Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος για το lisari.blogspot.gr

1. http://lisari.blogspot.gr
Εισαγωγή
Με απασχόλησε η άσκηση 11, σελ. 132 σχολικού βιβλίου Άλγεβρας Α΄ Λυκείου. Η εκφώνηση και η λύση
που προτείνεται δεν συμβαδίζουν.
Γιατί όμως θεωρούμε ορθή την εκφώνηση της λύσης και όχι της άσκησης; Μήπως επειδή είναι πιο απλή; Θα
συμφωνήσω ότι στην διαδικασία αντιγραφής – επικόλλησης, μεταφέρθηκε λάθος η εκφώνηση της
άσκησης με αποτέλεσμα να προκύψει μια όμορφη άσκηση! Φαίνεται επίσης και από την ίδια αρίθμηση που
δόθηκε σε δύο διαδοχικές ασκήσεις!
Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης
Εκφώνηση σχολικού βιβλίου (Άλγεβρα – Α΄ Λυκείου)
Οι λύσεις από το σχολικό βιβλίο
δεν βλέπετε μια διαφορά;

2. http://lisari.blogspot.gr
Α΄ εκδοχή: Αν θεωρήσουμε την λύση του βιβλίου σωστή, τότε η διατύπωση της άσκησης
έπρεπε να ήταν ως εξής:
ν 2
ν
ν 1 ν 3 1
1 ...
ν ν ν
 
    

Η λύση είναι αυτή που παρατίθεται στις σελίδες του σχολικού βοηθήματος που είδαμε και
παραπάνω.
Β΄ εκδοχή: Αν θεωρήσουμε την εκφώνηση της άσκησης σωστή, δηλαδή μας ζητάει το
άθροισμα
ν 1 ν 3 1
1 ...
ν ν ν
 
    τότε η λύση της άσκησης έπρεπε να είναι η επόμενη.
Αντιμετώπιση – Λύση
Περίπτωση 1η: Αν ο ν = άρτιος αριθμός τότε ο τελευταίο όρος του αθροίσματος είναι ο
1
ν
,
αφού αν ν άρτιος, τότε ο ν – 1 είναι περιττός, όπως και κάθε φορά που του μειώνουμε 2 μονάδες,
στο τέλος περισσεύει μία μονάδα.
Οπότε ζητάμε το άθροισμα:
   ν 1 ν 3 ... 1ν 1 ν 3 1
Σ 1 ... 1
ν ν ν ν
     
      
Το άθροισμα    ν 1 ν 3 ... 1     είναι μια αριθμητική πρόοδο με
     1α ν 1 και ω ν 3 ν 1 2       
Θα βρούμε το πλήθος των όρων της, έστω ν΄ (για να μην μπερδευτούμε με το ν), τότε
    ν' 1α 1 α ν' 1 ω 1 ν 1 ν' 1 2 1
ν
ν'
2
          
 
Άρα το πλήθος των όρων του αθροίσματος είναι ν/2.
Οπότε το άθροισμα    ν 'S ν 1 ν 3 ... 1      δίνεται από την σχέση,
   
2
ν ' 1 ν '
ν' ν ν
S α α ν 1 1
2 4 4
     
δηλαδή το ζητούμενο άθροισμα είναι
   
2
ν
ν 1 ν 3 ... 1 ν ν 44Σ 1 1 1 , ν άρτιος
ν ν 4 4
     
       
Περίπτωση 2η: Αν ν = περιττός αριθμός τότε ο τελευταίο όρος του αθροίσματος είναι το
2
ν
ή
το
0
ν
, αφού αν ο ν είναι περιττός τότε ο ν – 1 είναι άρτιος, όπως και κάθε αριθμός που

3. http://lisari.blogspot.gr
προκύπτει αν του μειώνουμε 2 μονάδες, στο τέλος δες θα περισσέψει τίποτα, οπότε ζητάμε το
άθροισμα,
ν 1 ν 3 2 1 0
Σ 1 ...
ν ν ν ν ν
 
      
Έχουμε διαδοχικά για να ανακαλύψουμε την πρόοδο,
   
   
   
     
ν 1 ν 3 ... 2ν 1 ν 3 2 1 0
Σ 1 ...
ν ν ν ν ν ν
ν 1 ν 3 ... 2ν 1
ν ν
ν 1 ν 3 ... 2ν 1
ν ν
ν 1 ν 1 ν
1
1
ν
3 ... 2
ν
     
         
    
 
    
 
      

έτσι αναζητούμε το άθροισμα του αριθμητή που είναι αριθμητική πρόοδος με
     1α ν 1 και ω ν 3 ν 1 2       
Θα βρούμε το πλήθος ν΄ των όρων της ακολουθίας, παίρνουμε τον γενικό όρο, δηλαδή
    ν' 1α 2 α ν' 1 ω 2 ν 1 ν' 1 2 2
ν 1
ν'
2
          

 
Επομένως το άθροισμα      ν 'S ν 1 ν 1 ν 3 ... 2        δίνεται από τον τύπο,
   
  
ν ' 1 ν '
ν 1 ν 3ν' ν 1
S α α ν 1 2
2 4 4
 
     
οπότε και το ζητούμενο άθροισμα είναι,
     
  
  
ν 1 ν 3
ν 1 ν 1 ν 3 ... 2 ν 1 ν 34Σ , ν περιττός
ν ν 4ν
 
        
   