Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος για το 3ο ΓΕΛ Πετρούπολης Πηγή: lisari.blogspot.gr

1. Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού
Επιμέλεια Θεμάτων: Μάκης Χατζόπουλος
Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
Τμήμα: Γ ΟΠ1 – 3ο
Λύκειο Πετρούπολης
Ημερομηνία: 15/2/2017
Ονοματεπώνυμο:_____________________________________________
Διάρκεια: 35 λεπτά
ΘΕΜΑ Α (μονάδες 5)
1) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν
• η f είναι συνεχής στο Δ και
• f ′(x) = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ,
τότε να αποδείξετε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.
ΘΕΜΑ Β (μονάδες 5)
Έστω δυο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν
• οι f, g είναι συνεχείς στο Δ και
• f ′(x) = g′(x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ,
τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε x ∈ ∆ να ισχύει: f(x) = g(x) + c.
ΘΕΜΑ Γ
Α. Δίνεται συνάρτηση f τέτοια ώστε     *
f x f x   R , για κάθε x R , τότε να αποδείξετε
ότι υπάρχει cR τέτοιο ώστε:   x
f x c e
  .
Μονάδες 5
Β. Να βρεθεί συνάρτηση g ορισμένη στο διάστημα ,
2 2
  
 
 
η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις
    g x x g x x 2συνx 0      και g (0) = 2017.
Μονάδες 5