Lógica matemática

1. Lógica matemática
Concepto de lógica matemática
La lógica matemática, también llamada lógica simbólica, lógica teorética, lógica
formal, o logística,1 es parte tanto de la lógica y como de la matemática, y consiste
en el estudio matemático de la lógica, y en la aplicación de dicho estudio a otras
áreas de la matemática y de las ciencias. La lógica matemática tiene estrechas
conexiones con las ciencias de la computación y con la lógica filosófica.
La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el
que codifican o definen nociones intuitivas de objetos matemáticos
como conjuntos, números, demostraciones, y algoritmos, utilizando un lenguaje
formal.
La lógica matemática se suele dividir en cuatro subcampos: teoría de
modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La
investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio
de los fundamentos de las matemáticas.
La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de
la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y
estudiadas matemáticamente.
La lógica matemática comprende dos áreas de investigación distintas: la primera
es la aplicación de las técnicas de la lógica formal a las matemáticas y el
razonamiento matemático y la segunda, en la otra dirección, la aplicación de
técnicas matemáticas a la representación y el análisis de la lógica formal.
Si la teoría de la demostración y la teoría de modelos han sido el fundamento de la
lógica matemática, no han sido más que dos de los cuatro pilares del sujeto. La
teoría de conjuntos se originó en el estudio del infinito por Georg Cantor y ha sido
la fuente de muchos de los temas más desafiantes e importantes de la lógica
matemática, a partir del teorema de Cantor, a través del estatus del axioma de
elección y la cuestión de la independencia de la hipótesis del continuo, al debate
moderno sobre grandes axiomas cardinales.
La teoría de la recursión captura la idea de la computación en términos lógicos y
aritméticos. Sus logros más clásicos son la indecidibilidad
del Entscheidungsproblem de Alan Turing y su presentación de la tesis de Church-
Turing. Hoy en día, la teoría de la recursión se ocupa principalmente del problema
más refinado de las clases de complejidad (¿cuándo es un problema
eficientemente solucionable?) y de la clasificación de los grados de insolubilidad.

2. Definición y clases de proporciones
 Proposiciones Simples:
Son aquellas que no tienen oraciones componentes afectadas por
negaciones (“No”) o términos de enlace como conjunciones (“y”),
disyunciones (“o”) o implicaciones (“si . . . entonces”). Pueden aparecer
términos de enlace en el sujeto o en el predicado, pero no entre oraciones.
 Proposiciones Compuestas:
Una proposición será compuesta si no es simple. Es decir, si está afectada
por negaciones o términos de enlace entre oraciones componentes.
EJEMPLOS:
Simples:
•La ballena es roja.
•La raíz cuadrada de 16 es 4.
•Gustavo es alto.
•Teresa va a la escuela.
Compuestas:
•La ballena no es roja.
•Gustavo no es alto.
•Teresa va a la escuela o María es inteligente.
•4 es menor que 8 o 6 es mayor que 10.
•El 1 es el primer número primo y es mayor que cero.
•El 7 es mayor que 5 y 7 es menor que 10.
•Si Yolanda es estudiosa entonces pasará el examen.
•Si corro rápido entonces llegaré temprano.
•Terminaré rápido si y sólo si me doy prisa.
•Aprenderé Matemáticas si y sólo si estudio mucho.

3. Conectivos lógicos en proporciones compuestas
NEGACIÓN
Palabras conectivas: no, no es cierto que, no es verdad que, nunca, carece de,
sin, etc.
Prefijos negativos: a, des, in, i.
Condición: lo V se transforma en F (y al revés) P -p
CONJUNCIÓN:
Palabras conectivas: y, aunque, pero, mas, también, sin embargo, además, etc.
Condición: es V cuando ambas son V.
Ejemplo:
Sea el siguiente enunciado "el auto enciende cuando tiene gasolina en el tanque y
tiene corriente en la batería"
Sean:
p= tiene gasolina el tanque

4. q = tiene corriente la batería
r = el auto enciende = p ^ q
La conclusión resultante es que para que el auto encienda se debe tener gasolina
en el tanque y corriente en la batería, sino se tiene una de estas dos condiciones
el arrancará.
DISYUNCIÓN INCLUSIVA
Una, otra o ambas a la vez. (y/o)
Palabras conectivas: o
Condición: es F cuando las dos son F.
Ejemplo:
Sea el siguiente enunciado "Una persona puede entrar al cine si compra boleto u
obtiene un pase"
Sean:
p= compra boleto
q = obtiene un pase
r = una persona entra al cine = p v q
La conclusión resultante es obvia, puesto que para entrar al cine es necesario
tener por lo menos una de las dos condiciones: comprar un boleto o tener un pase,
si se tiene ambas también se puede entrar, si no tengo ninguna de las dos
alternativas entonces no se puede entrar al cine.

5. DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
O una o la otra (NUNCA ambas juntas)
Palabras conectivas:
O ......... o .....
O bien .... o bien
.... a menos que ....
.... salvo que ......
Condición: es V cuando uno es V y el otro es F.
LA CONDICIONAL
Palabras conectivas: Si ..p.. entonces ..q.. Si ..p.. , ..q.. Cuando .......p............. ,
......q.. Siempre ......p............. , ....q.. Es condición suficiente..p..para que..q..
.........q........ sólo si ......p....... Es condición necesaria...q..para que..p..
Condición: es falsa sólo si el antecedente (p) es V y el consecuente (q) es F.

6. Ejemplo:
Si se tiene lo proposición "Si un cuerpo se calienta, entonces se dilata", se
observa que estamos diciendo es que la primera proposición "si el cuerpo se
calienta" implica a la segunda proposición " entonces se dilata", pero no se afirma
que el antecedente es verdadero, ni el consecuente es verdadero, puede ser que
el cuerpo no se calentó y el cuerpo se dilato por causa de otros factores ajenos a
la temperatura, un golpe
LA BICONDICIONAL
Palabras conectivas: si y sólo si; cuando y sólo cuando; es equivalente a; es
condición suficiente y necesaria para; etc.
Condición: son verdaderas si ambas proposiciones tienen el mismo "valor de
verdad".

7. NEGACION CONJUNTA
Simbolizaciones equivalentes:
Palabras conectivas:
Ni.... ni.....
No.... ni.....
Condición: es V si sólo ambas proposiciones son F.
NEGACION CONJUNTA
Simbolizaciones equivalentes:
Palabras conectivas:
O no............... o no......
Es incompatible.... con.......
Condición: es F si las proposiciones son ambas V

8. Proporciones condiciones
El condicional material, conocido como condicional, condicional funcional de
verdad, o imprecisamente como implicación material, es una conectiva
lógica que conecta dos proposiciones. En lógica proposicional, el condicional
material es una función de verdad binaria, que se vuelve falso cuando B es falsa
siendo A verdadera, y se vuelve verdadero en cualquier otro caso. En lógica de
predicados, puede ser visto como una relación de subconjuntos entre la extensión
de predicados (posiblemente complejos).
En el lenguaje natural, el condicional se expresa por medio de palabras como las
siguientes:
 Si llueve (, entonces) voy al cine.
 Voy al cine a menos que no llueva.
 Voy al cine solo / solamente si llueve.
 Voy al cine si llueve.
 Cuando llueve, voy al cine.
 Si A, entonces B.
El condicional material intenta ser la versión formal de estas expresiones del
lenguaje natural, y en orden descendente de acuerdo a la frecuencia de uso, se
denota formalmente como:
Donde A y B son proposiciones cualesquiera. Las variables A y B se conocen
respectivamente como el antecedente y el consecuente del condicional.
Es importante no confundir el concepto de condicional material con el
de implicación lógica. La confusión es exacerbada porque los símbolos y son
imprecisamente usados como expresiones equivalentes por muchos, cuando
realmente no lo son. Aunque en conversaciones del día a día la diferencia no tiene
mayor impacto, la diferencia sutil entre ambos conceptos es significativa en el
entendimiento correcto de la lógica proposicional.

9. Proposición bicondicional
Ya vimos que p→q no es lo mismo que q→p. Puede ocurrir, sin embargó, que
ambos p→q y q→p son verdaderas. Por ejemplo, si p: "0 = 1" y q: "1 = 2,"
entonces p→q y q→p ambas son verdaderas porque p y q ambas son falsas. La
proposición p↔q se define como la proposición (p→q) (q→p). Por esta razón, la
flecha de doble cabeza ↔ se llama el bicondicional. Obtenemos la tabla de
verdad para p↔q construyendo la tabla para (p→q) (q→p), que nos da lo
siguiente.
Bicondicional
El bicondicional p↔q, que leemos "p si y solo si q" o "p es equivalente a
q," se define por la siguiente tabla de verdad.
p q p↔q
V V V
V F F
F V F
F F V
La flecha "↔" es el operador bicondicional.
Ten en cuenta que, en la tabla de verdad, vemos que, para p↔q ser
verdadera, ambas p y q deben tener los mismos valores de verdad; sí no,
es falsa la conversa.
Algunas frases del Bionditional
Cada uno de los siguientes es equivalente al bicondicional p↔q.
p si y solo si q.
p es necesario y suficiente para q.
p es equivalente a q.
Ten en cuenta que p↔q es lógicamente equivalente a q↔p (se le pedirá
mostrar esto como un ejercicio), así que podemos invertir p y q en las
frases de arriba.

10. Para la frase "p si y solo si q," recuerde que "p si q" significa q→p mientras "p solo
si q" significa p→q. Para la frase "p es equivalente a q," las proposiciones A y B
son lógicamente equivalentes si y solo si la proposición A↔B es una tautológia
(¿por qué?). Regresaremos a ese tema en la siguiente sección.
Ejemplo
(a) Verdad o falsa? "1+1 = 3 si y solo si Marte es un agujero negro."
(b) Reformula la oración: "Enseño matemáticas si y solo si me pagan una
gran suma de dinero."
Solución
(a) Verdadera. La proposición dada tiene la forma p↔q, dónde p: "1+1=3" y
q: "Marte es un agujero negro." Ya que ambas proposiciones son falsas, el
bicondicional p↔q es verdadera.
(b) Aquí están algunas maneras equivalentes de expresar esta oración:
"Enseñar matemática es necesario y suficiente para que me paguen
una gran suma de dinero."
"Me pagan una gran suma de dinero si y solo si enseño
matemáticas."
Lamentablemente para nuestras finanzas, ninguna de las dos oraciones es
verdad.

11. Tautología, equivalencia y contradicción
•TAUTOLOGÍA: Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera
para todas las asignaciones de valores de verdad para sus proposiciones
componentes. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de
verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están
establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:
•CONTRADICCIÓN: Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción,
aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor
siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad
de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las
relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:
•CONTINGENCIA: Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho,
aquella proposición que puede ser verdadera o falsa, (combinación entre
tautología y contradicción) según los valores de las proposiciones que la integran.
Sea el caso:
Leyes notables en lógica

12. 1. Ley de doble negación: Dentro de un sistema de lógica clásica, la doble
negación, esto es, la negación de la negación de una proposición p,
eslógicamente equivalente a p. Expresado simbólicamente, ¬(¬p) ⇔ p.
En lógica intuicionista, una proposición implica su doble negación, pero no
al revés. Esto marca una importante diferencia entre la negación clásica e
intuicionista. Algebraicamente, la negación clásica es llamada
una involución de periodo dos.
Sin embargo, en lógica intuicionista, sí tenemos la equivalencia entre
¬¬¬p y ¬p. Es más, en el caso proposicional, una oración es demostrable
de forma clásica, si su doble negación es demostrable de manera
intuicionista. Este resultado es conocido como el teorema de Glivenko.
2. Leyes de idempotencia: En matemática y lógica, la idempotencia es la
propiedad para realizar una acción determinada varias veces y aun así
conseguir el mismo resultado que se obtendría si se realizase una sola vez.
Un elemento que cumple esta propiedad es un elementoidempotente, o
un idempotente. De esta manera, si un elemento al multiplicarse por sí
mismo sucesivas veces da él mismo, este elemento es idempotente. Por
ejemplo, los dos únicos números reales que son idempotentes, para la
operación producto (·), son 0 y 1. (0·0=0,1·1=1).
3. Leyes asociativas: Las "Leyes asociativas" quieren decir que no importa
cómo agrupes los números (o sea, qué calculas primero) cuando sumas o
cuando multiplicas.
(a + b) + c = a + (b + c)
(a × b) × c = a × (b × c)
4. Leyes conmutativas: Las "leyes conmutativas" sólo quieren decir que
puedes intercambiar los números cuando sumas o cuando multiplicas y la
respuesta va a ser la misma.
a + b = b + a
a × b = b × a

13. 5. Leyes distributivas: La "ley distributiva" es la MEJOR de todas, pero hay
que usarla con mucho cuidado Quiere decir que la respuesta es la misma
cuando:
 sumas varios números y el resultado lo multiplicas por algo, o
 haces cada multiplicación por separado y luego sumas los resultados
Así:
(a + b) × c = a × c + b × c
6. Leyes de Morgan: En lógica proposicional y álgebra de Boole, las leyes de
de Morgan son un par de reglas de transformación que son ambas reglas
de inferencia válidas. Las normas permiten la expresión de
las conjunciones y disyunciones puramente en términos de sí vía negación.
Las reglas se pueden expresar en español como:
La negación de la conjunción es la disyunción de las negaciones.
La negación de la disyunción es la conjunción de las negaciones.
o informalmente como:
"no (A y B)" es lo mismo que "(no A) o (no B)"
y también,
"no (A o B)" es lo mismo que "(no A) y (no B)"
Las reglas pueden ser expresadas en un lenguaje formal con dos
proposiciones P y Q, de esta forma:

14. Métodos de demostraciones
1. Métodos de Demostración en Matemáticas Lic. Renzo Hubert Osorio Coya
2. En matemáticas no se acepta una proposición como verdadera hasta que se
construye su demostración formal aunque la proposición sea válida para un
número finito de casos no significa quesea válida para todo el universo, por
ejemplo la conjetura de Gold Bach(todo número par mayor que 2 puede escribirse
como suma de dos números primos) se ha verificado utilizando computadoras
para millones de casos pero a pesar de ello no se acepta como verdadera.
3. Veamos el siguiente razonamiento: Si x=y
entonces:3x=3y2y=2xluego:3x+2y=3y+2x3x-3y=2x-2y3(x-y)=2(x-y)3=2¿qué paso?
4. Aquí consideraremos los siguientes métodos de demostración: a) Método
directo de demostración b) Métodos indirectos de demostración por contrapositiva
por reducción al absurdo) Método de Inducción matemáticas) Método por
contraejemplo
5. A) MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN DIRECTA Aquí se tiene como hipótesis
verdaderas las proposiciones P1, P2,…,Pn procediendo a la deducción de que la
conclusión Q es verdadera a través de un proceso lógico deductivo, es decir como
una cadena de implicaciones lógicas. El esquema de demostración en el método
directo es de la forma: P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → Q
6. El método de demostración directo tiene como fundamento lógico la regla de
inferencia clásica o esquema argumentativo válido llamado Modus Ponens: [ P∧
(P→Q) ] →Q que significa: si la hipótesis P es verdadera y la hipótesis P implica la
conclusión Q entonces la conclusión Q es verdadera.
7. B) MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN INDIRECTOS Método de demostración
por contrapositiva Tiene como fundamento la equivalencia lógica entre las
proposiciones P→Q y ~Q→~P) Para realizar una demostración por el contrario
positiva se toma como hipótesis la negación de la conclusión escrita como
8. ~Q para obtener como conclusión la negación de la hipótesis escrita como
~P,ello se puede generalizar para el caso que se tengan varias premisas.
9. Método de demostración por reducción al absurdo Se atribuye al filósofo griego
Zenón de Elea, alrededor del siglo V a.C., la invención del método de reducción al
absurdo que utilizaba en sus argumentos y en sus famosas paradojas, desde
entonces es un método ampliamente aplicado en matemáticas.

15. 10. El procedimiento general para demostrar indirectamente por reducción al
absurdo una proposición de la forma (P1∧P2∧…∧Pn ) → Q consiste en:1)
Asumimos que la condicional es falsa luego las proposiciones P1, P2,…, Pn y~Q
son verdaderas2) De lo anterior debemos llegar a una contradicción, por lo que la
condicional tiene que ser verdadera.
11. Aristóteles fundamento lógicamente la demostración por reducción al absurdo
en dos principios: principio de no contradicción ~(p∧~p) considerada ley suprema
de la lógica según Kant y Aristóteles, que significa que una proposición no es
verdadera y falsas simultáneamente y el principio del tercero excluido (p∨~p) que
significa que una proposición es verdadera o falsa.
12. Si no son aceptados los principios anteriores, el método de reducción al
absurdo carece de fundamento lógico.
13. C) MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN POR EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN
MATEMÁTICA El principio de inducción matemática es un principio
universalmente válido en matemáticas y es fundamentalmente uno de los axiomas
de los números naturales construidos por el matemático italiano Giuseppe Peano
a finales del siglo XIX.
14. Las demostraciones por el principio de inducción matemática se consideran
indirectas. El principio de inducción matemática es utilizado para demostrar la
veracidad de proposiciones p(n) donde n es un número natural mayor o igual que
un valor inicial no, el principio de inducción matemática consiste en:1) Inicialmente
se verifica que la proposición p(n) es verdadera para n=no es decir p (no) es
verdadera.
15. ii) Se enuncia la hipótesis de inducción: p(k) es verdadera para el número
natural.(iii) Usando la hipótesis de inducción enunciada en (ii) y otras
proposiciones verdaderas demostradas anteriormente se demuestra que p (k+1)
es verdadera.iv) La conclusión consiste en que p(n) es verdadera para todo n≥no
16. D) MÉTODO POR CONTRAEJEMPLO Este método se aplica de manera muy
particular para demostrar la falsedad de proposiciones cuya hipótesis está
construida mediante un "cuantificador universal". Esto es, se aplica para demostrar
la falsedad de una proposición que tenga una conclusión referida para "todos los
elementos de un cierto conjunto".
17. “Una demostración consiste en una sucesión de formulas que, o bien son
axiomas, o bien son teoremas, o se han obtenido de éstas mediante inferencias
admisibles”. Hilbert “Los encantos de esta ciencia sublime, las matemáticas, sólo

16. se le revelan a aquellos que tienen el valor de profundizar en ella”. Carl Friedrich
Gauss
18. Un axioma es una proposición que se considera «evidente» y se acepta sin
requerir demostración previa. Un postulado es una proposición no evidente por sí
misma, ni demostrada pero que se acepta ya que no existe otro principio al que
pueda ser referida.
19. Un lema es una proposición demostrada, utilizada para establecer un teorema
menor o una premisa auxiliar que forma parte de un teorema más general Un
teorema es una afirmación que puede ser demostrada dentro de un sistema
formal. Demostrar teoremas es un asunto central en la lógica y la matemática.
20. Un corolario es una conclusión obvia o inevitable que se desprende de ciertos
antecedentes