魁!!広島ベイズ塾の分布お勉強会の資料です。ベータ分布についてです。

1. ベータ分布 #とは
平川 真

2. ベータ分布の特徴
> 連続型確率分布
> 2つの形状パラメタ (> 0) をもつ beta(p, q)
> 範囲は0から1
> 尤度がベルヌーイ分布や2項分布である場合の
自然共役事前分布
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3. どんな分布か
“この分布の意味は，余り適当な例がありませんが（比較的
用いられない），次のように考えて下さい。独立に一様分布
U(0,1) に従う p+q-1 個の確率変数を大きさの順に並べ替
えたとき，小さい方から p 番め（大きい方からは q 番目）の
確率変数 X の分布がベータ分布 B(p,q) となります。”
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakuc/toukei/beta/beta.htm
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4. ベータ分布の形
とりあえず、パラメタを変えてかたちをみてみる
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5. ベータ分布の形
0から1の範囲で、
いろんなかたちになる
5http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/UDR/PDFs/Beta.pdf

6. ベータ分布の確率密度関数
𝑓 𝑥 𝑝, 𝑞 = 𝐵(𝑝, 𝑞)−1
𝑥 𝑝−1
(1 − 𝑥) 𝑞−1
ベータ関数
𝐵(𝑝, 𝑞) =
0
1
𝑥 𝑝−1
(1 − 𝑥) 𝑞−1
𝑑𝑥
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カーネル正規化定数

7. ベータ分布の平均と分散
𝐸[𝑋] =
𝑝
𝑝 + 𝑞
𝑉[𝑋] =
𝑝𝑞
(𝑝 + 𝑞)2 (𝑝 + 𝑞 + 1)
パラメタを平均と分散であらわすと…
𝑝 = 𝑟𝐸 𝑋 𝑞 = 𝑟(1 − 𝐸 𝑋 )
∗ 𝑟 =
𝐸[𝑋](1−𝐸 𝑋 )
𝑉[𝑋]
− 1
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8. 平均を0.5として、分散を変えてみる
平均 = 0.5, 分散 = 0.05 の場合 (r = 4)
⇒ p = 2, q = 2
平均 = 0.5, 分散 = 0.005 の場合 (r = 49)
⇒ p = 24.5, q=24.5
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9. 他の分布との関係
p=qで∞にすると正規分布になる
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10. 他の分布との関係
p=q=1で、標準一様分布
p=q=0.5で、アークサイン分布
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11. いつ使うの？
> 成功確率θの事前分布としてよくつかう
とくに無情報事前分布であるBeta(1,1)
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12. おまけ）自然共役事前分布
尤度に2項分布のカーネル、事前分布にベータ分布のカーネルをいれる
⇒
したがって事後分布はパラメタ(p’,q’) のベータ分布になる
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p’ = x + p
q‘ = n – x + q