Ce diaporama a bien été signalé.
Nous utilisons votre profil LinkedIn et vos données d’activité pour vous proposer des publicités personnalisées et pertinentes. Vous pouvez changer vos préférences de publicités à tout moment.

συνδυαστική

Θανάσης Κοπάδης για το lisari

  • Identifiez-vous pour voir les commentaires

συνδυαστική

  1. 1. Επιμέλεια: Θανάσης Κοπάδης thanasiskopadis.blogspot.com [1]
  2. 2. Επιμέλεια: Θανάσης Κοπάδης thanasiskopadis.blogspot.com ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ [2] ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όταν ο δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος τύχης έχει πεπερασμένο πλήθος απλών ενδεχομένων και τα απλά αυτά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα, τότε η πιθανότητα ενός Ν(Α) ενδεχομένου Α είναι: Ρ(Α) Ν(Ω)  Επομένως, όταν έχουμε ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα, ο υπολογισμός της Ρ(Α) ανάγεται στην απαρίθμηση των στοιχείων των συνόλων Ω και Α. Σε πολλά προβλήματα όμως, η απαρίθμηση των στοιχείων του δειγματικού χώρου Ω και των ενδεχομένων που μας ενδιαφέρουν είναι δύσκολη και μερικές φορές πρακτικά αδύνατη. Στις περιπτώσεις αυτές η απαρίθμηση διευκολύνεται με τις επόμενες μεθόδους ενός πολύ βασικού κλάδου των Μαθηματικών που είναι η Συνδυαστική και συγκεκριμένα: με τη βασική αρχή απαρίθμησης , τις μεταθέσεις , τις διατάξεις και τους συνδυασμούς. 1) ΒΑΣΙΚΗ ΑΡΧΗ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πρόκειται για δύο πολύ απλούς κανόνες (αρχές) τους οποίους μπορούμε να καταλάβουμε με ένα παράδειγμα: Παράδειγμα 1 Σε κάποιες εκλογές για τη θέση του «Προέδρου» υπάρχουν 4 υποψήφιοι: Α,Β,Γ,Δ για τη θέση του «Ταμία» υπάρχουν 3 υποψήφιοι: Χ,Υ,Ζ α) Πόσοι τρόποι υπάρχουν να καλυφθεί μια θέση; β) Πόσοι τρόποι υπάρχουν καλυφθούν και οι 2 θέσεις; Λύση α) Κανόνας αθροίσματος: 4+3=7 (πρόκειται για τις επιλογές Α, Β, Γ, Δ, Χ, Υ ή Ζ) β) Κανόνας γινομένου: 4·3=12 (πρόκειται για τους συνδυασμούς ΑΧ, ΑΥ, ΑΖ, ΒΧ, ΒΥ, ΒΖ, ΓΧ, ΓΥ, ΓΖ, ΔΧ, ΔΥ και ΔΖ)
  3. 3. Επιμέλεια: Θανάσης Κοπάδης thanasiskopadis.blogspot.com Όταν χωρίζουμε το πρόβλημά μας σε ξεχωριστές περιπτώσεις, τις αναλύουμε ανεξάρτητα και αθροίζουμε τα επιμέρους αποτελέσματα. Όταν μας ενδιαφέρουν οι τρόποι με τους οποίους συνδυάζονται τα αποτελέσματα των περιπτώσεων, πολλαπλασιάζουμε τα επιμέρους αποτελέσματα. Αν λοιπόν για μια διατεταγμένη ν-άδα υπάρχουν Κ1 δυνατότητες συμπλήρωσης της 1ης θέσης, Κ2 δυνατότητες συμπλήρωσης της 2ης θέσης,….., Κν δυνατότητες συμπλήρωσης της νης θέσης, τότε υπάρχουν συνολικά Κ1·Κ2·…..·Κν διαφορετικές ν-άδες. [3] Παράδειγμα 2 Χρησιμοποιώντας τα ψηφία 0,1,2,3,4,5 και 6, πόσους διψήφιους αριθμούς μπορούμε να σχηματίσουμε; Λύση Για το ψηφίο των δεκάδων υπάρχουν 6 δυνατότητες επιλογής, αφού θα είναι ένα από τα ψηφία 1,2,3,4,5 και 6. Για το ψηφίο των μονάδων υπάρχουν 7 δυνατότητες επιλογής, αφού μπορεί να είναι ένα από τα 7 ψηφία 0,1,2,3,4,5 και 6. Άρα μπορούμε να σχηματίσουμε 6·7=42 διψήφιους αριθμούς. Ασκήσεις 1) Καθένα από τα τετράγωνα της διπλανής ταινίας θα χρωματιστεί με ένα από δέκα διαφορετικά χρώματα που έχουμε στη διάθεσή μας. Πόσοι διαφορετικοί τρόποι χρωματισμού υπάρχουν τέτοιοι, ώστε να μην έχουν δύο τετράγωνα το ίδιο χρώμα; 2) ΧΡΗΣΙΜΟΙ ΤΥΠΟΙ και ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ● Το παραγοντικό ορίζεται ως εξής n!=123n Δηλαδή 3!=123  6, 4!=24, 1!=1. Συμφωνούμε επίσης ότι 0!=1 Παρατηρήστε ότι όταν έχουμε πηλίκο, γίνονται εύκολα απλοποιήσεις. 1 2 3 4 5 6 7 7!       Για παράδειγμα 6 7 1 2 3 4 5 5!        ● Ένα σύμβολο που θα χρειαστούμε συχνά είναι το n k       , το οποίο ορίζεται ως εξής:
  4. 4. Επιμέλεια: Θανάσης Κοπάδης thanasiskopadis.blogspot.com ! 7        [4] n n! k k!(n - k)!        Για παράδειγμα ! 7 ! 4 ! 3 7 3           Αν απλοποιήσουμε με τον μεγαλύτερο παράγοντα στον παρονομαστή έχουμε ! 7 ! 4 ! 3 7 3           765   35 ! 3 5  6  7 3 2 1     Παρατήρηση Προσέξτε ότι το ! 4 ! 3 7 3            4 δίνει το ίδιο αποτέλεσμα με το     7 . Γενικά τα σύμβολα n k    και n n - k    δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα. Να δούμε κάποιες απλές περιπτώσεις, όταν το k είναι 0,1, n είτε n-1, έτσι ώστε να μην τα υπολογίζουμε συνεχώς n    =1 0 , n    =1 n , n    =n 1 , n       = n n -1 (Να γίνει επαλήθευση) ● Ένα τελευταίο σύμβολο που θα χρειαστούμε στη συνέχεια είναι το n k Δ που δίνεται από τον τύπο: n k n! Δ (n k)!   , με nk Παράδειγμα 3 α) Να απλοποιηθεί το κλάσμα (n  1)(n  1)! (n  1)! β) Να αποδείξετε ότι: 2 n! (n 1)! (n  2)! n!(n  2) Λύση α) Είναι (n 1)!123(n 1) n  (n 1)  (n 1)!n(n 1) Οπότε το κλάσμα γράφεται: (n 1)(n 1)! (n 1)(n 1)! (n 1) (n  1)! (n  1)!n(n  1) n(n  1)
  5. 5. Επιμέλεια: Θανάσης Κοπάδης thanasiskopadis.blogspot.com β) n! (n 1)! (n 2)!     n!n!(n 1) n!(n 1)(n 2)   n!1(n 1)(n 1)(n 2)   n!(n 2)(n 1)(n 2)  2  n!(n  2)(1 n 1)  n!(n  2)                                                                    n! (2n)!               [5] Παράδειγμα 4 Να αποδειχθεί ότι: n 1 n 1 n k k 1 k , όπου n ≥ k+1 , n   Λύση Ξεκινώντας από το πρώτο μέλος έχουμε: n 1 n 1 (n 1)! (n 1)! k k 1 k!(n 1 k)! (k 1)!(n k)! (n 1)! (n 1)! (k  1)!k(n  1  k)! (k  1)!(n  k  1)!(n  k) (n 1)! 1 1 (k 1)!(n k 1)! k n k       (n 1)! n n! n (k 1)!(n k 1)! k(n k) k!(n k)! k        Παράδειγμα 5 Να λυθεί η εξίσωση: n 2n 2 2 2Δ  50  Δ Λύση Θα πρέπει n2 και 2n 2 n 1    . Άρα n2 Έχουμε διαδοχικά: n 2n 2 2 2Δ 50 Δ 2 50 (n 2)! (2n 2)!   (n  2)!(n  1)n (2n  2)!(2n  1)2n 2 50 2(n 1)n 50 (2n 1)2n (n  2)! (2n  2)! 2 2 2 2 2n  2n 50  4n  2n2n  50n  25n  5 , αφού n  2
  6. 6. Επιμέλεια: Θανάσης Κοπάδης thanasiskopadis.blogspot.com   , να υπολογίσετε τον [6] Ασκήσεις 2) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: α) n! (n 1)! β) (n  1)! (n 1)!(n 1)   γ) (n 3)!(n 1)! n!(n  2)! 3) Να βρεθεί ο φυσικός αριθμός n , ώστε να ισχύει: α) n! 6(n 3)!  β) nn 53              γ) n n 4 3 Δ  2Δ 4) Αν nn     10 21          53 n 6    , όπου n θετικός ακέραιος 5) Αν n , m θετικοί ακέραιοι και n m 1 , να αποδείξετε ότι:  n   n  1            m n m m 1 6) Αν n        10 m και n m Δ  60 , να υπολογίσετε τους θετικούς ακεραίους n και m. 3) ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ Αν δίνονται n διαφορετικά στοιχεία 1 2 n a , a ,...., a , τότε κάθε κατάταξή τους σε μια σειρά λέγεται μετάθεση των στοιχείων αυτών. Για παράδειγμα, αν έχουμε τρία διαφορετικά στοιχεία a,b,c , τότε οι μεταθέσεις αυτών είναι οι διατεταγμένες τριάδες: (a,b,c) , (a,c,b) , (b,a,c) , (b,c,a) , (c,a,b) και (c,b,a) ● Δύο μεταθέσεις n στοιχείων είναι διαφορετικές όταν διαφέρουν ως προς τη θέση ενός τουλάχιστον στοιχείου ● Αν συμβολίσουμε με n Μ το πλήθος των μεταθέσεων n διαφορετικών στοιχείων , τότε ισχύει: n Μ 123  n , δηλαδή n Μ = n!
  7. 7. Επιμέλεια: Θανάσης Κοπάδης thanasiskopadis.blogspot.com [7] Παράδειγμα 6 Πόσοι είναι οι αναγραμματισμοί της λέξης «τραπέζι»; Λύση Α τρόπος Θέλουμε να υπολογίσουμε το πλήθος των λέξεων που μπορούν να σχηματιστούν με τα 7 διαφορετικά γράμματα τ , ρ , α , π , ε , ζ , ι. Το πλήθος των λέξεων αυτών ισούται με το πλήθος των μεταθέσεων των 7 γραμμάτων , δηλαδή 7!=1·2·3·4·5·6·7=5040. Β τρόπος Για πρώτο γράμμα της λέξης μπορεί να είναι ένα οποιοδήποτε από τα 7 γράμματα , άρα 7 δυνατότητες επιλογής. Για δεύτερο γράμμα της λέξης μπορεί να είναι ένα οποιοδήποτε από τα 6 γράμματα που απομένουν , άρα 6 δυνατότητες επιλογής. Για το τρίτο γράμμα υπάρχουν 5 δυνατότητες επιλογής , για το τέταρτο 4 , για το πέμπτο 3 , για το έκτο 2 και τέλος για το έβδομο 1 δυνατότητα επιλογής (το γράμμα που έχει απομείνει). Άρα το πλήθος των λέξεων που σχηματίζονται , σύμφωνα με τη βασική αρχή απαρίθμησης είναι 7·6·5·4·3·2·1=5040. Παράδειγμα 7 Σε ένα σχολικό συμβούλιο συμμετέχουν 14 εκπαιδευτικοί. α) Να βρείτε με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν με οποιαδήποτε σειρά. β) Αν στους 14 εκπαιδευτικούς έχουμε: 5 φιλόλογους , 4 μαθηματικούς , 3 φυσικούς και 2 χημικούς , να βρείτε με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν έτσι , ώστε οι εκπαιδευτικοί με την ίδια ειδικότητα να είναι μαζί. Λύση α) Οι 14 εκπαιδευτικοί που συμμετέχουν στο σχολικό συμβούλιο , μπορούν να καθίσουν με τόσους τρόπους όσες οι μεταθέσεις των 14 ατόμων , δηλαδή με 14! τρόπους. β) Οι 4 ειδικότητες μπορούν να διαταχθούν με τόσους τρόπους όσες είναι οι μεταθέσεις των 4 ειδικοτήτων , δηλαδή με 4!=24 τρόπους. Σε καθένα από τους παραπάνω τρόπους οι 5 φιλόλογοι μπορούν να καθίσουν με 5!=120 τρόπους , οι 4 μαθηματικοί με 4!=24 τρόπους , οι 3 φυσικοί με 3!=6 τρόπους και οι 2 χημικοί με 2!=2 τρόπους. Άρα οι 14 εκπαιδευτικοί , σύμφωνα με τη βασική αρχή απαρίθμησης , μπορούν να καθίσουν με 24·120·24·6·2=829.440 τρόπους έτσι , ώστε όσοι έχουν την ίδια ειδικότητα να είναι μαζί.
  8. 8. Επιμέλεια: Θανάσης Κοπάδης thanasiskopadis.blogspot.com [8] Ασκήσεις 7) α) Να βρείτε πόσοι αναγραμματισμοί της λέξης «αριθμός» υπάρχουν. β) Ένα κουτί περιέχει όλους τους αναγραμματισμούς της λέξης «αριθμός». Τραβάμε από το κουτί στην τύχη μια λέξη. Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων: Α: η λέξη αρχίζει με φωνήεν και τελειώνει με φωνήεν Β: η λέξη αρχίζει με σύμφωνο και τελειώνει με φωνήεν 8) α) Να βρείτε με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν 6 παιδιά πάνω σε ένα έλκηθρο με 6 θέσεις στη σειρά , αν γνωρίζουμε ότι 3 ορισμένα παιδιά Α,Β,Γ είναι ικανά να πάρουν τη θέση του οδηγού. β) Αν τα παιδιά καθίσουν στην τύχη στο έλκηθρο , να βρείτε την πιθανότητα ο οδηγός να είναι το παιδί Α. 9) Κάποιος θυμάται μεν ότι ο κωδικός της κλειδαριάς ασφαλείας του χρηματοκιβωτίου του αποτελείται από τα ψηφία 1 , 2 , 4 και 7 , δε θυμάται όμως τη σειρά των ψηφίων στο κωδικό. Να βρείτε το μεγαλύτερο αριθμό δοκιμών που απαιτούνται για να βρεθεί ο κωδικός. 10) Οι 180 μαθητές ενός Λυκείου κάθονται τυχαία στις 180 αριθμημένες θέσεις ενός θεάτρου. Να βρείτε την πιθανότητα τρεις φίλοι να καθίσουν σε διαδοχικές θέσεις. 4) ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ Έστω ένα σύνολο Α με n στοιχεία. Διάταξη των n στοιχείων ανά k (k n)  λέγεται καθένας από τους διαφορετικούς τρόπους με τους οποίους μπορούμε να πάρουμε k διαφορετικά στοιχεία του συνόλου Α και να τα βάλουμε στη σειρά. Για παράδειγμα , αν έχουμε το σύνολο Α a,b,c , οι διατάξεις των 3 στοιχείων του Α ανά 2 είναι όλες οι διατεταγμένες δυάδες στοιχείων του Α , δηλαδή τα ζεύγη: a,b,b,a,a,c,c,a,b,c,c,b ● Δύο διατάξεις των n ανά k είναι διαφορετικές όταν διαφέρουν ως προς ένα τουλάχιστον στοιχείο ή ως προς τη θέση ενός τουλάχιστον στοιχείου. ● Το πλήθος των διατάξεων των n ανά k συμβολίζεται με n k Δ και δίνεται από τον τύπο: n k n! Δ (n k)!   , με k  n ● Στην ειδική περίπτωση n=k , έχουμε:
  9. 9. Επιμέλεια: Θανάσης Κοπάδης thanasiskopadis.blogspot.com n n n           [9] n! n! n! Δ     n!  M (n  n)! 0! 1 Δηλαδή οι διατάξεις των n στοιχείων ανά n είναι ουσιαστικά οι μεταθέσεις των n στοιχείων. Παράδειγμα 8 Στο σχολικό πρωτάθλημα ποδοσφαίρου παίρνουν μέρος 15 ομάδες από διάφορα σχολεία. Να βρείτε με πόσους τρόπους μπορούμε να πάρουμε τους 3 πρώτους νικητές. Λύση Α τρόπος Η τριάδα των νικητών είναι μια διάταξη των 15 ομάδων ανά 3. Επομένως οι δυνατοί τρόποι είναι 15 3 15! 15! 12! 13 14 15 Δ 13 14 15 2730 (15  3)! 12! 12! Β τρόπος Στην πρώτη θέση μπορεί να βρίσκεται οποιαδήποτε από τις 15 ομάδες, δηλαδή υπάρχουν 15 δυνατότητες επιλογής. Για τη δεύτερη θέση υπάρχουν 14 δυνατότητες επιλογής , ενώ για την τρίτη θέση υπάρχουν 13 δυνατότητες επιλογής. Άρα το πλήθος των δυνατών τρόπων , σύμφωνα με τη βασική αρχή απαρίθμησης θα είναι 15·14·13=2730 Παράδειγμα 9 Ένα κουτί περιέχει τους τριψήφιους αριθμούς με διαφορετικά ψηφία που μπορούμε να σχηματίσουμε χρησιμοποιώντας τα ψηφία 1 , 2 , 3 , 4 και 5. Τραβάμε έναν αριθμό στην τύχη. Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων: α) Α: ο αριθμός είναι άρτιος β) Β: ο αριθμός αρχίζει με το 1 Λύση Αρχικά θα πρέπει να βρούμε το πλήθος Ν(Ω) των στοιχείων του δειγματικού χώρου του πειράματος. Κάθε τριψήφιος αριθμός με διαφορετικά στοιχεία είναι μια διάταξη 3 στοιχείων από τα 5 που χρησιμοποιούμε. Άρα 5        3 5! 5! Ν(Ω) Δ 3 4 5 60 (5  3)! 2! α) Έστω 1 2 3 α α α είναι ένας τριψήφιος άρτιος αριθμός με διαφορετικά στοιχεία.
  10. 10. Επιμέλεια: Θανάσης Κοπάδης thanasiskopadis.blogspot.com Για το τρίτο ψηφίο 3 α , αφού ο αριθμός είναι άρτιος υπάρχουν 2 δυνατότητες επιλογής (το 2 ή το 4). Για τη διατεταγμένη δυάδα 12αα οι δυνατότητες επιλογής είναι μια διάταξη των 4          [10] αριθμών που έμειναν ανά 2 , δηλαδή 4 2 4! 4! Δ 12 (4  2)! 2! Επομένως , σύμφωνα με τη βασική αρχή απαρίθμησης το πλήθος των στοιχείων του ενδεχομένου Α είναι Ν(Α)=2·12=24 Άρα Ν(Α) 24 2 Ρ(Α)    Ν(Ω) 60 5 β) Θα πρέπει να βρούμε το πλήθος των τριψήφιων αριθμών με διαφορετικά στοιχεία που αρχίζουν με το 1. Αυτοί είναι της μορφής 23 1αα Η διατεταγμένη δυάδα 23αα είναι μια διάταξη των 2 στοιχείων από τα 4 στοιχεία του συνόλου   2,3, 4,5 και υπάρχουν 4 2 4! 4! Δ 12 (4  2)! 2! δυνατότητες επιλογής. Άρα Ν(Β)=12 , οπότε Ν(Β) 12 1 Ρ(Β) Ν(Ω) 60 5 Ασκήσεις 11) α) Πόσους τετραψήφιους αριθμούς με διαφορετικά ψηφία μπορούμε να σχηματίσουμε με τα ψηφία 0 , 1 , 2 , 3 , 4 και 5; β) Από ένα κουτί που περιέχει τους παραπάνω τετραψήφιους αριθμούς τραβάμε έναν στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων i) A: ο αριθμός έχει το πρώτο ψηφίο περιττό και το τελευταίο άρτιο ii) Β: ο αριθμός έχει τα δύο πρώτα ψηφία άρτια και τα δύο τελευταία περιττά 12) Σε έναν ιππικό όμιλο υπάρχουν 7 άλογα από τα οποία τα 3 είναι άσπρα και τα 4 είναι μαύρα. Σε μια επίδειξη που θα γίνει στην πίστα του ομίλου παρουσιάζονται 3 άλογα. Η είσοδος τους γίνεται τυχαία , αλλά διαδοχικά. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων α) Α: το πρώτο άλογο που εμφανίζεται είναι άσπρο β) Β: τα τρία άλογα που εμφανίζονται είναι άσπρα 13) Με πόσους τρόπους συνδέονται ανά δύο 5 πόλεις;
  11. 11. Επιμέλεια: Θανάσης Κοπάδης thanasiskopadis.blogspot.com [11] 5 . ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Διάταξη με επανάληψη των n στοιχείων ανά k λέγεται κάθε κατάταξη των k στοιχείων από τα n , αν κάθε στοιχείο μπορεί να επαναλαμβάνεται μέχρι και k φορές. Το πλήθος των διατάξεων με επανάληψη των n στοιχείων ανά k συμβολίζεται με n k Ε και δίνεται από τον τύπο: nk kΕn Παράδειγμα 10 Πόσοι τριψήφιοι αριθμοί σχηματίζονται με τα ψηφία 1 , 2 , 3 , 4 και 5 Λύση Α τρόπος Κάθε τριψήφιος αριθμός έχει 3 ψηφία από το σύνολο   Α 1, 2,3, 4,5  , όπου το κάθε στοιχείο μπορεί να επαναλαμβάνεται μέχρι και 3 φορές. Άρα το πλήθος των τριψήφιων αριθμών ισούται με το πλήθος των διατάξεων των 5 στοιχείων ανά 3 , δηλαδή 5 3 3 Ε 5 125 Β τρόπος Για κάθε ψηφίο υπάρχουν 5 δυνατότητες επιλογής (αφού τα ψηφία μπορούν να επαναλαμβάνονται) , οπότε , σύμφωνα με τη βασική αρχή απαρίθμησης , σχηματίζονται 5·5·5=125 τριψήφιοι αριθμοί Παράδειγμα 11 Μια τάξη αποτελείται από 20 μαθητές. Να βρείτε την πιθανότητα δύο τουλάχιστον από τους μαθητές να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα (ο χρόνος υπολογίζεται 365 μέρες). Λύση Θεωρούμε το ενδεχόμενο Α: δύο τουλάχιστον μαθητές έχουν γενέθλια την ίδια μέρα Το συμπληρωματικό ενδεχόμενο του Α είναι το Α΄: όλοι οι μαθητές έχουν γενέθλια σε διαφορετικές μέρες Αρχικά θα υπολογίσουμε το πλήθος των στοιχείων του δειγματικού χώρου Ω του πειράματος. Επειδή κάθε μαθητής μπορεί να έχει γεννηθεί οποιαδήποτε μέρα του χρόνου, ο δειγματικός χώρος περιέχει τόσα στοιχεία όσες οι διατάξεις με επανάληψη των 365 ημερών ανά 20 , δηλαδή 365 20 20 Ν(Ω)  Ε  365
  12. 12. Επιμέλεια: Θανάσης Κοπάδης thanasiskopadis.blogspot.com Οι περιπτώσεις στις οποίες πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Α΄ είναι όσες οι διατάξεις των 365 ημερών ανά 20 , δηλαδή 365    20    και [12] 365! 365! Ν(Α΄) Δ (365  20)! 345! Άρα 365! Ν(Α΄) 345! 365! Ρ(Α΄) 20 20 Ν(Ω) 365 345!365 20 365! Ρ(Α) 1 Ρ(Α΄) 1 345!365     (Ο παραπάνω αριθμός υπολογίζεται ότι είναι περίπου 0,41 , δηλαδή 41% πιθανότητα υπάρχει , σε 20 άτομα , τουλάχιστον 2 να έχουν την ίδια μέρα γενέθλια. Υπολογίζεται με τον ίδιο τρόπο ότι όταν ο αριθμός των ατόμων ξεπερνά τα 40 η πιθανότητα αυτή ξεπερνά το 90% , ενώ στα 75 άτομα η πιθανότητα φτάνει στο 100%) Ασκήσεις 14) Αν ρίξουμε ένα ζάρι 3 φορές , να βρείτε την πιθανότητα οι 3 ενδείξεις να είναι διαδοχικοί αριθμοί. 15) Σε μια τάξη 10 μαθητών ενός δημοτικού σχολείου παίζεται το εξής εκπαιδευτικό παιχνίδι: κάθε μαθητής σκέφτεται ένα γράμμα από το Ελληνικό αλφάβητο και το γράφει στο τετράδιο του. Να βρείτε την πιθανότητα δύο τουλάχιστον μαθητές να σκέπτονται το ίδιο γράμμα. 16) 4 άτομα μπαίνουν στο ασανσέρ στο ισόγειο ενός 7όροφου κτιρίου. Κάθε άτομο μπορεί να κατέβει σε οποιοδήποτε όροφο (ξεκινώντας από τον 1ο ). Να βρείτε την πιθανότητα να κατέβουν όλα τα άτομα σε διαφορετικούς ορόφους. 6. ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Συνδυασμός των n στοιχείων ενός συνόλου Α ανά k λέγεται κάθε υποσύνολο του Α με k στοιχεία. ● Στους συνδυασμούς n ανά k έχουμε τον προφανή περιορισμό nk ● Δύο συνδυασμοί n ανά k είναι διαφορετικοί όταν διαφέρουν σε ένα τουλάχιστον στοιχείο ● Στους συνδυασμούς , αντίθετα με τις διατάξεις , δε μας ενδιαφέρει η σειρά με την οποία παίρνουμε τα στοιχεία ● Το πλήθος των περιορισμών των n ανά k συμβολίζεται με n k       και δίνεται από τον τύπο n n! k k!(n k)!        
  13. 13. Επιμέλεια: Θανάσης Κοπάδης thanasiskopadis.blogspot.com                                     [13] Παράδειγμα 12 Με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε μια τετραμελή επιτροπή από 15 άτομα; Λύση Επειδή δε μας ενδιαφέρει η σειρά με την οποία επιλέγονται τα 4 άτομα , οι διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να επιλέξουμε είναι όσοι οι συνδυασμοί των 15 ατόμων ανά 4 , δηλαδή: 15 15! 15! 11!12 13 14 15 1365 4 4!(15 4)! 4!11! 24 11! Παράδειγμα 13 Έχουμε 9 αντικείμενα και θέλουμε να τα χωρίσουμε σε 3 ομάδες , έτσι ώστε η 1η ομάδα να έχει 4 αντικείμενα , η 2η ομάδα 3 αντικείμενα και η 3η ομάδα 2 αντικείμενα. Να βρείτε με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό. Λύση Η 1η ομάδα μπορεί να συγκροτηθεί με τόσους τρόπους όσοι οι συνδυασ μοί των 9 αντικειμένων ανά 4 δηλαδή με 9 9! 9! 126 4 4!(9 4)! 4!5! τρόπους Από τα υπόλοιπα 5 αντικείμενα διαλέγουμε 3 για να συγκροτήσουμε τη 2η ομάδα. Αυτό μπορεί να γίνει με 5 5! 5! 10 3 3!(5 3)! 3!2! τρόπους. Τα υπόλοιπα 2 αντικείμενα συγκροτούν την 3η ομάδα , οπότε έχουμε μια δυνατότητα επιλογής. Επομένως , σύμφωνα με τη βασική αρχή απαρίθμησης , οι 3 ομάδες συγκροτούνται κατά 126·10·1=1260 τρόπους. Παράδειγμα 14 Στο ράφι μιας βιβλιοθήκης είναι τοποθετημένα 10 βιβλία που φέρνουν τις ενδείξεις 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 και 10. Παίρνουμε από το ράφι στην τύχη 4 βιβλία. Να βρείτε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων α) Α: να επιλεγεί το βιβλίο με την ένδειξη 1 β) Β: να μην επιλεγεί το βιβλίο με την ένδειξη 2 Λύση Αρχικά θα βρούμε το πλήθος Ν(Ω) των στοιχείων του δειγματικού χώρου Ω του πειράματος.
  14. 14. Επιμέλεια: Θανάσης Κοπάδης thanasiskopadis.blogspot.com Οι δυνατότητες επιλογής 4 βιβλίων από τα 10 είναι ίσες με το αριθμό των συνδυασμών                                           [14] των 10 βιβλίων ανά 4 , δηλαδή 10 10! 10! Ν(Ω) 210 4 4!(10 4)! 4!6! α) Για να βρούμε το πλήθος Ν(Α) των στοιχείων του ενδεχομένου Α , σκεφτόμαστε ως εξής: Επειδή το βιβλίο με την ένδειξη 1 πρέπει να επιλεγεί υποχρεωτικά , αυτό μπορεί να γίνει με 1 τρόπο. Τα υπόλοιπα 3 βιβλία μπορούν να επιλεγούν από τα 9 που έχουν απομείνει και οι δυνατότητες επιλογής που έχουμε είναι ίσες με τον αριθμό των συνδυασμών των 9 βιβλίων ανά 3 , δηλαδή 9 9! 9! 84 3 3!(9 3)! 3!6! Άρα Ν(Α)=1·84=84 και Ν(Α) 84 2 Ρ(Α) Ν(Ω) 210 5 β) Ομοίως , θα πρέπει να υπολογίσουμε το πλήθος Ν(Β) των στοιχείων του ενδεχομένου Β. Εφόσον θέλουμε να μην επιλεγεί το βιβλίο με την ένδειξη 2 , επιλέγουμε τα 4 βιβλία από τα υπόλοιπα 9 βιβλία και οι δυνατότητες επιλογής που έχουμε είναι ίσες με τους συνδυασμούς των 9 βιβλίων ανά 4. Άρα 9 9! 9!            Ν(Β) 126 4 4!(9 4)! 4!5! και Ν(Β) 126 3 Ρ(Β)    Ν(Ω) 210 5 Παράδειγμα 15 Να βρείτε την πιθανότητα στο ΛΟΤΤΟ (6 από 49) να πετύχουμε 4 ακριβώς σωστά νούμερα παίζοντας μια στήλη. Λύση Θεωρούμε το ενδεχόμενο Α: να προβλέψουμε 4 ακριβώς σωστά νούμερα Αρχικά θα υπολογίσουμε το πλήθος Ν(Ω) των στοιχείων του δειγματικού χώρου Ω του πειράματος. Εφόσον δεν έχει σημασία η σειρά κλήρωσης κάθε αριθμού, οι δυνατότητες επιλογής είναι ίσες με τους συνδυασμούς των 49 στοιχείων ανά 6 , δηλαδή 49 49! 49! 43! 44 45 46 47 48 49 Ν(Ω) 13983816 6 6!(49 6)! 6!43! 6!43! Για τις ευνοϊκές περιπτώσεις του ενδεχομένου Α σκεφτόμαστε ως εξής: Τα 4 ακριβώς από τα 6 νούμερα που θα έχουμε σημειώσει στο δελτίο πρέπει να είναι από τα 6 που κληρώθηκαν και αυτό μπορεί να γίνει με 6 6!       15  4  4!2! τρόπους.
  15. 15. Επιμέλεια: Θανάσης Κοπάδης thanasiskopadis.blogspot.com Τα άλλα 2 νούμερα που είχαμε σημειώσει πρέπει να είναι από τα υπόλοιπα 43 που δεν               [15] κληρώθηκαν και για αυτό υπάρχουν 43 43! 41! 42 43 903 2 2!41! 2!41! τρόποι. Επομένως , σύμφωνα με τη βασική αρχή απαρίθμησης το πλήθος Ν(Α) των στοιχείων του Α θα ισούται με Ν(Α)=15·903=13545 Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι Ν(Α) 13545 Ρ(Α) 0, 000969 Ν(Ω) 13983816 Ασκήσεις 17) Μια τάξη έχει 12 αγόρια και 14 κορίτσια. α) Να βρείτε με πόσους τρόπους μπορεί να προκύψει το πενταμελές συμβούλιο της τάξης β) Να βρείτε πόσοι από τους παραπάνω τρόπους έχουν: i) ακριβώς 3 κορίτσια ii) τουλάχιστον 3 κορίτσια iii) το πολύ 3 κορίτσια γ) Αν πάρουμε στην τύχη 6 μαθητές από την τάξη αυτή να υπολογίσετε την πιθανότητα να έχουμε ίδιο αριθμό αγοριών και κοριτσιών. 18) Ένα δοχείο περιέχει 20 λαμπτήρες , από τους οποίους οι 4 είναι ελαττωματικοί. Παίρνουμε στην τύχη 3 από αυτούς. Να υπολογίσετε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων α) Α: και οι 3 λαμπτήρες είναι ελαττωματικοί β) Β: κανένας λαμπτήρας δεν είναι ελαττωματικός γ) Γ: ένας τουλάχιστον από τους λαμπτήρες είναι ελαττωματικός 19) Σημειώνοντας 10 νούμερα στο ΛΟΤΤΟ (6 από 49) , να βρείτε ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσουμε: α) 6άρι β) 5άρι γ) 4άρι
  16. 16. Επιμέλεια: Θανάσης Κοπάδης thanasiskopadis.blogspot.com 20) Σε δύο διαδοχικές κληρώσεις του ΛΟΤΤΟ (6 από 49) , να βρείτε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων α) Α: να επαναληφθεί ένας τουλάχιστον αριθμός β) Β: να επαναληφθούν δύο τουλάχιστον αριθμοί 21) Ποια είναι η πιθανότητα στο ΛΟΤΤΟ (6 από 49) να πετύχουμε 5 ακριβώς σωστά νούμερα παίζοντας μια στήλη; [16] 7) ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α) Όταν θέλουμε να διαλέξουμε k αντικείμενα από ένα σύνολο n αντικειμένων , υπάρχουν διάφοροι τρόποι να κάνουμε αυτή την επιλογή. ●Αν ενδιαφερόμαστε για τη σειρά με την οποία εμφανίζονται τα επιλεγμένα αντικείμενα μιλάμε για διατάξεις. ●Αν δεν ενδιαφερόμαστε για τη σειρά με την οποία εμφανίζονται τα επιλεγμένα αντικείμενα μιλάμε για συνδυασμούς. Υπάρχει όμως και ένας άλλος διαχωρισμός. Επιλέγουμε αρχικά ένα αντικείμενο. Πριν επιλέξουμε το δεύτερο, το αρχικό θα ξαναμπεί στην κληρωτίδα ή όχι; Έτσι μιλάμε για επιλογές με επανάληψη και χωρίς επανάληψη. Ας τα ξαναδούμε αναλυτικά ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ k αντικειμένων από n (παίζει ρόλο η σειρά) Έχουμε n αντικείμενα. Πόσοι τρόποι υπάρχουν να επιλέξουμε k αντικείμενα από αυτά και να τα βάλουμε σε μια σειρά; Η απάντηση είναι n k n! Δ (n k)!   (k  n ) Πράγματι, σκεφτείτε για παράδειγμα ότι από 10 άτομα θέλω να επιλέξω 4 για να μπουν με τη σειρά στις παρακάτω θέσεις Για την 1η θέση έχω 10 επιλογές (ένα από τα 10 άτομα) Για την 2η θέση έχω 9 επιλογές (ένα από τα 9 άτομα που περίσσεψαν)
  17. 17. Επιμέλεια: Θανάσης Κοπάδης thanasiskopadis.blogspot.com Για την 3η θέση έχω 8 επιλογές Για την 4η θέση έχω 7 επιλογές Συνολικά έχω λοιπόν 10987 επιλογές, ή με άλλα λόγια [17] 10! 6! όπως λέει και ο παραπάνω τύπος. ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ k αντικειμένων από n (δεν παίζει ρόλο η σειρά) Έχουμε n αντικείμενα. Πόσοι τρόποι υπάρχουν να επιλέξουμε μια ομάδα k αντικειμένων από αυτά; Η απάντηση είναι n n! k k!(n k)!         ( kn ) Για παράδειγμα θέλω να επιλέξω 2 γράμματα από τα Α , Β , Γ , Δ , Ε.   2 Υπάρχουν     5 = !5 !3!2 4  5 = 10 2 1   τρόποι Πράγματι, πρόκειται για τα 10 ζευγάρια ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ, ΑΕ, ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ, ΓΔ, ΓΕ, ΔΕ. Προσέξτε ότι δεν έλαβα υπόψη τη σειρά, δηλαδή θεώρησα ότι ΑΒ και ΒΑ είναι το ίδιο. ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ k αντικειμένων από n ΜΕ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Δηλαδή κάθε φορά που επιλέγω ένα αντικείμενο, το ξαναβάζω στην «κληρωτίδα». Η απάντηση είναι n k k Εn Για παράδειγμα ας πούμε ότι από 10 άτομα έχω να επιλέξω 4, αλλά αυτή τη φορά κάθε άτομο μπορεί να επιλεγεί ξανά. Τα ονόματα τους θα τα γράψω σε μια σειρά Για την 1η θέση έχω 10 επιλογές (ένα από τα 10 άτομα) Για την 2η θέση έχω 10 επιλογές (αφού έχουμε ξανά και τα δέκα άτομα) Για την 3η θέση έχω 10 επιλογές Για την 4η θέση έχω 10 επιλογές Συνολικά έχω λοιπόν 10101010 επιλογές, ή με άλλα λόγια 4 10 όπως λέει και ο παραπάνω τύπος. Β) Σε αρκετά προβλήματα είναι πιο εύκολο να υπολογίζουμε όχι ακριβώς τις περιπτώσεις που ρωτάει η άσκηση αλλά τις υπόλοιπες που εξαιρούνται.
  18. 18. Επιμέλεια: Θανάσης Κοπάδης thanasiskopadis.blogspot.com 8. ΓΕΝΙΚΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ       και [18] Παράδειγμα 16 Από μια κάλπη που περιέχει 100 όμοιες σφαίρες με τους αριθμούς 1 , 2 , 3 ,……, 100, παίρνουμε ένα δείγμα 10 σφαιρών διαδοχικά , χωρίς επανατοποθέτηση (δηλαδή βγάζουμε μια σφαίρα , καταγράφουμε τον αριθμό της και δεν τη ξαναβάζουμε στην κάλπη , στη συνέχεια βγάζουμε μια δεύτερη σφαίρα , καταγράφουμε τον αριθμό της και δεν τη ξαναβάζουμε στη κάλπη κ.ο.κ). Να βρείτε την πιθανότητα να πάρουμε στο δείγμα μια ορισμένη σφαίρα , για παράδειγμα αυτήν με τον αριθμό 5. Λύση Αρχικά θα υπολογίσουμε το πλήθος Ν(Ω) των στοιχείων του δειγματικού χώρου του πειράματος. Επειδή μας ενδιαφέρει η σειρά και οι σφαίρες δεν τοποθετούνται ξανά στην κάλπη , οι δυνατότητες επιλογής είναι ίσες με τις διατάξεις των 100 σφαιρών ανά 10 , δηλαδή 100    10 100! 100! Ν(Ω) Δ (100  10)! 90! Στη συνέχεια θεωρούμε το ενδεχόμενο Α: στο δείγμα περιέχεται σφαίρα με τον αριθμό 5 και το συμπληρωματικό του Α΄: στο δείγμα δεν περιέχεται σφαίρα με τον αριθμό 5 Το πλήθος των στοιχείων Ν(Α΄) του ενδεχομένου Α΄ είναι ίσο με τις διατάξεις των 99 σφαιρών (πλην αυτής με τον αριθμό 5) ανά 10 , δηλαδή 99    10 99! 99! Ν(Α΄) Δ (99  10)! 89! Άρα 99! Ν(Α΄) 89! 99!90! 99!89!90 90 Ρ(Α΄) 0, 9 Ν(Ω) 100! 89!100! 89!99!100 100 90! Ρ(Α) 1Ρ(Α΄) 10,9  0,1 Παράδειγμα 17 Από μια κάλπη που περιέχει 100 όμοιες σφαίρες με τους αριθμούς 1 , 2 , 3 ,……, 100, παίρνουμε ένα δείγμα 10 σφαιρών διαδοχικά , με επανατοποθέτηση (δηλαδή βγάζουμε μια σφαίρα , καταγράφουμε τον αριθμό της και τη ξαναβάζουμε στην κάλπη, στη συνέχεια βγάζουμε μια δεύτερη σφαίρα , καταγράφουμε τον αριθμό της και τη ξαναβάζουμε στη κάλπη κ.ο.κ). Να βρείτε την πιθανότητα να πάρουμε στο δείγμα μια ορισμένη σφαίρα , για παράδειγμα αυτήν με τον αριθμό 5.
  19. 19. Επιμέλεια: Θανάσης Κοπάδης thanasiskopadis.blogspot.com   και                                [19] Λύση Πρόκειται για το ίδιο πρόβλημα με το προηγούμενο παράδειγμα με τη διαφορά ότι οι σφαίρες , αφού καταγράψουμε τον αριθμό τους , τοποθετούνται ξανά στην κάλπη. Σε αυτήν την περίπτωση το πλήθος Ν(Ω) των στοιχείων του δειγματικού χώρου του πειράματος θα είναι ίσο με τις διατάξεις των 100 σφαιρών ανά 10 με επανάληψη , δηλαδή 10 Ν(Ω) 100  Θεωρούμε το ενδεχόμενο Α: στο δείγμα περιέχεται σφαίρα με τον αριθμό 5 και το συμπληρωματικό του Α΄: στο δείγμα δεν περιέχεται σφαίρα με τον αριθμό 5 Το πλήθος των στοιχείων Ν(Α΄) του ενδεχομένου Α΄ είναι ίσο με τις διατάξεις των 99 σφαιρών (πλην αυτής με τον αριθμό 5) ανά 10 με επανάληψη , δηλαδή Ν(Α΄)  9910 Άρα 10 10 Ν(Α΄) 99 99 10 Ρ(Α΄) Ν(Ω) 100 100   10 99 Ρ(Α) 1 Ρ(Α΄) 1        100   Παράδειγμα 18 Από μια κάλπη που περιέχει 5 κόκκινες , 4 άσπρες και 3 μαύρες σφαίρες , τραβάμε 3 σφαίρες μαζί (όχι διαδοχικά). Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων α) Α: όλες οι σφαίρες είναι του ίδιου χρώματος β) Β: όλες οι σφαίρες είναι διαφορετικού χρώματος Λύση Αρχικά θα βρούμε το πλήθος Ν(Ω) των στοιχείων του δειγματικού χώρου του πειράματος. Η κάλπη περιέχει 5+4+3=12 σφαίρες και τραβάμε 3 σφαίρες μαζί (δεν μας ενδιαφέρει η σειρά). Άρα οι δυνατότητες επιλογής είναι ίσες με τους συνδυασμούς των 12 σφαιρών ανά 3 , δηλαδή 12 12! 12! Ν(Ω) 220 3 3!(12 3)! 3!9! α) Οι ευνοϊκές περιπτώσεις του ενδεχομένου Α , είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να πάρουμε από την κάλπη 3 κόκκινες ή 3 άσπρες ή 3 μαύρες σφαίρες. Οι κόκκινες σφαίρες επιλέγονται με 5 5! 10 3 3!2! τρόπους Οι άσπρες σφαίρες επιλέγονται με 4 4! 4 3 3!1! τρόπους
  20. 20. Επιμέλεια: Θανάσης Κοπάδης thanasiskopadis.blogspot.com                                  [20] Οι μαύρες σφαίρες επιλέγονται με 3 1       3  τρόπο. Άρα το πλήθος Ν(Α) των στοιχείων του ενδεχομένου Α είναι Ν(Α)=10+4+1=15 τρόποι (κανόνας αθροίσματος) Οπότε Ν(Α) 15 3 Ρ(Α)    Ν(Ω) 220 44 β) Οι ευνοϊκές περιπτώσεις του ενδεχομένου Β , είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να πάρουμε από την κάλπη 1 κόκκινη, 1 άσπρη και 1 μαύρη σφαίρα. Οι κόκκινες σφαίρες επιλέγονται με 5 5 1 τρόπους Οι άσπρες σφαίρες επιλέγονται με 4 4   1  τρόπους Οι μαύρες σφαίρες επιλέγονται με 3 3   1  τρόπους Άρα , σύμφωνα με τη βασική αρχή απαρίθμησης , το πλήθος Ν(Β) των στοιχείων του ενδεχομένου Β είναι Ν(Β)=5·4·3=60 (κανόνας γινομένου) Οπότε Ν(Β) 60 3 Ρ(Β)    Ν(Ω) 220 11 Παράδειγμα 19 Να βρείτε με πόσους τρόπους 12 μαθητές μπορούν να χωριστούν σε 4 ισοπληθείς ομάδες. Λύση Επειδή δε μας ενδιαφέρει η σειρά η 1η ομάδα μπορεί να επιλεγεί με 12 12! 12! 220 3 3!(12 3)! 3!9! τρόπους η 2η ομάδα μπορεί να επιλεγεί με 9 9! 9! 84 3 3!(9 3)! 3!6! τρόπους η 3η ομάδα μπορεί να επιλεγεί με 6 6! 6! 20 3 3!(6 3)! 3!3! τρόπους και η 4η ομάδα μπορεί να επιλεγεί με 3 1       3  τρόπο.
  21. 21. Επιμέλεια: Θανάσης Κοπάδης thanasiskopadis.blogspot.com Άρα , σύμφωνα με τη βασική αρχή απαρίθμησης , θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τα επιμέρους αποτελέσματα (κανόνας γινομένου). Όμως επειδή δε μας ενδιαφέρει η σειρά με την οποία θα επιλεγεί η κάθε ομάδα , θα πρέπει το παραπάνω αποτέλεσμα να το διαιρέσουμε με τον αριθμό 4!=24 που είναι οι μεταθέσεις των 4 ομάδων.                             [21] Άρα οι δυνατότητες επιλογής είναι 220 84 20 1 15400 24  Παράδειγμα 20 Από 3 καθηγητές και 10 μαθητές επιλέγουμε στην τύχη μια τριμελή επιτροπή από όλες τις τριάδες που περιέχουν τουλάχιστον ένα καθηγητή. Να βρείτε ποια είναι η πιθανότητα η τριμελής επιτροπή να περιέχει τουλάχιστον 2 καθηγητές. Λύση Αρχικά θα βρούμε το πλήθος Ν(Ω) των στοιχείων του δειγματικού χώρου του πειράματος. Από τα 13 άτομα μπορούμε να πάρουμε 3 (δε μας ενδιαφέρει η σειρά) με τόσους τρόπους όσοι οι συνδυασμοί των 13 ατόμων ανά 3 , δηλαδή με 13 13! 13! 286         3  3!(13  3)! 3!10! τρόπους Από όλες αυτές τις δυνατές τριάδες θα πρέπει να εξαιρέσουμε εκείνες που περιέχουν μόνο μαθητές και είναι σε πλήθος 10 10! 10! 120 3 3!(10 3)! 3!7! Άρα Ν(Ω)=286-120=166 Στη συνέχεια θεωρούμε το ενδεχόμενο Α: η επιτροπή περιέχει τουλάχιστον 2 καθηγητές Για να βρούμε το πλήθος των ευνοϊκών αποτελεσμάτων σκεφτόμαστε ως εξής: Θέλουμε η επιτροπή να περιέχει 2 ή 3 καθηγητές Με 2 καθηγητές και 1 μαθητή έχουμε 3 10 3 10 30 2 1 τριάδες Με 3 καθηγητές έχουμε 3 1       3  τριάδα Επομένως Ν(Α)=30+1=31 (κανόνας αθροίσματος) και Ν(Α) 31 Ρ(Α)   Ν(Ω) 166
  22. 22. Επιμέλεια: Θανάσης Κοπάδης thanasiskopadis.blogspot.com [22] 9. ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 22) Από μια τάξη που περιέχει 20 μαθητές και 10 μαθήτριες επιλέγουμε (για μια παράσταση) ομάδες από 7 άτομα. Να βρείτε πόσες τέτοιες ομάδες , διαφορετικές μεταξύ τους , μπορούμε να σχηματίσουμε και πόσες από τις ομάδες αυτές περιέχουν α) τρεις μαθήτριες β) τουλάχιστον τρεις μαθήτριες γ) το πολύ τρεις μαθήτριες 23) Έχουμε 5 όμοιες σφαίρες αριθμημένες με τους αριθμούς 1 , 2 , 3 , 4 , 5 και θέλουμε να τις τοποθετήσουμε μέσα σε 7 δοχεία α , β , γ , δ , ε , ζ , η , έτσι ώστε κάθε δοχείο να έχει το πολύ μια σφαίρα. Να βρείτε πόσες τέτοιες διαφορετικές τοποθετήσεις μπορούμε να κάνουμε. 24) Έχουμε 5 όμοιες σφαίρες αριθμημένες με τους αριθμούς 1 , 2 , 3 , 4 , 5 και θέλουμε να τις τοποθετήσουμε μέσα σε 7 δοχεία α , β , γ , δ , ε , ζ , η , έτσι ώστε κάθε δοχείο να έχει από καμία μέχρι 5 σφαίρες. Να βρείτε πόσες τέτοιες διαφορετικές τοποθετήσεις μπορούμε να κάνουμε. 25) ) Έχουμε 5 όμοιες σφαίρες αριθμημένες με τους αριθμούς 1 , 2 , 3 , 4 , 5 και θέλουμε να τις τοποθετήσουμε μέσα σε 5 δοχεία α , β , γ , δ , ε , έτσι ώστε κάθε δοχείο να έχει μια μόνο σφαίρα. Να βρείτε πόσες τέτοιες διαφορετικές τοποθετήσεις μπορούμε να κάνουμε. 26) Σε τρεις μαθητές Α , Β , Γ διανέμονται 7 διαφορετικά βιβλία , έτσι ώστε οι Α και Β να πάρουν από 2 βιβλία και ο Γ να πάρει 3 βιβλία. Να βρείτε πόσες τέτοιες διανομές διαφορετικές μεταξύ τους μπορούμε να έχουμε. 27) Με πόσους τρόπους 10 άνθρωποι μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες , μια των 6 ατόμων και μια των 4 ατόμων; 28) Με πόσους τρόπους 12 στρατιώτες μπορούν να χωριστούν σε τρεις ισοπληθείς ομάδες των 4 ατόμων; 29) Από τις 20 ασφάλειες φώτων αυτοκινήτου , που έχει ένα συνεργείο , οι 5 είναι ελαττωματικές. Ένας οδηγός αγοράζει 3 ασφάλειες. Να βρείτε την πιθανότητα να είναι όλες καλές.
  23. 23. Επιμέλεια: Θανάσης Κοπάδης thanasiskopadis.blogspot.com 30) Από μια τράπουλα με 52 χαρτιά παίρνουμε τυχαία 6. Να βρείτε την πιθανότητα να πάρουμε 2 μαύρα και 4 κόκκινα. (Τα χαρτιά της τράπουλας είναι τα μισά μαύρα και τα μισά κόκκινα) 31) Σε ένα παιχνίδι οι 5 παίχτες σκέφτονται καθένας έναν από τους αριθμούς 0 , 1 , 2 , … , 9. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου δύο τουλάχιστον να σκέφτονται τον ίδιο αριθμό. 32) Αν ανακατέψουμε τα γράμματα της λέξης «ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΟ» , να βρείτε: α) Πόσοι αναγραμματισμοί μπορεί να προκύψουν β) Ποια είναι η πιθανότητα τα δύο «Ο» να βρεθούν σε διαδοχικές θέσεις 33) Θεωρούμε 10 διαφορετικά σημεία Α1 , Α2 , …. , Α10 ενός κύκλου. α) Να βρείτε πόσα ευθύγραμμα τμήματα και πόσα τρίγωνα ορίζουν τα σημεία αυτά β) Αν πάρουμε στην τύχη ένα από τα παραπάνω τμήματα , να βρείτε την πιθανότητα να είναι διαγώνιος του πολυγώνου Α1Α2 …. Α10 34) Ένας σάκος περιέχει όλες τις λέξεις που σχηματίζονται από τα γράμματα Α , Β , Γ, α , β , γ όταν αυτά χρησιμοποιούνται όλα και μόνο μια φορά το καθένα. Τραβάμε στην τύχη μια λέξη. Να βρείτε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων α) Α: η λέξη αρχίζει με κεφαλαίο γράμμα β) Β: η λέξη αρχίζει με κεφαλαίο φωνήεν και τελειώνει σε μικρό φωνήεν 35) Ένα παιδί έχει στον κουμπαρά του 3 νομίσματα των 0,5€ , 5 νομίσματα του 1€ και 10 νομίσματα των 2€. Βγάζει συγχρόνως από τον κουμπαρά του 3 νομίσματα στην τύχη. Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων [23] α) Α: να βγάλει 3 νομίσματα των 2€ β) Β: να βγάλει 1 νόμισμα των 0,5€ και 2 νομίσματα του 1€ γ) Γ: να βγάλει 3 νομίσματα διαφορετικής αξίας 36) Σε μια διεθνή σύσκεψη συμμετέχουν 3 Αμερικάνοι , 2 Άγγλοι και 3 Ρώσοι οι οποίοι κάθονται τυχαία σε ένα τραπέζι στη σειρά. Να βρείτε την πιθανότητα τα μέλη της ίδιας εθνικότητας να κάθονται μαζί.
  24. 24. Επιμέλεια: Θανάσης Κοπάδης thanasiskopadis.blogspot.com 37) Ένα βάζο περιέχει 6 σφαίρες κόκκινες και 3 σφαίρες άσπρες. Τραβάμε συγχρόνως 3 σφαίρες από το βάζο. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α: τραβάμε περισσότερες σφαίρες από ότι κόκκινες 38) Έξι άτομα θα καθίσουν σε 6 συνεχόμενα καθίσματα. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α: δύο συγκεκριμένα άτομα να καθίσουν το ένα πλάι στο άλλο 39) Ένα κουτί περιέχει 14 νομίσματα. Από αυτά τα 9 είναι γνήσια και τα 5 είναι κάλπικα. α) Παίρνουμε από το κουτί στην τύχη ένα νόμισμα. Μα βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α: το νόμισμα είναι κάλπικο β) Παίρνουμε από το κουτί 2 νομίσματα συγχρόνως. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α: το ένα νόμισμα είναι γνήσιο και το άλλο είναι κάλπικο [24] Β: και τα δύο νομίσματα είναι κάλπικα Γ: και τα δύο νομίσματα είναι γνήσια 40) Με πόσους τρόπους μπορεί κάποιος να ταχυδρομήσει α) 7 διαφορετικά γράμματα σε 7 διευθύνσεις; β) 7 διαφορετικά γράμματα σε 3 ταχυδρομικά κιβώτια; 41) Στο β΄ γύρο ενός πρωταθλήματος ποδοσφαίρου έγιναν 120 ποδοσφαιρικοί αγώνες. Να βρείτε πόσες ομάδες συμμετείχαν στο πρωτάθλημα. 42) Σε ένα διαγωνισμό παίρνουν μέρος 25 άτομα και διεκδικούν τα 3 πρώτα βραβεία. Να βρείτε με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό, αν α) τα βραβεία πρέπει να δοθούν σε διαφορετικά άτομα β) κάθε άτομα μπορεί να πάρει τουλάχιστον ένα βραβείο 43) α) Αν συναντηθούν 10 φίλοι και ο καθένας ανταλλάξει χειραψία με όλους τους άλλους , πόσες χειραψίες θα γίνουν; β) Σε ένα τραπέζι κάθονται ορισμένα άτομα και ανά δύο τσουγκρίζουν τα ποτήρια τους. Αν ακουστούν 190 τσουγκρίσματα , πόσα άτομα ήταν στο τραπέζι;
  25. 25. Επιμέλεια: Θανάσης Κοπάδης thanasiskopadis.blogspot.com [25] 44) Δίνεται η λέξη «ΠΙΘΑΝΟΤΗΣ» α) Πόσοι αναγραμματισμοί της λέξης υπάρχουν; β) Αν θεωρήσουμε υπαρκτές τις λέξεις εκείνες στις οποίες το πρώτο γράμμα είναι σύμφωνο , πόσες τέτοιες λέξεις μπορούμε να σχηματίσουμε; 45) Πέντε τραπουλόχαρτα εκλέγονται στην τύχη από μια τράπουλα με 52 χαρτιά. Να βρείτε κατά πόσους τρόπους μπορούμε να πάρουμε 3 «άσσους» και 2 «καρό». 46) Να βρείτε κατά πόσους τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε 7 χαρτιά από μια τράπουλα με 52 χαρτιά , ώστε να περιέχονται 3 του ίδιου είδους και 4 διαφορετικού είδους. 47) Σε ένα σχολείο υπάρχουν 30 καθηγητές από τους οποίους είναι 20 άνδρες και 10 γυναίκες. Μια επιτροπή 5 καθηγητών συγκροτείται τυχαία για τη συζήτηση των σχολικών προβλημάτων. Να βρείτε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων α) Α: η επιτροπή να αποτελείται από γυναίκες β) Β: η επιτροπή να περιέχει ακριβώς 2 άνδρες 48) Σε 7 εκλογικά τμήματα μια παράταξη πήρε συνολικά 10 ψήφους. Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων α) Σε ένα εκλογικό τμήμα να υπάρχουν 2 ψήφοι της παράταξης β) Να έχει πάρει η παράταξη μια τουλάχιστον ψήφο σε κάθε τμήμα γ) Σε ακριβώς 4 εκλογικά τμήματα να μην υπάρχουν ψήφοι της παράταξης 49) Παρατηρώντας 8 αυτοκίνητα που περνούν από ένα συγκεκριμένο σημείο διαπιστώνουμε ότι 3 έχουν κόκκινο χρώμα. Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων α) Να περάσουν τα 3 κόκκινα αυτοκίνητα διαδοχικά το ένα ακριβώς μετά το άλλο β) Να υπάρχουν 2 άλλα αυτοκίνητα ανάμεσα στα 2 πρώτα κόκκινα και 1 ανάμεσα στο δεύτερο και τρίτο κόκκινο. 50) Σε μια αίθουσα υπάρχουν 200 άτομα και τα 20 έχουν γρίπη. Παίρνουμε τυχαία 10 άτομα. Να βρείτε την πιθανότητα κανείς από τους 10 να μην έχει γρίπη, αν το δείγμα παίρνεται: α) με επανατοποθέτηση β) χωρίς επανατοποθέτηση

×