1. Demostración Teorema de Euclides referente a la altura
En todo triángulo rectángulo de altura y proyecciones p y q, la altura es la media
proporcional geométrica entre las proyecciones determinadas por los catetos sobre la
hipotenusa, es decir:
Demostración:
Aplicando el teorema particular de Pitágoras a los triángulos DBC y ADC puedes obtener las
siguientes igualdades:
Sumando miembro a miembro observas que:
Siendo ABC un triángulo rectángulo, sabemos que , por el teorema de Pitágoras,
por lo tanto:

2. Y como , tienes que:
De donde, finalmente, deduces la igualdad requerida, es decir:
Queda entonces demostrado el teorema.

3. Demostración Teorema de Euclides referente a los catetos
En todo triángulo rectángulo ABC de lados a, b y c con proyecciones q y p sobre la
hipotenusa, el cuadrado de un cateto es la media proporcional geométrica entre la hipotenusa y
la proyección que determina este cateto sobre la misma, es decir:
Demostración de
Si aplicas el teorema de Pitágoras al triangulo DBC tienes que:
Y del teorema de Euclides referente a la altura , podemos escribir:
Si ahora sacas factor común p, puedes escribir la igualdad anterior como sigue:
Teniendo en cuenta que deduces la igualdad deseada, es decir:

4. Queda entonces demostrado el teorema.
Actividad
Mediante un razonamiento completamente análogo, prueba que