
β) Για τη μεγαλύτερη τιμό του λ που βρόκατε , θεωρούμε την εξύςωςη x2
− λx + μ2
= 0 . Να βρεύτε το μ ,
ώςτε η εξύςωςη να ϋχει διπλό ρύζα .
88. Η εξύςωςη 2x2
+ 2 α + β)x + α − 2) β + 4) − 2 = 0 ϋχει μια διπλό ρύζα . Να βρεύτε :
α) τουσ αριθμούσ α και β
β) τη διπλό ρύζα τησ εξύςωςησ .
− λ − μ)x + μ2
= 0 ϋχει διπλό ρύζα το 1 . Να βρεθούν οι τιμϋσ των πραγματικών λ και μ
90. Η εξύςωςη λ3
+ 10)x2
− 2λ3
+ 4)x + μ2
+ 4μ + 22 = 0 ϋχει διπλό ρύζα το 3 . Να βρεθούν οι τιμϋσ
των πραγματικών λ και μ
91. Δύνεται η εξύςωςη : x2
− 2λx + λ2
− λ + 2 = 0 . Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του λ η εξύςωςη :
α) ϋχει δύο ρύζεσ ϊνιςεσ
β) ϋχει μια διπλό ρύζα
γ) εύναι αδύνατη
δ) ϋχει λύςη
92. Δύνεται η εξύςωςη : λx2
+ 2λ + 3)x + λ +
9
4
= 0. Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του λ η εξύςωςη :
γ) δεν ϋχει πραγματικϋσ ρύζεσ
93. Δύνεται η εξύςωςη : λ − 2)x2
− (2λ + 1)x + λ + 2 = 0 . Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του λ η εξύςωςη :
γ) εύναι αδύνατη
− 2λx + λ2
− λ + 1 = 0 . Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του λ η εξύςωςη :
γ) να ϋχει πραγματικϋσ ρύζεσ
δ) να μην ϋχει καμύα πραγματικό ρύζα

Εύρεςη Παραμϋτρων ςτουσ Σύπουσ VIETA
+ λ + 3 ∙ x + λ = 0 . Να βρεύτε :
α) για ποιεσ τιμϋσ του λ η εξύςωςη ϋχει δύο ρύζεσ ϊνιςεσ
β) την τιμό τησ παρϊςταςησ Α = λ2 + 6λ + 9 + λ2 − 2λ + 1
− 2λx + λ2
− 1 = 0 .
α) Να δεύξετε ότι για κϊθε πραγματικό αριθμό λ η εξύςωςη ϋχει δύο πραγματικϋσ ρύζεσ
β) Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του λ , οι δύο ρύζεσ τησ εξύςωςησ ανόκουν ςτο διϊςτημα −2 , 4)
γ) Για τισ τιμϋσ του λ που βρόκατε ςτο β) ερώτημα , να αποδεύξετε ότι η παρϊςταςη
Α = λ2 + 2λ + 1 + λ2 − 6λ + 9
3
2
εύναι ανεξϊρτητη του λ
+ λ − 1)x + 2λ − 6 = 0
α) Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει πραγματικϋσ ρύζεσ για κϊθε τιμό τησ παραμϋτρου λ
β) Να βρεύτε για ποια τιμό του λ η εξύςωςη ϋχει ρύζεσ β1) αντύθετεσ β2) αντύςτροφεσ
+ λ − 5)x − λ + 4 = 0 . Να βρεύτε για ποια τιμό του λ η εξύςωςη ϋχει :
α) μια διπλό ρύζα
β) δύο ρύζεσ αντύςτροφεσ
γ) δύο ρύζεσ αντύθετεσ
δ) δύο ετερόςημεσ ρύζεσ
ε) δύο θετικϋσ ρύζεσ
ζ) δύο αρνητικϋσ ρύζεσ
− 2α − 1)x + α2
− 4 = 0 . Να βρεύτε για ποια τιμό του α η εξύςωςη ϋχει δύο ρύζεσ :
α) ετερόςημεσ
β) θετικϋσ
γ) αρνητικϋσ
δ) αντύθετεσ
ε) αντύςτροφεσ
100. Δύνεται η εξύςωςη : −x2
+ λ − 7)x + λ − 6 = 0 . Να βρεύτε για ποια τιμό του λ η εξύςωςη ϋχει :
+ 4x + λ + 2 = 0 . Να βρεύτε για ποια τιμό του λ η εξύςωςη ϋχει :
102. Να βρεθεύ ο πραγματικόσ αριθμόσ μ ώςτε η μια ρύζα τησ εξύςωςησ x2
− 2μ − 3)x + μ − 1 = 0 να εύναι
διπλϊςια τησ ϊλλησ .

− λ + 1)x + λ = 0
β) Να βρεύτε το λ ώςτε η μια ρύζα τησ εξύςωςησ να εύναι διπλϊςια από την ϊλλη .
− 3λx − 27 = 0
β) Να βρεύτε το λ ώςτε οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ να εύναι αντύθετεσ
γ) Αν μια ρύζα τησ εξύςωςησ ιςούται με το τετρϊγωνο τησ ϊλλησ , να βρεύτε τισ ρύζεσ και το λ
+ λx − 27 = 0
α) Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει πραγματικϋσ και ϊνιςεσ ρύζεσ για κϊθε τιμό τησ παραμϋτρου λ
β) Αν μια ρύζα τησ εξύςωςησ ιςούται με το τετρϊγωνο τησ ϊλλησ , να βρεύτε τισ ρύζεσ και το λ
106. Δύνεται η εξύςωςη : λ + 2)x2
+ 2λx + λ − 1 = 0 , λ ≠ −2 .
α) Να βρεύτε τισ τιμϋσ του λ για τισ οπούεσ η εξύςωςη ϋχει δύο ρύζεσ πραγματικϋσ και ϊνιςεσ .
β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ ώςτε : x1 ∙ x2 = −3 Σρϊπεζα Θεμϊτων )
+ 2λx + λ − 1 = 0 , λ ≠ −2 .
β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ ώςτε : x1 + x2 = 2 Σρϊπεζα Θεμϊτων )
− 2λx + 4(λ − 1) = 0
β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ ώςτε : x1 + x2 = x1 ∙ x2 Σρϊπεζα Θεμϊτων )
109. Δύνεται η εξύςωςη : −2x2
+ λ − 5)x + λ − 3 = 0
β) Να βρεύτε το λ ώςτε το ϊθροιςμα των ριζών τησ εξύςωςησ να εύναι ύςο με το γινόμενό τουσ .
+ 2x − λ2
+ 6λ − 8 = 0
β) Να βρεύτε το λ ώςτε το γινόμενο των ριζών τησ εξύςωςησ να εύναι τετραπλϊςιο από το ϊθροιςμϊ τουσ .
− 10x + λ + 8 = 0
α) Να βρεύτε τισ τιμϋσ του λ για τισ οπούεσ η εξύςωςη ϋχει πραγματικϋσ ρύζεσ.
β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ ώςτε : 2x1 = 3 ∙ x2
− 2x + λ = 0
α) Να βρεύτε τισ τιμϋσ του λ για τισ οπούεσ η εξύςωςη ϋχει πραγματικϋσ ρύζεσ.
β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ και τισ ρύζεσ , ώςτε : x1 = 3 ∙ x2
+ 2λx + 4(λ − 1) = 0
β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ ώςτε x1 + x2)2
+ x1x2 + 5 = 0 Σρϊπεζα Θεμϊτων )
+ 2x + λ − 2 = 0 . .
α) Να βρεύτε τισ τιμϋσ του λ για τισ οπούεσ η εξύςωςη ϋχει ρύζεσ πραγματικϋσ .
β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ ώςτε : x1 ∙ x2 − 2 x1 + x2) = 1 Σρϊπεζα Θεμϊτων )
115. Δύνεται η εξύςωςη : λ − 1)x2
+ x − 2 = 0 . .
α) Να βρεύτε τισ τιμϋσ του λ για τισ οπούεσ η εξύςωςη εύναι 2ου βαθμού και ϋχει δύο ρύζεσ πραγματικϋσ και ϊνιςεσ .
β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ ώςτε : 2x1 − 1) ∙ 2x2 − 1) =
1
2

+ λx − λ2
+ 1) = 0 .
α) Να δεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει δύο ρύζεσ πραγματικϋσ και ϊνιςεσ για οποιαδόποτε τιμό του λ .
β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ ώςτε : x1
2
+ x2
2
= 4
+ 2 λ − 1)x + λ2
− 3 = 0 .
α) Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του λ η εξύςωςη ϋχει ρύζεσ πραγματικϋσ .
2
+ x2
2
= 20
− λ − 1)x + λ − 2 = 0 .
α) Να δεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει ρύζεσ πραγματικϋσ για οποιαδόποτε τιμό του λ .
β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ ώςτε : β1) x1
2
+ x2
2
= 20 β2)
1
x1
+
1
x2
=
4
5
− 3x + α = 0 να βρεύτε τον πραγματικό αριθμό α ώςτε
να ιςχύει : 5x1
3
x2 + 5x1x2
3
− 4x1
2
x2 − 4x1x2
2
− 3 = 2α
− λx − λ2
+ 5) = 0 .
β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ ώςτε : x1 − 2) ∙ x2 − 2) = −4 Σρϊπεζα Θεμϊτων )
+ 2λx + λ − 1 = 0 .
α) Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του λ η εξύςωςη ϋχει δύο ρύζεσ πραγματικϋσ και ϊνιςεσ .
2
x2 + x1x2
2
= −
2
3
− 5λx − 1 = 0 .
β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ τότε :
β1) να προςδιορύςετε τισ τιμϋσ του λ ώςτε να ιςχύει : x1 + x2)2
− 18 − 7 x1x2)24
= 0
β2) για λ = 1 να βρεύτε την τιμό τησ παρϊςταςησ x1
2
x2 − 3x1 + 4 − 3x2 + x1x2
2
− 5λx − 1 = 0 .
β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ τότε :
β1) να προςδιορύςετε τισ τιμϋσ του λ ώςτε να ιςχύει : x1 + x2)2
− 18λ − 7 x1x2)2016
= 0
β2) για λ = 1 να βρεύτε την τιμό τησ παρϊςταςησ x1
2
x2 − 3x1 + 4 − 3x2 + x1x2
2
1ο Γελ Κοζϊνησ 2016 )
+ λx + λ − 1 = 0 , λ ≠ 2 .
β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ τότε να βρεύτε τισ παραςτϊςεισ : x1 + x2 , x1 ∙ x2 , x1x2
2
+ x1
2
x2
γ) Να βρεθεύ το λ αν ιςχύει : 3x1 + 3x2 = x1
2
∙ x2
2
− 2λ − 3 Γελ Βόλου 2016 )
− λ − 3)x − λ − 1 = 0 .
β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ τότε να βρεύτε το λ αν : 4 x1 + x2 − 15 = x1 ∙ x2 + 4 Γελ Βόλου 2016 )
− λx − 4 = 0
β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ τότε να βρεύτε τισ παραςτϊςεισ : x1 + x2 , x1 ∙ x2
γ) Να βρεύτε τισ τιμϋσ του λ ώςτε οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ να εύναι αντύθετεσ . Γελ Βόλου 2016 )
127. α) Δύνεται η εξύςωςη x2
− 3κx − 2 = 0. Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ τότε να βρεύτε :
α1) τισ παραςτϊςεισ : S = x1 + x2 , P = x1 ∙ x2
α2) τον πραγματικό αριθμό κ , αν ιςχύει : S2
+ 2P = 0
β) Να λύςετε την εξύςωςη x4
+ x2
− 2 = 0 Γελ ΢πϊρτησ 2009 )

− λ + 2)x + λ − 1 = 0 .
α) Να δεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει ρύζεσ πραγματικϋσ για οποιαδόποτε τιμό του λ .
β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ τότε να βρεύτε το λ αν :
β1) ιςχύει : x2 3 − 2x1) = −3 x1 − 1)
β2) ιςχύει : x2 x2 − x1) = x1 + 3) 3 − x1)
− 5x +
λ − 1
4
= 0
α) Να βρεύτε τισ τιμϋσ του λ για τισ οπούεσ η εξύςωςη ϋχει δύο ρύζεσ πραγματικϋσ και ϊνιςεσ
β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ ώςτε : x1 + x2 = x1 ∙ x2 Γελ Παμφύλων 2011 )
130. Δύνεται η εξύςωςη : 2x2
− 4x + λ − 3 = 0
α) Να βρεύτε τισ τιμϋσ του λ για τισ οπούεσ η εξύςωςη ϋχει ρύζεσ πραγματικϋσ
β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ τότε να βρεύτε το λ αν :
β1) ιςχύει : x1
3
x2
2
+ x1
2
x2
3
= 8
β2) ιςχύει :
1
x1
2 +
1
x2
2 = 2
− λx − λ2
+ 5) = 0 .
β) Να υπολογύςετε το ϊθροιςμα και το γινόμενο των ριζών ,ςυναρτόςει του λ , τησ παραπϊνω εξύςωςησ
γ) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ ώςτε : x1 − 1) ∙ x2 − 1) = −4 Γελ Αιδηψού 2013 )
− λ2
x + λ2
− 1 = 0 .
α) Να δεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει λύςη για κϊθε τιμό του πραγματικού αριθμού λ
β) Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του λ η εξύςωςη ϋχει δύο ρύζεσ και οι οπούεσ να βρεθούν
γ) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ ώςτε : 2x1 + x2 = 3λ2
δ) Να καταςκευϊςετε εξύςωςη 2ου βαθμού με ρύζεσ 2x1 + 4 , 2x2 + 4 Γελ Πϋτρασ 2012 )
+ (2λ + 3)x + λ − 2 = 0 , λ ≠ −2 .
β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ να βρεύτε τισ παραςτϊςεισ : x1 + x2 , x1 ∙ x2
γ) Να εξετϊςετε αν υπϊρχει τιμό του λ , ώςτε για τισ ρύζεσ τησ προηγούμενησ εξύςωςησ , ώςτε να ιςχύει η ςχϋςη :
x1 + x2 − 1)2
+ x1 ∙ x2 + 3)2
− x + λ − λ2
= 0 .
α) Να δεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει ρύζεσ πραγματικϋσ για κϊθε τιμό του πραγματικού αριθμού λ
β) Να βρεύτε την τιμό του λ ώςτε η εξύςωςη να ϋχει δύο ρύζεσ ύςεσ .
γ) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ και λ ≠
1
2
να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του λ ιςχύει d x1 , x2) =
1
d x1 ,x2)
− 2x − 4 = 0 .
α) Να βρεύτε τον αριθμό α= 1 + x1)2017
∙ 1 + x2)2017
β) Να υπολογύςετε την παρϊςταςη Α = αx1 + 2) ∙ αx2 + 2)
γ) Να ςχηματύςετε εξύςωςη 2ου βαθμού που να ϋχει ρύζεσ τουσ αριθμούσ
α
x1
,
α
x2
136. Δύνεται η εξύςωςη : λx2
− 2λ + 1)x + λ + 1 = 0 , λ ≠ 0 .
α) Να δεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει δύο ρύζεσ πραγματικϋσ και ϊνιςεσ για οποιαδόποτε τιμό του λ ≠ 0 .
β) Για ποια τιμό του λ η εξύςωςη ϋχει ρύζεσ αντύθετεσ ;
γ) Τπϊρχει τιμό του λ που η εξύςωςη να ϋχει ρύζεσ αντύςτροφεσ ; Γελ Καρδύτςασ 2009 )

137. Οι πλευρϋσ x1 , x2 ενόσ ορθογωνύου παραλληλογρϊμμου εύναι οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ
x2
− 2x + λ 2 − λ) = 0 με λ ∈ 0 , 2) .
α) Να βρεύτε την περύμετρο Π και το εμβαδόν Ε του ορθογωνύου ςυναρτόςει του λ .
β) Να αποδεύξετε ότι Ε ≤ 1 για κϊθε λ ∈ 0 , 2) .
γ) Για ποια τιμό του λ το εμβαδόν Ε του ορθογωνύου γύνεται μϋγιςτο , δηλαδό ύςο με 1 ; Σι μπορεύτε να πεύτε τότε
για το ορθογώνιο ; Σρϊπεζα Θεμϊτων )
− λ2
+ λ − 2)x − 1 = 0
β) Αν x1 , x2 οι ρύζεσ τησ εξύςωςησ , να βρεύτε το λ ώςτε :
β1) οι ρύζεσ να εύναι αντύθετεσ
β2) να ιςχύει : x1 + x2 + x1 ∙ x2 = 3 Γελ Σρικϊλων 2009 )
− x ∙ 14 + λ + 2λ = 0 με λ ≥ −14
β) Για ποιεσ τιμϋσ του λ οι ρύζεσ τησ παραπϊνω εξύςωςησ εύναι ετερόςημεσ ;
γ) Αν λ = 2 να δεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει μια ρύζα ρ την οπούα να προςδιορύςετε
δ) Για την τιμό του ρ που βρόκατε ςτο προηγούμενο ερώτημα , να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ :
3
3 + ρ
+
ρ
3 − ρ
Γελ Βόλου 2016 )
140. Δύνεται η εξύςωςη : −x2
− 2αx + α2
+ β2
+ 2 = 0
α) Να δεύξετε ότι η εξύςωςη ϋχει δύο ρύζεσ πραγματικϋσ και ϊνιςεσ για οποιαδόποτε τιμό των α και β
β) Έςτω S και P το ϊθροιςμα και το γινόμενο των ριζών τησ εξύςωςησ . Να βρεύτε τα α και β ώςτε να
ιςχύει 2S = P − 2 .
γ) Να υπολογύςετε την παρϊςταςη Α =
x1 + 1
x1 + 2
+
x2 + 1
x2 + 2
δ) Να βρεύτε εξύςωςη 2ου βαθμού με ρύζεσ τουσ αριθμούσ
x1
2
x2
,
x2
2
x1

Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Εξισώσεις

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Similaire à Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Εξισώσεις

Similaire à Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Εξισώσεις (20)

Plus de Μάκης Χατζόπουλος

Plus de Μάκης Χατζόπουλος (20)

Dernier

Dernier (14)

Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Εξισώσεις