Este documento presenta conceptos básicos sobre lógica y conjuntos. Explica que las proposiciones son enunciados que pueden ser verdaderos o falsos, y que existen proposiciones simples y compuestas. Define los conectivos lógicos como "y", "o", "si...entonces...", y "si y solo si". Introduce la teoría de conjuntos, incluyendo la pertenencia, contenencia, igualdad, intersección y unión de conjuntos. Proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.

1. Pensamiento Lógico y Matemático
Profesor: Marcos Alejo Sandoval Serrrano
¨Pensamiento Lógico Matemático

2. Lógica y conjuntos
Diapositivas elaboradas por
José David Ojeda M.

3. 1. Proposiciones

4. 1. PROPOSICIONES
• Las proposiciones son enunciados que se pueden calificar como
verdaderos o falsos.
• La opiniones, preguntas, ordenes y exclamaciones no son
proposiciones.
Ejemplos:
• a) Un año tiene 345 días
• b) -3 + 4 = 1
• c)

5. 1. PROPOSICIONES
• Proposición simple: Es aquella en la que no se utilizan
términos de enlace. Su valor de verdad es Verdadero o
falso, en algunos casos puede ser indeterminado
• Ejemplo:
p: Hoy es jueves;
q: el 3 es numero primo;
r: 7 en un factor del 14;
s: Hoy llueve en Medellín (Ind)

6. 1. PROPOSICIONES
• Proposiciones compuestas: Están formadas por dos o mas
proposiciones simples, unidas por elementos de enlace
llamados conectores lógicos.
Conectivo lógico Símbolo
y
O
si...entonces…
…si y solo si…
Negación (no)






7. 1. PROPOSICIONES
• Ejemplo: Dadas las proposiciones
p: la suma de los dígitos de 15 es 6
q: es un numero irracional
r: 15 es múltiplo de 3
s:
Escribir la proposiciones compuestas:
9
9 3
a) b) c)
d) e)
p q q r p r
q s s
  
 

8. 1. PROPOSICIONES
• Negación de una proposición ( )
Permite cambiar el valor de verdad de una
proposición. Si la proposición p tiene valor de
verdad verdadero, su negación
es falsa, y viceversa.
se lee “no p”

p
p

9. 1. PROPOSICIONES
• Ejercicio: Negar la proposición y escribir el valor de verdad de la negación:
• a) p : Todos los días son festivos (F)
: No todos los días son festivos (V)
• b) q : (V)
: (F)
p
15 3 12   
q 15 3 12   

10. 1. PROPOSICIONES
• Conjunción: Proposición compuesta por dos o mas proposiciones unidas por el
conector lógico “y”, que se simboliza
Valor de verdad de la conjunción: 
p q
V V V
V F F
F V F
F F F
p q

11. 1. PROPOSICIONES
• Disyunción: Proposición compuesta por dos o mas proposiciones unidas mediante
el conectivo “o”, que se simboliza
Valor de verdad de la disyunción: 
p q
V V V
V F V
F V V
F F F
p q

12. 1. PROPOSICIONES
• Ejercicios: Determinar el valor de verdad de las siguientes
proposiciones compuestas:
• a) : 20 es múltiplo de 3 y 4 es divisor de 12.
La proposición p es falsa y la proposición q es verdadera,
por lo tanto es falsa.
• b) : 18 es múltiplo de 6 ó 18 es múltiplo de 5
La proposición r es verdadera y la proposición s es falsa,
por tanto es verdadera.
p q
p q
r s
r s

13. 1. PROPOSICIONES
• Condicional: Proposición compuesta por
dos o mas proposiciones unidas mediante
el conectivo “si…entonces…”, que se
simboliza
Valor de verdad del condicional:

p q
V V V
V F F
F V V
F F V
p q

14. 1. PROPOSICIONES
• Bicondicional: Se presenta cuando cada
proposición implica a la otra. Están
relacionadas por el conectivo “si y solo si”,
que se simboliza
Valor de verdad del condicional:
p q
V V V
V F F
F V F
F F V

p q

15. 1. PROPOSICIONES
• Ejemplo: Determinar el valor de verdad de las siguientes
proposiciones compuestas:
• a) : Si 20 termina en cero, entonces es múltiplo de 5.
La proposición p es verdadera y la proposición q es verdadera, por
tanto
es verdadera.
• b) : 6 es un factor de 12, si y solo si, 6 x 2 = 12.
Ambas proposiciones son verdaderas, por tanto es
verdadera
p q
p q
r s
r s

16. 1. PROPOSICIONES
• Tablas de verdad: Se usan para determinar el valor de
proposiciones compuestas.
• Ejemplo: Hallar el valor de verdad de
V V V F V F F
V F F V F V V
F V F V F V V
F F F V V F V
p q p q  p q   p q     p q p q    
   p q p q    
p q

17. 1. PROPOSICIONES
• Ejemplo 2: Hallar el valor de verdad de la
siguiente proposición:
V V V V V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
 p q p q    
p q p q  p q p   p q p q    

18. 1. PROPOSICIONES
• Ejercicios: Elaborar la tabla de valor de verdad para cada una de las siguientes
proposiciones:
       
     
a) b)
c) d)
p q q p p q p q
p p q p q q p
     
     

19. 2. Teoría de conjuntos

20. 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
Un conjunto es una colección de objetos
determinados, a cada objeto del conjunto se le
denomina elemento.
Dado un objeto y un conjunto, se puede establecer
si el elemento pertenece o no al conjunto.
Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas.

21. 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
• Recordemos los conjuntos numéricos
Reales (R)
Racionales
(Q)
Irracionales
(I)
Enteros
(Z)
Fraccionarios
Positivos
Negativos
Positivos (N)
Cero
Negativos
Positivos
Negativos

22. 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
• Determinación de conjuntos:
• Un conjunto se determina por extensión cuando se nombra cada uno de los
elementos que lo integran.
• Ejemplo: El conjunto de los números naturales pares se determina por extensión así:
 2, 4, 6, 8, 10, 12,......M 

23. 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
• Un conjunto se determina por comprensión cuando se recurre a la propiedad que
lo caracteriza y que solo cumplen sus elementos:
• Ejemplo: El conjunto de los números pares se determina por comprensión así:
 / 2M x N x n  

24. 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
• Ejemplo: Determinar por extensión y por comprensión los siguientes conjuntos.
a) El conjunto de los números primos menores que 35
Por Extensión:
Por comprensión:
 2, 3, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31P 
 / es un numero primo 1 35P x x x  

25. 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
b) El conjunto de los cuadrados perfectos menores que 100.
Por extensión:
Por comprensión:
 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81S 
 2
/ 0 100,S x Z x n n n Z      

26. 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
• Relación de Pertenencia:
Un elemento pertenece a un conjunto si cumple con las
características que definen al conjunto. El símbolo se
utiliza para expresar dicha relación.
• Si el elemento a pertenece al conjunto B, se escribe
y se lee a pertenece a B.
• Si el elemento t no pertenece al conjunto H se escribe
y se lee t no pertenece a H .
Matemáticas - 11º

a B
t H

27. 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
• Relación de contenencia: Un conjunto A esta incluido en un
conjunto B, si y solo si todo elemento de A es también
elemento de B.
• Se simboliza y se lee A esta contenido en B o A es
subconjunto de B.
• Si existe por lo menos un elemento de A que no pertenece a B,
se dice que A no esta contenido en B y se escribe
A B
A B

28. 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
• Ejemplo: Determinar las relaciones de contenencia entre cada
par de conjuntos.
ya que todos los naturales divisibles entre 5
cumplen con la condición
 
 
/ : es divisible entre 5
/ : 5
H x x N x
I x x Q x
 
  
H I
5x 

29. 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
ya que el conjunto I no contempla
ningún numero negativo, mientras que el
conjunto J si.
 / : 5
1
/ :
5
I x x Q x
J x x R x
  
 
    
 
J I

30. 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
• Relación de Igualdad: Dos conjuntos A y B son iguales si tienen
exactamente los mismos elementos
• Simbólicamente:
• Es decir todo elemento de A pertenece a B y todo elemento de B
pertenece a A.
A B A B B A    

31. 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
• Ejemplo: Determinar si los siguientes conjuntos son
iguales.
• K esta compuesto por los enteros positivos menores o
iguales a 16, esto es
por tanto
 
 
/ 4
0, 1, 2, 3... 13, 14, 15, 16
K x x Z x
L

   

K L
 0, 1, 2, 3... 13, 14, 15, 16K 

32. 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
• OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS:
Intersección entre conjuntos: La intersección de
dos conjuntos A y B es el conjunto formado por
los elementos que pertenecen simultáneamente a
A y B.

33. 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
• Simbólicamente
Si el conjunto es vacio, se dice que A y B, son conjuntos
disyuntos:
de lo contrario se dice que son conjuntos intersecantes:
 /A B x x A x B    
A B
A B
A B  
A B  

34. 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
• Ejemplos: Dados…
Hallar y representar en un diagrama de
Venn.
A B) b) c d) )B C C D Ca A   
 
 
 
 
2
/ , 4 5
/ , 6
/ , 10
/ , 4 0
A x x Z x
B x x Z x
C x x Z x
D x x Z x


    
  
  
    

35. 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
B) Aa 
-4 -3
-2 -1
0
1
2
3
4
5
6
 A B 1, 2, 3, 4 
b) B C
1 2 3
4 5 6
-1
-2 -3
B C  
C D C D  
c) C D
A B
B C
-1
-2 -3
C -1
-2 -3
C
-4
0
1
2
3
4
d) A C A
A C C 

36. 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
• Unión entre conjuntos: La unión entre los
conjuntos A y B es el conjunto formado por
los elementos de A o a B o a ambos.
Simbólicamente,
 /A B x x A x B    

37. 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
•Ejemplo: Dados los conjuntos
Hallar y representarlo en un
diagrama de Venn.
 
 
/ 3 1 15
/ 12 5 36
A x x es multiplo de x
B x x es multiplo de x
   
   
A B

38. 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
• Solución: Determinando A y B por extensión se
tiene que.
• Entonces:
 3, 6, 9, 12, 24, 36A B 
3 6
9
24
36
12
A B
   3, 6, 9, 12 12, 24, 36A B 

39. 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
• Cardinal de un conjunto: Es la cantidad de elementos que posee,
el cardenal del conjunto A se simboliza n(A).
• Para el ejemplo anterior:
   4; 3;n A n B 
   6; 1n A B n A B   
En general:
       n An A n A BB n B   

40. 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
• Unión de conjuntos a partir de la relación existente entre ellos:
• La parte sombreada corresponde a la unión.

41. 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
• Propiedades de la unión y la intersección
1. Conmutativa:
2. Asociativa:
3. Distributiva:
A B B A A B B A     
       A B C A B C A B C A B C         
     
     
A B C A B A C
A B C A B A C
     
     
4. Absorción
 
 
A B A A
B A B B
  
  

42. 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
• Diferencia entre conjuntos: La diferencia entre los
conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos
que pertenecen a A y no pertenecen a B.
• Simbólicamente:
 /A B x x A x B    
A B B A  

43. 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
• Ejemplo: Sean
Hallar: y y representar cada
operación en un diagrama de Venn.
 
 
/ , en numero par 15
/ , 2 6
R x x N x x
S x x Z x
   
    
R S S R

44. 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
• Solución:
R S
8 10
12 14
2
4
6
-2 -1
1 0
3 5
8 10
12 14
2
4
6
-2 -1
1 0
3 5
S R
 8, 10 , 12, 14R S 
R S R S
 2, 1, 0, 1, 3, 5S R   

45. 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
• Conjunto Universal: Formado por todos los
elementos del tema en referencia, se representa
gráficamente mediante un rectángulo y
simbólicamente mediante U.
• Complemento de un conjunto: El complemento de
un conjunto con respecto al conjunto universal U es
el conjunto formado por los elementos que no
pertenecen a A. El complemento de A se simboliza A’
o Ac y se lee A complemento.
Simbólicamente
 ' /A U A x x U x A     

46. 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
• Ejemplo: Dados
Hallar A’ y representarlo en un diagrama
de Venn.
• Solución:
Luego:
 
 
U / 1 20
/ es divisor de 18
x x N x
A x x
    

   U 1, 2, 3,..., 19, 20 1, 2, 3, 6, 9, 18A 
 ' 4, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20A 

47. 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
• Gráficamente:
1
2 3
6
9 18
4 5
7
8 10
11
12 13
14
15 16
17
19 20
A
U

48. 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
• Ejercicio: Dados los siguientes conjuntos
 
 
 
 
U / , 3 20
/ , 3
/ , 1 8
/ , 4
x x Z x
A x x Z x
B x x Z x x
C x x Z x
    
  
     
  

49. 2. TEORÍA DE CONJUNTOS
• Escribir los elementos correspondientes a cada
expresión:
 
   
' ' '
' ' '
' ' ' '
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14. 15. ' '
A B B C B C
C A A B B A
A B B C
A C C A A B
B C A B B C
  
  

  
  