Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος για το 1ο ΓΕΛ Αμαρουσίου

1. Βασικές γνώσεις Γ΄ Λυκείου Γενικής Παιδείας
Σχολικό έτος 2019 – 20
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος για το 1ο
ΓΕΛ Αμαρουσίου
(όσα έχουν αστεράκι είναι εκτός ύλης για το 1ο
ΓΕΛ Αμαρουσίου)
Κεφάλαιο 1ο
: Ανάλυση
1) Εύρεση πεδίο ορισμού συνάρτησης
Πχ. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης
)2)(1(
2
)(


xx
x
xf ;
2) Εύρεση τιμών συνάρτησης
Πχ. Αν xxxf 3)( 3
 , να υπολογίσετε τις τιμές )1(f , )2(f , )1(f .
Πχ. Αν 65)( 2
 tttφ , να υπολογίσετε τις τιμές )0(φ και )1(φ . Για ποιες τιμές του t
είναι 0)( tφ ;
3) Εύρεση Ορίων
Πχ. Να υπολογίσετε τα όρια:
i)
4
16
lim
2
4 

 x
x
x
ii)
5
25
lim
2
5 

 x
x
x
iii)
2
232
lim
2
2 

 x
xx
x
iv)
x 1
2
x x 2
x 3 2
lim

 
 
4*) Συνεχής στο 0x
Η f λέγεται συνεχής στο 0x Α αν και μόνο αν ισχύει    
0x x
0f x f xlim


πχ. Να βρείτε το α αν η συνάρτηση  
3
x 25x
, x 5
f x x 5
25α, x 5
 

 
 
είναι συνεχής στο 0x 2
5) Εύρεση παραγώγου, τιμών της παραγώγου και εξίσωση εφαπτομένης
Πχ. Δίνεται η συνάρτηση
x
xf
3
)(  .
(i) Να βρεθεί η )3(f  .
(ii) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο
της ))3(,3( f και να σχεδιαστεί η εφαπτομένη αυτή.
6) Εύρεση των παρακάτω τύπων
0)( c
1)( x
1
)( 
 ρρ
ρxx
x
x
2
1
)( 
xx συν)ημ( 
xx ημ)συν( 
xx
ee )(
x
nx
1
)( 
)())(( xfcxcf 
)()())()(( xgxfxgxf 
)()()()())()(( xgxfxgxfxgxf 
2
))((
)()()()(
)(
)(
xg
xgxfxgxf
xg
xf 








  )())(())(( xgxgfxgf 

6) Εύρεση τοπικών ακροτάτων και διαστήματα μονοτονίας συναρτήσεων
Πχ. Να βρείτε τα ακρότατα και τα διαστήματα μονοτονίας των συναρτήσεων
i) xxxf 2)( 2
 ii) 63)( 2
 xxf iii) 42)( 2
 xxxf .
Πχ. Ομοίως των συναρτήσεων: i) 56)( 23
 xxxf ii) 13)( 3
 xxxf

2. Κεφάλαιο 2ο
: Στατιστική
1) Γνώση της συχνότητας, σχετικής συχνότητας, αθροιστικής συχνότητας και σχ.
Συχνότητας
Πχ. Να συμπληρώσετε τον πίνακα
Αριθμός
αδελφών
ix
Συχνότητα
iν
Σχετ.
Συχν.
if
Σχετ.
Συχν.
if %
Αθροισ.
Συχν.
iN
Αθροιστική
Σχετ. Συχν.
iF
Αθροιστική
Σχετ. Συχν.
iF %
0
1
2
3
8
22
7
3
Σύνολο 40 — — —
2) Σχεδίαση ραβδόγραμμα, διάγραμμα συχνοτήτων, κυκλικό διάγραμμα
Πχ. Να συμπληρώσετε τον πίνακα και στη συνέχεια να σχεδιάσετε το ραβδόγραμμα
συχνοτήτων και κυκλικό διάγραμμα του παρακάτω πίνακα
i Απασχόληση ix Συχνότητα
iν
Σχετική
συχνότητα
if
Σχετική
συχνότητα
%if
1
2
3
4
5
6
7
Υπολογιστές
Αθλητισμός
Διασκέδαση
Μουσική
Τηλεόραση
Κινηματογράφος
Διάβασμα εξωσχ. Βιβλίων
7,5
15,0
15,0
27,5
22,5
7,5
5,0
Σύνολο 40
3) Γνώση ομαδοποίησης παρατηρήσεων
Πχ. Το ύψος (σε cm) των μαθητών της Γ΄ Λυκείου, φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Να
ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε 6 κλάσεις.
170
160
156
176
180
170
175
169
178
167
172
167
165
177
173
166
170
180
167
179
168
170
187
178
175
182
170
180
175
178
180
164
173
165
178
170
162
178
191
173
4) Κατασκευή ιστογράμματος
Πχ. Να παραστήσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων του
προηγούμενου παραδείγματος.
5) Συμπλήρωση πίνακα
Πχ. Να συμπληρώσετε τον πίνακα
ix iν if iN iF %if %iF
1
2
3
4
5
6
4
2
0,20 6
0,60
25
10
Σύνολο

3. 6) Μέτρα θέσης – τύποι
Μέση τιμή:
 






ν
i
i
ν
i
i
ν
t
νν
t
ν
ttt
x
1
121 1...
(διασκορπισμένες παρατηρήσεις)
 









κ
i
iiκ
i
i
κ
i
ii
κ
κκ
νx
νν
νx
ννν
νxνxνx
x
1
1
1
21
2211 1
...
...
(πίνακας συχνοτήτων ή ομαδοποιημένες παρατηρήσεις)
  
 

κ
i
κ
i
ii
i
i fx
ν
ν
xx
1 1
(όταν γνωρίζουμε τις σχ. συχνότητες)
Σταθμικός μέσος:







 ν
i
i
ν
i
ii
ν
νν
w
wx
www
wxwxwx
x
1
1
21
2211
...
...
Διάμεσος: Διάμεσος (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά
ορίζεται ως η μεσαία παρατήρηση, όταν το ν είναι περιττός αριθμός, ή ο μέσος όρος (ημιάθροισμα)
των δύο μεσαίων παρατηρήσεων όταν το ν είναι άρτιος αριθμός.
7) Ασκήσεις στα μέτρα θέσης
Πχ. Η επίδοση ενός μαθητή σε πέντε μαθήματα είναι 12, 10, 16, 18, 14.
α) Να βρείτε τη μέση επίδοση και τη διάμεσο του δείγματος.
β) Αν τα μαθήματα είχαν συντελεστές στάθμισης 2, 3, 1, 1 και 3, ποια θα ήταν η μέση
επίδοση; Σε ποια μαθήματα έπρεπε να δώσει ιδιαίτερη προσοχή ο μαθητής;
Πχ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθμοί έχουν μέση τιμή 15. Να βρείτε τους αριθμούς και τη διάμεσό τους.
Πχ. Η μέση τιμή και η διάμεσος πέντε αριθμών είναι 6. Οι τρεις από αυτούς είναι οι 5, 8, 9. Να
βρείτε τους άλλους δύο.
Πχ. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα και να βρείτε τη μέση τιμή του δείγματος.
Ύψος
σε cm
Κεντρικές τιμές
ix Συχνότητα
iν
156-162
162-168
168-174
174-180
180-186
186-192
159
165
171
177
183
189
2
8
12
11
5
2
Σύνολο
Πχ. Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των παρατηρήσεων από το πρώτο παράδειγμα
(Κεφ. 2ο
) .
8*) Μέτρα διασποράς
α) Εύρος: max minR t t 
β) Διακύμανση 2 2
1
1
( )i
i
s t x


(διασκορπισμένες παρατηρήσεις)

4. 2 2
1
1
( )i i
i
s x x v


(για πίνακα συχνοτήτων ή ομαδοποιημένα δεδομένα)
2 2
1
( )i i
i
s x x f

(όταν γνωρίζουμε τις σχετικές συχνότητες)
γ) Τυπική απόκλιση s διακύμανση
δ) Συντελεστή μεταβολής
s
CV
x
 . Αν CV 10% τότε το δείγμα λέγεται ομοιογενές.
9*) Ασκήσεις στα μέτρα θέσης
πχ. Ένα προϊόν πωλείται σε 10 διαφορετικά καταστήματα στις παρακάτω τιμές σε ευρώ:
8,10,13,13,15,16,18,14,14,9
Να υπολογίσετε το εύρος, διακύμανση, τυπική απόκλιση και συντελεστή μεταβολής.
πχ. Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζεται η χρηματική παροχή (σε ευρώ) από τους
γονείς δείγματος έξι μαθητών της πρώτης τάξης ( ομάδα Α) και έξι μαθητών της δεύτερης
τάξης (ομάδα Β) ενός γυμνασίου.
Ομάδα Α Ομάδα Β
1 7
8 14
9 6
5 4
3 12
4 5
Να βρείτε ποια ομάδα έχει το μικρότερο συντελεστή μεταβολή (πιο ομοιογενές).
πχ. Ο παρακάτω πίνακας δίνει τον αριθμό των επισκέψεων 40 μαθητών σε διάφορα μουσεία
της χώρας κατά τη διάρκεια ενός έτους.
Επισκέψεις Συχνότητα
[0-2)
2-4
4-6
6-8
8-10
8
12
10
6
4
Να υπολογιστούν: α) η μέση τιμή β) διακύμανση γ) συντελεστής μεταβολής
Κεφάλαιο 3ο
: Πιθανότητες
1) Εύρεση δειγματικού χώρου και ενδεχόμενα
Πχ. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις διαδοχικές φορές.
i) Να γραφτεί ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος.
ii) Να παρασταθούν με αναγραφή τα ενδεχόμενα που προσδιορίζονται
από την αντίστοιχη ιδιότητα:
Α1: “Ο αριθμός των Κ υπερβαίνει τον αριθμό των Γ”
Α2: “Ο αριθμός των Κ είναι ακριβώς 2”
Α3: “Ο αριθμός των Κ είναι τουλάχιστον 2”
Α4: “Ίδια όψη και στις τρεις ρίψεις”
Α5: “Στην πρώτη ρίψη φέρνουμε Κ”.
2) Πράξεις ενδεχομένων
 Το ενδεχόμενο BA  , που διαβάζεται “Α τομή Β” ή “Α και Β” και
πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β.

5.  Το ενδεχόμενο BA  , που διαβάζεται “Α ένωση Β” ή “Α ή Β” και
πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β.
Το ενδεχόμενο A , που διαβάζεται “όχι Α” ή “συμπληρωματικό του Α” και
πραγματοποιείται, όταν δεν πραγματοποιείται το Α. Το A λέγεται και “αντίθετο
του Α”.
 Το ενδεχόμενο BA  , που διαβάζεται “διαφορά του Β από το Α” και
πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται το Α αλλά όχι το Β. Είναι εύκολο να
δούμε ότι BABA  .
Πχ. (συνέχεια του προηγούμενου παραδείγματος) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα
45253 ,, AAAAA  .
3) Εύρεση πιθανότητας
Από τον τύπο
)(
)(
νΠεριπτώσεωΔυνατώνΠλήθος
νΠεριπτώσεωΕυνοϊκώνΠλήθος
)(
ΩN
AN
AP 
Πχ. Ρίχνουμε δύο “αμερόληπτα” ζάρια. Να βρεθεί η πιθανότητα να φέρουμε ως αποτέλεσμα δύο
διαδοχικούς αριθμούς.
Πχ. Από μια τράπουλα με 52 φύλλα παίρνουμε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των
ενδεχομένων i) το χαρτί να είναι πέντε ii) το χαρτί να μην είναι πέντε.
Πχ. Να βρείτε την πιθανότητα στη ρίψη δύο νομισμάτων να εμφανιστούν δύο “γράμματα”.
Πχ. Ένα κουτί περιέχει μπάλες: 10 άσπρες, 15 μαύρες, 5 κόκκινες και 10 πράσινες. Παίρνουμε
τυχαίως μια μπάλα. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων η μπάλα να είναι:
i) μαύρη ii) άσπρη ή μαύρη iii) ούτε κόκκινη ούτε πράσινη.
Πχ. Σε μια τάξη με 30 μαθητές, ρωτήθηκαν οι μαθητές πόσα αδέλφια έχουν. Οι απαντήσεις τους
φαίνονται στον επόμενο πίνακα:
Αριθμός μαθητών 4 11 9 3 2 1
Αριθμός αδελφών 0 1 2 3 4 5
Αν επιλέξουμε τυχαία από την τάξη ένα μαθητή, να βρείτε την πιθανότητα η οικογένειά του να
έχει τρία παιδιά.
Πχ. Έστω τα σύνολα }2010/{  ωω N , ωωA /{  πολλαπλάσιο του 3} και
ωωB /{  πολλαπλάσιο του 4}. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω, να βρείτε τις
πιθανότητες i) να ανήκει στο Α ii) να μην ανήκει στο Β.
4*) Κανόνες λογισμού
)()()( BPAPBAP  , αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα.
)(1)( APAP 
)()()()( BAPBPAPBAP  , για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α και Β
)()()( BAPAPBAP 
Αν BA  , τότε )()( BPAP 