1) O documento discute princípios pedagógicos para o ensino de medidas espaciais no ensino fundamental. 2) Inclui atividades para identificar os conhecimentos prévios das crianças sobre espaço e forma, como desenhar a escola e identificar formas geométricas. 3) Aborda como as crianças constroem conceitos espaciais inicialmente por meio de experiências com o corpo e objetos no ambiente.

1. Proposta Curricular - CBC
Ciclo da Alfabetização - Fundamental - Ciclos
PRINCÍPIOS PEDAGÓGICOS PARA MEDIDAS ESPACIAIS
NO ENSINO FUNDAMENTAL
Tão importante quanto os números vamos enfocar a parte da Geometria para explorar
a compreensão do espaço, sua ocupação e medida e as superfícies, suas formas e
medidas. Neste módulo, vamos refletir sobre como a criança elabora os primeiros
conceitos geométricos no que se refere ao seu esquema corporal e às noções

2. relativas ao espaço, bem como as propriedades das figuras planas e dos sólidos
geométricos.
Os conhecimentos geométricos nas séries iniciais do Ensino Fundamental estão
associados à exploração do espaço e dos movimentos, e são adquiridos,
gradualmente, a partir das experiências no mundo físico e das interações propiciadas
pelas diversas formas de linguagem. A sistematização do conhecimento geométrico –
identificação de propriedades, classificação, conceituação precisa, comprovação, entre
outras – deve ser feita progressivamente e com significação.
4. ESPAÇO E FORMA
Para abordar espaço e forma, os PCN's sugerem que o professor trabalhe com
situações que levem o aluno a descrever e representar o mundo em que vive. Para
isto o aluno precisa saber localizar-se no espaço, movimentar-se nele, dimensionar
sua ocupação, perceber a forma e o tamanho de objetos e a relação disso com o seu
uso.
Enquanto a criança observa, compara e manipula objetos, ela está fazendo
geometria. Ela aprende no contato com os elementos do seu ambiente. Enquanto
manipula caixas, latas, blocos, etc. vai descobrindo formas, percebendo
dimensões, observando semelhanças e diferenças. Nestas atividades elas são
conduzidas a classificações e conceitos fundamentais de geometria.
.INÍCIO DE CONVERSA
Para início de conversa convém lembrar que, ao chegar à escola a criança começa
uma nova etapa de sua vida, porém esse novo marco não parte necessariamente do
ponto zero em relação à construção das noções matemáticas.
O que considerar quando a criança inicia a fase escolar?
O indivíduo nasce e convive em um ambiente sócio-cultural em que o número é
uma forma de expressão e comunicação. Interagindo com pessoas e situações do seu
cotidiano, a criança resolve seus problemas por meio de estabelecimento de
comparações entre objetos do espaço físico e objetos do espaço geométrico -
esféricos, cilíndricos, cônicos, cúbicos, piramidais - sem uso obrigatório de
nomenclatura.
A criança aprende no contato com os elementos do seu ambiente. Para isto ela
precisa de liberdade e tempo para explorar, descobrir e construir conceitos
geométricos. É um processo que desenvolve por meio de experiências vividas em
atividades construtivas e sensoriais.
Ao chegar à escola, a criança, portanto, possui muitas noções matemáticas
incipientes, incompletas e informais pois ela vive rodeada de formas e dimensões.
Quando a criança chega à escola, traz muitas noções de espaço, pois suas primeiras
experiências no mundo são, em grande parte, de caráter espacial. Primeiramente a
criança se encontra com o mundo e nele faz explorações para ir progressivamente
criando formas de representação desse mundo em imagens, desenhos e linguagem

3. verbal. Quando as crianças estão envolvidas em tarefas de exploração do espaço e,
enquanto se movem nele interagindo com objetos, adquirem várias noções intuitivas
que constituirão as bases de sua competência espacial.
Essas experiências prévias se constituirão em um referencial para o
planejamento da atividade docente.
Vale pensar:
-Quais são as vivências numéricas e espaciais elaboradas pelas
crianças que estão começando uma atividade construtiva que implica
aprender algo de um modo significativo?
-Que base possuem para sustentar uma nova aprendizagem ou re-
significar um conceito em fase de construção?
Para fazer um levantamento dos conhecimentos prévios dos alunos em relação à
Geometria, as crianças desenvolveram várias atividades com objetivos de :
- determinar a sua própria posição em um ambiente familiar, estabelecendo
pontos de referências quaisquer, descrevendo oralmente e representando na
folha de papel,
- perceber seu próprio deslocamento em espaços familiares em termos de
direção e sentido evocando mentalmente um determinado deslocamento e
representando na folha de papel,
- representar numa planta caminhos descritos e deslocamentos habituais,
- perceber formas tridimensionais e reconhecer semelhanças e diferenças
entre elas.
- identificar representações planas de formas tridimensionais: planificações
e fotografias.
- perceber relações espaciais de simetria no interior de uma figura plana,
em relação a um eixo horizontal dado.

4. Atividade 1: Foi pedido às crianças que desenhassem a escola e a praça Higino
Bonfioli que localiza-se próxima da escola. Os desenhos foram de partes isoladas
da região ou de situações familiares. Conforme as ilustrações anteriores. A
próxima etapa era apresentar uma planta do quarteirão da escola. A professora
entregou a planta e as crianças não conseguiram descrever verbalmente
deslocamentos habituais.
Pudemos detectar que os alunos não conhecem as ruas próximas à escola.
Sabem que existe uma padaria mas, não sabem como fazer para ir da escola até
determinada rua.
Atividade 2: Foram apresentadas duas formas de sólidos: cubo e paralelepípedo.
Discutimos com os alunos sobre as características de cada sólido e definimos um
cubo como sendo um sólido que tem as seis faces quadradas. Cada conjunto de três
arestas se encontra num ponto denominado vértice e duas destas arestas sempre
formam um ângulo reto. As seis faces são paralelas duas a duas.
O bloco retangular foi definido como a forma geométrica de vários tipos de caixas, tais
como caixas de sapatos, de remédio ou de pasta de dente. Cada bloco retangular é

5. formado por seis faces com forma de retângulo. Então, definimos o paralelepípedo
como um sólido geométrico com seis faces, sendo que as faces opostas são paralelas.
Depois foram apresentadas as planificações das cascas dos sólidos e pedimos que
os alunos identificassem a planificação que correspondia a cada figura.
Os alunos falam do cubo que é menor que o paralelepípedo e também que os dois
têm as bases quadradas. E concluem - Cabe mais areia no paralelepípedo do que no
cubo.
Mostramos que nem sempre um cubo é menor que um paralelepípedo e que por isto
só vai caber mais areia no paralelepípedo se ele tiver uma base quadrada de mesma
medida do cubo. Lembramos que o paralelepípedo é um sólido que se assemelha a
uma caixa de sapato, portanto, nem sempre ele tem as bases quadradas.
Atividade 3: Foram apresentadas figuras retangulares, pentagonais e hexagonais em
uma folha de papel e entregue uma folha de papel quadriculado em branco. Foi pedido
que os alunos copiassem igualzinho as figuras na outra folha de papel.
Os alunos reproduzem com dificuldade, mantendo a mesma forma mas
desconsiderando as medidas.

6. Outros alunos fizeram outras figuras geométricos como paralelogramos e
trapézios, intercalados com quadrados e retângulos.
DIALOGANDO COM OS PCNs
O primeiro objetivo especificado pelos Parâmetros Curriculares Nacionais
para o bloco de Espaço e Forma é:
-Estabelecer pontos de referência para situar-se, posicionar-
se e deslocar-se no espaço, bem como para identificar relações
de posição entre objetos no espaço; interpretar e fornecer
instruções, usando a terminologia adequada.

7. Ora, já dissemos que é por meio de brincadeiras, do convívio com os
familiares e outras pessoas que a criança vai se descobrindo no mundo
em que vive.
Os conteúdos conceituais e procedimentais listados pelos PCN
referentes a este objetivo são:
... Localização de pessoas ou objetos no espaço, com base
em diferentes pontos de referência e algumas indicações
de posição.
... Movimentação de pessoas ou objetos no espaço, com
base em diferentes pontos de referência e algumas
indicações de direção e sentido.
... Descrição da localização e movimentação de pessoas ou
objetos no espaço, usando sua própria terminologia.
... Dimensionamento de espaços, percebendo relações de
tamanho e forma.
O texto anterior que descreve a geometria experimental, manipulativa e percepção
de espaços, formas e figuras aborda esse conteúdo. Cabe ao professor enriquecê-lo
com outras situações e atividades apropriadas para o nível de sua turma.
O pensamento lógico-matemático, segundo Piaget, decorre da ação (interação)
entre o sujeito e o objeto. Esta ação advém da necessidade/desejo do sujeito de se
adaptar ao meio, ordenadamente, em posições, direções, movimentos dentro de um
determinado espaço. Conforme afirma Rubens Alves, “organizar o mundo é fazê-lo
uma extensão do corpo, é submetê-lo a princípios de ordenação estabelecidos pelas
necessidades do sujeito que organiza”. Essa organização corresponde a um
conhecimento objetivo de si mesmo e dos objetos do espaço. A criança adquire este
conhecimento objetivo através da evolução da percepção, à medida que vai se
libertando de seu egocentrismo e descentrando seu pensamento. Ambiente rico em
oportunidades e desafios favorece uma descentração progressiva da percepção
espacial até o raciocínio espacial.
A estruturação do conceito de espaço é de grande importância para o
desenvolvimento afetivo, cognitivo e motor da criança. Saber colocar-se, realmente ou
imaginariamente, no “lugar de “, “à frente”, “atrás”, “entre”, “na posição inversa”,
“caminhar par frente e para trás”, “dar meia volta, uma volta completa, volta e meia” e
outras posições é fundamental para a construção do espaço. É usando seu corpo que
a criança explora o espaço e vai construindo os conceitos espaciais. E, é assim que
consegue trabalhar e desenvolver seu esquema corporal, garantindo suas referências
básicas, ou seja, as posições embaixo e em cima, atrás e à frente e a lateralidade,
esquerda e direita. O eixo transversal limitado pelos pontos relativos ao “embaixo” e
“em cima” é o primeiro a ser construído. O eixo frontal é elaborado depois, porque os
conceitos posicionais “à frente” e “atrás” são relativos e mais flexíveis que os
anteriores, pois num mesmo espaço, o que se encontra à frente e atrás de uma
pessoa pode ser diferente do que está nessas posições em relação a outra pessoa,

8. sendo que o mesmo, na maioria das vezes, não ocorre quando se considera os pontos
em cima e embaixo. O terceiro eixo construído é o que se refere ao plano sagital,
correspondente à lateralidade. Os conceitos de “esquerda” e “direita” exigem um
tempo mais longo para sua elaboração.
Quando a criança já assimilou o esquema corporal e usa estas referências nas
suas brincadeiras e movimentações ela vai, progressivamente, transferindo este
esquema para o objeto. Ao contar as faces de um cubo, por exemplo, o correto é
segurá-lo em uma das mãos e apontar a face de cima, a de baixo, a que está à frente,
a de trás, a da esquerda e a da direita, perfazendo 6 faces. Esta habilidade somente
faz sentido para a criança se ela já usa o esquema corporal.
Ao iniciar o trabalho de geometria com os alunos de 6 anos, a professora deve
ter o cuidado de considerar as experiências prévias, pois eles chegam à escola com
muitas noções de espaço. O desenvolvimento infantil é essencialmente espacial em
certos períodos.
A criança descobre o espaço em seu entorno, explora-o, para posteriormente ir
criando formas de representação desse mundo por meio de imagens, desenhos,
linguagem verbal. Usando essas possibilidades, a criança vai desenvolvendo sua
competência espacial que consiste na capacidade do indivíduo de transformar objetos
em seu meio e orientar-se por entre objetos nesse espaço. Ligadas a essa
competência de ser, ler e estar no espaço, existem as capacidades de perceber o
mundo visual com precisão, realizar modificações das percepções e recriá-las mesmo
na ausência de estímulos visuais.
A criança passa por três etapas quanto ao desenvolvimento da percepção
espacial: a do vivido, a do percebido e a do concebido. O espaço vivido corresponde
ao espaço físico, presente, vivenciado por meio das brincadeiras. O espaço percebido
é aquele que já foi abstraído e não carece ser mais experimentado fisicamente pois a
criança o retém na memória. O espaço concebido surge quando a criança consegue
identificá-lo através de representações gráficas e interpretá-lo por meio de relações
espaciais já construídas. Nessa etapa, ela é capaz, também, de representar espaços
vivenciados.
Para construir conceitos espaciais se faz necessário o desenvolvimento da
percepção espacial que corresponde à “capacidade de reconhecer e discriminar
estímulos no espaço e a partir da espaço, e interpretar esses estímulos associando-os
a experiências anteriores”. (Lindquist & Shulte, 1994).
As habilidades que organizam a percepção espacial são:
· Coordenação motora visual: é a capacidade de coordenar a visão com o
movimento do corpo. Quando a criança mira um alvo para acertar com a bola,
ela usa esta habilidade.
· Constância perceptiva: consiste em identificar propriedades invariantes de
um objeto apesar dos detalhes que dificultam sua impressão visual. Quando se
vê um carro, por exemplo, de um ponto mais alto a impressão é de que ele seja

9. bem pequeno, porém, a certeza da constância de forma e tamanho faz vê-lo
pequeno e admiti-lo maior.
· Memória visual: consiste na capacidade de recordar um objeto que não
esteja presente no campo visual. Conseguir desenhar um objeto que não vê,
significa manter sua forma na memória conservando suas características
principais.
· Percepção de figuras planas: é a capacidade de distinguir uma figura
específica dentre vários estímulos visuais. Esta habilidade está ligada, também,
à percepção de figura e fundo.
· Discriminação visual: relaciona-se à capacidade de discriminar propriedades
dos objetos determinando semelhanças e diferenças. È usando esta habilidade
que a crianças consegue classificar objetos.
· Percepção de relações espaciais: é a capacidade de relacionar objetos entre
si e entre eles e o observador.
Um aspecto que merece ser destacado é o da linguagem geométrica, salientando-se
que esta é construída progressivamente a partir dos termos usados e compreendidos
pelas crianças. Elas se referem a propriedades das figuras expressando-se, por
exemplo, assim: o triângulo é pontudo; ele tem 3 pontas; o cilindro rola, mas o cubo
não; o cubo tem muitas quinas; o cone tem uma ponta mas não tem quinas. Aos
poucos vão substituindo a informalidade pela linguagem própria e específica.
Os alunos na fase dos 6 anos se encontram no nível mais elementar do modelo
elaborado pelos Van Hiele que é o nível básico de Visualização. Nessa estágio inicial,
as crianças percebem “o espaço como algo que existe em torno delas e reconhecem
as formas geométricas com base na sua aparência física, como um todo” (Lindquist &
shulte, 1994). Identificam uma figura por sua forma e não pelas propriedades e
atributos.
Situar-se, reconhecer a posição dos objetos no espaço, localizar-se e deslocar-se nos
espaços de dimensão um, dois ou três são capacidades particularmente importantes e
que requerem, portanto, que sejam incluídas atividades referentes a elas no ensino
apresentando mapas, plantas e croquis. Tais atividades ainda são pouco valorizadas
no cotidiano escolar e precisam ser mais enfatizadas. Além disso, é desejável que o
professor fique atento a muitas atividades que empregam o plano cartesiano ou as
malhas quadradas, pois muitas vezes gera-se ambigüidade ao se lidar com a
localização de pontos ou de regiões quadradas. A capacidade de visualizar é
fundamental na geometria, tanto no sentido de captar e interpretar as informações
visuais, como no de expressar as imagens mentais por meio de representações,
gráficas – vistas, perspectivas - ou não. Atividades de desenhar ou de construir
modelos concretos de objetos geométricos – planificações, maquetes etc. – são
propostas interessantes e devem ser mais incentivadas. Cuidado deve-se ter quanto à
sistematização da geometria, para não ser conduzida de forma apressada ou de
maneira repetitiva e, muitas vezes, com ênfase na fixação da nomenclatura das figuras
geométricas e de seus elementos constitutivos.

10. A noção de semelhança em geometria deve ser trabalhada associada, por exemplo, a
atividades de ampliação ou redução de figuras planas, com emprego ou não de
malhas quadriculadas. Outra atividade importante refere-se à leitura de plantas e
mapas com escalas. Trata-se de um conceito cuja construção demanda um longo
tempo, e somente será consolidada em etapas posteriores da escolaridade. Por isso, o
professor deve ter cautela, em particular com o conceito de escala. Deve, ainda,
reservar o termo semelhança, em geometria, para situações em que ela realmente
ocorra e evitar empregá-la no sentido da linguagem do cotidiano. Por exemplo, a
associação entre objetos do mundo físico com suas representações não envolve o
conceito geométrico de semelhança, como, por vezes, é empregado.
Há algum tempo, recomenda-se o estudo de simetria no Ensino Fundamental. Essa
recomendação justifica-se pela inegável importância do conceito, tanto no campo
científico, como nas demais atividades humanas. Simetria é, sem dúvida, um dos
princípios básicos para a formulação de modelos matemáticos para os fenômenos
naturais. De modo amplo, simetria esteve sempre associada às idéias de harmonia,
equilíbrio, repetição, uniformidade ou igualdade entre partes constituintes de um objeto
ou de sua representação. Do ponto de vista matemático, mas não formal, o conceito
de simetria envolve três noções básicas: um conjunto de elementos; uma
transformação “interna” desse conjunto em si mesmo; a existência de um subconjunto
desse conjunto maior que fica invariante quando submetido a tal transformação.
Na realização das atividades voltadas para a construção de conceitos espaciais e
geométricos, a professora deve focalizar sua atenção na atuação do aluno com
vistas a detectar o uso das habilidades perceptivas e criar oportunidades para que
seus alunos possam desenvolvê-las.
Algumas atividades indicadas:
· desenvolver as relações espaciais: mapa do corpo, que trabalha os eixos
de orientação e o esquema corporal; onde está? que explora a localização
de partes do corpo; fazendo marcas, consiste na reprodução de partes do
corpo que são aproveitadas para um trabalho artístico; como a fila continua,
quem está à direita? todas voltadas para o desenvolvimento de conceitos
de direção e localização; quadriculados, já envolvendo representação
gráfica de pessoas no espaço.
· trabalhar as figuras planas: atividades com o Geoplano e com o Tangram,
com dobraduras e quebra-cabeça.
· Trabalhar as figuras espaciais: atividades com os Blocos Lógicos.