Monotonia, ekstremumet, perkulshmeria e nje funksioni

2. Objektivat:
Të tregohet kur funksioni është monoton ritës dhe zbritës;
Të gjenden ekstremumet;
Të tregohet kur grafiku i funksionit është i lugët ose i mysët;
Të zgjidhen ushtrime për variacionin e funksionit;

4. Teoremë 1: Në qoftë se funksioni y = f(x) i vazhdueshëm në intervalin
I=]a,b[ dhe i drivueshëm në pikat e brendshme të tij, ka derivat pozitiv në
cdo pikë të intervalit I, atëhere ky funksion është monoton rritës në
intervalin I.
x
f’(x) + -
f
a
0

5. Teoremë 2: Në qoftë se funksioni y = f(x) i vazhdueshëm në intervalin
I=]a,b[ dhe i drivueshëm në pikat e brendshme të I-së, ka derivat negativ
në cdo pikë të intervalit I, atëhere ky funksion është monoton zbritës në
intervalin I.
x
f’(x) - +
f
a
0

6. Shembull: Të shqyrtohet monotonia e funksionit
2
5 6y x x  
Zgjidhje:
: 2 5Për cdo x R kemi y x  
Studjojmë shenjën e binomit 2x-5
x -∞ +∞
y’ - +
y
𝟓
𝟐
0
5
; ;
2
5
; ;
2
për x funksioni është zbritës
për x funksioni është rritës
 
   
 
   

7. Ekstremumet
Teorema 3: Nëse funksioni në çdo pikë të intervalit të parë e të dytë dhe në
pikën a є I kemi f ‘(a) = 0 dhe f "(x) ≠ 0 , atëherë ky funksion ka në pikën a
ekstremum.
Ky ekstremum është maksimumm kur f "(a)< 0 dhe minimum kur f"(a)< 0 .
Shembull: Gjeni ekstremumet e funksionit
 2
Gjejmë derivatin e pa 6 6rë 1: 6y x xy x x    
 E barazojmë atë me zero :6 1 0x x  
Derivati ka zgjidhje ose .0 1x x 
 
 
Gjejmë derivatin e dytë dhe zëvëndësojmë vlera
12 6
0 0 6 6
1 12
t që gjetë
6
m
.6
:
y x
y
y
  
    
   
Pra, funksioni ka maksimum në pikën x 0 dhe minimum në pikën x 1. 

9. Teoremë 4: Kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që
funksioni y = f(x) dy herë i drivueshëm në intervalin I të jetë
i lugët (mysët) në të është që f "(x)> 0 (f "(x)< 0 ) për cdo x
є I.
x
f" (x) + -
f
a
0

10. Shembull: Shqyrtoni përkulshmërinë e vijës me ekuacion:
3 21
6 4 2
3
y x x x   
Zgjidhje: Njehsojmë derivatin e dytë:
 
 
2
12 4
2 12
f x x x
f x x
   
  
2 12 0
6
x
x
 

x -∞ +∞
f" (x) - +
f
6
0
 
 
;6 ;
6; .
në vija është e mysët
në vija është e lugët

