Από τον Βασίλειο Καλούδη αποκλειστικά για το lisari

1. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
1
Τεύχος 3

2. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
2

3. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
3
Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα
Απαγορεύεται η αναδημοσίευση και γενικά η πλήρης, μερική ή περιληπτική αναπαραγωγή
και μετάδoση έστω και μίας σελίδας του παρόντος βιβλίου κατά παράφραση ή διασκευή με
οποιονδήποτε μηχανικό ή ηλεκτρονικό ή φωτοτυπικό τρόπο ή με ηχογράφιση ή όπως
αλλιώς (Νόμος 2121/93 Άρθρο 51). Οι παραβάτες διώκονται και τους επιβάλλονται αστικές
και ποινικές κυρώσεις σύμφωνα με το αρθρα 64-66.
ISBN: 978-618-80930-0-3
Αντί προλόγου

4. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
4
Το ανά χείρας βιβλίο παρά τη μικρή του έκταση, μόλις 76 σελίδες, αποτελεί μία πολύ
πλούσια συλλογή θεμάτων που δόθηκαν τα τελευταία χρόνια στις απολυτήριες εξετάσεις
της Γ’ Γυμνασίου.
Το βιβλίο απευθύνεται στον καθηγητή Μαθηματικών, ο οποίος καλείται, όχι μόνο να
διδάξει την ύλη και να εφοδιάσει τους μαθητές του με τις απαραίτητες γνώσεις που θα
χρειαστούν στις επόμενες τάξεις, αλλά και να τους εισάγει στα θέματα πάνω στα οποία θα
εξεταστούν. Απευθύνεται όμως και στον μαθητή που θέλει να έχει ένα καλό αποτέλεσμα
στις απολυτήριες εξετάσεις, ως επιβράβευση των προσπαθειών που έκανε ολόκληρη τη
χρονιά.
Η έκδοση του βιβλίου δεν περιορίζεται μόνο στο παρόν έντυπο. Είναι διαθέσιμες οι
απαντήσεις στις ερωτήσεις του βιβλίου, καθώς και οι λύσεις όλων των ασκήσεων σε
ηλεκτρονική μορφή, οι οποίες δύναται να αποσταλλούν ηλεκτρονικά σε κάθε
ενδιαφερόμενο.
Κατά τη μελέτη του βιβλίου πρέπει να δοθεί σημασία τόσο στα ίδια τα θέματα, όσο και
στα ποιοτικά χαρακτηριστικά αυτών, μερικά από τα οποία είναι:
 Υπάρχουν ερωτήσεις κατανόησης, ακόμα και ασκήσεις του σχολικού βιβλίου που
εντάσσονται στα πλαίσια της θεωρίας, στην οποία εξετάζονται οι μαθητές.
 Υπάρχουν πολλές ασκήσεις , κυρίως από τη γεωμετρία και την τριγωνομετρία, που
δίνονται αυτούσιες μέσα από το σχολικό βιβλίο.
 Σχεδόν σε κάθε διαγώνισμα υπάρχει θέμα που αφορά την επίλυση εξίσωσης και
συστήματος εξισώσεων.

Όπως σε κάθε βιβλίο, έτσι και σε αυτό θα υπάρχουν παραλήψεις και τυπογραφικά λάθη.
Με χαρά θα δεχθώ τις οποιεσδήποτε παρατηρήσεις σας για την βελτίωση του στο e-mail
vaskaloy01@yahoo.gr ή στο τηλέφωνο 6942715235.
Βασίλειος Γ. Καλούδης

5. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
5
ΜΕΡΟΣ Α΄
ΑΛΓΕΒΡΑ

6. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
6
Κεφάλαιο 1ο
Αλγεβρικές Παραστάσεις
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
Θέμα 1
ν
Δώστε τον ορισμό της δύναμης α , με βάση α και εκθέτη το φυσικό αριθμό ν
Θέμα 2
Γράψτετιςιδιότητες τωνδυνάμεων.
Θέμα 3
Ναδώσετετονορισμότης τετραγωνικήςρίζαςθετικούαριθμούx.
Θέμα 4
Πότεμιαέκφρασηλέγεται αλγεβρικήπαράσταση;
Θέμα 5
Πότεμίααλγεβρικήπαράστασηλέγεταιμονώνυμο;
Θέμα 6
Απόποιαμέρηαποτελείται τομονώνυμο;
Θέμα 7
Τι ονομάζεται συντελεστήςκαι τικύριομέρος τουμονωνύμου;
Θέμα 8
Τι είναιβαθμός πολυωνύμουως προςμίαμεταβλητήτου;
Θέμα 9
Ποιαμονώνυμα λέγονται όμοια;
Θέμα 10
Ποιαμονώνυμα λέγονταιίσα;
Θέμα 11
Ποιαμονώνυμαλέγονται αντίθετα;
Θέμα 12

7. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
7
Πωςορίζεται τοάθροισμαόμοιωνμονωνύμων;
Θέμα 13
Πως πολλαπλασιάζουμεδύομονώνυμα;
Θέμα 14
Τι ονομάζεται πολυώνυμο;Τι ονομάζεταιβαθμός πολυωνύμουως προςμίαμεταβλητή;
Θέμα 15
Τι ονομάζεται ταυτότητα;
Θέμα 16
Γράψτε πέντε αξιοσημείωτες ταυτότητες που γνωρίζετε.
Θέμα 17
Να διατυπώσετε και να αποδείξετε την ταυτότητα "τετράγωνο αθροίσματος".
Θέμα 18
α αποδείξετε τις ταυτότητες:
 
 
 
 
  
  
  
2 2 2
2 2 2
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3
2 2 3 3
2 2 3 3
2 2
i. α +β = α +2αβ +β
ii. α -β = α -2αβ +β
iii. α +β = α + 3α β + 3αβ +β
iv. α -β = α -3α β + 3αβ -β
v. α -β α + αβ +β = α -β
vi. α +β α -αβ +β = α +β
vii. α -β α +β = α -β
Θέμα 19
Tι ονομάζουμε παραγοντοποίηση;
Θέμα 20
 
Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης για πολυώνυμα.
Τι πρέπει να ισχύει για το υ x ;
Θέμα 21
Πότεμιαέκφρασηλέγεται ρητήαλγεβρικήπαράσταση;
Θέμα 22
Οιμεταβλητέςμιαςρητήςαλγεβρικής παράστασηςμπορούνναπάρουνοποιεσδήποτετιμές;
Θέμα 23
Πωςαπλοποιούμεμιαρητήαλγεβρικήπαράσταση;

8. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
8
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΡΙΣΕΩΣ
Θέμα 24
2 3
5 4 -2
Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι μονώνυμα;
5α β
Α.5α 2β Β.αβ Γ.7 Δ.
3
Θέμα 25
         
2 33 2 3 2
Αφούγράψετεστην τελικήτουςμορφήτα παρακάτωμονώνυμα, ναβρείτετοσυντελεστή
και τοκύριομέρος τους.
Α.5x y -2 Β. -z y -2 x Γ.x y 7xy Δ. -3xy Ε. -2x zx
Θέμα 25
 2 5
Δίνεται το μονώνυμο 3x y . Να γράψετε ποιος είναι ο συντελεστής του,
το κύριο μέρος του και ο βαθμός του ως προς x και y;
Θέμα 26
3 2 2 2 3 2 3 2
9 2 6 6 93 3
Ποια από τα παρακάτω μονώνυμα είναι όμοια, και ποια αντίθετα;
Α. x y Β. x y Γ. x y Δ. y x Ε. x y 
Θέμα 27
2 3 2
Γιακαθένααπό ταμονώνυμα ναβρεθούνοσυντελεστής,τοκύριομέρος,
οβαθμόςως προς x,ως προς y,και ως προς xκαι y
2xy ,-3x y,-y x
Θέμα 28
ν+2 3μ-1 8
Δίνονται ταμονώνυμα-2003x y και 2004xy .
Για ποιες τιμές τωνν,μ ταμονώνυμααυτάείναι όμοια;
Θέμα 29
3κ-5 λ-3 7 8 μ
Γιαποιες τιμές τωνκ,λ,μ ταμονώνυμα-1997x y και1998x y ω είναι όμοια;
Θέμα 30
κ-2 4 5 2-λ
Nαβρείτε τουςακέραιουςκ,λώστεηαλγεβρικήπαράσταση- 5α β +8α β
ναείναιμονώνυμο.Ποιοείναι αυτό;
Θέμα 31
Τοάθροισμα τριώνμονωνύμωνείναιμονώνυμο.Τι συμπεραίνετεγια τα τρίαμονώνυμα;
Θέμα 32
Το πηλίκοδύομονωνύμων είναι πάνταμονώνυμο; Δικαιολογήστεμε παράδειγμα
την απάντησησας.

9. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
9
Θέμα 33
   2 2
Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτωαλγεβρικές παραστάσεις ωςμονώνυμαήπολυώνυμα
5
Α.- 4x y Β.- x α Γ. 2 + 2 xy Δ.4 α +β
3
Θέμα 34
   
  
2 22 3 2 2 2 2
2 2
Ποιεςαπό τις παρακάτωισότητεςείναι ταυτότητες;
i.0x = 0 ii.αα = α iii.x + y = 0 iv. α -β = α -β v. α +β = α +β
vi. α -β α +β = α -β
Θέμα 35
2 2Να δείξετεότι αν α +β = 2αβ, τότεα = β
Θέμα 36
 
2 2 2
Πότεισχύειοτύπος α+β =α +β ;
Θέμα 37
 
2 2 2
Είναιδυνατόν α+β =α +β ,πάνταήυπόκάποιεςπροϋποθέσεις;
Θέμα 38
   
2 2
Γιαποιες τιμές τωνακαιβισχύει α+β = α -β ;
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ
Θέμα 39
Nαχαρακτηρίσετετις παρακάτωπροτάσειςμε(Σ)ανείναι σωστέςή(Λ)ανείναι λανθασμένες.
 
 
3
1) α + β = α +β,α,β > 0
2) α - β = α -β,α,β > 0
3) α. β = α.β,α,β > 0
α α
4) = ,α,β > 0
ββ
5)Oαριθμός 4είναιμονώνυμο
6)Hπαράσταση 2 +1 x y είναιμονώνυμο
7)Τομηδενικό πολυώνυμοέχειβαθμό0
8)Eάν το πολυώνυμοP x έχειβαθ  
   
 
 
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3
μό3και το πολυώνυμοQ x
έχειβαθμό2, τότε τοP x .Q x έχειβαθμό6
9) α +β = α + 3α β + 3αβ +β
10) α -β = α -3α β + 3αβ -β

10. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
10
  
   
   
   
 
2 2
2 2
3 3
2 2
2 2 2
11) α +β α -β =β -α
12) β -α = α -β
13) -α -β = α +β
14) -α -β = - α +β
15) -x - y = x +2xy + y
   
 
 
   
  
 
  
 
 
 
 
 
2 2
2
2
2
22 2
22 2
3 3
2 2
3 3 2 2 3
2 2 3 3
2 2 2
3 3
16) α -β = β -α
1 1
17) x + = x + +2
x x
18)α +β = α +β -2αβ
19)α +β = α -β +2αβ
20) α -β = β -α
21) α -β β + α = α -β
22) α -β = α -3α β + 3αβ -β
23) α -β α -αβ +β = α -β
24) x - y = x - y
25) x - y = y + 2 2 3
3x y -3xy - y
  
 
 
 
 
 
  
   
     
   
   
3 3 2 2
2 2 2
3 3 2 2 3
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
3 3
2 2
26)x + y = x + y x - xy + y
27) α -β = α -2αβ -β
28) α -β = α - 3α β - 3αβ +β
29) -α +β = α -2αβ +β
30) -α -β = -α -2αβ -β
31) β + α = α + 2αβ +β
32) α -β β + α = β - α
33) α +β = - α -β
34) α +β β - α = - α +β α -β
35) α -β = β - α
36) -α -β = - α +β
37) α  
  
  
  
  
2 3 2 3 4 6
2 2 2 2
2 2
2 2
3 3 2 3
- y α + y = α - y
38)x + y = x + y x + xy + y
39)κ - λ = λ +κ κ - λ
40)α +β = α +β α -β
41)α -β = α -β α + αβ +β

11. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
11
  
  
  
  
3 2
2 2
3 3 2 2
9 4 2 3 2 3 2
42)8 + α = 2+ α 4 +2α + α
43)- 4x + α = α +2x α -2x
44)α -β = α -β α -αβ +β
45)γ -δ ε = γ -δ ε γ + δ ε
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ
Θέμα 40
Νααντιστοιχίσετετις παραστάσεις τηςστήλης Αμετιςίσες τους τηςστήληςΒ
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β
 
2
β-α
 
2
-α -β  
2
α+β
 
2
-α+β  
2
α -β
 
2
β+α
Θέμα 41
Νααντιστοιχίσετεσεκάθεπαράστασητηςστήλης Α τοανάπτυγμά τηςαπότηστήληΒ
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β
 
2
α+β
2 2α -2αβ +β
 
2
-α+β
3 2 2 3α - 3α β + 3αβ -β
  α-β α+β 2 2α β
 
3
α -β
2 2
α +2αβ +β
  2 2
α +β α -αβ+β
3 3
α +β
Θέμα 42

12. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
12
Να συμπληρώσετε τον πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παράσταση της στήλης Α το
ανάπτυγμα της από τη στήλη Β
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β
Α  
2
α+2 1.
3
α -1
Β   3α-2 3α+2 2.
3 2
α 3α 3α 1  
Γ  
3
α -1 3.
2
3α 4
Δ   2
α -1 α +α +1 4.
3 2 2
α 3α 3α 1  
Ε  
2
-3+ α 5.
2
9α 4
6.
2
α 4α 4 
7.
3
α 1
8.
2
α 6α 9 
Θέμα 43
Να αντιστοιχίσετε σε κάθε παράσταση της στήλης Α το ανάπτυγμά της από τη στήλη Β
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β
Α  
2
α β 1.
2 2
α β
Β   α β α β  2.
2 2
α 2αβ β 
Γ  
3
α β 3.
3 3
α β
Δ   2 2
α β α αβ β   4.
3 2 2 3
α 3α β 3αβ β  
Ε  
2
α β 5.
2 2
α 2αβ β 
6.
3 2 2 3
α 3α β 3αβ β  
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΟΥ
Θέμα 44
Nασυμπληρώσετετιςισότητες
2
2
1) x =..........,αν x 0
2) x =..........,αν x πραγματικόςαριθμός
3) α β =..........,ανα 0,β 0
α
4) =..........,ανα 0,β > 0
β

 

Θέμα 45
Νασυμπληρώσετετις λέξεις πουλείπουναπότις παρακάτωπροτάσεις:

13. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
13
1)Οεκθέτηςμιαςμεταβλητής λέγεται.......... τουμονωνύμου
ως προς τη..........αυτή.
2)Οβαθμόςενόςμονωνύμουως προςόλες τιςμεταβλητές του
λέγεται το.......... των.......... τωνμεταβλητώναυτών.
3)Οαριθμός 0 λέγεται..........μονώνυμοκαι δενέχει..........,ενώόλα
ταάλλασταθεράμονώνυμαείναι..........βαθμού
Θέμα 46
Nασυμπληρώσετετιςισότητες
 
 
 
 
  
 
 
  
 
  
 
2
2
3
3
2
3
2
2
3 3
1) α +β = ..........
2) α -β = ..........
3) α +β = ..........
4) α -β = ..........
5) α -β α +β = ..........
6) 2 + y = ..........
7) α -β =
8) α - β α + β =
9) -α -β = ..........
10) α +β β - α = ..........
11) 2α -β = ..........
12)α +β = ..
2 2
3 3
2 2
........
13)α + 2αβ +β =
14)α -β = ..........
15)α -β =
 
  
 
 
3 3
3 3 2 2 3
2
2 2
3
16)α +β =..........
17) ..........-.......... = y -3y x + 3yx - x
18)x -.......... = ..........+ y ..........- y
19) x +.......... ..........+..........+ y
20) x + y =..........+..........+.......... +..........

14. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
14
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Θέμα 47
2 3 3 2
Δίνεται το πολυώνυμο Α = -2xy + y +2x - xy
Α.Ποιος είναι οβαθμός τουως προς xκαι y
Β.Να γράψετε το πολυώνυμοκατά φθίνουσεςδυνάμεις τουy
Γ.Ναβρείτε τηναριθμητικήτιμήτουγια x = 2και y = -1
Θέμα 48
       
 
2 2
Δίνεται το πολυώνυμοP x = x -2 + x - 4 - 4 2x -3
Α.Νακάνετε τις πράξειςκαι να γράψετε το πολυώνυμοκατά φθίνουσες
δυνάμεις τουx.
Β.Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμοP x .
Γ.Ναβρείτε τηναριθμητικήτιμήτουπολυωνύμουγια x = 3
Θέμα 49
 
   
     
   
2
2
Δίνεται τοπολυώνυμοP x = x -3x + 5
Α.Να προσδιορίσετε τα πολυώνυμαP -2x καιP x -2
Β.Να προσδιορίσετε τοπολυώνυμοQ x = x P -2x -P x -2
Γ.Ναβρείτε τοάθροισμαQ 0 + Q -1
Θέμα 50
 
  
 
 
 
22
2
2
2
Nασυμπληρώσετε ταεπόμενακενά
i.α +..........+.......... = ..........+ 3β
ii. 2α +.......... ..........-.......... =..........-9β
y
iii.x -..........+.......... = ..........-
2
Θέμα 51
     
2 2 2 2
Νααποδείξετεότι 2x -5 - x -4 = 2x -3 -x
Θέμα 52
      
2 2
Ναγίνουνοι πράξεις 3x -1 - x +2 -x x +1 x -1
Θέμα 53
      
2 3
Δίνεταιηπαράστασηα 2α -1 -2α α -1 -2α α +2 α -2 -7α
Ναγίνουνοι πράξειςκαι ναπαραγοντοποιηθεί τοεξαγώμενο

15. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
15
Θέμα 54
3 3
2 2 3
2 2 2 2
Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις
i.12αβ -27α β
ii.18α x - 60αx + 50x
iii.α x -β y + α y -β x
Θέμα 55
α β
+2 +
β α
Να απλοποιήσετε τοκλάσμα
α β
-
β α
Θέμα 56
5 4 2 3 2 3 2
Α.Να παραγοντοποιήσετε τα παρακάτω πολυώνυμα :
i.3x -6x ii.x -9 iii.x +2x iv.x + 4x + 4 v.x -3x - 4x +12
Β.Αφούαντικαταστήσετεκάθεπολυώνυμομε την παραγοντοποιημένη
τουμορφή,ναυπολογίσετ
 
 
 
5 4 2 3 2
3 2
ε την τιμήτης παράστασης
3x -6x x -9 x -3x - 4x +12
Α = . :
x + 3 x +2x x + 4x + 4
Θέμα 57
2 2 2 3 2
Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσειςκαιμετά ναυπολογίσετε
Β Γ Α
τα πηλίκα , , ,ανείναι
Α Δ Γ
Α = 4x -25 Β = 4x -20x + 25 Γ = 6x -15x Δ = 2x + 2x - 5x - 5
Θέμα 58
 
2 2 2
3 2
x +1 - 4x x + x
Δίνονται οι παραστάσεις Α = καιΒ =
x - x 9x -1
Α.Νααπλοποιήσετε την παράστασηΑ
Β.Ναβρεθεί το γινόμενο Α.Β
Θέμα 59
3 2 2
2
Να εκτελέσετε τις πράξεις
α + 2α - α -2 α + 3α + 2
:
α +1 α + α
Θέμα 60
2
2 2
10x - 5x 25x
Ναβρείτε τοαποτέλεσμα: :
1- 4x + 4x 20x - 5
Θέμα 61
2
3 2 5
Νακάνετε τις πράξεις - +
2x +2 3x -3 6x -6

16. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
16
Κεφάλαιο 2ο
Εξισώσεις- Ανισώσεις
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
Θέμα 1
Ναγράψετετασυμπεράσματααπότηλύσητηςεξίσωσηςαx+β=0
Θέμα 2
2
Να γράψετε τασυμπεράσματααπό τηλύσητηςεξίσωσηςx = α
Θέμα 3
Δίνεταιηεξίσωσηαx +β= 0,όπουα,βπαράμετροι.Ναλυθείκαι ναδιερευνηθεί.
Θέμα 4
2
Να γράψετε τασυμπεράσματααπό τηλύσητηςεξίσωσηςαx +βx + γ = 0,α 0
Θέμα 5
2
Δίνεταιηδευτεροβάθμιαεξίσωσηαx +βx + γ = 0,α 0
Α.Ναδώσετε τον τύπο πουδίνει τις λύσεις τηςεξίσωσης
Β.Ανάλογαμε την τιμήτηςδιακρίνουσας τι συμπεράσματαέχουμε για το πλήθος
των λύσεων της;

Θέμα 6
2
Δίνεταιηδευτεροβάθμιαεξίσωσηαx +βx + γ = 0,α 0και Δηδιακρίνουσα της,
ποιαείναι τααντίστοιχασυμπεράσματα πουπροκύπτουναν
α)Δ = 0 β)Δ < 0 γ)Δ > 0
για τηνύπαρξη,καθώςκαι για το πλήθος των

;ριζών της
Θέμα 7
2
Ποιαείναιηδιακρίνουσα τηςεξίσωσηςαx +βx + γ = 0και πωςαυτή
επηρεάζει τηλύσης της;
Θέμα 8
 2
Ναγράψετεσεμορφήγινομένουτοτριώνυμοαx +βx + γ = 0, α 0
Θέμα 9
Ποιαεξίσωσηλέγεταικλασματική;
Θέμα 10
Πωςσυγκρίνουμε(διατάσουμε)δύοπραγματικούςαριθμούς;

17. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
17
Θέμα 11
Ναγράψετετιςιδιότητες τηςδιάταξης.
Θέμα 12
Να αποδείξετεότι ανκαι στα δύομέλημιας ανισότητας προσθέσουμε τονίδιοαριθμό,
προκύπτει ανισότητα με τηνίδια φορά. Δηλαδή,αν α > β τότεα + γ > β + γ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΡΙΣΕΩΣ
Θέμα 13
2
Νακαθορίσετε τοείδος τωνριζών τηςεξίσωσης3x + 5x + 8 = 0 χωρίς να τηλύσετε
Θέμα 14
2
2
Να προσδιορίσετε τοείδος των λύσεων τωνεξισώσεων
Α.-2x + 5x -6 = 0
Β.- x + 3x +2 = 0
Θέμα 15
  
2
2 2
Ηεξίσωση2x -2x - 4 = 0έχει λύσεις τους αριθμούς -1και 2.
Ισχύει ότι το τριώνυμο2x -2x - 4 γράφεται 2x -2x - 4 = x +1 x -2
(Ναδικαιολογηθεί ηαπάντηση)
Θέμα 16
4x -2 3
Είναι ηx = 1 λύσητης εξίσωσης = ήόχι
2x -2 3x - 3
(Να δικαιολογηθεί ηαπάντηση)
Θέμα 17
2
2
x
Για ποιες τιμές τουxορίζονται οι όροι τηςεξίσωσης = x
1+ x
(Ναδικαιολογηθείηαπάντηση)
Θέμα 18
Ποιεςιδιότητες της διάταξης χρησιμοποιούμεώστεαπό τηνανίσωση5x - 3 > 5
8
να οδηγηθούμεστην 5x > 5+ 3,και από τηνανίσωση5x > 8να οδηγηθούμεστην x > ;
5
Θέμα 19
Ανείναι -2 < x <1και -5< y <3,μεταξύποιωνορίωνπεριέχεταιηπαράστασηx - y;
Θέμα 20
α γ
Τι πρέπει να συμβαίνει ώστεησχέση > αδ > βγ να είναι σωστή;
β δ


18. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
18
Θέμα 21
Νααπαντήσετεστηνερώτησηκαι ναδικαιολογήσετε τηναπάντησησας
Ανισχύει α > -5και x > y τότεισχύει ότι αx > -5y;
Θέμα 22
Να απαντήσετεστην ερώτησηκαι να δικαιολογήσετε την απάντησησας
Ισχύει ότι ηλύσητης ανίσωσης 0x > 5είναι οι αριθμοί πουείναι μεγαλύτεροι του5;
Θέμα 23
Να απαντήσετεστην ερώτησηκαι να δικαιολογήσετε την απάντησησας
Ανισχύει αβ > 0 τι συμπέρασμαβγάζετε για τους αριθμούς ακαι β;
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΣ
Θέμα 24
Δίνεται ηπρωτοβάθμια εξίσωσηαx +β = 0.Να αντιστοιχήσετε τα στοιχεία της στήλης Α
με τα στοιχεία της στήληςΒ για τον πίνακα πουακολουθεί.
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β
1. α = 0καιβ= 0 β
Α.Ηεξίσωσηέχειμοναδικήλύσητηx = -
α
2. α 0 Β.Ηεξίσωσηείναι αδύνατη
3. α = 0καιβ 0 Γ.Ηεξίσωσηείναι αόριστηήταυτότητα
Θέμα 25
Νααντιστοιχίσετεσεκάθεπερίπτωσητηςστήλης Α τοσωστόσυμπέρασμααπότηστήληΒ
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β
1. Δ > 0 Α.Ηεξίσωσηδενέχει λύση
2. Δ < 0 Β.Ηεξίσωσηέχειμίαδιπλήλύση
3. Δ = 0 Γ.Ηεξίσωσηέχει δύοάνισεςλύσεις
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΟΥ
Θέμα 26
2
1
2
Δίνεταιηδευτεροβάθμιαεξίσωσηαx +βx + γ = 0,α 0
Νασυμπληρώσετε τους τύπους
Δ =..........
x =..........
x =..........


19. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
19
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Θέμα 27
Να λύσετε τις εξισώσεις
     
           
 
2 2
2 22
2
2
1 4x +12x - 7 = 0 2 3 x +2 - 8x = 4 - 3x
3 6x - 3x x -1 = x + 3 - 4 4 2x - 3 - 9x = x -1 x - 4
3x +1 4 2x -13x +1
5 - =
x - 3 x - 5 x - 8x +15
 
   
   
2
2
2 3
1 x +1 1
6 - =
x + 3x +2 2x + 4 x +1
2x 12 3x x +1 x -2 12
7 - = -2 8 + =
x +1 4 -2x x -2 x - 3 x x - 3x
1 1 x + 4 2x - 4 x -1
9 + - = 0 10 -
x +1 1- x x - x x - 3 x +
   
   
 
2
2 2 2
2 3 2
2
8
=
1 x -2x - 3
1 2x -1 x +2 2x +1 4
11 = 12 - =
x - 4x + 4 x - 4 x + 3 x -1 x +2x - 3
1 1 x + 4 x -1 2 3+ x
13 + = 14 - =
x +1 1- x x - x x x +1 x + x
1 1
15 -
x -2x +1 2x
 
   
2 2
2
2 2 2 2
5 3x x + 4
= - 16 1+ =
-2 6 - 6x x -2 x - 3x +2
3x +1 4 2x -13x +1 3 1 6x
17 - = 18 + =
x - 3 x - 5 x - 8x +15 x - x x + x x -1
   
   
  
 
2
2
2 1 6 3- x
19 + -1 = 0 20 - = 2
x -1 x +1 x x +1
6 x +2 x +1 2 1
21 - = 22 + -1 = 0
x + 3x x x + 3 x -1 x +1 x +1
9
23 + 9 = 2x
x + 4
 
 
       
2 22
2 2
x -1 2 x + 3
24 - =
x x +1 x x +1
x +1 3x -3 3
25 - = 26 x +24x + 7 = x + 8 - x -8
x -2x x - x x +2
Θέμα 28
2
2
Να λυθούνοι εξισώσεις
Α.x + 5x + 6
Β.3x - 5x +2
Θέμα 29
2
2 2
Α.Πόσες λύσειςέχειηεξίσωση2x + 4x +3= 0
Β.Να λυθείηεξίσωση5x -4x +2=2x +3x -2
Θέμα 30
2
2
Α.Να επιλύσετε τηνεξίσωσηδευτέρουβαθμού3x + 4x - 4
Β.Αφούβρείτε τις λύσεις της ανωτέροεξίσωσης,να παραγοντοποιήσετε
το τριώνυμο3x + 4x - 4

20. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
20
Θέμα 31
2
Δίνεταιηεξίσωση3λx - x -1= 0.Ναβρεθούνοι τιμές τουλ για τιςοποίες
ηεξίσωση:
Α.έχει δύορίζες πραγματικέςκαι άνισες
Β.έχει δύορίζεςίσες
Γ.δενέχει πραγματικέςρίζες
Θέμα 32
2
2 λ +3
Ναβρεθούνοι τιμές τουπραγματικούαριθμούλ,ώστεηεξίσωση x - x -2λ + 5= 0
λ +2
ναέχει ρίζα τοναριθμό-1
Θέμα 33
2Δίνεται ηεξίσωσηαx - 3x +2
Α.Να λυθεί ηεξίσωσηότανα = 1
Β.Να λυθεί ηεξίσωσηότανα = 2
Θέμα 34
2
2
Να λυθούνοι εξισώσεις
x +1 1 2x - 3
3x - 5x +2 = 0και - =
x x -1 x - x
Θέμα 35
2
2 2 2
Να εξετάσετεανέχουνκοινήλύσηοι εξισώσεις
4 3 1
x - x -2 = 0και - =
x -1 x - x -2 x + x
Θέμα 36
x +1 x + 5 4
Α.Να λυθεί ηεξίσωση + =
x -1 x 1- x
Β.Νακάνετεεπαλήθευσητωνριζώνστηνεξίσωση
Θέμα 37
2
2
Να λύσετε τις εξισώσεις
2x -2 8 1- 3x
Α.3x + x -2 = 0 Β. - =
x -2 x - 4 x +2
και να γράψετε τηνκοινήτους λύση
Θέμα 38
2
2
2
Α.Ναβρεθεί τοΕ.Κ.Π.των παραστάσεων
x - 5x + 4, x -1, x - 4
x x -1 x -2x -2
Β.Να λυθείηεξίσωση + =
x -1 x - 4 x - 5x + 4
Θέμα 39

21. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
21
Αν -1 < α < 2και 1 < β < 5να συμπληρώσετε τακενά
Α........... < 3α < ..........
Β........... < -β < ..........
Γ........... < 3α -β < ..........
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας
Θέμα 40
Αν -1 < x < 2και 3 < y < 4 ναβρεθεί μεταξύποιωναριθμών περιέχονται οι τιμές
τις παράστασης2x - 3y

22. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
22
Κεφάλαιο 3ο
Συστήματα γραμμικών εξισώσεων
Θέμα 1
   Δίνονται τασημεία Α 3,1 ,Β 4,2 .Ναβρείτε τηνευθείαμεεξίσωσηαx + y =βπουδιέρχεται
από τασημεία ΑκαιΒ
Θέμα 2
   Ανηευθεία ε: y = αx +βδιέρχεται από τα σημεία Α 1,-2 και Β -1,3 ,
ναβρεθούν οι αριθμοί ακαι β
Θέμα 3
   
Α.Ναβρείτε τοσημείοΚστοοποίο τέμνονται οι ευθείεςμεεξισώσεις2x + y =10και 3x - y = 5
Β.Ανηευθείαμεεξίσωση λ -1 x + 3λ -2 y = 0διέρχεται από τοσημείοΚ πουβρήκατε
στο Α ερώτημα,ναβρείτε την τιμήτουλ.
Θέμα 4
 Δίνεταιηευθείαε:5x + 4y = ακαι διέρχεται από τοσημείο Α 1,2 .
Ναβρείτε την τιμήτουακαι να προσδιορίσετε τασημεία πουηευθεία τέμνει τους άξονες
xx'και yy'
Θέμα 5
   
 

 
 
 




Να λυθούν τα συστήματα
x +2 4 - y 5x - y
2 3- =
+ = 23 4 4
x y1 2
2y - x x + y
+ = x +1 x - y = -1
4 6
2y - 3 = -x
3
2x - 3y =13
 
   
 






 
 







y - x x + y 5
- - = -
3 2 3
4
x + y y - x
- + = -3
3 4
2x - y -y + 4x
=
x -2y =12 3
5 6
x - y x + 3 -x + y = 4
= 2 -
3 4
2y - x x - 6 2x + y
- = 5-
6 3 12
7
3x -12 x -2y x - y
+ = -1-
2 9 3
 





2y - x x - 6 2x + y
- = 5-
6 3 12
8
3x -12 4 x - y
+ = -1-
2 x - 5 3

23. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
23
 
     
 
 
 
   
 
   
 
 
  
  
 
 
2 2 3 x +1 + y = 25
7 x +1 + 2-3y +10y = 3y +1
9 10 x +1
- y = -32 x + y +2x + y =17
2
x +2 y -3 4x -3 2x + 3y = 20 - x + y- = 2
11 124 6
2 x -2y + 5 x -2 = 3y + 4
15x +2y = 60
1   
      
 
   
 
 
 
 
 






2 2x y
+ = 2 x +2 + y -1 y +1 = y y +1 + x
3 2
3 14 x -2 y -2 1x -1 - =+ y = 3 2 3 32
x + y x - y2 x -1 - 5 y + 5 = -30
-
5 215 16y +2 x -3 3
- =
4 3 12    
 
   
 
   
 
   





 
 
 
 
 





5
= -
2
2 x -2y + 3 2x - y = 20
2 y + x -3 y -3 = x -2y +11 2 x -1 - y +1 = -2y +1
17 182x + y x +2 y +2 2y +2
= y + x -3 - = -3
3 3 2 3
x + y 7 x - y
= - -
2 6 319
2 x - y - x - 4y =13
 
   
   
 






 
 
 




x +1 y -1
+ = 5
3 220
3 x -1 -2 y -6 =15- x
x 3 2- y
- =
2x -3y = -21 2 2 4
21 22
x -3 y +29x + 5y = -2
- = -2
3 2
-x + y = -4
23
x -3y = 7
 
 
 
   
    
 




 
 
  





2 2 2
2 x -1 + 3y = -2
24
3x - 5 y -1 = 24
y -1 x +2 y 1x +1 y -1 - = -+ = 0
2 6 6 325 262 3
2x -3y =1 3x +2 y -1 - x -2 x +2 = 2y - x +1
x -1
- y =1
4
27
x y
+ = -1
6 4
 
   
 




 
 
 



2x - 4y = -4
28
3x +10y = -14
x - y x
2x - y = -2 - =1
29 30 2 3
-3x +2y = 3
x +2y =1
2x + y = 5
31
3x -2y = 4
 
     
      
   




 
 
 

2
2
x y + 4 = y x -6 -3 5- x
32
x -1 x +2y = x + y - y y +1
x
+ y =1x - y = 3 3
33 34
3x -3xy =10
x + y = 0
2

24. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
24
 
   
 
    
    
   
   
  
 
 





2
2
4 φ + ω + 3 φ - ω = 36
xy - x -1 = 3- x -1 x - y
35 36φ + ω φ - ω 5
- = y -2 x -1 x +1 = 3-2x x -1
2 3 3
3x + y x + y
2 y -1 - x -2 x+ = -1
4 5
37 38
-x +2y x - y
- = 3
3 4
 
 
 
 





  
 
 
 
2 2
+2 = 2y - x +2x
x +1 1
=
y + 5 3
7x + y y -1
3 x - y -2y = 27 - = x + 3
3 3
39 40x + 8 y - 3
x 9y -1- = 5
- = -x +14 3
2 4
Θέμα 6
    

 
 
 

2
Ναεξετάσετεαν τασυστήματα
5- x 2y -1
+ = x +15x +2y = 9
4 3και
3x - y =1
x + 3 - x -1 x + 3 +2y = 20
έχουνκοινήλύση
Θέμα 7
Να λύσετε τοσύστημα τωνεξισώσεων
x -2y 2x - y x + y 5 1- 6y
- = + και x + y =
3 4 2 12 5
Θέμα 8
 
   
 
 
 
Να λύσετε τασυστήματα
4x -3 2x + 3y = 20 - x + y-x + 5y = 3
Α. Β.
2x + 7y = -6 2 x -2y + 5 x -2 = 3y + 4
Θέμα 9
 

 
 
 
Να λύσετε τασυστήματα
x +2y = 4
4x -3y = 5
Α. καιΒ. 2x -1 y +2 1
3x -2y = 4 - =
2 3 2
και ναβρείτε τηνκοινήτους λύση x,y
Θέμα 10
Στοναγώνα ποδοσφαίρουΆγιος Δημήτριος -Παναχαικήδιατέθηκανεισιτήρια των20ευρώ
και των30ευρώ. Κόπηκανσυνολικά 4300εισιτήριακαι εισπράχτηκαν111000ευρώ.
Ναβρείτεπόσαεισιτήρια των20ευρώκαι πόσα των30ευρώδιατέθηκανστναγώνα.

25. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
25
Θέμα 11
Δύοακέραιοι αριθμοί έχουν γινόμενο2.Ανστοδιπλάσιο τουπρώτου προσθέσουμε τονδεύτερο
βρίσκουμε5.
Ναβρείτε τουςαριθμούς.

26. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
26
Κεφάλαιο 4ο
Συναρτήσεις
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
Θέμα 1
2
Να γράψετε τιςσυντεταγμένες τηςκορυφήςΚ της παραβολής y = αx +βx + γ,α 0
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Θέμα 2
Ορωμαίοςμεστολήμπάσκετμέσααπόμία άδειαστέρνα πετάστηνΙουλιέτα,ηοποίαβρίσκεται
στομπαλκόνι τηςσεύψος 4mαπό το έδαφος, τημπάλα πουτηςέιχε πέσει.Ημπάλα διαγράφει
παραβολικήτροχία
9
μεμέγιστούψος m,όπως φαίνεται στοσχήμα.
2
Ναυπολογίσετε τηνεξίσωσητης παραβολής.
Επίσης,ανυποθέσουμεότιηΙουλιέτακαι τοσπίτι τηςείναι πλάσματα της φαντασίας τουΡωμαίου,
οπότε ημπάλαανεμπόδιστασυνεχίζει τηδιαδρομήτηςκαι πέφτει στοέδαφοςστοσημείοΕ,
ποιαείναιητετμημένητουΕ;
Θέμα 3
Α.Ναβρείτε τηνεξίσωσητης παραβολής τουσχήματος
Β.Νασχεδιάσετε τησυμμετρικήτηςως προς τονάξονα xx',και στηνέα παραβολήναβρεθούνεκείνα
τασημεία πουέχουν τετμημένη-16
Θέμα 4

27. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
27
   2
Μία παραβολήέχει τημορφήy = αx +βxκαι διέρχεται από τα σημεία Λ 2,8 και Μ 3,6 .
Α.Ναβρεθεί ηπαραβολή(δηλαδήτα ακαι β)
Β.Ηκορυφήτης παραβολής είναι μέγιστοήελάχιστο;
Γ.Ναβρεθούνοι συντεταγμένες τηςκορυφής
Θέμα 5
 
 
 
2
Δίνεταιητετραγωνικήσυνάρτησηy = x -2x + 3
β Δ
Α.Χρησιμοποιώντας τον τύποΚ - ,- ναβρείτε την κορυφήτης παραβολής
2α 4α
και στησυνέχεια νακάνετεπίνακα τιμών
Β.Νασχεδιάσετε τηγραφικήπαράσταση, τονάξονασυμμετρίαςκαι ναβρείτε τομέγιστοήτο
ελάχιστο τηςσυνάρτησης

28. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
28
Γενικά θέματα Άλγεβρας
Θέμα 1
   
2 2
Α.Να παραγοντοποιήσετετηνπαράστασηΑ = x +9 -6x x +9 +9x
Β.Να λύσετετηνεξίσωσηΑ =25
Θέμα 2
2 2
2 2
Α.Νααπλοποιήσετε τις παραστάσεις
2x - 4x x -2x +1
Α = καιΒ =
x -3x +2 x -1
Β.Αφούαπλοποιήσετε τις παραστάσεις να λύσετε τηνεξίσωσηΑ -2Β =1
Θέμα 3
2 3 2
Δίνονται οι παραστάσεις
Α = 5x - 5x,Β = x - x,Γ = 3x + 9,Δ = 2x + 8x + 6
Α.Να παραγοντοποιήσετε τις Α,Β,Γ,Δκαι νααπλοποιήσετε τακλάσματα
Α Γ
και
Β Δ
Α 5 Γ 3 Α Γ 5
Β.Αν = και = ,να λύσετε τηνεξίσωση - =
Β x +1 Δ 2x +2 Β Δ 2
Θέμα 4
       
              
 
 
 
 
 
3 2 2 3 2
Δίνονται τα πολυώνυμα
Α x = 2x - x - 2x - 4x ,Β x = 8x - 32x ,Γ x = 2x + 5x - 3
Α.Να δείξετεότι :
Α x = x 2x -1 2x +1 ,Β x = 8x 1+ 2x 1-2x ,Γ x = x + 3 2x -1
Α x Α x
B.Απλοποιήστε τακλάσματαΚ = και Λ =
Β x Γ x
Γ.Εάν x > 1δείξτεότι Γ x > 4 Δ.Λύστε τηνεξίσωσηΛ +16Κ = 0
Θέμα 5
  
2 2
2x + 3 x -1
ΔίνεταιηπαράστασηΑ = -
x -1 x -2x +1
Α.Ναβρεθούνοι τιμές τουx για τιςοποίεςδενορίζεταιηπαράστασηΑ
x +2
Β.Ναδείξετεότι Α =
x -1 x +1
4
Γ.Να λυθείηεξίσωσηΑ =
5

29. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
29
Θέμα 6
2 2
2 2
Α.Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα
3x + 3, x -1, x - x
Β.Αφούαντικαταστήσετεκάθε πολυώνυμο,να λύσετε τηνεξίσωση
3x + 3 2 2
- =
x -1 x - x x
Θέμα 7
 
2 2 2 3
2 3
2 2
Α.Νααναλύσετεσε γινόμενα τις παραστάσεις
i.3x + 6x ii.x - 4x + 4 iii.2x -8 iv.x -8
3x + 6x x -8
B.Νααπλοποιήσετε τις παραστάσεις Α = καιΒ =
2x -8 4 x - 4x + 4
Γ.Να λύσετε τηνεξίσωσηΑ -Β = 0
Θέμα 8
2
2
2
Α.Να λύσετε τηνεξίσωσηx -2x -15 = 0
Β.Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις x +2x -3και 2x -2
x +2 4 x +1
Γ.Να λύσετε τηνεξίσωση - =
x + 3 x +2x -3 2x -2
Θέμα 9
2
3 2
Α.Νααπλοποιήσετε τιςρητέςαλγεβρικές παραστάσεις
5x - 5x 3x +9
Α = καιΒ =
x - x 2x +8x +6
5
Β.Να λυθείηεξίσωσηΑ -Β =
2
Θέμα 10
   
   
3 2
2
2 2
Δίνονται οι παραστάσεις Α = x -1 - x x - 4x + 5 -7και
Β = 3 x +1 -3 2x + 5
Α.Νααποδείξετεότι Α = x -2x -8καιΒ = 3x -12
Α
Β.Νααπλοποιήσετε τοκλάσμα
Β
Γ.Να λύσετε τηνεξίσωσηΑ -Β = -8
Θέμα 11
     
 
 
 
2 3 3
2
Δίνεται το πολυώνυμοP x = x +1 + x -1 - x + 7
Α.ΝααποδείξετεότιP x = -2x + 5x + 7
Β.Να παραγοντοποιήσετε τοP x
Γ.Να λυθείηεξίσωσηP x = 0

30. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
30
Θέμα 12
2
2
2
2 2
2 2 2
Α.Ναμετατρέψετεσε γινόμενα τις παραστάσεις
i.x - x -2
ii.x - 4
iii.x + x
iv.9 +2κλ -κ - λ
1 1 2
Β.Να λύσετε την εξίσωση + =
x - x -2 x - 4 x + x
Θέμα 13
    
    
2 2
2 2
2
Α.Νααποδείξετεότι 2x +1 + x -3 x + 3 - 5x = 4x -8
Β.Να λυθείηεξίσωση
2x +1 + x -3 x + 3 - 5x x +2 x + 3
+ =
x - x x x -1
Θέμα 14
 
 
   
2
Α.ΑνP x = 3x - x
A.Ναβρείτε τοP x +2
Β.Να λύσετε τηνεξίσωσηP x +2 -3P x =10x
Θέμα 15
     
2 2
2 2
2 2
Α.Να παραγοντοποιηθούνοι παραστάσεις x -16και x - 5x + 4
Β.Ναβρεθεί τοΕ.Κ.Π. των παραστάσεων x -16 , x - 5x + 4 και 4 - x
1 1 1- x
Γ.Να λυθεί ηεξίσωση + + = 0
x -16 4 - x x - 5x + 4
Θέμα 16
2
3 2
Α.Νααπλοποιήσετε τιςρητέςαλγεβρικές παραστάσεις
5x - 5x 3x + 9
Α = καιΒ =
x - x 2x + 8x + 6
5
Β.Να λυθείηεξίσωσηΑ -Β =
2
Θέμα 17
2 2
2
2
Α.Να λύσετε τηνεξίσωση3x -7x +2 = 0και να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο3x -7x +2
3x -7x +2
Β.Νααπλοποιήσετε τοκλάσμα Α = και ναβρείτεγια ποιες τιμές τουx δενορίζεται.
x - 4
Γ.Να λύσετε τηνεξίσωσηΑ
5
=
x +2

31. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
31
Θέμα 18
2 2
Δίνονται οι παραστάσεις Α = 2x -8καιΒ = x - x -6
Α.Ναβρείτε το γινόμενο Α.Β
Β.Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις Α,Β
Γ.Να λύσετε τηνεξίσωσηΑ =Β
Θέμα 19
2 2 2
2 2 2
Α.Να παραγοντοποιήσετεκαι ναβρείτε τοΕ.Κ.Πτων παραστάσεων
x - 9, 2x + 6x, x - 6x + 9
3 1 3
Β.Να λύσετε την εξίσωση - =
x - 9 x - 6x + 9 2x + 6x
Θέμα 20
2
2
Α.Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις
α)2x +2 β)3x -6 γ)x - x -2
4 x + 5 2x
Β.Να λύσετε τηνεξίσωση + =
x - x -2 2x +2 3x -6
Θέμα 21
 
      
      
      
2
2 2
2
2 2
x x x 1 6
Α.Εάν Α = - : + . 3- ναδείξετεότι Α = 2x + 6
x -2 x + 4 - 4x x + x -6 2- x x
Β.Εάνx > -3,ναδείξετεότι Α > 0
Γ.Ναβρεθούνοι τιμές τουx ώστεναισχύει Α + 3x + 8x -3 = 0
Θέμα 22
     
 
   
     
2 2
2 Α+1
3 2 2
Α.Δίνεταιηαλγεβρικήπαράσταση Α = - - -3α β+2αβ +2αβ 2α -3β + -αβ 4α -3β
1
Νααποδειχθεί ότι Α =1,αναβ α -β = - .
11
Β.Να λυθείηεξίσωση 4x -2+ 8x - x + 4x -16 = 0
Θέμα 23
2
2
2 1 12 2
ΔίνεταιηπαράστασηΑ = - + +
x + 3 2 x -9 2x -6
Α.Ναβρεθεί τοΕ.Κ.Π.τωνx + 3,2,x -9,2x - 6
Β.Να λυθείηεξίσωσηΑ = 0

32. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
32
Θέμα 24
        
        
2 2
2 2 2
Δίνονται τα πολυώνυμα
P x = x +2 - 1-2x 1+2x + 2x -1 -12x και
Q x = x x + 7 x - 7 + 4 x + 5 - x x -8 -16
A.Nα γίνουνοι πράξειςώστενα γράψετε τα πολυώνυμαστηναπλούστερημορφήτους.
Β.Νακάνετε γινόμενο παραγόντων τα πολυώ
   
νυμααυτά
Γ.Να λυθείηεξίσωσηP x = Q x
Θέμα 25
2 2
2
x -25 x -9x +20
Να γίνουνοι πράξειςκαι οι απλοποιήσειςστην παράσταση :
x +2 x - 4
Θέμα 26
2 2 2
1 3 1
Να γίνουνοι πράξεις + +
x -3x +2 x + x -2 x - 4
Θέμα 27
   
2 2
2 2
2 2
x + 5x x -7x +10
Α.Νααπλοποιήσετε τις παραστάσεις Α = καιΒ =
x -2x x -25
Β.Νααποδείξετεότι Α +Β - Α -Β = 4
Θέμα 28
         
 
 
 
 
2 2 3 2
Δίνονται τα πολυώνυμαP x = x + x x + 3 + x +1 x -3x και Q x = -4x - 4x +2x +2
Α.Να τα παραγοντοποιήσετε
P x
Β.Ναβρείτε για ποιες τιμές τουx δενορίζεται τοκλάσμα
Q x
Q x
Γ.Νααπλοποιήσετε τοκλάσμα
P x
Θέμα 29
   







200
5 x -2y -3 2x + y = 25
Δίνεται τοσύστημα x + y x + 7
1- =
3 6
x +13y = -25
Α.Ναμετασχηματίσετε τοσύστημα στημορφή
3x +2y = -1
Β.Να λυθεί τοσύστημα τουερωτήματος Α
Γ.Ναυπολογίσετε την τιμήτης παράστασης Α = x  
 
28 3
- y - x - y ,
όπου x,y ηλύσητουσυστήματος

33. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
33
Θέμα 30
     
     
2 22 2
2 2 2 2
2 2
Α.Να αποδείξετε τηνισότητα13 x + y - 2x + 3y = 2y - 3x
Β.Ανισχύει 2x + 3y - x + 6y - 5 = 13 x + y
(Υπόδειξη:α +β = 0 Þ α = 0ήβ = 0)
Θέμα 31



2
Α.Αφούλύσετε τηνεξίσωσηx - 7x - 8 = 0να δείξετεότι έχει θετικήρίζα το8.
αx + y = 5
Β.Αναηθετικήρίζα τουπρώτουερωτήματος να λύσετε τοσύστημα
3x +2y = -3
Θέμα 32
       
   
2 2
Δίνονται τα τριώνυμα f x = 2x + 3α +2β x + 6και g x = x - 2α -3β -25 x - 4
και ότι f 1 = 0και g 2 = 0
Α.Ναβρεθούν ταακαιβ
Β.Γιαα = 2καιβ = -7ναβρείτε τιςρίζες των τριωνύμωνκαι να γράψετε τα τριώνυμασε
μορφήγινομένου
Θέμα 33



2 2
Ναβρεθεί ηαριθμητικήτιμήτης παράστασης Α = y -2xy + x ,αν x,y είναι οι λύσεις του
5x -2y = 7
συστήματος
3x - y = 5
Θέμα 34



2
6κ - 4λ = 2κ - λ -1
Α.Να λυθεί τοσύστημα
5κ -2λ = 4
Β.Για τις τιμές τωνκκαι λ πουβρήκατε παραπάνω,να λύσετε τηνεξίσωσηκx - λx = 2
Θέμα 35
   
   
3 2
Δίνεται τοπολυώνυμοP x = αx + β-1 x -3x -2β+6.
ΑνP -1 = 0καιP 1 = 0,ναυπολογίσετετις τιμές τωνα,β

34. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
34
ΜΕΡΟΣ Β΄
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ- ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

35. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
35
Κεφάλαιο 1ο
Γεωμετρία
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
Θέμα 1
Ναγράψετετακύριαστοιχείαενός τριγώνου.
Θέμα 2
Ποιαείναι ταδευτερεύονταστοιχείαενός τριγώνου;
Θέμα 3
Τι ονομάζουμεδιάμεσοσεένα τρίγωνο;
Θέμα 4
.Νααναφέρετεταείδητων τριγώνωνανάλογαμετιςσχέσεις που συνδέονται οι πλευρές τους
Θέμα 5
Πότεδύοτρίγωναλέγονταιίσα;(ορισμός).
Θέμα 6
Ναγράψετετα τρίακριτήριαισότητας τυχαίων τριγώνων.Σεκάθεπερίπτωσηνακάνετεσχήμα.
Θέμα 7
Να δώσετε τον ορισμό τουισοσκελούς τριγώνουκαι να αναφέρετε τιςιδιότητες
πουγνωρίζεται γι'αυτό.
Θέμα 8
Ναγράψετεταδύοκριτήριαισότηταςορθογωνίων τριγώνων.Σεκάθεπερίπτωσηνακάνετεσχήμα.
Θέμα 9
1 2 3Αν στοσχήμα οι ευθείες ε ,ε ,ε είναι παράλληλεςκαι ΑΒ = ΒΓ.
Τι συμπεραίνετε για τα τμήματα ΔΕκαι ΕΖ;
Να δικαιολογήσετε την απάντησησας,διατυπώνοντας το σχετικόκανόνα.
Θέμα 10
Ναγράψετετοθεώρημαγια ταίσα τμήματαμεταξύπαράλληλωνευθειών.

36. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
36
Θέμα 11
Τι ιδιότητες έχει τοευθύγραμμο τμήμα πουενώνει ταμέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου;
Να γίνει σχήμακαι να γραφεί ηανάλογημαθηματικήσχέση.
Θέμα 12
Ναδιατυπώσετετοθεώρημα τουΘαλή(διατύπωση-σχέση-σχήμα).
Θέμα 13
Ποιαηεφαρμογήτουθεωρήματος τουΘαλήσε τρίγωνο;
(ευθύκαι αντίστροφο)
Θέμα 14
Πότεδύοτρίγωναείναι όμοια;
Θέμα 15
Ναγράψετεένακριτήριογιαναείναι δύοτρίγωναόμοια.
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΡΙΣΕΩΣ
Θέμα 16
Αν για δύο τρίγωνα ΑΒΓκαι ΚΛΜισχύει ότι ΑΒ = ΜΛ,ΒΓ = ΚΜ
και ΑΓ = ΚΛ,να συμπληρώσετε τιςισότητες
  
      
Θέμα 17
Ποια από τα παρακάτω ζεύγητριγώνων είναι ίσα;
Να δικαιολογησετε την απάντησησας.
Θέμα 18
Να αναφέρετε ποια από τα παρακάτω ζεύγητριγώνων είναι ίσα γράφοντας έναΝγια ναι
ήένα Ο για όχι.

37. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
37
Θέμα 19
Είναι τα τρίγωναΑΒΓκαι ΔΕΖίσα;Δικαιολογήστετηναπάντησησας.
Θέμα 20
Αφούβρείτεαν είναι ίσα τα δύο τρίγωνα σεκάθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις,
να γράψετε τοαντίστοιχοκριτήριο.
Θέμα 21
Ναεξηγήσετεγιατί είναιίσα τα τρίγωνα τουσχήματος,και νασυμπληρώσετε τιςισότητες
ΑΒ =..........ΒΓ =..........
Θέμα 22
ο ο
Στοσχήμαείναι = 90 , = 90 καιΒΓ =ΓΕ.Ναεξηγήσετεγιατί τα τρίγωνα ΑΒΓκαι
ΓΔΕείναιίσα,και νασυμπληρώσετε τιςισότητες
ΑΒ =..........ΑΓ =..........Β =..........
 

38. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
38
Θέμα 23
ο ο ο ο
Ανείναι ΑΓ = ΑΕ,Β = 80 , Γ = 40 , Δ = 40 ,και Ε = 60 ,ναεξηγήσετε γιατί είναιίσα
τα τρίγωνα ΑΒΓκαι ΔΕΖ.
Στησυνέχεια να γράψετε τιςίσες πλευρές τους.
Θέμα 24
1 2 3Ανε ε ε ,να γράψετε τιςαναλογίες πουισχύουνστοσχήμα.
Θέμα 25
Νασυμπληρώσετε τιςαναλογίες πουισχύουνστοσχήμαανείναι ΔΛ ΑΒ
ΑΔ ΑΔ ΑΓ
=.......... =.......... =..........
ΑΓ ΒΛ ΒΓ
Θέμα 26
1 2 3Στοσχήμαείναι ε ε ε .Νασυμπληρώσετε τιςαναλογίες:
ΚΛ
Α. =
ΚΜ
ΛΜ
Β. =
ΡΣ
ΛΜ
Γ. =
ΛΚ

39. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
39
Θέμα 27
1 2 3Στοσχήμα είναι ε ε ε .Να συμπληρώσετε τις αναλογίες
ΑΒ ΒΓ ΑΓ ΑΒ ΑΒ
= = και = .........., = ..........
ΒΓ ΑΓ
Θέμα 28
Γιαδύοσημεία ΔκαιΕ των πλευρών ΑΒκαι ΑΓ αντιστοίχως ενός
τριγώνουΑΒΓισχύουν
Α.ΔΕ ΒΓ τότε..........
ΑΔ ΑΕ
Β. = τότε..........
ΔΒ ΕΓ
Νακάνετεσχήμακαι νασυμπληρώσετε τακενά.
Θέμα 29
Για δύοσημεία Δκαι Ε των πλευρών ΑΒκαι ΑΓ αντιστοίχως ενός τριγώνουΑΒΓμε ΔΕ ΒΓ,
να εφράσετε τοθεώρημα τουΘαλήμεσχέσεις στο τρίγωνο ΑΒΓ
Θέμα 30
Για δύοσημεία Δκαι Ε των πλευρών ΑΒκαι ΑΓ αντιστοίχως ενός τριγώνουΑΒΓισχύει
ΑΔ ΑΕ
= .
ΔΒ ΕΓ
Τι συμπέρασμαβγάζετε για τις ΔΕκαι ΒΓ;
Θέμα 31
Δύοίσα τρίγωναείναι όμοια;
Θέμα 32
Δύοόμοια τρίγωναείναιίσα;

40. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
40
Θέμα 33
Ποιος είναι ο λόγος ομοιότητας δύοίσων τριγώνων;
(δύοίσα τρίγωνα είναι όμοια)
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ- ΛΑΘΟΣ
Θέμα 34
Εάνδύοορθογώνια τρίγωναέχουνδύοπλευρές τουςίσεςμίαπρος μίαίσες τότεείναιίσα.
Θέμα 35
Ανδύοτρίγωναέχουν τις γωνίες τουςίσεςμίαπροςμία,τότεείναιίσα.
Θέμα 36
Σεδύοτρίγωνααπέναντι απόίσες γωνίεςβρίσκονταιίσες πλευρές.
Θέμα 36
Σεδύοτρίγωνααπέναντι απόίσες πλευρέςβρίσκονταιίσες γωνίες.
Θέμα 37
.Ανδύοτρίγωναέχουνδύογωνίεςίσεςμία προςμία,τότεθαέχουνκαι την τρίτητους γωνίαίση
Θέμα 38
Δύοτρίγωναείναιίσαανέχουν τις γωνίες τουςίσεςμίαπροςμία.
Θέμα 39
Δύοτρίγωναείναιίσαανέχουν τις πλευρές τουςίσεςμία προςμία.
Θέμα 40
Ανδύοτρίγωναέχουν τις γωνίες τουςίσεςμίαπροςμία,είναιίσα.
Θέμα 41
Σεδύοίσα τρίγωνααπέναντι απόίσες γωνίεςβρίσκονταιίσες πλευρές.
Θέμα 42
Ανδύοορθογώνια τρίγωναέχουνδύοαντίστοιχες πλευρέςίσεςμίαπροςμίαείναιίσα.
Θέμα 43
Σ'έναισοσκελές τρίγωνοηδιάμεσος πουαντίστοιχεί στηβάσητουείναι ταυτόχρονα
ύψοςκαι διχοτόμος.
Θέμα 44
Όταν δύο γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνουείναι ίσεςμεδύοαντίστοιχες γωνίες ενός άλλου,
τότε τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα.
Θέμα 45
Δίνονται τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄
Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές, ποιες λάθος και γιατί;

41. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
41
ο
90
ο
α)Aν Α = Α',ΑΒ = Α'Β'καιΒΓ =Β'Γ'τότε τα τρίγωναείναιίσα
β)Aν Α = Α' = 90 ,Β =Β'καιΒΓ =Β'Γ'τότε τα τρίγωναείναιίσα
γ)Aν Α = Α',Β =Β'καιΓ =Γ'τότε τα τρίγωναείναιίσα
δ)AνΒ =Β' ,ΑΒ = Α'Β'και ΑΓ = Α'Γ'τότε τα τρίγωναείναιίσα
Θέμα 46
Αν τρεις παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τα τμήματα πουορίζονται
στημία είναι ίσα προς τα αντίστοιχα που ορίζονται στην άλλη.
Θέμα 47
Στο τρίγωνοείναι ΔΕ ΒΓ.Να χαρακτηρίσετεως σωστή(Σ)ήλανθασμένη(Λ)κάθεμια
από τις παρακάτωαναλογίες
ΑΔ ΑΕ ΑΔ ΔΒ ΑΔ ΔΒ ΑΔ ΑΕ
Α. = Β. = Γ. = Δ. =
ΔΒ ΕΓ ΑΕ ΕΓ ΑΕ ΑΓ ΑΒ ΑΓ
Θέμα 48
Έανδύοισοσκελήτρίγωναέχουν τις γωνίες τωνκορυφώνίσες τότε είναι όμοια.
Θέμα 49
Εάνδύοορθογώνια τρίγωναέχουνμίαοξεία γωνίαίση,τότεείναι όμοια.
Θέμα 50
Ανδύοτρίγωναέχουνδύογωνίες τουςίσεςμίαπροςμίαείναι όμοια.
Θέμα 51
Δύοισόπλευρα τρίγωναείναι όμοια.
Θέμα 52
Ανδύοτρίγωναέχουνδύοπλευρέςίσεςμίαπροςμίαείναι όμοια.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Θέμα53
Στις προεκτάσεις τωνίσωνπλευρώνΑΒ,ΑΓισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ,παίρνουμε
σημεία Δ,Εαντίστοιχαέτσι ώστεΒΔ =ΓΕ.Ναδείξετεότι ΑΔΓ = ΑΕΒ
Θέμα 54
Από τομέσο Δ τηςβάσηςΒΓισοσκελούς τριγώνουΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ)φέρουμε τις
ΔΕ P ΒΑκαι ΔΖ P ΓΑ.
Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΖΔΒκαι ΔΓΕ

42. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
42
Θέμα 55
ΣετρίγωνοΑΒΓ,φέρουμετηδιάμεσοΑΜστην πλευρά ΒΓκαι τασημεία ΔκαιΕστηνευθεία ΑΜ
τέτοιαώστεΜΔ =ΜΕ.Νααποδείξετεότι τα τρίγωναΒΔΜκαιΓΜΕείναιίσα.
Θέμα 56
ΣτηβάσηΒΓισοσκελούς τριγώνουΑΒΓμε ΑΒ = ΑΓ,να πάρετε τασημεία Δκαι Ε
τέτοιαώστεΒΔ =ΓΕ.Νααποδείξετεότι ΑΔ = ΑΕ.
Θέμα 57
Δίνεταιισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ = ΑΓ)και ένα τυχαίοσημείοΚ της πλευράς ΑΒ.
Προεκτείνουμε την ΑΓ κατά τμήμαΓΔ =ΒΚ. Το τμήμαΚΔ τέμνει τηΒΓ στοΜ.
Προεκτείνουμεκαι τηΓΒκατά τμήμα ΒΕ =ΓΜ.
Να δείξετεότι :
Α.ΚΕ =ΜΔ Β.ΚΕΒ =ΓΜΔ Γ. το τρίγωνοΚΕΜείναιισοσκελές
Θέμα 58
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ).Προεκτείνουμε την πλευράΒΓκαι από ταδύο
άκρακαι πάνωστις προεκτάσεις παίρνουμε τμήματαΒΔ =ΓΕ.Ναδειχθεί ότι ΑΔ = ΑΕ
Θέμα 59
Δίνεταιισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓμα ΑΒ = ΑΓ. ΑνΜείναι τυχαίοσημείο τουύψους ΑΔ,
νααποδείξετεότι :
Α. τα τρίγωνα ΑΜΒκαι ΑΜΓ είναιίσα
Β.ΜΒΔ =ΜΓΔ
Θέμα 60
Στοσχήμαείναι ΑΒ = ΑΓκαιΒΔ =ΓΕ
Α.Νααποδείξετεότι τα τρίγωνα ΑΓΔκαι ΑΒΕείναιίσα
Β.Να γράψετε τιςισότητες πλευρών - γωνιών πουπροκύπτουν από τηνισότητα των τριγώνων
Θέμα 61
Δίνεταιισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ = ΑΓ)καιηδιχοτόμος τουΑΔ.
Πάρτε τυχαίοσημείοΜπάνωστηδιχοτόμοκαι φτιάξτε τηΜΒκαι τηΜΓ.
Νααποδείξετεότι :
Α. τα τρίγωνα ΑΜΒκαι ΑΜΓ είναιίσα
Β. το τρίγωνοΜΒΓ είναιισοσκελές

43. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
43
Θέμα 62
Σε τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ)προεκτείνουμε την ΑΒ προς τομέρος τουΒκαι παίρνουμε
σημείο Δ έτσι ώστε ΑΔ = ΑΓ.Στην πλευρά ΑΓ παίρνουμεσημείοΕέτσι ώστε ΑΒ = ΑΕ.
Να αποδείξετεότι ΔΕ = ΒΓ
Θέμα 63
Δίνεταιισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ = ΑΓ)καιΒΔ,ΔΕδιχοτόμοι τουπουτέμνονται στοΟ.
Να αποδείξετεότι :
Α. τα τρίγωνα ΑΔΒκαι ΑΕΓ είναιίσα
Β. τα τρίγωνα ΟΕΒκαι ΟΔΓ είναιίσα
Γ.ΗΟΑ είναι διχοτόμος της Α
Θέμα 64
Στοισοσκελές τρίγωνο τουσχήματος τοσημείοΜείναιμέσο τηςβάσηςΒΓ.ΑνΒΔ =ΓΕ,
νααποδείξετεότι :
Α. το τρίγωνοΜΔΕείναιισοσκελές
Β. τα τρίγωνα ΑΔΜκαι ΑΕΜείναιίσα.
Θέμα 65
Δίνεταιισοσκελές τρίγωνοΑΒΓ(ΑΒ = ΑΓ).Πάνωστην ΑΒπαίρνουμεσημείο Δ,
και πάνωστην ΑΓ σημείοΕέτσι ώστεΑΔ = ΑΕ.ΑνΜείναι τομέσο τηςβάσηςΒΓ,
νααποδείξετεότι το τρίγωνοΔΜΕείναιισοσκελές.
Θέμα 66
Στοσχήμαείναι ΟΑ = ΟΕκαι ΟΒ = ΟΖ.Νααποδείξετεότι :
Α.τα τρίγωναΟΑΖκαι ΟΒΕείναιίσα
Β.τα τρίγωναΚΑΒκαιΚΕΖείναιίσα

44. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
44
Θέμα 67
Δίνεται γωνία xΟy.Στην Οx παίρνουμεδύοσημεία Α,Βκαι στην Οy δύοσημείαΓ,Δ,
έτσι ώστεΟΑ = ΟΓκαι ΟΒ = ΟΔ. ΑνΜείναι τυχαίοσημείοστηδιχοτόμοΟζ της γωνίας xΟy,
να δείχθεί ότι ΑΜΒ = ΓΜΔ
Θέμα 68
Να φτιάξετεέναισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ,ναβρείτε ταμέσαΚ,Λ,Μτων πλευρών ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ
αντίστοιχακαι νααποδείξετεότι το τρίγωνοΚΛΜείναι και αυτόισόπλευρο.
Θέμα 69
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ.Προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ,ΒΓ,ΓΑκατά τμήματα
ΒΔ =ΓΕ = ΑΖ αντίστοιχα.Ναδείξετεότι το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισόπλευρο.
Θέμα 70
Νααποδειχθεί ότι ανένα τρίγωνοέχει δύούψηίσα,είναιισοσκελές.
Θέμα 71
Σεισοσκελές τρίγωνοΑΒΓ(ΑΒ = ΑΓ),νααποδείξετεότι :
Α.ταύψηΒΔκαιΓΕείναιίσα
Β.τα τμήματαΒΕκαιΓΔείναιίσα
Θέμα 72
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ.Φέρουμε τηδιάμεσο ΑΜκαι τις αποστάσειςΒΔκαι ΓΕ τωνκορυφών
Βκαι Γ από την ΑΜ.Ναδείξετεότι τα τρίγωναΒΔΜκαι ΓΕΜείναι ίσα.
Θέμα 73
  

ο
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ Α = 90 και ηδιχοτόμος τουΒΔ. Αν ΔΕ ΒΓ,
να αποδείξετεότι : Α. ΑΒ = ΒΕ Β.ΒΔ ΑΕ
Θέμα 74
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ = ΑΓ)και Κ,Λ ταμέσα των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.
Να φέρετε τα τμήματαΚΜκαι ΛΝκάθετα στηΒΓ.Νααποδείξετε(χωρίςμέτρηση)ότι ΜΒ =ΝΓ.
Θέμα 75
 
Στοσχήμα, το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο.Φέρνουμε ταευθύγραμμα τμήματα ΑΗκαι ΓΖ
έτσι ώστε ΑΗ ΔΒκαι ΓΖ ΔΒ.Νααποδείξετεότι ΑΗ=ΓΖ.

45. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
45
Θέμα 76
Δίνεταιισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓμε ΑΒ = ΑΓκαιΜτομέσο της βάσηςΒΓ.
Από τοΜνα φέρετε τα τμήματαΜΚκαιΜΛκάθετα προς τις πλευρές ΑΒκαι ΑΓ αντίστοιχα.
Να δείξετεότι :
Α. τα τρίγωναΚΒΜκαι ΛΓΜείναι ίσα
Β. το τρίγωνο ΑΚΛ είναιισοσκελές.
Θέμα 77
 
Το τρίγωνο ΑΒΓ τουσχήματος είναι ισοσκελέςμε ΑΒ = ΑΓ.ΑνΜείναι τομέσο τηςβάσηςΒΓκαι
ΜΔ ΑΒκαι ΜΕ ΑΓ,νααποδείξετεότι :
Α.ΜΔ =ΜΕ
Β.ΗΑΜείναι διχοτόμος της γωνίας ΔΜΕ
Θέμα 78
Στοσχήμαείναι ΟΑ = ΟΒ.Νααποδείξετεότι :
Α. το τρίγωνοΟΓΔ είναιισοσκελές
Β.ηΟΜείναι διχοτόμος της γωνίαςΓΟΔ
Θέμα 79
 Στοσχήμαείναι ΟΑ = ΟΒ,ΓΒ ΟΔ,ΔΑ ΟΓ.Νααποδείξετεότι :
Α.Το τρίγωνοΟΓΔείναιισοσκελές
Β.ΤοσημείοΜανήκει στημεσοκάθετο τουΓΔ

46. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
46
Θέμα 80
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ).Προεκτείνουμε τηβάσηΒΓ προς τα σημείαΒκαι Γ
και πάνωστις προεκτάσεις παίρνουμε αντίστοιχα τα σημείαΕκαι Ζ έτσι ώστεΒΕ = ΓΖ.
Να αποδείξετεότι :
Α. τα τρίγωνα ΑΒΕκαι ΑΓΖ είναι ίσα
Β. το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ισοσκελές
Γ.οι αποστάσεις τωνκορυφώνΒκαι Γ από τις ΑΕκαι ΑΖ αντίστοιχα είναι ίσες.
Θέμα 81
 
Σεισοσκελές τρίγωνοΑΒΓ,προεκτείνουμετηβάσηΒΓκατά τμήματαΒΔ =ΓΕ.
Α.Ναδείξετεότι το τρίγωνοΑΔΕείναιισοσκελές
Β.ΦέρουμεΒΚ ΑΔκαιΓΛ ΑΕ.ΝααποδείξετεότιΒΚ =ΓΛ
Θέμα 82
 
Σεισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ = ΑΓ)και πάνωστιςίσες πλευρές παίρνουμε τα τμήματα
ΑΕκαι ΑΖώστεΑΕ = ΑΖκαιΜτομέσο τηςΒΓ.
Α.ΝααποδείξετεότιΜΕ =ΜΖ
Β.ΑνΕΚ ΒΓκαι ΖΛ ΒΓ,νααποδείξετεότιΕΚ = ΖΛ
Θέμα 83
 Το τρίγωνοΑΒΓ τουσχήματοςείναιισοσκελέςμεΔΒ =ΓΕ,ΔΖ ΒΓκαιΕΗ ΒΓ.
Α.Νασυγκρίνετε τα τρίγωνα ΔΒΖκαιΓΕΗκαι νααποδείξετεότι ΖΒ =ΓΗ
Β.Νααποδείξετεότι το τρίγωνοΑΖΗείναιισοσκελές

47. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
47
Θέμα 84
ΣτοσχήμαείναιΓΔ ΑΒκαιΓΔ = ΔΕ.Νααποδείξετεότι :
Α.ΑΕ = ΑΓ
Β.ΒΕ =ΒΓ
Γ. τα τρίγωνα ΑΒΓκαι ΑΒΕείναιίσα.
Θέμα 85
Δίνεταιισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ = ΑΓ)καιΜτομέσο τηςΒΓ.
Στις προεκτάσεις των ΑΒκαι ΑΓ(προς τομέρος τωνΒκαιΓ) παίρνουμεαντίστοιχα τμήματα
ΒΔ =ΓΕ.Νααποδείξετεότι :
Α.ΔΜ=ΕΜ
Β.τα ΔκαιΕισαπέχουναπό τηΒΓ
Θέμα 86
  ο
Στο τραπέζιο ΑΒΓΔ τουσχήματος είναι ΑΔ P ΒΓκαι = = 90 .Αν τοΕείναι σημείο της
ΑΒκαιισχύει ΑΕ =ΒΓκαιΕΒ = ΑΔ, να αποδείξετεότι :
Α. το τρίγωνο ΔΕΓ είναιισοσκελές
Β.Ηγωνία ΔΕΓ είναι ορθή
Γ.ΑνΜείν
ΓΔ
αι τομέσο της ΔΓ,να δικαιολογηθεί γιατίΕΜ=
2
Θέμα 87
Σεισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ = ΑΓ)είναι ΔκαιΕ ταμέσα τωνίσων πλευρώνκαιΜτομέσο της
βάσηςΒΓ,νααποδείξετεότι :
Α. τα τρίγωναΒΔΜκαιΓΕΜείναιίσα
Β. το τετράπλευρο ΑΔΜΕείναι ρόμβος(δηλαδήπαρ/μομεόλες τις πλευρέςίσες)

48. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
48
Θέμα 88
ο
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ώστεΒΑΓ = 90 καιΒΑ = ΑΓ.Στην προέκτασητουΓΑ προς τομέρος τουΑ
παίρνουμε τμήματα ΑΔ = ΑΓ.
Α.ΝααποδείξετεότιΒΔ =ΒΓ
Β.Ναυπολογίσετε τις γωνίεςΒΓΑ,ΒΔΑ
Γ.Νααποδείξετεότι ΔΒΓ = 90ο
Θέμα 89
Σεισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒΓ)παίρνουμε ταμέσαΚ,Λ,Μτων ΑΒ,ΒΓ,ΓΑαντίστοιχα.
Νασυγκρίνετε
Α. τα τρίγωναΒΛΚκαιΓΛΜ
Β. τα τμήματα ΛΚκαι ΛΜ
Θέμα 90
Δύοκύκλοι μεκέντραΚκαι Λ τέμνονται στα σημεία Ακαι Β.Να δείξετεότι :
Α. τα τρίγωναΚΑΛκαι ΚΒΛ είναι ίσα
Β. τα τρίγωναΚΑΓκαι ΚΒΓ είναι ίσα
Γ.ηευθείαΚΛ είναι μεσοκάθετος τουΑΒ
Θέμα 91
ΑνΟείναι τοκέντρο τουκύκλουκαι οι χορδές ΑΒκαι ΑΓ είναιίσες,
να αποδείξετεότι :
Α.ηΟΑ είναι διχοτόμος της γωνίαςΒΑΓ
Β.ηΟΑ είναιμεσοκάθετος της χορδήςΒΓ
Θέμα 92
Δίνεταικύκλος(Ο,ρ)όπουρ = 3cmκαι χορδήΑΒ.Προεκτείνουμε την ΑΒκατάίσα τμήματα
ΑΓκαιΒΔ.
Νααποδείξετεότι ΟΓΑ = ΟΔΒ.

49. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
49
Θέμα 93
Στο τραπέζιο τουσχήματοςηΕΖ είναι παράλληληστιςβάσεις ΑΒ και ΔΓ. Αν είναι ΕΔ = 9m,
ΒΖ = 8m
και το τμήμα ΖΓ είναι διπλάσιοαπό το ΑΕ,ναυπολογίσετε το τμήμα ΑΕ.
Θέμα 94
Στο τραπέζιο ΑΒΓΔηΕΖ είναι παράλληληστιςβάσεις του.
Ναυπολογίσετε τα ευθύγραμμα τμήματαΒΖκαι ΖΓ,αν γνωρίζετεότι ΑΕ = 4cm,ΕΔ = 6cm
και ΒΓ = 8cm.
Θέμα 95
Στο τρίγωνο ΑΒΓ τουσχήματος, το ΔΕείναι παράλληλοστηβάσηΒΓ.Αν ΑΔ = 2cm,ΑΕ = xcm,
ΔΒ = x +1cmκαι ΕΓx + 6cm,ναυπολογίσετε το xκαι τις πλευρές ΑBκαι ΑΓ τουτριγώνου.

50. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
50
Θέμα 96
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμεΚΛ ΒΓκαι ΛΜ ΑΒ που τέμνουν τις ΑΒ,ΑΓκαι ΒΓ στα σημεία
Κ,Λ,Μαντίστοιχα.
ΑΚ ΒΜ
Να δείξετεότι =
ΚΒ ΜΓ
Θέμα 97
Στοσχήμαείναι ΑΕ ΒΖ.ΑνΟΑ = x + 4,ΑΒ = x -1,ΟΓ = x + 4,ΓΔ = x,ΟΕ = y + 6,ΕΖ = y,
ναυπολογίσετε τοxκαι το y
Θέμα 98
ΣτοσχήμαισχύειΕΖ ΔΓκαι ΖΗ ΑΒ.Ναυπολογίσετετουςαριθμούςxκαι y.
Θέμα 99
ΣτοτρίγωνοΑΒΓείναι ΔΕ ΒΓ.Ναυπολογίσετεταxκαι y.

51. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
51
Θέμα 100
ΣτοσχήμαείναιΕΖ ΒΓκαι ΖΗ ΓΔ.Ναυπολογίσετεταxκαι y.
Θέμα 101
ΣτοσχήμαείναιΕΔ ΑΒ,ΕΖ ΑΔ,ΕΓ = 24m,ΖΓ =16m, ΑΕ = x + 6,ΒΔ = yκαι ΔΖ = x.
Ναυπολογίσετε τα xκαι y.
Θέμα 102
ΣτοσχήμαείναιΒΔ ΓΕκαι ΔΖ ΕΗ.Ανείναι ΒΓ = 4,ΑΔ = 9,ΔΖ = 3ΑΒ = ΔΕ = xκαιΕΗ= y,
ναυπολογίσετε ταμήκηxκαι y.
Θέμα 103
1 2 3 4
2
Στοσχήμα είναι ε ε ε ε και ΑΒ = x,ΒΓ = 6,ΓΔ = x + 2y ,ΕΖ = 2, ΖΗ= x +1,
ΗΘ = y - 3.
Ναυπολογιστούν τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ,ΓΔ,ΗΘ.

52. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
52
Θέμα 104
  ο
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ = 90 .Από τομέσοΜτης ΑΒφέρνουμεΜΔκάθετηστηΒΓ.
Νααποδείξετεότι τα τρίγωνα ΑΒΓκαιΜΒΔ είναι όμοιακαι να γράψετε τουςίσους λόγους
πουπροκύπτουναπό τηνομοιότητα.
Θέμα 105
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓκαιηδιχοτόμος τουΑΕ.Στην προέκτασητης διχοτόμουθεωρούμεσημείο Δ
τέτοιοώστε ΑΒ =ΒΔ.
Α.Να δείξετεότι τα τρίγωνα ΑΕΓκαιΒΕΔ είναι όμοια.
Β.Να γράψετε τους λόγους πουπροκύπτουναπό τηνομοιότητα των παραπάνω τριγώνων.
Γ.Αν ΑΓ =10cm,AE = 4cmκαι ΑΔ = 6cm,ναυπολογίσετε το τμήμα ΔΕ.

53. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
53
Θέμα 106
Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ.Από τοΕ,σημείο τηςΒΔ,φέρουμε τηΖΗπουτέμνει την
ΑΔ στοΖκαι τηΒΓ στοΗ.
Α.Να δειχθεί ότι τα τρίγωναΕΖΔκαιΒΕΗείναι όμοια.
Β.Να γράψετε τουςίσους λόγους πουπροκύπτουν.
Γ.ΑνΕΗ= 8m, ΕΒ =14m, ΕΖ =12m,ναυπολογίσετε τηνΕΔ.
Θέμα 107
Σεοξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε ταύψηΑΔκαιΒΕ.Νααποδείξετεότι :
Α.τα τρίγωνα ΑΔΓκαιΒΕΓ είναι όμοια.
Β.Να γράψετε τουςίσους λόγους.
Θέμα 108
Στο τρίγωνο ΑΒΓ τουσχήματος, τα Δκαι Εείναι σημεία των ΑΒκαι ΑΓ τέτοια ώστε ΑΕΔ = ΑΒΓ.
Α.Να αποδείξετεότι τα τρίγωνα ΑΒΓκαι ΑΕΔ είναι όμοια.
Β.Να γραφεί ο λόγος ομοιότητας λ.
Γ.Ανείναι ΑΔ = 4,ΒΔ = 1και ΑΓ = 10,ναβρείτε το τμήμα ΑΕ.
Θέμα 109
 ο
Στοσχήμαδίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( = 90 )και ΔΕ ΒΓ.
Νααποδείξετεότι :
Α. τα τρίγωνα ΑΒΓκαιΚΕΓ είναι όμοιακαι να γράψετε τουςίσους λόγους.
Β. τα τρίγωναΚΕΓκαιΚΑΔείναι όμοιακαι να γράψετε τουςίσους λόγους.

54. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
54
Θέμα 110
Στοσχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναιισοσκελέςμε ΑΒ = ΑΓκαι Δ,Ε,Μταμέσα των
ΑΒ,ΑΓ,ΔΕαντίστοιχα.Νααποδείξετεότι :
Α.Το τρίγωνο ΑΔΕείναιισοσκελές.
Β.Τα τρίγωνα ΑΔΕκαι ΑΒΓ είναι όμοια.
Γ.Τα τρίγωναΒΔΜκαιΓΕΜείναιίσα.
Θέμα 111
Στοσχήμα γνωρίζουμεότι ΑΒPΓΔ.
Α.Ναυπολογίσετε ταμήκητωνευθύγραμμων τμημάτων ΑΔκαιΒΓ
Β.Ναβρείτε τολόγο τωνεμβαδών των τριγώνωνΕΓΔκαι ΑΕΒ
Θέμα 112
2
Στοσχήμαείναι ΑΒ =10cm, ΒΔ = 8cm, ΒΕ = 4cmκαιΒΕΔ =ΒΑΓ.
Α.Νααποδείξετεότι τα τρίγωνα ΑΒΓκαιΒΔΕείναι όμοια.
Β.Ναβρεθεί τομήκος της πλευράςΒΓ.
Γ.Αν τοεμβαδόν τουτριγώνουΒΔΕείναι 10cm ,ναβρε .θεί τοεμβαδόν τουτριγώνουΑΒΓ

55. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
55
Θέμα 113
Αν Δ,Εείναι ταμέσα των πλευρών ΑΒκαι ΑΓ τριγώνουΑΒΓ αντίστοιχα,τότε:
Α.Νααποδείξετεότι τα τρίγωνα ΑΔΕκαι ΑΒΓ είναι όμοια
Β.Να γράψετε τουςίσους λόγους πουπροκύπτουν.
Γ.Ναυπολογίσετε το λόγο
 
 
ΑΔΕ
ΑΒΓ
Θέμα 114
2
Στοσχήμα, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τετράγωνοκαι τα τρίγωνα ΑΒΕκαιΓΔΖ είναι ισόπλευρα.
Ναδείξετεότι τα τρίγωνα ΑΔΖκαιΓΔΕείναι όμοιακαι ότι ΖΑ.ΕΔ = α ,όπουαηπλευρά
τουτετραγώνου.
(Υπόδειξη:αρχίστευπολογίζοντας τις γωνίες τουτριγώνουΑΔΖ)
Θέμα 115

 
Το τρίγωνο ΑΒΓ τουσχήματοςείναιισοσκελέςμε ΑΒ = ΑΓ. Ανείναι ακόμηΔΒ =ΓΕ,ΔΖ ΒΓ,
ΕΗ ΒΓκαι ΑΚ ΒΓ.
Α.νασυγκρίνετε τα τρίγωνα ΔΒΖκαιΓΕΗκαι νααποδείξετεότι ΖΒ =ΓΗ
Β.νααποδείξετεότι τα τρίγωνα ΔΒΖκαι ΑΒΚείναι όμοια
Γ.να γράψετε τους λόγους ομοιότητας των τριγώνων ΔΒΖκαι ΑΒΚ

56. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
56
Θέμα 116
ΑνστοσχήμαείναιΗΘ ΑΕ ΒΖ,ναυπολογίσετεταευθύγραμμα τμήματαΑΒ= x,ΟΕ= y,ΟΘ=ω
Θέμα 117
1 2 3
1 3
Στοσχήμα οι ευθείες ε ,ε ,ε είναι παράλληλεςκαι ΑΒ =12m,ΒΓ =16m
Aνηαπόστασητωνε ,ε είναι 21m,ναυπολογίσετε τα τμήματα x =ΕΖκαι y =ΕΔ

57. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
57
Κεφάλαιο 2ο
Τριγωνομετρία
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
Θέμα 1
Μετηβοήθεια τουσχήματος,ναορίσετετους τριγωνομετρικούςαριθμούς της γωνίαςω.
Θέμα 2
ο ο
Ναδώσετε τουςορισμούς των τριγωνομετρικώναριθμών γωνίαςωμε0 < ω <180
Α.οξείας γωνίαςσεορθογώνιο τρίγωνο
Β.Αμβλείας γωνίαςσεορθοκανονικόσύστημααξόνων xΟy
Θέμα 3
  ο ο
ΣεορθοκανονικόσύστημααξόνωνxOy να πάρετεένασημείο
Μ x,y στο1 ήστο2 τεταρτημόριοκαι ναορίσετε τους τριγωνομετρικούς
αριθμούς της γωνίαςω = xΟΜμεΟΜ= ρ.
Επίσης να γράψετε τησχέσητουρμε τιςσυντεταγμένες τουΜ
Θέμα 4
Ποιες τιμέςμπορεί να πάρει τοημίτονοκαι τοσυνημίτονομιας γωνίαςω;
Δικαιολογήστε τηναπάντησησας
Θέμα 5
Τι γνωρίζεται για ταπρόσημα των τριγωνομρτρικώναριθμών οξείαςκαι αμβλείας γωνίας.
Θέμα 6
ο
Ποιεςσχέσειςισχύουν για τους τριγωνομετρικούςαριθμούςδύο παραπληρωματικών γωνιών
ωκαι 180 - ω;

58. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
58
Θέμα 7
2 2
Νααποδείξετεότι γιαοποιαδήποτεγωνίαωισχύει ότι ημ ω+ συν ω =1
Θέμα 8
Ποιαείναιηθεμελιώδης τριγωνομετρικήταυτότητα;
Θέμα 9
ημω
Νααποδείξετετηνισότηταεφω =
συνω
Θέμα 10
Δίνεται τυχόν τρίγωνοΒΓΔ
Α.Να διατυπώσετεμε λόγια τονόμο τωνσυνημιτόνων για το τρίγωνοαυτό
Β.Να γράψετε τον τύπο τουνόμουτωνσυνημιτόνων για την πλευρά δ
Γ.ΑνσυνΔ = 0, τι συμπέρασμα θαβγάζατε για το τρίγωνοΒΔΓ;
Θέμα 11
Ναδιατυπώσετετοννόμοτωνημιτόνωνσεένα τρίγωνο.
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΡΙΣΕΩΣ
Θέμα 12
ο
ο
Με τηβοήθειακατάλληλούσχήματος ναυπολογίσετε:
i. τους τριγωνομετρικούςαριθμούς της γωνίαςω = 0
ii. τους τριγωνομετρικούςαριθμούς της γωνίαςω =180
Θέμα 13
ο
Ποιοείναι τοημ135 ;
Θέμα 14
 Αν σεένα τρίγωνο ΑΒΓισχύει ημ Α +Β =1, τι συμπέρασμα βγάζετε για τοείδος τουτριγώνου;
Θέμα 15
Αν ωκαι φ γωνίες για τις οποίεςισχύει ημω = ημφ, τι συμπεράινετε για τησχέσηπουσυνδέει
τις γωνίες;
Θέμα 16
Αν ωκαι φ γωνίες για τις οποίεςισχύει συνω = συνφ, τι συμπεράινετε για τησχέσηπουσυνδέει
τις γωνίες;
Θέμα 17
Υπάρχει γωνίαωώστεναισχύειημω= 0και συνω= 0;
Θέμα 18
Υπάρχει γωνίαωώστεναισχύειημω=1και συνω=1;

59. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
59
Θέμα 19
ημω
Μεποια προϋπόθεσηισχύει εφω = ;
συνω
Θέμα 20
2 2
Με τι ισούται ηπαράσταση6ημ ω+ 6συν ω;
Θέμα 21
2 2 2
Με τι ισούται ηπαράσταση3ημ ω+ 4συν ω-συν ω;
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ
Θέμα 22
Nαχαρακτηρίσετετις παρακάτωπροτάσειςμε(Σ)ανείναι σωστέςή(Λ)ανείναι λανθασμένες.
2 2
ο ο
ο
ο
ο ο
ο
1)ημ ω =1+ συν ω
ημω
2)εφω =
συνω
3)Ανω = 98 τότεσυν98 > 0
4)ημ180 = -1
5)συν0 =1
ημω
6)συνω =
εφω
7) Έανωαμβλεία γωνία τότεσυνω > 0
8)Εάν90 < ω <180 τότεσυνω > 0
9)Εάνω = 90 τότεδενορίζεταιηεφω
10)Για οποι
ο ο
ο ο
ο ο
ο ο
ο ο
ο ο
αδήποτε γωνίαισχύει -1£συνω£1
11)ημ40 = -ημ140
12) συν135 = συν45
13)εφ112 = -εφ68
14)ημ30 =ημ150
15)ημ140 = -ημ40
16)συν100 = συν80
 
ο ο
ο ο
ο ο
2 2
17)εφ60 = -εφ120
18)συν125 = συν55
19)Γιαδύο παραπληρωματικές γωνίεςωκαι180 -ωισχύειημ 180 -ω = -ημω
20)ημ ω = συν ω -1
2 2
21)Ηπρόταση"ημω = 0,6και συνω = 0,8"είναι σωστή;
22)συνω +ημω =1
23)1-ημ ω = συν ω

60. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
60
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΟΙΧΙΣΗΣ
Θέμα 23
Να αντιστοιχήσετε τα στοιχεία της στήλης Α με τα στοιχεία της στήλης Β για τον πίνακα
που ακολουθεί.
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β
1. 2
1-συν ω ημω
Α.
συνω
2. εφω 2
Β.ημ ω
3.  ο
συν 180 -ω Γ.συνω
Δ.-συνω
Θέμα 24
Να αντιστοιχήσετε τα στοιχεία της στήλης Α με τα στοιχεία της στήλης Β για τον πίνακα που ακολουθεί.
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β
Α ο
ημ114 ο
-ημ66
Β ο
συν166 ο
-συν14
Γ ο
εφ70 ο
-εφ110
Δ ο
ημ0 ο
ημ66
ο
συν14
ο
εφ110
ο
συν90
Θέμα 25
Να αντιστοιχήσετε τα στοιχεία της στήλης Α με τα στοιχεία της στήλης Β για τον πίνακα
που ακολουθεί.
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β
Α  ο
ημ 180 -ω 1.  ο
συν 180 -ω
Β εφω
2.
1
2
Γ 2
1-ημ ω
3. 
ημω
,συνω 0
συνω
Δ -συνω
4.
2
συν ω
Ε ο
ημ60 5. ημω
6.
3
2

61. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
61
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΟΥ
Θέμα 26
Νασυμπληρώσετε τακενάμε τασύμβολα <ή>ώστενα προκύψουν
σωστέςεκφράσεις
Α.Ανηγωνίαωείναι οξεία τότεημω..........0,συνω =..........0,εφω..........0
Β.Ανηγωνίαωείναι αμβλεία τότεημω..........0,συνω =..........0,εφω..........0
Θέμα 27
Να συμπληρωθούν οι ισότητες
 
ο
ο
ο
ο
1)συν0 =..........
2)ημ180 =..........
3)εφ0 =..........
4)ημ 180 -ω =..........
 
 
ο
ο
5)εφ 180 -ω =..........
6)συν 180 -ω =..........
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ
Θέμα 28
ο ο ο ο
Νααπαντήσετεστηνερώτησηκαι ναδικαιολογήσετε τηναπάντησησας
Αν2ημφ =1, τότεισχύει
Α.φ = 30 Β.φ =150 Γ.φ = 30 ήφ =150 Δ. τίποτααπό τα προηγούμενα
Θέμα 29
ο
Νααπαντήσετεστηνερώτησηκαι ναδικαιολογήσετε τηναπάντησησας
Ηεφ135 ισούταιμε
3 3
Α.1 Β.-1 Γ. Δ.-
3 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Θέμα 30
ο ο4
Ανσυνx = - και 90 < x <180 ,ναυπολογίσετε τουςυπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς
5
της γωνίας x.
Θέμα 31
ο ο 3
Αν 90 < ω < 180 και ημω = ,ναυπολογιστούν :
5
Α. τοσυνω Β.ηεφω

62. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
62
Θέμα 32
12
Αν για τηναμβλεία γωνία ωισχύει ημω = ,ναυπολογίσετε τοσυνω, τηνεφωκαι την τιμήτης
13
παράστασης Α =13ημω -26συνω - 5εφω.
Θέμα 33
   ο ο
12
Αν για τηναμβλεία γωνία ωισχύει ημω = ,ναυπολογίσετε:
13
Α. τουςυπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς
Β. την τιμήτης παράστασης 5εφω -13συν 180 - ω +13ημ 180 - ω
Θέμα 34
ο ο 12
Αν90 < ω <180 καιημω =
13
Α.Ναυπολογίσετε τουςάλλους τριγωνομετρικούςαριθμούς της γωνίαςω
13 13 10
Β.Ναυπολογίσετε την τιμήτης παράστασης Α = ημω + συνω - εφω
12 5 12
Θέμα 35
2
4
Δίνεται αμβλεία γωνίαω για τηνοποίαισχύειημω = .
5
Α.Ναυπολογίσετε τασυνω,εφω
ημω.συνω + συν ω
Β.Ναυπολογίσετε την τιμήτης παράστασης Α =
1+ εφω
Θέμα 36
  
ο ο1
Α. Ανημx = και 90 < x < 180 ναβρεθούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας x
2
Β.Ναυπολογίσετε την τιμήτης παράστασης Α = 1-2συνx 1+ 3εφx - 6 3εφx - 8ημx
Θέμα 37
ο ο 5
Αν για τηγωνία ωισχύει 90 < ω < 180 και ημω = ,ναυπολογιστεί ητιμήτης παράστασης
13
24εφω -13συνω
Α =
1+13ημω
Θέμα 38
5
Αν για τηναμβλεία γωνίαωισχύει ημω = ,ναυπολογίσετε την παράστασης
13
Α =13ημω -13συνω +12εφω
Θέμα 39
ο ο12
Ανημx = και 90 < x <180 ναυπολογίσετε την αριθμητικήτιμή της παράστασης
13
Α = 26ημx + 39συνx -10εφx

63. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
63
Θέμα 40
 
   
 
ο ο
ο ο
ο
Αν90 < ω <180 και 7ημω -2 ημω +2 = 0,ναυπολογίσετε τοημω,συνω,εφωκαι την
ημ 180 - ω - συν 180 - ω
παράστασηΚ =
εφ 180 - ω .συνω
Θέμα 41
ο
3
Δίνεταιμία γωνίαωμεσυνω = -
2
Α.Ηγωνίαωείναι οξεία,αμβλείαήορθή;
Β.Ναβρεθούν τοημωκαιηεφω
1
Γ.Αν γνωρίζουμεότιημ30 = ,ναβρεθεί πόσωνμοιρώνείναι ηγωνίαω
2
Θέμα 42
 
   
2 ο 2 ο ο
ο ο
3
Α.Εάνημx = μεx αμβλεία,ναυπολογίσετε τηγωνία x
2
3
Β.Εάνημω = ,μεωαμβλεία,ναβρεθούν τοσυνωκαιηεφω
5
ημ 130 + συν 50 -2ημ 180 - x
Γ.ΝαυπολογιστείηπαράστασηΑ = ,όπουxηγω
5συν 180 -ω - 4εφ 180 -ω
νία
τουερωτήματος Ακαι ωηγωνία τουερωτήματοςΒ
Θέμα 43
ο3
Ανείναι συνω = - και 90 < ω <180,νααπαντήσετεσταεξηςερωτήματα:
5
Α.Σεποιο τετάρτημόριοβρίσκεταιηγωνίαωκαι τι πρόσημοέχουν τοημίτονοκαι ηεφαπτομένη;
Β.Ναβρεθούνοι άλλοι τριγωνομετρικοί αρ
 
22
ιθμοί της γωνίαςω
1
Γ.Για τις τιμές πουθαβρείτεναυπολογίσετε την παράσταση ημω -3συν ω + -1 εφω
5
Θέμα 44
ο ο
2 ο 2 ο 2 ο 2 ο
Α.Ναυπολογίσετετην τιμήτουσυν150 και τουημ135
Β.Νααποδείξετεότι συν 150 +ημ 135 -ημ 45 +συν 60 =1
Θέμα 45
   
2 2
ο ο ο ο
4 4 2
Νααπλοποιήσετε τις παραστάσεις ΑκαιΒ,όπου
Α = ημ25 + συν25 + συν155 +ημ155 και
Β =ημ α -συν α +2συν α

64. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
64
Θέμα 46
12
Αν για τηνοξεία γωνίαωισχύειημω = ,ναυπολογίσετε
13
Α.τοσυνωκαι τηνεφω
Β.τους τριγωνομετρικούςαριθμούς της παραπληρωματικής της γωνίαςω
Θέμα 47
  
 
 
2 2 2
2
1
Ναδείξετεότιημ x 1+ +συν x 1+εφ x =2
εφ x
Θέμα 48
2 3
2 2
2
2
Νααποδείξετεότι :
Α.ημ x.συνx + συν x = συνx
Β.10συν x +10ημ x =10
1
Γ.εφ x +1 =
συν x
Θέμα 49
   
2 2
Νααποδείξετεότι ημx +συνx - ημx -συνx = 4ημxσυνx
Θέμα 50
   
2 2 2 2
Νααποδείξετεότι αημω+βσυνω + βημω-ασυνω =α +β
Θέμα 51
ο
ο
Γνωρίζουμεότι σεένα τρίγωνοηγωνία Α είναι 53 .Από τους τριγωνομετρικούς πίνακες
διαπιστώνουμεότιημ53 = 0,8
Α.Ναβρεθούνοι άλλοι δύο τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας Α
Β.Στοίδιο τρίγωνο γνωρίζουμεεπίσηςότι οι πλευρέςακαιβέχουν μήκη8cm και 5cmαντίστοιχα.
Ναβρεθούνοι άλλεςδύο γωνίες τουτριγώνου.
Θέμα 52
ο
Σεένα τρίγωνο ΑΒΓισχύει Α =120 ,ΑΒ = 3cmκαι ΑΓ = 5cm.Ναβρείτε
Α. την πλευράα
Β. τοημΒκαι τοημΓ
Θέμα 53
ΣετρίγωνοΑΒΓείναι α = 5cm,β= 4cm,γ =6cm. Ναυπολογίσετετις γωνίες του.

65. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
65
ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
Θέμα 1
 



3x + y - 5= 0
Α.Να λυθεί τοσύστημα
-3y +2x = -4
x
Β.Γιαμίααμβλέια γωνίαωείναιημω = ,όπου x,y είναιηλύσητουπαραπάνωσυστήματος.
y
Υπολογίστε τουςάλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας.
Θέμα 2
Ναβρεθείημέγιστηκαι ελάχιστητιμήτης παράστασης Α = 5συνx -6ημx
Θέμα 3
2 ο 2 ο 2 ο 2 ο
ο ο ο ο
2 2
Α.Δίνονται οι παραστάσεις
α = συν 147 +ημ 113 +ημ 33 + συν 67
β = ημ40 .ημ140 - συν40 .συν140
Να αποδείξετεότι α = 2και β = 1
x + 2 α 2x -β
Β.Να λυθεί ηεξίσωση = -
x - 5x + 6 3- x 2x - 4x
Θέμα 4
ο 2 3
Αν90 < x <180καιημ x + ημx -1= 0,ναβρεθείηγωνία x.
2
Θέμα 5
Στοσχήμα τα τρίγωνα ΑΒΓκαι ΔΕΒείναι ίσακαι ισχύει ΑΒ = 2x +2,ΒΔ = 7 - y,ΑΓ = 4x,
ΔΕ = 5y + 3
Α.Σύμφωναμε ποιοκριτήριο τα τρίγωνα είναι ίσα;
Β.Να αποδείξετεότι ΑΓ = ΔΕ
Γ.Ναβρεθούν τα xκαι y από τηνεπίλυση
.
κατάλληλουσυστήματος
Δ.Ναβρεθεί ηπερίμετρος τουτριγώνουΑΒΓ αφούπρηγουμένως εφαρμόσετε τοΠυθαγόρειοΘεώρημα

66. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
66
Θέμα 6
ο
Στοσχήμα οιΒΔκαι ΑΓ είναι κάθετεςκαι ισχύει ΑΚ =ΓΚ,ΒΚ = ΔΚ
Α.Να αποδείξετεότι τα τρίγωνα ΑΒΚ,ΒΓΚ,ΓΚΔ,και ΑΔΚείναι ίσα.
Β.ΑνηγωνίαΒΑΓ είναι 60 ναδείξετεότι τα τρίγωνα ΑΒΓκαι ΑΓΔ είναι ισόπλ
.
ευρα.
Γ.Αν ταμήκητων ΑΒ,ΒΓ,και ΑΔ είναι ΑΒ = 2x - 3y,ΒΓ = 6x + 5y,και ΑΔ = 7ναβρείτε τα x,y

67. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
67
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
Θεωρία
Θέμα 1
  
 
 
2
3 3 2 2 3
α)Τί λέγεται ταυτότητα;
β)Νασυμπληρωθούνοιισότητες
α +β α -β =..........
α -β =..........
γ)Νααποδείχθείηταυτότητα α -β = α -3α β+ 3αβ -β
Θέμα 2
α)Να γράψετε τακύριακαι ταδευτερεύονταστοιχείαένος τριγώνου
β)Διατυπώστεδύοκριτήριαισότητας τριγώνων
γ)Διατυπώστε τοθεώρημα τουΘαλή
Ασκήσεις
Άσκηση 1
   
2
ΔίνεταιηπαράστασηΑ = x + 9 -3x x + 9
α)Νακάνεται τις πράξεις
β)Να παραγοντοποιήσετε την παράστασηΑ
γ)Να λύσετε τηνεξίσωσηΑ = 0
Άσκηση 2
 





Να λυθεί τοσύστημα
x - y
x - = 5-2y
2
4 -2 2x - 3y = x -10y
Άσκηση 3
5
Αν για τηναμβλεία γωνία ωισχύει ημω = ,ναυπολογίσετε την παράσταση
13
Α = 13ημω -13συνω +12εφω

68. Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου
68
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
Θεωρία
Θέμα 1

2
2
α)Να γράψετε τασυμπεράσματα για τηλύσητηςεξίσωσηςαx +β = 0
β)Να γράψετε τασυμπεράσματααπό τηλύσητηςεξίσωσης x = α
γ)Να γράψετε τασυμπεράσματααπό τηλύσητηςεξίσωσηςαx +βx + γ = 0,α 0
Θέμα 2
 
2 2
Σεορθοκανονικόσύστημααξόνων να πάρετεένασημείοΜ x,y στο1ο τεταρτημόριο.
Ανω = xΟy.Νααποδείξετεότι
α)ημ ω + συν ω =1
ημω
β)εφω =
συνω
γ)Υπάρχει γωνίαωώστεναισχύειημω = 0και συνω = 0;Ναδικαιολήσετε
τηναπάντησησας.
Ασκήσεις
Άσκηση 1
        
        
   
2
2 2
2 22
2
α)Νααποδείξετε τηνισότητα
2x -3 × x +1 - 50x + 75 = x + 6 x -2 2x -3 x +2
25-12x 2x -3
β)Ανείναι Α = -
x + 6 x -2 2x -3 x +22x -3 × x +1 - 50x + 75
14
ναυπολογίσετε την παράστασηΑκαι ναδείξετεότι Α =
x + 6 3-2x x +2
Άσκηση 2
     
     
2 22 2
2 2 2 2
α)Να αποδείξετε τηνισότητα
13 x + y - 2x + 3y = 2y - 3x
β)Ανισχύει 2x + 3y - x + 6y - 5 = 13 x + y ναβρεθούν τα x,y.
Άσκηση 3
Στοσχήμαείναι ΟΑ = ΟΕκαι ΟΒ = ΟΖ.Νααποδείξετεότι
Α.τα τρίγωναΟΑΖκαι ΟΒΕείναιίσα
Β.τα τρίγωναΚΑΒκαιΚΕΖείναιίσα